TTV: Bất đẳng thức HSG 9 - QUẢNG TRỊ 23-24 | Rất giống USA MO 2001

Bài bất đẳng thức trong đề học sinh giỏi toán 9 quảng trị 23-24 mà bạn Lam Khánh đã gửi cho AD. Cho các số thực không âm xyz thỏa mãn x-y-z bằng 1 chứng minh rằng không nhỏ hơn hoặc bằng xy-yz-zx chừ 2xyz nhỏ hơn hoặc bằng 7 phần 27. Bạn có chia sẻ rằng em thấy phần nhỏ hơn hoặc bằng khá khó hiểu. Vậy chúng ta hãy tìm hiểu và giải quyết bài toán này xem sao. Nhưng trước tiên các bạn hãy thử nhé. Đầu tiên là với phần lớn hơn hoặc bằng, tức là xy-yz-zx chừ 2xxyz lớn hơn hoặc bằng 0. Chúng ta sẽ xét từng trường hợp. Trường hợp thứ nhất là x bằng 0. Ta sẽ suy ra được xy-yz-zx chừ đi 2xxyz sẽ bằng yz, lớn hơn hoặc bằng 0. Do yz là các số thực không âm theo điều kiện của đầu bài. Tương tự với yz bằng 0. Ta cũng suy ra được biểu thức của chúng ta lớn hơn hoặc bằng 0. Tiếp theo là với xyz khác 0. Khi này áp dụng bất đẳng thức cỏng mẫu ta sẽ được 1 phần x cộng 1 phần y cộng 1 phần z lớn hoặc bằng 9 phần x cộng y cộng z bằng 9 và đương nhiên là sẽ lớn hơn 2. Thực hiện quy đồng về trái, sau đó hoãn đổi ta sẽ được xy-yz-zx sẽ lớn hơn 2 xxyz hay suy ra xy-yz-zx chừ 2 xxyz lớn hơn 0. Từ các trường hợp liêu trên ta chứng minh được xy-yz-zx chừ đi 2 xxyz lớn hơn hoặc bằng 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x-y-0-z-1 hoặc y-z-0-x-1 hoặc z-x-0-y-1. Giờ đến phần thứ 2, phần nhỏ hơn hoặc bằng mà bạn Lam Khánh đang thắc mắc là chứng minh xy-yz-zx chừ đi 2 xxyz nhỏ hơn hoặc bằng 7 phần 27. Đối với phần này, AD sẽ lưu ra 2 cách giải ở đây. Cách 1 dồn biến về 1 ẩn x hoặc y hoặc z. Ở đây ta sẽ dồn biến về z. Khi đó ta sẽ giả sử z sẽ bằng min của xyz hay suy ra z nhỏ hơn hoặc bằng y và z nhỏ hơn hoặc bằng x. Ta lại có x-y-z-1 nên suy ra 0 sẽ nhỏ hơn hoặc bằng z nhỏ hơn hoặc bằng 1 phần 3. z-xy-y-z-zx chừ đi 2 xxyz sẽ bằng zx-zy-xy chừ đi 2 xxyz bằng z-x-y-xy-1 chữ đi 2z hay bằng z-1-z-1 phần 4-4xy-1 chữ 2z. Ở đây ta giả sử z bằng min của xyz để chứng minh được 1 chữ đi 2z lớn hơn 0. Không làm đổi chiều vì nếu giả sử z bằng max của xyz thì z sẽ lớn hơn hoặc bằng 1 phần 3 từ đó 1 chữ đi 2z chưa chắc đã lớn hơn 0. Áp dụng bất đẳng thức cao chi x'-y' lớn hơn hoặc bằng 2xy nên suy ra 4 xxy sẽ nhỏ hơn hoặc bằng x-y tất cả bình phương hay suy ra 4 xxy-1 chữ đi 2z sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 1 chữ đi 2z-x-y tất cả bình phương hay suy ra 4 xxy-1 chữ đi 2z sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 1 chữ đi 2z-1 chữ đi z bình phương từ đó suy ra được xy-yz-zx chữ đi 2 xxy nhỏ hơn hoặc bằng z-1 chữ z-1 phần 4-1 chữ 2z-1 chữ z bình phương Giờ ta sẽ đi chứng minh Biểu thức bên phải này sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 7 phần 27 Ta hãy gọi đây là biểu thức sau Ta xác định được điểm rơi là x-y-z-1-3 nên biểu thức sau sẽ tương đương với 27-z-1-z-1-4-1-2z-1-z bình phương chữ đi 7 nhỏ hơn hoặc bằng 0 hay tương đương 54-z-1-3-27-z-bình-1 lớn hơn hoặc bằng 0 Ta hãy nhóm các số hạng như sau từ đó có được nhân tử chung là 3z-1-18z-bình-3z-1 lớn hơn hoặc bằng 0 hay tiếp tục và tiếp tục phân tích ta lại được rồi nhóm nhân tử chung ta có 3z-1-3z-1-6z-1 lớn hơn hoặc bằng 0 hay 3z-1 tất cả bình-6z-1 lớn hơn hoặc bằng 0 điều này luôn đúng do điều kiện ban đầu của chúng ta Vậy xy-iz-zx chữ đi 2 x xyz nhỏ hơn hoặc bằng 7 phần 27 Ta có được điều phải chứng minh Cách 2 dùng bất đẳng thức chun Bất đẳng thức đã cho của chúng ta sẽ tương đương với 2 x xyz-7 phần 27 lớn hơn hoặc bằng xy-iz-zx Để có thể đánh giá được biểu thức xyz lớn hơn hoặc bằng cái gì đó Ta có thể sử dụng hệ quả của bất đẳng thức chun xyz sẽ lớn hơn hoặc bằng x-y-z-y-z-x-z-x-y Như vậy áp dụng bất đẳng thức chun ta sẽ có x-r-x-y-x-z-y-r-x-y-z-z-r-x-x-y lớn hơn hoặc bằng 0 với r lớn hơn 0 Với r bằng 1 ta được x-x-y-x-z-y-y-x-z-z-z-x-z-y lớn hơn hoặc bằng 0 Hay, khai chuyển ra và biến đổi ta sẽ được xyz sẽ lớn hơn hoặc bằng x-y-z-2z-x-y-z-2y-x-y-z-2x Điều này tiếp tục tương đương với xyz sẽ lớn hơn hoặc bằng 1-2z-1-2y-1-2x Và tiếp tục là xyz lớn hơn hoặc bằng 1-2z-1-2x-2y-4xy Tiếp tục biến đổi ta sẽ có được biểu thức như này Và có được 9 lần xyz sẽ lớn hơn hoặc bằng 4 lần xy-yz-zx chứ đi 2 lần x-y-z-1 Hay, 9 lần xyz lớn hơn hoặc bằng 4 lần xy-yz-zx chứ đi 1 Hay, 9 phần 4 lần xyz-1-4 lớn hơn hoặc bằng xy-yz-zx Ta chỉ cần chứng minh 9 phần 4 lần xyz-1-4 nhỏ hơn hoặc bằng 2xyz-7-27 Và ta gọi đây là biểu thức 2 sao Thật vậy, 2 sao sẽ tương đương với 1 phần 4 xyz nhỏ hơn hoặc bằng 1 phần 108 Hay, xyz nhỏ hơn 1 phần 27 Áp dụng bất hẳn thức cao chi, ta có x-y-z lớn hơn hoặc bằng 3 nhân căn bậc 3 của xyz Nên suy ra xyz sẽ nhỏ hơn hoặc bằng 1 phần 27 Do x-y-z bằng 1 ở đầu bài Và ta có được điều phải chứng minh Một chia sẻ thêm AD thấy bài này quen quen Và nó có vẻ giống với bài toán này Câu số 3 trong đề thi USAMO2001 Cấu trúc rất giống nhau Cảm ơn các bạn đã theo dõi Hãy để lại những chia sẻ phía dưới Và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn