Đại số cớ bản: Giải phương trình- Bài 7: Dùng một ẩn phụ

Ở bài này, thầy sẽ chia sẻ cái phương pháp ẩn phụ. Chúng ta dùng một ẩn phụ, tức là khi mà đọc đồ bài lên thì chúng ta thấy rằng là trông nó không được đẹp, trông nó có phần xấu, đúng không? Thì khi mà có phần xấu thì người làm toán người ta sẽ nghĩ đến cách là dùng ẩn phụ để cho bài toán nó đẹp hơn. Thế thì trong quá trình ẩn phụ thì người ta có nhiều cách ẩn phụ. Nhưng trong đó có một kiểu ẩn phụ rất đơn giản đó là đặt một cái biểu thức nào đấy là T nhé. Ẩn phụ đặt một biểu thức nào đấy là T. Ví dụ mình đặt một cái biểu thức fx nào đấy là T. Sau đó chúng ta chuyển hết phương trình sang ẩn T. Đấy, bây giờ ví dụ như chúng ta bắt đầu với câu 1 nhé. Câu 1. Ở đây chúng ta quan sát là có x-1-4 và x-x-2. Thế thì bản thân muốn ẩn phụ được thì 2 cái mối quan hệ, 2 cái yếu tố này phải có mối quan hệ gì đấy với nhau. Nếu không có quan hệ thì chúng ta sẽ, không có mối liên hệ thì chúng ta sẽ không thể ẩn phụ được. Thế thì bây giờ chúng ta phân tích một chút. Cái x-1-4 thì thực ra nó là gì? Nó chính là mũ 2. Nó chính là mũ 2 bình phương đúng không? Đây, nó chính là mũ 4, tức là mũ 2 bình phương. Chúng ta tìm hiểu một chút về nó đã nhé. Thế thì cái này sẽ là gì? Cái này dùng hẳn thức tháo ra nhé. Thế thì nó là x bình phương x-2x-1 tất cả bình phương đúng không? Đấy, rồi thế thì còn cái bạn nào? Bạn x nhân với x-2 Cái này là gì? Khi mà mình nhân vào thì nó biến thành x bình phương trừ đi 2x. Như vậy chúng ta so sánh nhé. Ở trên và ở dưới giống nhau x bình chứa x và chỗ này cũng có x bình chứa x. Nó có những yếu tố giống nhau. Một khi giống nhau thì chúng ta có quyền nghĩ đến ẩn phụ. Thế thì bây giờ chúng ta sẽ đặt x bình phương trừ 2x. Chúng ta có 2 lựa chọn. Lựa chọn thứ nhất là đặt x-2x bằng t. Thì cái này sẽ là t và cái này sẽ là t-1. Cũng có thể là mình đặt luôn x bình chữa 2x-1 là t luôn. Nếu mình đặt x bình chữa x-1 là t thì nó ra t bình phương nó sẽ gọn luôn đúng không? Bằng t. Ở đây thì là t sẽ lớn hơn bằng 0. Vì sao vậy? Vì cái này chính là x-1 tất cả bình phương. X-1 tất cả bình phương thì lớn bằng 0 cho nên mình đặt điều kiện cho t lớn bằng 0. Có một nguyên nguyên tắc như thế này. Khi mà chúng ta dẫn một người bạn đến một cái địa điểm mới thì chúng ta nên giới thiệu bạn của chúng ta là tên là gì và giới thiệu một chút. Thế cũng như vậy, t là một cái bạn lần đầu tiên xuất hiện ở đây. Cho nên là khi chúng ta đặt ẩn phụ thì ngay sau đó người có văn hóa làm toán người ta sẽ đặt điều kiện cho t. Đặt điều kiện cho t. Để xem t lớn hơn hoặc bằng bao nhiêu. Cái này là không yêu cầu bắt buộc trong quá trình giải phóng trì không yêu cầu bắt buộc nhưng mà người có văn hóa giải toán người ta làm như vậy. Bởi vì sao? Bởi vì sau này nếu chúng ta tìm được một cái bạn t âm chúng ta tìm được một bạn t âm thì chúng ta sẽ nọi đi. Bởi vì đặt hết t lớn bằng 0 mà đúng không? Còn nếu chúng ta không đặt điều kiện thì chúng ta lại phải mai chúng ta giải rồi giải một lúc sau chúng ta mới kết luận nó vô nghiệp. Đấy cho nên là chúng ta đặt t thì giới thiệu đặt điều kiện cho t nhé. Thì khi đó ta có gì? Ta có cái phương trình này sẽ trở thành như thế này là t bình phương cộng với bạn này này thì chính là t chữ 1 t chữ 1 bằng 1 Đấy. Đến đây thì rõ ràng là phương trình của chúng ta đơn giản rồi đúng không? Thành là t bình phương cộng t chữ 2 bằng 0 Đây là một cái tan thấp bậc 2 chúng ta quen thuộc rồi nhân tử là t chữ 1 nhân với t cộng 2 bằng 0 Chúng ta có trường hợp 1 là t bằng 1 t bằng 1 nghĩa là chúng ta có x chữ 1 bình phương bằng 1 đúng không? E9 là x chữ 1 bình phương bằng 1. Thế thì khi x chữ 1 bình phương bằng 1 thì thì chúng ta có được 2 nghiệm là bao nhiêu? x bằng 0, x bằng 2 Ở đây là thể giải pháp nhé. Bởi vì chúng ta đã làm được cái mức độ, cái câu cái câu này là những câu nâng cao rồi cho nên là những bước như thế này chúng ta tự xử lý nhé Một là chúng ta có thể nghĩ là x chữ 1 bằng 1. Trường hợp 2 là x chữ 1 bằng âm 1. Cũng có thể chúng ta phá ra sau đó chuyển sang phân tích nhân tử thì cũng thuộc được cái này nhé Trường hợp thứ 2 là t bằng âm 2 t bằng âm 2 thì loại luôn loại luôn vì điều kiện của mình là t bằng 0 được chưa? Ở đây chúng ta chỉ bàn về phương pháp không bàn về chi tiết để trình bày nhé Câu số 2 Như câu 1 ấy là chúng ta đầu tiên phải quan sát quan sát sau đó thì phát hiện ra kiểu tổ chung chúng ta xuất hiện ẩn phụ đúng không? Thế thì ở đây cũng như vậy. Chúng ta có một cái kỹ năng như thế này Nếu mà là a bình cộng b bình nếu chúng ta có a bình cộng b bình chúng ta có quyền tạo ra cái hàng thức bằng cách là cộng thêm 2 a b rồi trừ đi 2 a b Cũng có lúc thì mình làm ngược lại nhé trừ trước cộng sau cộng trước trước sau đều được nhé Và thế thì nó sẽ là gì? Nó sẽ là a cộng b tất cả bình phương trừ 2 a b Cái thao các tạo hàng thức này đối với chúng ta không còn xa lạ đúng không? Thế thì tương tự như vậy nếu bây giờ chúng ta gặp bạn x bình cộng 1 trên x bình thì chúng ta có quyền đây có cái hình thức là a bình cộng b bình đúng không? Thế bây giờ chúng ta sẽ tạo ra hàng thức bằng cách là cộng thêm vào cộng 1 trên x bình như thế này thì mình cộng với 2 nhân x nhân 1 trên x x nhân 1 trên x là giống như kiểu a bình cộng b bình cộng với 2 a b Nhưng mà nhưng mà bản thân nó x và 1 trên x nhân nhân vào 1 cho nên chỗ này chính là số 2 số 2 thì mình trừ đi 2 là vừa đủ và do đó nó sẽ trở thành là x cộng với 1 trên x bình phương trừ 2 Đấy Vậy là bạn này bằng bạn này Nhưng mà có nghĩa là x bình phương cộng 1 trên x bình phương là có mối liên hệ với cái này này có mối liên hệ với x cộng 1 trên x này Thế thì khi đó chúng ta sẽ có phương trình nào? Chúng ta sẽ có là cái bình cộng 1 trên x bình kia mình sẽ thay bằng cái này nghĩa là x cộng với 1 trên x bình phương trừ 2 Đấy là của x bình cộng 1 trên x bình đúng không? Cộng 6 bằng 4 x cộng với 1 trên x Thế thì rõ ràng là bây giờ chúng ta thấy x cộng 1 trên x là giống nhau đúng không? Một khi giống nhau chúng ta sẽ ẩn phụ đặt x cộng 1 trên x bằng t Đấy như trên nhé sau khi ẩn phụ chúng ta sẽ xem là chúng ta sẽ xem là cái cái t này điều kiện như thế nào nhé Thì đây cái điều kiện của t như thế này Người ta có một cái kỹ thuật xử lý cái con t này như thế này trị đối của t sẽ là trị đối của x cộng với 1 trên x Đây là một cái cách xử lý đặc thù đối với cái này nhé Chúng ta phát hiện ra một vấn đề là x và 1 trên x luôn cùng dấu Nghĩa là nếu x dương thì 1 trên x nó cũng dương Còn nếu x âm thì 1 trên x nó cũng âm đúng không? Dẫn đến là cái trị đối của của cái này này sẽ là chính là trị đối của x cộng với trị đối của 1 trên x nghĩa là nó là trị đối của 1 trên trị đối x này Lại nhé Nếu 2 số cùng dấu thì trị đối của 1 t nó sẽ bằng tổng trị đối a cộng b trị đối của a cộng b bằng trị đối a cộng trị đối của b nếu a và b cùng lớn bằng 0 hoặc a và b cùng nhọn bằng 0 Đấy Thế thì chúng ta còn có còn nhớ là cái trị đối của x cộng với 1 trên x này đây trị đối t này thì chúng ta có 1 cái kỹ thuật là chúng ta trừ 2 cộng 2 vào đây và đối với 3 bạn này này đối với 3 bạn này chúng ta quy đồng lên nhé nhân quy đồng lên thì biến thành là trị đối với x bình phương cộng 1 trừ đi 2 trị đối x trên trị đối x mình quy đồng 3 bạn này lên còn để 2 cô đơn đây thôi cộng 2 và 3 bạn này sẽ biến thành là trị đối của x trừ 1 bình phương trên trị đối x cộng 2 Đấy Thế thì tử số là 1 cái bình phương mẫu số sẽ dương Tất nhiên đầu bài của bài toán này là mình phải đặt giả thiết đặt điều kiện cho x dương nhé x hắc 0 x hắc 0 trên trị đối x nó sẽ dương nhé cho nên cái này lớn hơn bằng là lớn bằng 2 Đấy Điều này có nghĩa là trị đối của t lớn bằng 2 Đây chính là điều kiện của t nhé Nhưng tất nhiên Bài toán này thì chúng ta có thể không cần đặt điều kiện Bởi vì điều kiện của nó là điều kiện nó phức tạp Nhưng mà qua bài này thì Thì thầy giới thiệu cái cách đặt điều kiện cho cái t này Bây giờ ta có nhé Ta có Là Đây Thì chỗ này chúng ta thành đây nhé Thì nó sẽ thành là t bình phương này cộng 4 bằng 4t này Bây giờ ta có là t bình phương cộng 4 bằng 4t Thì đây chính là phương trình bậc 2 À đây chính là hẳn thức rồi t-2 bình phương bằng 0 Rất là đẹp ra nghiệm t bằng 2 thôi Khi t bằng 2 thì chúng ta có là x cộng 1 trên x bằng 2 Thì chúng ta quy đồng nhân cháo lên nhé Nó sẽ thành x bình phương cộng với 1 bằng, tức là mình lấy x nhân vào 2 vế, nhân x vào 2 vế bằng x Hay là x chứa 1 bình phương bằng 0 Thì x bằng 1 Chốt lại Ở cái phương trình 2 này nó có 1 cái kiểu là như này Tức là chúng ta nhìn vào 2 bộ phận 2 bộ phận này nó có mối liên hệ với nhau Mối liên hệ với nhau chính là Thì chúng ta dùng phương pháp ẩn phụ là chúng ta sẽ thành công Sẽ quy về 1 cái phương trình bực 2 đẹp Mà đã là bực 2 đẹp thì chúng ta sẽ xử lý được Bây giờ chúng ta sang câu số 3 Câu số 3 thì Chúng ta động trạng đến 1 vấn đề là Hàng nẳng thức bực 4 phải khai triển như nào đúng không Ở đây nhé, chúng ta Có a cộng b Có a cộng b tất cả bình phương Có a cộng b Tất cả mũm 3 Và a cộng b Tất cả mũm 4 Rồi a cộng b Tất cả mũm 5 Cái này thì không nói làm gì rồi, a cộng b thì vẫn là cộng b thôi Nhưng cái này là a bình Cộng với 2 a b Cộng b bình Còn cái này là a mũm 3 Cộng 3 a bình b Cộng 3 a b bình Cộng b mũm 3 Ở đây chúng ta có 1 khái nghiệm gọi là Tam giác Patkan Tam giác Patkan như thế này Đầu tiên người ta viết hệ số 1 ở đây Sau đó người ta viết 2 số 1 ở đây Cái 1 và cái 1 này Chính là hệ số của con a và con b Trong khai triển Trong khai triển lũy thường này Tiếp theo nhé, hệ số tiếp theo Của khai triển mũ 2 này Là 1 2 1 1 2 1 Và bây giờ người ta bắt đầu xây dựng các hệ số Hệ số tiếp theo của nó sẽ là gì nhé Hệ số tiếp theo của Của cái dạng hàng này này Chính là Hệ số của khai triển Lũy thường 3 Thế thì hệ số của khai triển lũy thường 3 là 1 3 3 1 Thế thì ở đây chúng ta sẽ làm 1 Cái con 3 này là do Con 1 cộng 2 thì nó sẽ sinh ra 3 này 2 cộng 1 thì nó sẽ sinh ra 3 này Và con 1 này mình hạ thông đây này Cho nên nó được là 1 3 3 1 1 3 3 1 là gì? Là hệ số của khai triển lũy thường 3 Của cái tổng A cộng B Nghĩa là, chúng ta nhìn vào đây chúng ta biết ngay là A cộng B mũ 3 thì hệ số sẽ là 1 3 3 1 Thế tương tự như vậy nhé, thế bây giờ cái Cái A cộng B mũ 4 này Thì chúng ta khai triển thế nào Đấy, ví dụ nhé Mình sẽ đoán được ngay A cộng B mũ 4 thì đầu tiên sẽ là A mũ 4 này Nhưng bây giờ vấn đề tiếp theo Sẽ là Một cái số mà chắc chắn là liên quan A mũ 3 Và B Bởi vì là mũ 4 của A Không có B, bây giờ sẽ đến mũ 3 Của A, xong B mũ 1 Và tiếp theo sẽ đến Một cái số tiếp theo là A mũ 2, A mũ 3 Thì sẽ lùi mũ 2, còn B sẽ tăng lên 1 Thành B bình thường Nhưng vấn đề hệ số Của nó là bao nhiêu, chúng ta chưa biết đúng không Tương tự Tiếp theo sẽ phải là số A B mũ 3 Và tiếp theo sẽ là B mũ 4, hệ số Của A mũ 4 và B mũ 4 chúng ta có thể đoán được ngay Đây là 1, đây là 1, hệ số là 1 thì Các bạn này sẽ là 1 thôi, nhưng hệ số Ở đây là bao nhiêu, và trả lời câu hỏi hệ số Ở đây là bao nhiêu thì chúng ta dùng cái Cái tam giác bắt can này chúng ta sẽ trả lời được Ví dụ nhé, đầu tiên Con 1 mình viết ở đây Số tiếp theo là mình lấy 1 cộng 3 được 4 đúng không, chúng ta điền vào giữa này 3 cộng 3 là 6 Chúng ta điền 6 vào đây này 3 cộng 1 là 4 chúng ta điền vào đây này 1 lại tiếp tục hạ xuống đây này Đấy, như vậy hệ số Của khai triển mũ 4 sẽ là 1, 4, 6, 4, 1 1, 4, 6, 4, 1 thì chúng ta điền là 1 này, 4 này 6 này, 4 này 1, đấy, như vậy chúng ta sẽ Khai triển được cái A cộng B Thế còn bây giờ bài này sẽ là gì nhé Bài này sẽ là gì, muốn biết nó là gì Thì chúng ta sẽ điền vào cái tam giác bắt can này Tiếp theo sẽ là gì, 1 này 1 cộng 4 là 5 này 4 cộng 6 là 10 này 6 cộng 4 là 10 này Và 4 cộng 1 là 5, hạ 1 xuống Như vậy chúng ta sẽ thu được là 1, 5, 10, 10, 5, 1 Thì ứng với đây sẽ là gì Sẽ ứng với là A mũ 5 này Xong đi số 5 5, cái lũy thừa thì sẽ giảm đi 1 nhé, A sẽ giảm đi 1 thành 4 Còn B tăng lên thì biến thành B như này, tổng số vũ của các cái số hàng này luôn bằng 5 nhé Số tiếp theo sẽ là 10 này, 10 A mũ 3, B bình này Số tiếp theo sẽ là 10 này 10, A bình B mũ 3 này Tiếp theo sẽ là 5 này 5, A, B mũ 4 này Cộng với 1 tức là cộng B mũ 5 Lũy thừa tổng các cái lũy thừa thì luôn bằng 5 Nhưng mà A thì giảm dần Còn B thì tăng dần lên Đấy như vậy Bây giờ quay lại cái bài số 3 kia của mình Thì Chúng ta sẽ đặt ẩn phụ như này Nếu bây giờ mình dùng khai triển Khai triển theo phong cách bằng 4 này Mình tháo tung ra cũng được thôi nhé, nhưng mà nó xấu Nó không đẹp bằng cách là chúng ta ẩn phụ như này Chúng ta quan sát là ở đây có x cộng 1 và x cộng 3 này Có x cộng 1 và x cộng 3 đúng không Thì bây giờ mình sẽ đặt bạn T bằng Đặt bạn T bằng x cộng Cộng với trung bình cộng của 1 và 3 Là 2 Tức là đặt vào x cộng với bạn chính giữa Của 1 và 3, mình lấy 1 cộng 3 Chi đôi là 2, đấy trung bình cộng nhé X cộng với 1 cộng 3 Chi đôi là 2, thì khi đó Chúng ta sẽ có gì Cái bạn x cộng 1 kia, x cộng 1 Nó chính là T chừ 1 Còn cái bạn x cộng 3 kia Cái bạn x cộng 3 này Thì nó là T cộng 1 Đấy, và chúng ta có phương trình như thế này T chừ 1 Mũ 4 Cộng với T cộng 1 mũ 4 Mũ 16 Và chúng ta ra cái phương trình này Thì phương trình này bây giờ chúng ta Dùng hàng thức tháo tung ra là thành công Tất nhiên là chúng ta sẽ có những cái cách khác nữa Ví dụ ở đây cái số 16 nó rất là đẹp Nó chính là 2 mũ 4, thì mình có thể ghép với nhau để Cuối cùng phân tích những từ cũng thành công Nhưng mà nếu mà người ta không cho 16 Người ta cho 1 số khác thì chúng ta không làm được như vậy Do đó đây là cái cách mà Chúng ta sẽ xử lý tổ quát hơn Thế thì bây giờ chúng ta dùng khai triển Mũ 4 này nhá, chúng ta viết ra nhá Thì đây, thể viết lên đây Nó sẽ là T mũ 4 này 1 4 6 4 1 đúng không Dấu chừ này thì nó sẽ đan dấu nhá 1 4 Thế là trừ đi 4, T mũ 3 Cộng 6 T bình Trừ 4 T Cộng 4 T Không chỉ được tương đương nhá Cộng với Tương tự như vậy sẽ cộng với T mũ 4 Cộng với 4 T mũ 3 Cộng 6 T bình Cộng 4 T Cộng 1 bằng 0 À đâu bằng 16 Thế thì điều may mắn đã xảy ra Đó là các bạn Các bạn mũ lẻ nó khử nhau hết này Và cuối cùng chúng ta thu được là 2 T mũ 4 Cộng 12 T mũ 2 Cộng 2 Bằng 16 Chia 2 đi T mũ 4 Cộng T bình phương Sẽ trừ đi Trừ đi 7 à T mũ 4 trừ cộng 6 T bình phương Trừ 7 bằng 0 Đến đây chúng ta phân tích thành nhân tử nhá Nó thành T bình phương Trừ 1 Nhân T bình phương Cộng 7 Bằng 0 Do cái này dương này Cho nên chỉ có T bình phương trừ 1 bằng 0 thôi Nghĩa là chúng ta sẽ thu được T bằng 1 hoặc T bằng trừ 1 đúng không T bằng 1 thì x bằng bao nhiêu T bằng 1 thì x bằng âm 1 T bằng trừ 1 T bằng trừ 1 thì Thì X sẽ bằng trừ 3 Đấy như vậy chúng ta đã giải quyết xong nhá Mục đích là Cái bài 3 kia ấy Chúng ta thấy là nó có lĩa thừa 4 nhưng mà 2 bạn này Thì chúng ta ẩn phụ nó sẽ đẹp hơn Và sau khi ẩn phụ thì chúng ta sẽ vẫn đối diện với 1 cái là Khai triển bậc 4 Thì bình thường chúng ta không có cái hệ số đó để khai triển Nhưng chúng ta dùng cái tam giác Bát Canh là sẽ tra ra được Khai triển của hệ số bậc 4 là bao nhiêu nhá Bài 4, bài 5, bài 6 sẽ tương ứng với bài 1, 2, 3 Và chúng ta sẽ luyện tập Nhá