【北京理工大學】《工程流體力學》精品課 P11 - 11. 1.5.3 牛頓內摩擦定律舉例

好 剛纔我們討論了牛頓內摩擦定律 那麼現在我們進一步討論牛頓內摩擦定律的應用 下邊是一個旋轉式年度計的設計原理 我們首先看第一個問題 長度爲L的同心圓 它的結構如圖所示 從圖上我們可以看到 外邊是一個半徑爲R的大圓筒 裏邊是一個半徑爲R0的小圓筒 兩個圓筒是同心的 在小圓筒與大圓筒之間充滿了年度爲牛的液體 那麼現在我們讓外邊的圓筒固定 而讓裏邊的圓筒以角速的ω繞起軸旋轉 那麼這時候我想問 這個旋轉的力矩有多大 那麼這個問題呢 就是一個牛頓內摩擦定律的問題 下邊我們來看 我們把這個圓筒給它做一個泡麪 那麼裏邊這個圓柱 它以角速的ω旋轉 那麼與外邊的圓筒之間有一個間隙 這個間隙就是Δ 在這個間隙裏面充滿了液體 那麼這時候 內壁邊它的粘性切印力有多大呢 那麼按照牛頓內摩擦定律 這個切印力它應該等於是牛乘以速度除以Δ 那麼這個速度呢 又等於20乘以ω 那麼Δ呢 就是大半徑減去小半徑 那麼我們這樣的就得到了 內筒它的壁面 它所受到的切印力 那麼力矩等於什麼呢 力矩應該等於力乘以力壁 那麼力呢 就應該是切印力乘以表面作用面 那麼因此所需要的力矩應該是Md等於T乘以20 20是力壁 T呢 就是力 那麼這個力呢 應該等於τ乘以面積 那麼τ呢 就是按照牛頓內摩擦定律得到的 而面積A呢 就是內筒的溼面積 那麼按照牛頓內摩擦定律 τ等於μω20除以Δ 面積呢 是2π20乘以L 力壁呢 就是20 那麼這樣呢 我們就得到旋轉所需要的力矩 有這麼一個式子 那麼這是第一個問題 下面我們再看另外一個問題 半徑爲R0 相距爲H的同心圓盤 它們之間充滿了粘度爲μ的液體 如圖所示 那麼下面呢 我們讓下面這個盤固定不動 上面那個盤以角速的ω 繞去做旋轉 那麼這個時候我們問 這個旋轉所需要的力矩有多大 那麼這個裏邊呢 大家看到這是一個力 力壁在逐漸變化的這麼一個問題 那麼下面我們來看 上盤在半徑爲R的點上 那麼它的吸引力是多大呢 那麼它的吸引力呢 應該是μ乘以速度除以H 那麼速度呢 又等於Rω 因此吸引力就等於μRω除以H 對吧 那麼這樣的作用在這麼一個小圓環上 也就在半徑差爲R的這麼一個圓環上 所需要的力矩有多大的 那麼這個力矩呢 仍然應該是τ乘以面積再乘以力壁 力壁是R,τ就是μRω除以H 那麼這個面積呢 面積應該等於2πR乘以底R 那麼因此我們來看所需要的力矩是多大的 就是τ乘以2πR底R 2πR底R就是面積 τ是吸引力 相乘就得到了力 那麼這個力呢 再乘以R就得到了力矩 那麼整理以後呢 得到這個 那麼這樣的我們來看 在整個上盤 整個的上盤的盤面 那麼它旋轉所需要的力矩 就是對上勢進行積分 那麼這個積分我們得到是從0到R0進行積分 那麼得到2πρωR0的4次方除以4H 那麼這個呢 就得到了上邊這個圓盤 以角速度ω旋轉所需要的力矩是這樣一個 那麼在下邊我們把E2給它合起來 那麼形成第三個問題 第三個問題是這樣子 在內外筒之間充滿申雷L加上H 這麼多的待測液體 那麼裏邊這個軸以角速度ω繞起軸旋轉 那麼這時候所需要的力矩怎麼樣呢 我們來看第一個內筒旋轉所需要的側臂的力矩 剛纔我們算出來了 是得到等於ρ2πR0的3次方L除以2-R0ω 那麼底下這個底部它旋轉所需要的力矩呢 就是剛纔我們第二個問題得出來的 那麼因此半徑爲R0的內筒以ω角速度繞起軸旋轉所需要的力矩 就是這樣的一個式子 那麼在這個式子裏邊我們可以看到 有一些是幾何量 比如說L R R0 H 那麼這些都是幾何量 我們是已知的 那麼因此呢 在這個式子裏邊 如果我們能把角速度ω把Md也就旋轉力矩給測出來 那麼這個時候 代測液體的粘度μ也就出來了 那麼這樣的我們就得到這樣一個結論 對於這種圓筒式結構 內軸旋轉所需的力矩是這樣子 那麼當我們幾何參數已知 然後我們測出來力矩和旋轉角速度的時候 那麼也就得到了代測液體的粘度 那麼這個就是旋轉粘度計的設計原理 一個很有意思的應用 那麼這樣的一個按照這個設計原理設計的粘度計 我們把它叫做旋轉式粘度計 以前經常用的 那麼本章基本上就是這些內容