【北京理工大學】《工程流體力學》精品課 P14 - 15. 2.1.3 靜壓強及其特性

下面我們再來討論流體淨壓強的定義 壓強大家都很清楚 壓強就是單位面積上所受到的力 我們把這個叫做壓強 那麼下邊我們來看 在靜止流體中 我們在流體微傳的表面 取出一個作用面 很小啊 Δa 那麼在其上作用的力是Δp 那麼讓Δp除以Δa 讓Δp除以Δa 那麼就是單位面積所受到的力 然後我們再把這個Δa讓它趨於0 那麼這樣呢 這個極限 我們就把它叫做流體在這一點處的淨壓強 流體在這一點處的淨壓強 那麼淨壓強呢 在國際單位之中 它的單位是每平方米多少牛 那有時候呢 也用帕來表示 也可以用千帕或者八來表示 那一帕呢 是等於一牛噸每平方米 對吧 那麼帕呢 就是爲了紀念帕斯卡這個人 我們也可以用千帕 那麼一千帕呢 就是一千帕了 另外呢 還有一個比較奇怪的單位 帕 那麼一帕呢 是等於十的五次方帕 大家看到這個單位呢 感覺有點奇怪哈 怎麼十的五次方 實際上呢 這個一帕呀 它大概等於一個標準大氣壓 一個標準大氣壓呢 是101325帕 大概約等於十的五次方帕 那麼這個是淨壓強的定義 以及淨壓強的單位 跟大家介紹一下 那麼下面我們來看 靜止流體中 它的壓強有哪些特性 那麼作用於微團表面的淨壓強 具有兩個特性 這兩個特性呢 我先不說 我們先來看一下 如果你要是把自己當做一個流體微團 擱在水裏了 那麼外界呢 對你有一個作用力 這個就叫表面力了 那麼這個表面力有什麼特徵呢 有什麼特徵呢 那麼大家呢 可以想一想第一個 這個表面力就這個壓強啊 它的方向怎麼樣 這個方向是壓向你的皮膚呢 還是往外拉 當然你說肯定是壓 肯定是壓向 對吧 那麼這是第一個 另外一個它的大小怎麼樣 那麼下邊我們來看 第一個特徵就是淨壓強的方向 我們說淨壓強的方向 垂直指向作用面 那麼第二個特徵就是淨壓強的大小 它與作用面的方位無關 什麼意思呢 就是說呢 你如果把你自己沉到水裏邊了 那麼你那四面八方 都受到了流體的壓力 對吧 那麼這個時候我問 左邊的壓力大呢 還是右邊的壓力大 那麼這時候你就考慮一下 你會說應該一樣大 應該一樣大 因爲什麼呢 如果左邊的大 右邊的小 那麼有壓差的作用 不把你給推動了嗎 那你就該流動起來了 對吧 那麼這麼着一想呢 就是說各個方向的壓強都應該一樣大 它才能靜止 對吧 它能靜止 那麼這個呢 我們等一下再說 那麼既然有這兩個特性 特別是第二個特性 淨壓強的大小與方位無關 也就各個方向它都一樣 那麼這樣呢 我們就可以把壓強啊 看作是空間點的函數 也就是說我們說XYZ這一點 它的壓強是多大多大 而沒必要去說在XYZ這一點 沿着左邊壓強多大 沿着右邊壓強多大等等 沒有啊 各個方向在這一點處 來自各個方向的壓強 它的大小都一樣的 那非常的重要啊 那麼下邊呢 我們來仔細討論一下 第一個關於第一個特性 也就是說 靜壓強的方向是垂直指向作用面的 那麼在這兒大家可能讀到了 這是由於靜止流體沒有切向力 以及流體不能承受拉力所決定的 那麼我們看右邊這張圖 這張圖呢 我們取一個平行六面體 選擇它的一個面 那麼在這個面上呢 外界流體對它有一個力 外界流體對它有一個作用力 那麼這個作用力 我們看它能不能有沒有沿着切線方向的投影 或者分量 有沒有呢 那麼在這裏邊 我們說如果有 那如果有 那麼它就會產生一個切映力 而流體呢 在切映力的作用下 就會連續不斷的變形 就會流動 對吧 那麼因此呢 切映力的存在必然使流體產生流動 而這與靜止的前提相矛盾 因此沒有切向力 也就是說是垂直於B面的 垂直於作用面的 那麼第二個 它是指向作用面呢 還是沿着作用面的外發向方向 那麼在這兒呢 我們來說實踐經驗告訴我們 流體是不能承受拉應力的 因此它只能承受壓力 那麼結合這兩點 我們就說靜壓牆的方向是垂直指向作用面的 那麼這個就是我們的一個結論 這就是我們的一個結論 關於第二個特性 是指靜壓牆的大小 那麼我們在這兒呢 這樣來考慮 我們在靜止流體中選取一點O 選取一點O 然後自O點呢 做邊長分別爲底X底Y底Z 這麼一個直角四面體 也就是說圖裏邊的這個OABC 那麼這個時候我們來看 這個流體V團或者這個四面體 那麼它作用於哪些力 那麼第一個呢 它是通過表面受到了外界的作用力 那麼這個作用力呢 我們看四個面嘛 當然受到四個力 對吧 ΔPX ΔPY ΔPZ ΔPN 這是一個 另外呢 它還具有質量 因此呢 它還有三個質量力 對吧 也就是說XYZ三個軸 三個軸上有三個分量 ΔFX ΔFY ΔFZ 這三個 那麼質量力呢 比較好處理 質量力比較好處理 那麼質量力呢 就是質量乘以單位質量 所具有的質量力 對吧 那麼就是它的質量力 那麼因此呢 在這兒我們看質量力呢 可以寫成這個樣子 那麼這裏邊呢 Rho是流體的密度 X是單位質量所具有的質量力 在X軸上的分量 那麼六分之一 DX DY DZ 就是這個六面體的體積 那Rho乘以體積就是質量 質量乘以大X 那麼就是質量力沿着X方向的分量 那麼同理 ΔFY ΔFZ 那麼這樣的作用的四面體上的這個力呢 除了表面力 還有質量力 那質量力我們給它擱在這兒 那麼表面力怎麼處理 另外還有一個 就是這個流體微轉出於靜止嘛 所以它的合力應該是零 又該怎麼處理 那麼下面我們來看 對於靜止狀態下的流體質量來說 各個方向的作用力處於平衡狀態 處於平衡狀態 那麼因此呢 沿着X方向的平衡方程應該是這個樣子 那麼這裏邊呢 是ΔPN在X軸上的投影 就是ΔPN乘以cosNX ΔPN在X軸上投影是負的 反方向的 那麼因此呢 在X軸方向 那麼它的平衡方程呢 就是ΔPX-ΔPNcosNX加上ΔSX 那麼這裏邊我們來看 ΔPY、ΔPZ怎麼樣呢 ΔPY、ΔPZ 根據剛纔靜壓牆的特性 它是垂直指向作用面的 因此它在X軸上的投影被零 對吧 那麼這樣呢 我們得到平衡方程是這樣子 那麼下邊呢 我們再看 ΔX 那麼也就是說 OBC這個面 那麼這個面的面積 與ΔAN之間的關係 實際上就是一個三角形的關係 那麼它呢 又等於二分之一 底Y、底Z 對吧 那麼這樣呢 我們把這個平衡方程呢 又可以給它寫成爲這個樣子 也就是說 ΔPX除以AX-ΔPNcosNX除以ΔAX 而ΔAX又等於ΔANcosNX 擱在這 一除就變成這樣子 那麼這邊呢 ΔFX除以ΔAX 那麼ΔFX呢 等於六分之一 弱底X、底Y、底Z 那麼再除以二分之一 底Y、底Z恰好是這個樣子 對吧 那麼這樣呢 我們就得到沿着X方向的 它的平衡方程是這個樣子 那麼這裏邊呢 我們看 讓這個流體V團中的底X、底Y、底Z趨於0 那麼當然 ΔAX、ΔAN也趨於0 那麼這個極限呢 我們就得到什麼呢 這個極限我們就得到PX等於PN 那麼也就是說 沿着在O這一點 沿着X方向的壓強 與沿着任意一個面 就是A、B、C這個斜面 它的壓強PN是相等的 那麼同樣的 我們也可以得到 PY、PZ都等於PN 我們把它叫做P 也就是說 這一點的壓強等於P 那麼從這兒我們就看到 就是說在O這一點 它的壓強 來自各個方向的壓強 都是同一個值 這樣我們就說明了 說清楚了流體勁壓強的第二個特性 那麼在這兒呢 大家一定要切記 流體勁壓強具有兩個特性 第一個 它的方向垂直指向左右面 第二個 它的大小與方向無關