【台灣大學】《邏輯學》（全100講）傅皓政 P32 - 32. Ⅴ：5.3.無效論證和反例結構

好 那接下來我們再來看 無效論證跟它的反例結果 那什麼是無效論證呢 根據剛剛的步驟呢 如果我們發現了有前提皆真 而結論為假的情況呢 我們就說它會是一個無效論證 那麼在無效論證的情況下呢 我要特別提醒各位同學就是 我們在處理有效論證跟無效論證 很不一樣的地方在於 如果是一個無效論證呢 你必須要給出一個解釋 這個解釋呢 我們通常就稱之為反例結構 它是一個 interpretation 那這個 interpretation 基本上就是在說 我們告訴你說在什麼情況下 它會出現前提皆真 結論為假的情況 就是在什麼情況下 它會出現前提皆真 結論為假 好 那這個解釋呢 其實我可以打個比喻 讓各位同學瞭解為什麼需要解釋 其實這個是很有趣的事情就是 各位想想看 假設這個傅老師在這個黑林大道上 碰到同學 因為我們很久沒有見面了 同學看到我就很熱情說 老師老師老師 打招呼 我說同學你好 老師你真是一個好老師 各位覺得我的反應會是什麼呢 通常我們在別人稱讚你好啊 漂亮啊 帥啊 只要是正面的肯定 通常你就是跟別人說謝謝 就結束了吧 這個對話應該就結束了 但是各位想想看 如果我給另外一個反面的例子 各位想想看 假設 你在黑林大道碰到傅老師對不對 然後就說傅老師你真的是一個壞老師 那我們碰到負面的評價的時候 通常我們會要求什麼 對方要解釋 解釋什麼 你說我哪裡壞嘛 我為什麼壞嘛 對不對 你要說清楚 講明白 那這個其實跟有效論證 無效論證 的狀況很類似 就是說 其實有效論證通過證明 我們很容易看出它是一個有效論證 你不需要多加解釋 因為它就符合我們的定義 但是呢 當它是一個無效論證的時候 通常我們就要給出一個解釋 解釋說為什麼它是一個無效論證 這個大概就是 為什麼我們需要一個 反例結構來解釋它是一個 無效論證的理由 通常呢 我們會發現它是一個無效論證是因為 我們發現了在整個論證裡面 出現了什麼 出現了前提皆真 而結論為假的情況 這時候我們就說它是一個無效論證 這個無效論證通常我們需要給它一個解釋 那我們通常把這個解釋稱之為反例 那這個反例是利用 我們在 5.1 所學到的那樣的結構 或者模型去呈現的 也就是說 我只要告訴你說在某一個 情況 可能情況下 或者在一個 structure 或者在一個 model 裡面 我們能夠呈現出 前提皆真 結論為假的情況 那麼這個模型 或者這樣的一個結構就告訴你說 為什麼它是一個無效論證 那各位可以看一下 這是我們的一個實際的例子 就是各位可以看到 P or negation Q 對不對 然後我們這裡是 第二個前提是 negation negation Q 而我們的結論是 Q 則 negation P 那同樣的我們從第一個步驟開始 就是因為命題的符號一樣 數一數有兩個 一個是 P 一個是 Q 所以我們要考慮的可能情況呢 就有四種 對吧 跟剛剛一樣 我們要考慮 P 跟 Q 兩個命題符號 所以它有真真 假假 跟真假真假 合起來總共有四種情況 第二個步驟是什麼 把所有的命題列上去 包括了前提跟結論 那所有的語句包括了 P or negation Q negation negation Q 跟 Q 則 negation P 所以我們把它列上去之後 它會是各位看到的這樣的一個圖 第三個步驟一樣 我們要逐步的去決定 它最後這個語句的真假值 所以我們先來看第一個語句 P or negation Q 我們當然先處理 negation Q 的部分 所以 negation Q 是假真假真 這個應該沒有問題 那 P or negation Q or 的語意主要是什麼 是隻有在兩個都為假的時候才為假 其他為真 那我們就來看看 有沒有兩個都為假的情況呢 有的 在哪裡呢 在第三個情況出現兩個都為假 就是 P 跟 negation Q 同時為假 所以這個為假 其他情況都為真 這是第一個語句最後決定出來的真假值 第二個語句我們有 negation negation Q 那通常我們在做的時候 各位注意我們一次因為只能做一個步驟 所以呢 當然有些同學會求快說 既然是 negation negation Q 那就跟 Q 都一樣了 那會很快的把 negation negation Q 做出來 但是呢 我們其實要養成一個習慣就是 我們必須要 step by step 一步一步的來做 所以呢 我們不能夠一次跳兩步來做 所以我們要先做第一步 就是 negation Q 的部分 先把它變成什麼呢 先把它變成假真假真的情況 然後呢 再做第二個 negation 第二個 negation 是對第一個 negation Q 做運算 所以它就會變成真假真假 為什麼不能讓同學 兩個步驟變成一個步驟做呢 理由是這樣 就是說 各位都知道以後我們可能 可能會面臨到更複雜的一句 那如果我們允許各位節省步驟的話 就會出現一個 我們很難決定的情況就是 有些同學說老師我可以兩步 並做一步做就好 那你說我特別聰明對不對 另外一個同學就說 老師那我可以三步並做一步 最後也許大家最後都只有寫那個 最終的結果的這個步驟 可是我們不曉得你怎麼運算出來的 我們也沒有辦法確定 你是不是通過一步一步的運算 得到這樣的結果 所以這個對我們來講呢 在檢查各位是不是 確實會用這些 語意學的這個步驟呢 一步一步的做這些涵義的算子 這件事有點困擾 所以呢 我們在這裡不會讓各位同學呢 只有兩步並做一步做 所以各位在寫這個真值表的時候 你還是得 每一個步驟都按照步驟 來做運算 而不能夠一次跳兩三步 這個請見諒 那接下來我們來看它的結論 結論是 Q 則 negation P 我們可以看到 在 Q 則 negation P 我們可以看到 先運算這個 negation P 的部分 所以它是變成假假真真 接下來是要處理這個 conditional 就是 arrow 的部分 就是這個箭頭的部分 那在處理這個箭頭的部分呢 我們會發現 根據語意學告訴我們說 只有在前真後假的時候為假 所以這時候前件是誰呢 前件是 Q 後件是什麼 後件是 negation P 所以有沒有前真後假的情況呢 有的 在哪裡 在第一個情況我們會發現 Q 是為真 negation P 為假 所以第一個情況它是為假 那其他都沒有出現 前真後假的情況 因此呢 結果都是為真 那我們仔細觀察一下 紅色的就是所謂的 所有的語句最後的結果 那這兩個前提跟結論來看 根據剛剛的建議的檢查方法 各位可以先看什麼呢 先看有沒有前提皆真的情況 我們發現前提皆真的情況 是隻出現在第一個情況 就是其一個情況 前提皆真 那很不巧的是你剛好發現 在這個時候結論為假 所以因此呢 第一個可能情況就 show 出了這件事 什麼事呢 就是前提皆真 結論為假 因此呢 這個論證是一個無效論證 所以從第一個情況我們就會發現 前提皆真 結論為假 所以它是一個無效論證 那當我們知道它是一個無效論證的時候呢 意味著什麼 意味著說 剛剛的這個 sequence 是不對的 也就是說呢 各位會發現我們在底下寫的 就是說 P or negation Q negation negation Q 並不蘊涵 我們畫一條斜線就表示 不蘊涵的意思 所以這兩個前提並不蘊涵 結論就是 Q 則 negation P 用我們平常的話來講就是 從前面這兩句話 推導不出結論 換言之它就是一個無效論證 那根據我們剛剛說過了 如果它是一個無效論證 我們要做什麼呢 無效論證的話呢 我們必須要給出反例 所以我們就要寫出一個反例 那這個反例是什麼 我們就要用它的 structure show 出來 各位可以看到它的 structure 是什麼呢 就是 當 P 跟 Q 都為真的情況 就第一個情況 在第一個情況裡面 P 跟 Q 都為真的情況 這個結構或者說這個模型 就顯示出它是一個無效論證 所以我們要解答它是一個無效論證呢 基本上我們就是用這樣的一個方式 所以這個是利用真值表法來做 有效論證跟做無效論證的方法