八下數學 06 等差數列(6)：歷屆會考真題實戰 (1-6 題)、大考邏輯拆解、老師崩潰實錄(誤)｜何肇忠老師 (最新課綱)

歡迎收看數學很簡單,我是張老師 那今天晚上我們要教的是國二的等差數列的部分 要教到歷屆四題 那我剛纔看了一下歷屆題目都出的很豐富,都很漂亮 所以我們來好好的看一下 歷屆的題目在這個等差數列會怎麼去考,怎麼命題 來我們看那個第一題 第一題就很活潑,他說 他是公園內有一個矩形的步道 然後呢地面使用相同灰色的正方形地磚 跟相同白色的等腰三角形的地磚 排列而成的 這個要畫圖喔,不然這樣很抽象對不對 來我們把圖畫下來 這個圖在那個我們那個講義上面有 同學可以先試算一下 如果你遇到這一題 你要怎麼去進行,怎麼去處理它 那我先把這圖畫一下 他這個長方形的地磚 喔很漂亮耶 到後面這邊是結束 他沒有全部畫完 因為很長 那怎麼排他這樣排的 然後到這邊是結束 我簡單畫一下 因為難度蠻高的 那他的那個 灰色的 灰色的正方形 在哪邊 在這邊 這個是灰色正方形 這也是一個灰色正方形 我沒有畫完 我把他畫完好了 這樣子 所以這也是灰色的正方形 這也是灰色的正方形 沒畫到 這邊也是 然後這邊又不是了 所以他這樣畫的 這邊都白的喔 白的白的白的白的 這是等腰三角形 他說呢 這個正方形 一共有40個 我就說這邊正方形的 這第一個好了 這第一個 這第二個 這是第40個 是這個意思 1到40個 那會使用到多少個三角形地磚呢 這題是不是說得很好玩對不對 好來 我們看一下 怎麼去回答他 我們可以這樣想 如果說我們這邊是1 2 3 4 5 數到40好了 這個是1的部分 我這樣畫下來 1以前的話 你有沒有注意到 有三個三角形 1 2 3 這邊就三個三角形 1的時候三個 2的時候呢 畫一條線下來之後 2往前面看 多幾個 多兩個 變五個 那3的時候往前看 那應該又多兩個嘛 因為我們這以這正方形 這樣畫下來之後 在這邊是7 所以第一項是3 第二項是5 再來是7 他是3579的等差數列對不對 到第40個 第40個結束之後呢 我們只算到這兩個喔 還好這三個沒算到對不對 所以不要忘記 最後答案呢 這三個要另外算 還要再加3纔可以 所以前面層等差數列 算到第40項的時候 還要再加3 就這樣子而已 所以怎麼求呢 就代公式啦 等差數列第n項公式 就a40嘛 a1 a2 a1是3 a2是5 a40多少 所以a40多少呢 會等於a1 a1就是3 3再加上 n-1 40-1 變39 乘以公差 後減前都是2 每次多兩個三角形 再乘2 先把它算出來 所以是3再加上 39乘2 39乘2多少 是78 78加3 是吧 78 78加3 81 算到81這還沒結束喔 不要忘記我們剛剛說 也算到這邊結束是說 這以前 有81個三角形 還有三個沒有算到耶 然後81還要再加上 所以三角形的個數有幾個 答案是84個 那這題答案要寫84 這是第一題 這樣OK嗎 OK齁 我的畫面怎麼跑掉了 等一下喔 又出現了 摔到了 這是第一題 再來那個第二題 第二題呢他說呢 等差數列題目的歷屆試題的第二題 他說他從1到50的 整數中挑選出 四個數 然後從小排到大 會成為一個等差數列 等一下我看一下 這個板差怎麼差不乾淨 這麼有個性的板差 第一次遇到奇怪 來換一個好了 他說1到50呢 去挑四個數 然後從小排到大呢 是一個等差數列 這個四個數中呢最小是50 是1到50 挑一個最小的是7 他說哪一個數呢 不可能出現在他所挑選的數字中 第二題也蠻活潑的 他是1到50給你挑 那最小挑的是7 所以7以前都不用想的 最小就7了嘛 那一定挑後面都7到50的 所以他最小是7 然後挑幾個數 挑了四個數 這樣會成等差數列 最小是7 他說哪一個數不可能出現在 他挑選的數字中 我們看看A選項好了 這逐一來看 A選項20 你覺得20可不可以 我們就先算20跟7的差異 因為20可能在這裡 可能在這裡 我們也不知道 如果在這個位置的話 他的公差差幾個 他就差一個 如果20放這裡的話 公差是差一個 如果20擺這裡的話 公差差兩個 就是20放這邊之後 這兩個相減要背二除 如果20放這裡的話 三個公差喔 所以要背三除 基本上這兩個相減完之後 如果要背二除背三除 應該就安全 如果不能背二三除的話 變成說20就擺在這個位置 所以我20扣掉7之後 答案13 13不能背二除 所以不是擺這個位置 13不能背三除更不能擺這個位置 所以20就擺這個位置了 那我想喔 如果20擺第二個位置他變成這樣寫 他依序要怎麼寫 第一個是7 因為20不能夠排後面 那兩個差多少 差13 加13 變33 加13變46一樣是等差 安全的所以A還可以 再來看B B的選項給25 那25 25排的出來嗎 一樣我們把25先扣掉7 扣掉7之後答案多少 答案是18 你看18這個數呢 他可以背二除 也可以背三除 換句話說25這個數字 你可以放最後一個 放這邊是可以的 你放這邊的話 123三個公差除以3 公差是6 你放這個位置的時候呢 18去除以2公差是9 也是可以的所以是B是安全的 你們剛剛說 這是 25減7變18 那18這個位置呢 他可以背三個公差除 因為如果這邊是放25好了 25減7除以3 公差就是6 如果25放這個位置的話 25減7一樣18除以2 公差是9 所以你用那個18本身 他可以背三除 那答案就是6公差可以是6 18去背二除公差就是9 比如說我們從7開始 從7開始好了 如果公差是6的話 就是7再加6 13再加6 19再加6 25有沒有25就排到了 所以他是可以的 如果說你排9也可以 7開始好了公差9加9 變16加925 這邊來加9變34 所以是OK的所以B是可以的 那目前AB都可以 換C 那我C剛剛說呢 他減掉7 減掉7變多少是變23 那23本身不能背二除 不能背三除 所以這個30就會緊鄰在7旁邊的 這樣知道嗎 所以我們再排過來 我排這裡因為排不下了 我把這個C的答案拉這邊來 如果這個是7排第一個 然後馬上排30 排30以後呢7跟30的差 就是23 那再來加23 加23加2330加23 變53去了這邊就爆了 後面就不用講了一定都爆了 因為就1到50而已 所以這C就不會 好看那個豬好了豬是35 35扣掉7之後 那答案是28 28 不能背三除可是可以背二除 背二除什麼意思呢背二除不就14 所以開始排了喔怎麼排呢 公差是2828呢 他不能背三除可以背二除 所以28先除2 除了之後公差變14 所以第一個排多少 第一個是排7 然後7加14 變21 再加14變35 有沒有變35就出現了 再加15之後呢再加35 再加14變成49 所以是7213549 乘等差最小是7 35也出現 所以豬是可以的 目前沒有的是7不行 這裡怎麼講那麼卡 一卡就很卡一直卡 來這是第二題 好看那個第三題 第三題呢這邊是講那個計算機的問題 就按那個工程計算機 然後有一些運算的結果 跟規則 我們來看一下好了 他說如圖呢他有計算機 然後有三個按鍵 這個三個按鍵的功能 等一下等一下 看一下 他這按鍵要畫下來 我先畫按鍵好了 那第三題 他的按鍵的第一個呢 就是有根號的圖案 那根號圖案同學可能 ㄟ 國這邊是國旗 國二可以啊根號知道 國一就不知道 然後再來這個是導數 他寫x分之一 再來是這一個 叫x平方 那所謂的根號 就是說你按了根號之後 一百按根號變十 十六按根號就變成十 那x分之一是導數 按這個鍵之後變二分之一 如果是三按這個鍵變三分之一 如果是十五按這個鍵變十五分之一 他會換成小數給你看 然後這個呢就是平方 就是說按了之後呢 他會變成二次方 如果是四好了你四按了這個鍵 答案就變十六 他說呢 如果螢幕顯示的數呢 是一百本來是一百 那第一個呢 他先第一下 第一下先按這個鍵 第一下按這個鍵 按根號鍵第二次呢 第二下再按這個鍵 然後呢 第三下 第三下再按這個鍵 然後之後呢 就順序按就是一二三一二三 加按 加按之後按了第一百下 他說顯示的 數是多少 好來 那我們一次來寫一下 他是按照這個順序在按的 就一二三一二三輪流按 本來就顯示一百 一百之後呢按這個鍵之後會變什麼 會變成十 再按這個鍵之後呢 變十分之一 再按這個鍵之後呢 會變成 一百分之一 然後再按這個鍵 開根號之後呢他又變成了十分之一 對不對 一二三又一 再按這個鍵導數又變成十 按到第三個鍵的時候 平方變一百又變一百了 然後再來 再按這個一再按一的時候 又變成十又循環回去了再一次 這個是按第一個鍵 會變成十 這個開始按一鍵 按一鍵開根號變十 按二鍵是導數嘛所以變十分之一 按三鍵呢這個鍵的時候是平方 變成百分之一 然後又回到第一個鍵 這個開根號喔變十分之一 然後又導數一次變成十 然後平方之後呢又變一百 一百又接回去了嘛 所以再按一的時候變回去第一個 所以你發現他是按照這一二三四五六 的順序在做變化 他不是一二三一二三是我按鍵啦 就是說他的變化是說 十十分之一百分之一十分之一 十又變一百 他的規律是一二三四五六 六個六個再循環 重複再循環 我問你說按到一百下之後呢 會顯示什麼數呢 那就一百去除以六啊 因為六個六個循環 所以一百按一百次之後一百去除以六 看他餘數是餘多少 除以六之後呢答案是 十六六乘十六變九六嘛 相減餘四 餘四找第四個 一二三四所以答案顯示的是 十分之一或零點一 所以空格我們要選的是 零點一所以選的是 比因為也是除以六啦 所以除以六不會餘六啊 如果整除就是一百囉 餘一就第一個 餘二第二個餘三第三個餘四第四個 我們答案是餘四啊所以答案選零 選零點一 餘五就第五個整除就選一百 好這是第三題 好看那個第四題啊 小鈺跟阿凡呢 他們在同一本書的 第一頁開始 逐次 在每一頁寫一個數 小鈺呢她在第一頁寫個一 之後她就寫個 會在前一頁 每一頁寫的書均是前一頁 的頁數再加二 前面寫一嘛過來寫三 過來寫五寫七嘛 13579這樣寫 然後那個小凡的話呢 阿凡的話呢 她第一頁寫一 後續每一頁都給她加七 我們再看一次啊 第四題喔 她有很多頁數嘛就一二三四五六七八九 是很多頁 然後一個叫做小鈺的這個人 她怎麼寫的呢 她第一頁寫個一 之後就給她加二變三 加二變五加二變七 一直類推然後她說寫到101 寫到101這個數字 不是101 另外一個就是那個阿凡 阿凡怎麼少一個 打 阿凡的話呢 她是第一頁寫一 後面就給她加七 加七變成八 再加七變十五加七變二十二 那對應過來之後呢 她要寫多少是這個意思 這樣懂嗎 所以變成說你要關心說這到底是哪一項 哪一項是101 怎麼做求項數 項數n怎麼求 用末項減首項除公差 加一 這我們在上次上到上次都有講過的 這公式很重要末項101 101減掉首項是一 所以公差都二阿 再來加一 我們求這第幾項 101減一是一百除二五十 加一五十一 所以這邊是第幾項她是第五十一項 另外是第五十一項 我們再求阿凡的第五十一項 答案是多少 這邊是A51 這A51是針對誰 是針對阿凡的 怎麼求呢 一樣帶公式嘛 Dn算公式 A1就首項 首項是一阿 再加上n減一 五十一減一不就五十 乘以公差 她的公差多少 她每一次都給她加七阿 所以五十乘以七 三百五加一 三百五十一 所以小碧的101的這個數字 會對應到阿凡的 三百五十一 所以我們選擇是B 第五題 這題目很長 我們現在其實會考開始 因為講了素養之後 以前的題目都是很短短的 重點都是求計算 所以我們把那應用問題都簡化 變成很簡單的問答 現在開始變成說應用問題 他會變得比較 不是冗長就是他有一個故事 有一些過程會去描述他 然後再來處理他 所以同學開始要去習慣 看那些文字很多的應用問題 那包含這題也是 他的文字就偏多了 數學題目四行就很多了 來看第五題 以知A在B的西方 把題目欣賞一下 A在B的西方 以AB兩地為端點 的東西向直線道路 講了很多廢話 其實很多都是廢話 A在B的西方 我把圖畫一下 這裡考題的圖先畫出來 同學看一看就發現 這些都是廢話 意義就不大 這邊畫0 這邊寫12 這邊寫39 這邊寫66 這裡有框框 等一下我們再解釋 一直到後面 然後到B 這個是B B多少這裡沒有寫 你看喔 他就說呢 A在B的西方 講方位 右邊東左邊是西 看圖也知道了 以AB兩地為端點的東西向 東西向直線道路 全長為400公里 全長400公里 這記錄一下 他沒有寫 400公里 經在道路上距離A的位置 A地的12公里處 他設置一個看板 之後每隔27公里就加一個看板 所以這個看板 再加27就變他 又加27就變他 所以公差是27 每隔27公里就加個看板 如果某車呢 他距離A地的 19公里處出發 某車 有一臺車 19公里處 我把車畫這裡 這車子 19公里處 19公里處出發 然後呢 他往東行 移了320公里 那不就19加320 所以移哪邊去了 移到這邊來 19加320就339 339公里處 他說 才停止 那這個時候停止前 經過最後一個看板 距離A地有多遠 有時候要去找哪一個 找339再更之前的這個看板 這個看板 他離A有多遠 是不是變這個意思了 所以你發現這題目很難嗎 再給大家分析一下 他是有AB兩地沒錯 然後總共400公里400你也用不到 AB東西向你也用不到 然後再來呢 從看板的設置 從12公里開始 每隔27公里就設個看板 這是等差數列 這邊還有很多個 然後這個車呢 從19公里開始 往東行320公里 所以跑到339去了 所以你會發現這19用不到 320用不到 所以他最後移到這邊來 車子呢他最後的位置在這裡 這個是車子的位置 車在這 他說車之前這個看板離A多遠 那我們大概先求那個 等差數列第N項 不要超過他小於他就好了 所以我們就假設呢第N個看板 會在他之前 所以第N個看板呢 會小於多少339 比他小嘛對不對 那這個是第一個看板 所以A1就是12 手向12公差27 所以AN代工是怎麼代呢 就A1加N-1乘D照代 A1就12嘛 A1手向12 再加上 N-1乘多少 27 會小於339 所以我們要求這個 不等式喔把它算出來 那拆括號喔所以是12 再加上27乘N 27N 27乘-1-27 會小於339 喔 裏長廣播等一下喔 我們剛剛拆括號之後呢 變這個結果對不對 好再把它整理一下喔 所以27N留著 12-27 變成-15 所以-15會小於339 好對吧喔 那把15移過來加15 所以27N就會小於 339加15 相加多少 式進位1 54354 會小於354 N移過來 27移過來除27喔 因為要求N的範圍喔 所以N就會小於 27分之354 看可以約分嗎喔 欸可以背3除啊 因為上面3加5是8 8加4是12 12背3除27也背3除 用3可以約分 用3約3927 3133133824 還可以約嗎 沒有了118去除以9 118去除以9 除以9之後919 28 9327 13又9分之1喔 所以N會小於13 又9分之1 那很明顯啊我們N要取多少 N不是要取13的 因為他比這個小N要調整數啊 所以N最大值就是13 所以到這看板第幾個 然後再來求多少 求A13 因為N答案13 那一樣代公式啊 A13就等於A1加N減1乘D A1一樣是首相12 再加上 13減1變12 12乘以D D是27 12乘27多少 12乘27喔 84 224 324 324再加12 336 所以那個看板距離 A點336公里遠 有沒有這答案 有沒有哪一題 有了齁所以答案選的是C 這是第五題 這樣有沒有問題 好再看那個第六題 第六題 這題也蠻棘手的耶 其實是講那個撲克牌拿那個灰色的顏色 然後那邊換來換去的 撲克牌 我手邊沒有撲克牌 撲克牌 如果有的話比較好解釋 撲克牌 沒有撲克牌 可是我有扇子耶 我看到扇子會比較好解釋嗎 第六題喔 第六題他是說呢 他左手拿著三張灰色兩張淺灰色 我沒有灰色淺灰色 我拿扇子好了 他有點像這樣子的情況 這是他牌啦 我現在拿的是扇子 那你就記顏色 這三張是 淺深灰色 三張深灰 兩張淺灰就沒差啦 三張顏色一樣兩張顏色不一樣 他說呢 他每一次寫他有三個步驟 第一個呢右手拿出 疊在最下面的 他這樣疊所以順序不一樣 他這樣疊 疊在最下面的所以這個是下面的兩張 把他拿出來之後呢 然後呢交錯 插在左手的三張牌之間 怎麼插 他把這兩個就一個插這邊 就間隔邊這樣插 插完變這樣 沒有插 會變這樣的牌法 這樣子有看懂嗎 然後再呢再把這兩個拿出來 再繼續往這邊插 一人插中間插一個 然後就變成 變成這樣的一個牌法 那我這樣子講好複雜 我用畫的好了 他的三張牌 我們給他取名叫AA 兩個深灰色叫A AA ABB 這樣子 手中抓的這五張牌 那其中呢 他的深灰色叫做A淺灰色叫做B 然後呢 他把這兩張牌拿出來 插這兩個位置 他怎麼插的 他是把這牌拿出來插這兩個位置 一人插一個 所以怎麼寫的 A B AB ABA 然後再來呢 就一直輪流這樣子 他說 他的意思這樣子重複起來 那 重複到幾次 他說重複到 圖19相同時 可能為何者 圖19 圖19的順序就是 17 圖19 17 18 19 要變成圖19的話是哪一個圖案 跟圖 再跟圖16相同 更正一下 他說重複在洗牌 洗到最後呢 什麼時候會哪一個洗牌次數 會跟一開始這個一樣 他的圖16是一開始這個牌 這是圖16 這是圖17 這是圖18 19的過程 就是依序這樣洗 那我們開始找他的規律 所以呢把這兩個牌在放進去的時候 怎麼放呢 你就想好 這個B呢會放到這個位置 那這個A呢會放到這個位置 所以變成這邊是B 然後這個是A 這兩個就沒有了 所以這牌怎麼排 他會變成 A B B A A 看白色的 再來呢把這兩個牌又插進來 這個插到這邊來 插到這邊來 所以這A插到這邊來 這A插到這邊來 變成A A B A B 所以再來新的牌法是這個 A A B A B 然後呢 再把這兩個牌 因為還沒有重複 再把這個放到這邊來 這個放過來這邊是A 這放過來這個是B 那我們把它寫出來 所以新的牌法 這後面不要看的 變成A A A B B A A A B B 重複了 重複是回到這邊來 所以回到這邊來代表說 他是四個四個循環 一開始是零 這是第一次的洗牌 第二次的洗牌 第三次的洗牌 第四次洗牌纔跟一開始會一樣 這是第一次的洗牌 第一第二第三第四 所以要說 如果要跟一開始這個牌是一樣的話 是找第四個 那第四個的話變成他四個四個循環 所以要去除以四 那除以四之後餘一是這一個 餘二這一個餘三這一個 餘四纔是跟他一樣 餘四是沒有餘四的 所以要找答案整除的 因為答案選擇是B 因為他答案是二十 二十除以四被整除 所以我們要把它的順序先排出來 那這一開始的持有的牌 這個就還沒有開始抽牌 所以要換了之後 第一次的抽牌就是把那個牌順序調過 他把後面兩個插過來 一池類可以這樣子排下來 這樣OK嗎 這第六題喔 一開始我沒有寫 一開始這樣子他這B排過來 這邊是B 所以變成看前面五個 ABABA 再把這BA插進來 後面不要看 ABBAA 再把這兩個A插過來 這後面兩個不要看喔 AABAB 再把這兩個又插進來 這後面不要看 這邊呢 AAABB 跟這個一開始是一樣的 可是這個是第一次的牌 這是第二次 到第四次才會跟一開始的一樣 他是四個四個循環再重複再跑的 所以答案選的是B 這是第四題 第六題 今天都講很卡 不講了休息了 剩下我們開學再來講好了 不爽講 怎麼今天講那麼卡 那就剩下那個題目 我們就下下禮拜再來上 今天上到這裡了掰掰