小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用五年級學生，全120集 P5 - 五年級春季05-圓與扇形初步（上）

Hello 大家好 來 我們又見面了 今天我們要研究的是圓宇扇形的初步 這一塊的話其實挺重要的 對不對 它屬於什麼 屬於我們這種平面裏面的曲線幾何 你看我們之前學的都是什麼 都是什麼線 都是直線 對不對 哪一些是直線呢 來 大家告訴我 比如說長方形 正方形 三角形 平四邊形 梯形 都是直線 對吧 好 那這個圓和扇形就是什麼 曲線 曲線的 那曲線就要有曲線的做法 好 那一樣的 我們先看一下 在考試裏面它一般會怎麼考呢 大家可以先看一下這兩道題目 你看一眼之後有沒有思路 你會發現有的題目還挺有意思的 對吧 比如說上面這道考題 這道題目考題 用到了轉化的思想 對不對 底下這個的話就是 減止 對吧 也都是一些實際的應用 所以今天聽完我們的課的話 你試一下能不能兩分鐘搞定 好吧 應該沒問題 來來來 那我們先說一下 那我們今天這個圓和扇形就要講兩塊 一塊是什麼 圓和扇形的基本公式 那我們就把我們的公式學得更多了 我們把它跟之前的公式放一起來看 對吧 看能得到什麼 OK 那第二個就是用歌譜法 因爲一般在圓和扇形裏面 我們都是考的就一個題型 就是求陰影部分的面積 陰影部分 我可以很肯定的告訴你 80%以上的圓和扇形的考題 都是考陰影部分的面積 那陰影部分的面積的話 一般我們都用歌 歌的話主歌詞叫分歌 對吧 補的話我們就是把它補上 能理解吧 所以你把它分割或者用補上 把它變成是一個規則的 好 我們先說第一部分 基本公式 那圓和扇形是兩個 那其中哪一個比較基礎 是不是圓 OK 所以我們先說圓 那什麼叫圓 大家知道嗎 圓形 生活中有哪些東西是圓形的 比如球的一個面 是不是 對 太陽 月亮 對吧 15的月亮 16圓 OK 圓的話我們畫出來就長這樣 對不對 它其實是由一些點組成的 你看這上面是密密麻麻的點 有幾個點 無數個點 非常好 那這些點有什麼特點 這點的特點就是它到中心點 這裏面有箇中心對吧 到中心點的距離是相等的 這就是那個距離 對不對 所以圓在古代叫做一中同長也 圓一中同長也 中就是中心點 長就是長度 就到一箇中心點 同樣長度的這些點組成的 這麼一個圖形 我們叫圓 那圓是很完美的 實際上我們畫出來的都是不夠完美的 有沒有人覺得你能畫出最完美的 也不大可能 你覺得完美的話 你把它一直放大 放大1萬倍 你就看一下它這個邊 又不夠完美了 對不對 所以完美的圓是不存在的 或者說我們當下是不存在的 好 其中的話這個長度的話 我們叫做半徑 用r表示 半徑 哪個長度 就是中心點到圓上的點這一段 這個線段的長度 我們叫半徑 對吧 半徑用r表示 那半是一半對吧 那有一半說明有不是一半的 不是一半的是什麼 不是一半的就是整個叫直徑 直徑我們用d表示 直徑 直直的直徑對吧 比如說舉個例子 哪條是直徑呢 就這一條 能看到嗎 這樣的一條我們叫直徑 那直徑跟半徑有什麼關係 大家告訴我 直徑 就是半徑的r倍 所以有一道題目裏面 如果告訴你直徑是10釐米 那半徑就是5釐米 能理解吧 好 那中心點叫圓心 對吧 圓心我們一般用o 或者用c 等等來表示 圓c圓心 ok 那有了圓心 有了半徑 有了直徑 這些我們都知道了 對吧 那經常用o會多一點 因爲c要用來幹嘛 c要用來當週長 對吧 當週長 好 那我們就知道了圓了 對吧 第一個 它的基本的定義 那第二個的話 知道圓之後 我們要看它的公式呢 對吧 要知道公式 好 那大家想一想 我們在學長方形和正方形的時候 學了它的什麼公式 周長公式 對吧 非常棒 還有呢 面積公式 對吧 好 那周長我們先想想 圓的周長怎麼求 有些老師這沒法求啊 你看 一個圓它是這麼標準的 對吧 太標準了 你看它這麼標準的一個 的一個圖 你怎麼可能去畫它呢 你畫不出來 那也量不了啊 對不對 所以其實我們的古代的人 其實就已經在研究這個圓的周長了 就一直在研究了 能理解吧 那怎麼研究啊 很簡單 它就去 找一條繩子 那繩子的長度 我們提前是可以量出來的吧 對不對 好 繩子的長度量出來之後 把它弄成一個最接近圓的圖形 然後這時候再量它的什麼 量它的直徑 量它的這個直徑D 也是找到 周長 和 直徑的關係 然後發現了一個很神奇的結論 什麼結論啊 就是用周長來除以直徑是固定的 大概都是三倍多 大約都是三倍多 約等於 3.14 什麼意思啊 就比如說直徑是一米的圓 就是它最後圍成一個直徑一米的圓 對吧 那它的周長大概是3.14米 兩米的圓 直徑兩米的圓 它的周長大概是6.28米 對不對 OK 那大家想到了誰 想到了祖宗師 對吧 祖宗師 祖宗師是用到割圓術 它是用一些圓的內接多邊形去近似的 很有意思啊 它用了極限的思想 對吧 近似也能得出來 3.1415926 到3.1415927之間 對吧 這個這個數叫什麼 這個數我們給它叫圓周率π 大家現在馬上寫一下圓周率π 寫一下π 對不對 那這個是一個無限不循環的小數 也就是說它是沒法什麼 沒法真正寫出來的 你寫個π可能就可以了 這個數字是寫不出來的 因爲它後面不循環 而且是無限多微的 無限多微的 那它大概就是在3.1415926 53589793238 46264338327956 02886 一直這樣背下去 那有的同學可能能背很多位 對不對 那我覺得在小學階段背一背還是有好處的 OK 那我們就知道你看 如果你的c除以d 是等於π的對吧 那c就等於什麼 π×d 好 周長公式有了 我們周長公式就出來了 對不對 也說你個圓的周長 它就是直徑的π倍 直徑的π倍 那直徑又是半徑的兩倍 對吧 所以就是2πr 好 所以周長公式2πr 周長公式2πr 大家跟我多讀幾遍 滾瓜爛熟 2πr 對吧 這個要滾瓜爛熟 真的是滾瓜爛熟的 就比如說半徑如果是1 周長是多少 周長就是6.28 我們的π都用 沒說的話 你都用3.14來算 對不對 r等於1的時候 你這個c大概就是6.28 好 那大家算一下 r等於2的時候 c大概是多少 12.56 就二倍 還用想是吧 不用真的去想 對吧 OK 知道吧 好 所以周長公式知道怎麼來的 它其實是用周長除以直徑 發現一直都等於一個固定的常數π 三連擊 那你反過來周長就是直徑乘π 所以就πd 也就是2πr 對不對 好 所以原來周長有了 好 那原來周長有了之後 我們就要說到面積了 是不是要說到面積了 你知道周長怎麼求面積 有人說老師這沒法求 那這時候用到一個很好的思想 近似 對吧 就近似 又在取極限了 好 那大家看一下我們的屏幕上 看它是怎麼算的 來看過來 任意一個圓的周長 跟它的直徑的比值是一個固定不變的數 我們用希臘字母π表示 這叫圓周率 這第一個 所以周長公式有了 那第二個面積的話 來很有意思 來大家一起跟我一起看一下 面積是怎麼推的 我們說一個圓是很完美的 對吧 現在我們把它看成是一個披薩 看成一個大餅 大大的餅 然後把它切成一條一條的 這種接近三角形的 切完之後 那我們把這些黑的和白的 對吧 交錯的這樣 這樣拼 對吧 好 那你想象一下 如果你切得越細 你最後得到的這個 右邊這個是不是越接近長方形 切得越細越接近長方形 而且什麼 而且大家看一下 你看 整個圓的周長是2πr的 對吧 我們剛剛推出來了 對不對 那麼我們的白的和黑的 它的這一條的和 是不是都是πr 都是πr 這邊πr 這邊也πr 對不對 都是πr 2πr加πr等於2πr 是不是 所以我們得到的這個近似的長方形 它的長接近πr 那它的寬呢 它的寬是不是很接近半徑r 對吧 這一段呢 這一段不就是r嗎 對吧 我給它稍微加粗一點 OK 所以它的面積就是 長 乘寬 πr乘r πr方 我們就這麼寫 OK 知道了吧 好 所以面積公式也出來了 πr方 OK 好 所以圓的周長圓的半徑都是這麼推出來的 大家一定自己也推一點 你聽完之後再去推 沒關係 對吧 你一定要去推一下 好吧 好 我們把這個跟之前的公式也回顧一下 長方形的周長來 長加寬的和怎麼樣 乘2 正方形呢 邊長 乘4 對不對 其他的就沒了吧 啥也就沒了 那面積呢 面積呢 面積在長方形了 長乘寬 對吧 正方形呢 邊長乘邊長 對不對 那有同學可能選擇平行四邊形了 平行四邊形 那就是底乘高 對吧 對不對 三角形呢 底乘高除以2 梯形呢 上底加下底的和乘高除以2 對吧 你把這些公式整理到一起 整理到一起 加深一下理解 互相之間對比一下 你會發現我們在推圓的面積公式的時候 我們其實也用到了長方形的面積公式 你看是不是 OK 好 所以圓都知道了吧 好 那我現在問你 如果半徑是一釐米 那面積應該是多少 大家算一下 非常棒 面積就應該是多少 π乘1的平方 1的平方是1 3.14平方釐米 能看懂嗎 對不對 此時的面積就是3.14平方釐米了 OK 好 那半徑是2 你也來算一下 所以我們有一些3.14的倍數 大家要滾瓜爛熟 這是圓 那扇形是什麼 我們一般畫扇子 最早的時候 對吧 我們腦海裏面的扇子 是不是都是這樣的 你看我畫一個賊一一標準的扇子 這個扇子其實就是什麼 圓的一部分 是不是就是圓的一部分 對吧 所以扇形其實就是圓的一部分 很好理解 OK 那你畫一個圓 比如說我們畫一個圓 那扇形呢 那扇形可能就是它的一部分唄 你看是不是 比如說這個 看到沒有 那這時候我們就要知道什麼 我們就要知道這個圓心角 n到底是大概是幾度 你知道它是幾度 你才能知道它佔圓的幾分之幾 對吧 好 那n如果表示圓心角的度數 大家看一眼 那我們扇形的弧長 哪個是弧長 就這一條 這個扇形這一段到這 從這到這 你看看它相當於什麼 是不是屬於圓的一部分 看到沒有 對不對 整個圓的周長 把它分成360份 它佔了n份 所以就是360分之n乘2πr 2πr是什麼 非常棒 2πr是我們的圓的周長 對吧 很好理解 對不對 這叫弧長 扇形的弧長 那扇形這個面積呢 也是一樣 我們把整個圓的話平均分成了360份 看它佔幾份 所以πr方乘個360分之n 就完事了 OK 那你想象一下 如果你來出題 我們常見的n 這個度數要用幾度 常見的是幾度的 想象一下 你要好球 你要跟360是個倍數關係 360要是n的倍數 所以我們常考的n有這麼幾個度數 90度 180度 120度 對吧 就常考這幾個哥們 45度也考到是 對不對 我們把這幾個稍微梳理一下 你看 如果是90度 它就佔整個圓的 1 4分之一 180度就是1 2分之一 120度就是1 3分之一 這個就是1 8分之一 這幾個角度挺常考的 OK知道了吧 好 那說1000到1萬 很多同學都迫不及待想做一下了 對吧 來 我們k1到t來 下列題目中的π都取3.14 來給大家三分鐘 三分鐘 開始吧 看誰算得又快又準 那我說開始的時候 你就趕緊暫停開始k了 OK 來算算了嗎 我們一起來看一下 以這一個圓的半徑是3釐米 那它的周長是幾釐米 腦海裏面閃過周長的公式 來 我寫在這 c是2πr 面積s呢 是πr方 別忘了 好開始算吧 算算了吧 隨周長就是2π乘3 對吧2πr 那這時候2π乘3 你就怎麼 你就把數字先算了 23的6 隨就是6π 18.84 釐米 算出來了嗎 應該算的好快 對吧 那面積呢 面積呢 πr方 π乘3的平方 那就是9π 3的平方是9 不是6 33的9 不要有點錯 多少 28.26 這時候單位是平方釐米 表心啊 28.26 好這是第一個呢 都對了嗎 出頭反省一下啊 ok 好這是求周長求面積的 那如果反過來呢 反過來我知道圓的周長25.12 你會想到什麼 你看我知道周長了 是不是就可以求半徑了 把它除以什麼 把它除以2π 好 25.12除以2 除以3.14 沒多少 其實這種都是可以快速算的 你看是不是 估算啊 25.12 你覺得大約是3.14幾倍 肯定是個整數的嘛 8倍吧 3824對吧 好8除以2等於4出來了 半徑4釐米 因爲25.12正好就是3.14的8倍 好所以面積是多少 πr方 乘4的平方啊 你看懂嗎 這時候的半徑是4了 這就16π 50.24 怎麼算怎麼算會更快一點啊 這個需要算嗎 不用爲什麼 16個π 你前面是不是8個π 是25.12 所以就是它的2倍 25.12的2倍50.24 也是參考的一個數字啊 參考的一個數字 你們對了嗎 太棒了 答第三問 第三問和第四問就是扇形了哈 一直扇形的半徑是6 那扇形的半徑就其實就是那個圓的半徑是6 是吧 啊 圓的半徑是6 好 ok ok ok 然後圓心角是60度 60度看他60度想到了嗎 1 1 6 是不是1 1 6 對吧 所以第一個空就是1 1 6 那胡常呢 胡常怎麼算呢 胡常還記得嗎 記得呀 胡常我們也是跟n有關嘛 360分之n嘛 對吧 所以是六分之一的二πr 所以就是六分之一的二π乘6 那不就剩二π了嗎 對不對 半徑就是6嘛 所以就是6.28釐米 6.28 不長 面積呢 面積是六分之一πr² 所以我們寫上面啊 六分之一的π乘r² r是6 是六分之一的吧 OK 那等於6π 6π就是18.84 對不對 好 但是說老師怎麼這還空一個周長啊 你剛剛沒有教我們周長 好那我現在要問你啊 你看 比如說我有個扇形是長這樣的 對不對 長這樣的啊 你看 然後我們說這段弧長是 360分之n的2πr 好 那弧長是這一段 那周長呢 周長跟弧長差了什麼 看誰火焰兢兢 非常棒 是不是差了什麼 差了兩個半徑 是不是 所以只要再加個2r就行了 所以在求周長的時候 我們把這個弧長加2r 加兩個半徑 對吧 因爲周長是一週 一圈的 你弧長的話就是那一段的 所以我們再加12 等於18.28 所以周長要小心 周長要小心 沒問題吧 好那把第四個也搞定了 快 以至一個扇形的半徑是4 面積是12.56 好我們先求一下啊 它面積怎麼就有了呢 360分之nπ乘4的平方 會等於12.56 那我們就立馬就知道了 360分之n是多少了 對吧 12.56其實是4個π 對吧 我們3 4 12 對吧 那你這邊πr方是16個π 所以說明它是佔四分之一的 能懂嗎 它佔整個圓的四分之一 因爲16和4是四分之一的 對吧 所以它肯定n是90度的 那要求弧長就是四分之一的 2πr 所以是6.28 對吧 4和4一定先算先約掉 4和四分之一乘完等於1 不要傻算弧長 那中長怎麼辦 也是一樣的 再加上兩個半徑 對吧 是4.28 就出來了 所以這道題目的話計算要很細心 特別是很多同學剛學這個 是不是很容易錯 發現沒有 ok ok ok 好 那這道題目我們就說到這裏 好吧 好 那在算的時候 常見的一些數一定要滾瓜爛熟 那接下來我們來看一下它的不同的應用 來比如說看這題 這有個圓形的花壇 直徑是10米的 有兩隻小蜜蜂 看到了嗎 一個沿着外面飛了一圈 那飛了多少啊 另外一個是沿着這個裏面兩個圓 分了一個八字形 又飛了多遠 那大家求一下 你們先想一想 甲乙兩隻小蜜蜂 你覺得哪一隻飛的遠 甲就是那個大圓 乙就是中圓和小圓 趕緊你選一個快 可是老師不對呀 裏面的兩個圓的半徑沒告訴我 直徑沒告訴我 這不玩犢子了嗎 是吧 我們只知道大的圓直徑是10米 對吧 好 我們把這個中的圓的直徑叫第一 小的圓的直徑叫第二 那是不是第一加第二 是不是10米 對不對 非常棒 ok ok ok 好 那對於甲來說 還第一問 甲跑的是不是就是大圓的周長 派地 我們直接來派地 10π 31.4米 哇 它飛的挺遠的 30多米 小蜜蜂 不是 10π π取3.14 這時候就不要用2π了 爲什麼 人都直接告訴你直徑了 你就用派地 就是你這個周長 它既等於派地 也等於2π 這時候你要靈活使用 不要傻乎乎的 好 那乙呢 乙呢 大家告訴我 乙的話應該是兩個的周長加起來 就是π第一加π第二 能看懂嗎 是不是 好 那把π提出來 π的括號裏面是第一加第二 沒錯了 哦 也是10π 是吧 也是31.4米 能看懂嗎 所以你說甲跑得遠或者乙跑得遠都錯 應該是什麼 一樣遠 對不對 那我再記得作答 對了嗎 OK 那當然這種題目的話 它肯定有的時候會怎麼樣 比如說我飛的不是一個圓 而是什麼 半個圓 你看看你是不是也能看出來 一樣的吧 它飛半圓 它也飛兩個半圓 那它們入境也是一樣圓 太棒了 OK 好 那接下來我們來一個不一樣的哈 我現在知道了圓的面積公式 圓的周長公式 扇形的面積公式 扇形的周長公式 來大家PK一下這題哈 三分鐘 來吧同志們 三分鐘搞定它 趕緊暫停開始K一下吧 第一題第一題求圓環求圓環怎麼辦 有人說老師不對不對不對 你沒教圓環 你怎麼能問圓環呢 這不科學 對吧 這很數學 那你告訴我 你看這個圓環我們怎麼求啊 你就看這個圖 它在大圓裏面 它在小圓外面 所以就大圓減小圓 是不是 所以面積就是π乘12的平方 減掉π乘8的平方 來看懂嗎 πr² 面積是πr²了 12的平方是144 144π減掉64π 這時候要把3.14帶進去嗎 帶進去你就傻了 你記住圓和扇形裏面π一定是在最後 最後算的 π一定一定要最後算 前面算都傻 知道吧 容易錯啊 你看減完之後是什麼 80個π 80個π都能可算的 我們剛剛8個π是25.12 所以這是251.2 看到沒有 對不對 所以如果你就前面就算了 是不是就容易錯了 你現在最後的時候再算 是不是賊happy 能懂嗎 知道了嗎 對了嗎 OK 好 這是圓環的 好下一個來動手 快 這算多少 一塊麪積28.26的一個圓形鋁板中 裁出了7個同樣大小的圓形的小鋁板 餘下的邊角料 對吧 OK好 那我先問大家 我先問大家 我們假定 大的圓整個大的圓的半徑是大的半徑r 對吧 小的圓 是小的半徑r 那我的問題是 大r跟小r是什麼關係 一個大r等於幾個小r 能很容易看出來嗎 是不是三個你看 這個大圓的半徑是不是頂一個小圓的直徑 再加上一個半徑對吧 太棒了 是不是三三倍的小啊 是不是 OK好 那有了它之後我問你 那s大 會等於幾個s小啊 這應該減幾啊 半徑是三倍 面積是幾倍啊 s是什麼 πr方是吧 所以你就相當於半徑乘半徑 三三得九能懂嗎 所以是 九倍關係 也就是這個大圓頂九個小圓 對吧 哦 那這好辦了吧 是不是 整個是28.26 你相當於是平均分成九份 除以九 對吧 那你是挖掉了七個 是不是還剩兩份 能理解嗎 把它看成九份整個大圓看成九份 七個小圓每個一份 對不對 好 那你把這挖掉的剩下不是兩份嗎 9.7不是買二嗎 對不對 所以6.28 我這 所以計算量一定是不大的 你要在那算半天計算量賊大 那一定是你的問題 有的人可能還把這個圓的面積要求出來 是不是28.26 對吧 平方釐米的話 它是九π嘛 那這個半徑就是三了 大R就是三了 小R就是一呢 也可以 那我其實不用求 我就知道整個九份 對吧 他挖掉了七份 剩下兩份完事了 所以除以九乘二完事了 懂了嗎 太棒了 那現在我們回頭來看這個 你會算嗎 會吧 對不對 把分成16等份的圓形紙板 拼成了一個電四的梯形 對吧 上面七份下面九份 梯形的上下底加起來相當於什麼 相當於πR 對不對 那梯形的高是二R 對吧 你看梯形上下底加起來 是不是這些白的 白的的這些骨腸 對就是πR 然後高呢 高的話就是一個R兩個R二R 對吧 就完事了 二R就是直徑 就直徑 那第二個 那我們可以快速說了 你用一張長32釐米寬20釐米的長方形紙 最多能剪幾個 半徑是兩釐米的圓形紙片 剪幾個 看看剪幾個 半徑兩釐米的話 這時候小心啊 小心啥呢 這時候的話 你這個 你看 你看它 它半徑兩釐米的話 它直徑是四釐米 對吧 它直徑是四釐米 所以你要去剪它的話 你要有一個邊長四釐米的一個正方形 纔夠它剪出來 是吧 所以寬這邊20吹4等於5 長這邊32吹4等於8 所以你能剪出五八四十個 能看懂嗎 對了嗎 very good 有同學已經偷偷算了 太棒了 ok ok ok ok 好 那老金走完 老金走完 什麼動物最容易被貼在牆上 快說 B5 很多同學說B5是嗎 是嗎 那我們就說答案了哈 哎呀 海豹 對吧 海豹 ok