小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用五年級學生，全120集 P7 - 五年級春季07-分數四則運算（上）

hello 大家好 我們又見面了 那今天講什麼呢 來看過來 分數的四則運算 對吧 那我們說分數的話 在整個考試裏面會考至少20分以上 所以對分數這一塊一定要很熟 對吧 它的加減 它的乘除 那四則運算其實就是加減乘除 加減乘除 好 我們先稍微回顧一下 OK 好 我們怎麼回顧呢 來看過來 對對對對對 那當然不是通過這兩道題目回顧啊 而是說我們今天講完之後 這兩道題目大家能拉一下它 好吧 2019又2020分的2019 所以2019底下是這一大坨 你現在可以先試一下 對就學完分數加減乘除之後呢 理論上你各種題目應該都會做了 是不是 那這兩個你會嗎 OK 那我們回顧一下 第一個的話 我們會講基本的四則運算 那第二個講巧算 那巧算裏面我們還是用考的最多的那個 誰啊 分配率 以及它的好哥們 提取公元數 因爲分配率和和我們的提取公元數的話是 他們是什麼 他們倆是相當於是相反過來的 這個率這個率 所以這兩個要放一起來計 放一起來計好吧 OK 我們先說第一塊 分數的四則運算 那四則運算的話 大家記不記得 這個可以記得哈 我們先說加減分數的加減 我們主要是用一個方法叫什麼 叫通分 主要用通分 那通分的目的是要幹嘛 通分的目的是要把它變成是分母是一樣的 對不對 變成一樣的之後呢 它就能算了 對吧 那比如說 a分之b加減a分之c 就等於a分之b加減c 這是同分母的 也就是說同分母的分數相加減的時候呢 分母不變分子相加減 好 那如果不同的分母的 我們就得用通分了 那通分這時候就會用到什麼 用到我們分數的基本性 對吧 a分之b 就會等於什麼 a乘c分之b乘c 其中這個c是不等於0的 那同學老師你不是 不是可以乘也可以除嗎 那你想象一下 你從左往右看是乘 從右往左看是不是就是除啊 對不對 所以分數的分子分母同時乘或者除以一個不爲0的數 分數的大小是不變的 大小是不變的 好那再舉例子 簡單舉個例子啊 上面的話就是1 1 5 加2 2 5 等於3 3 5 底下的話就是1 1 2 加1 1 3 等於5 5 6 這個都是滾瓜爛熟的啊 就你把2和3化成公分母 公分母 好 所以加減是通分 那乘除呢 乘除大家記得嗎 乘除也主要就是一個詞叫約分 能約則約 對不對 我們分成了好幾種 對吧 那一般來說我們是把除法轉化成乘法 啊 所以主要是要把乘法搞清楚就可以了 那乘法的裏面的話我們分成這麼幾種 分數乘整數的 那把它乘到哪去啊 把它乘到分子去 對吧 好分數乘分數的 還有帶分數的 還有更復雜的整體的多個分數 連乘的 啊 整體的 或者連分數的連續的 對不對 從簡單到難 一步一步我們都一步一步的過過 都過過了啊 都要滾過來說 那除法怎麼辦 除法我們就把它化成乘法 對不對 除以一個不爲零的數等於乘它的倒數 比如說除以3 8分之3 就變變成是乘什麼 乘8分之3 OK 這是分數的四則運算 四則運算的基本的 那除此之外還有什麼 還有我們的運算率是吧 那你覺得我們整數的運算率在分數適不適用 你看整數有加法的交換結合 對不對 那乘法的交換結合 還有乘法的分配 那你把它放在分數這邊也是適用的 也是適用的 OK 所以第一塊的話其實是一樣的 你掌握了分數運算的基本方法之後就可以進行混合運算了 那它跟整數是一樣的 那當然如果你有括號 你要先算括號 對吧 畢竟括號是老大 對吧 括號是老大 有括號要先算啊 好 最後一定要化成最簡單 先換最簡 好 所以就是先括號再乘除再加減 最後再化減 這是大概的一個思路 能理解吧 OK 沒問題啊 那來吧 同志們 第一道題目給大家多少啊 三分鐘 來試一下 開始 那我說開始之後 大家記得要先按暫停 對吧 按暫停 你先算一下 你別傻乎乎的 在那就是一直往下停呢 好吧 你算完之後再來聽 好 算完了嗎 OK 你自己看看你用了幾分鐘哈 用了多久 是不是在三分鐘之內 好 第一個十五分之八乘十六分之五 加二十七分之五 除以九分之十 第一個看到大家想幹嘛 想提取公平數是吧 那當然不一定能提取啊 不一定能提取 別提 我們寫個解寫個冒號 這樣顯得比較有儀式感 對吧 然後就K他來 原式會等於什麼 你看這是不是很有儀式感 好 首先前面這個乘法 我們可以先不動 你也可以直接就開始約份算了 但是根據強迫症原理 我可能會先不動 我先把後面那個除了 除以九分之十變成乘十分之九 我也先動它 當然不影響啊 不影響 好 那這樣我們就可以約份了 來 八和十六 他們倆同歸於盡了吧 同時除以八 好 五和十五同時除以五 五和十同時除以五 九和二十七同時除以三 那除以九 對不對 好 我們看看 這個約份很爽 約的都差不多啊 左邊是二三的六 六分之一 右邊是二三的六 六分之一 所以它就等於三分之一 你對了嗎 沒問題吧 OK 所以第一問的話不是特別難哈 不是特別難 好 第二問呢 你們算出來多少 解冒號原式等於 養成習慣吧 好吧 好 三十二乘四分之一 可以直接先算了 對吧 三十二乘四分之一 你就可以來約個分 因爲三十二相當於屬於什麼 屬於分子那一波的 所以它和四同歸於盡 同時除以四 那它得到八 所以就是八加十七 那除以一個分數等於乘它的倒數 所以乘五分就是十二 對吧 所以等於二十五乘個五分就是十二 那這時候又可以約了吧 除以五 所以得多少 六十 OK 沒問題吧 所以這題不是特別難哈 我把這答案標記出來 標記出來 好 那你可以自己對一下 好吧 好 第三題第三題也是一樣 來你們算一下 算出來答案多少 啊 拿到先觀察 然後看看有沒有能簡便的 那當然我們環境其實沒有太多簡便的哈 你看五分之一除以這一坨 那這時候後面這一坨怎麼倒立呀 沒法直接倒立吧 所以你把這個中括號裏面要先求出來它的結果 然後除以一個數等於乘它的倒數 對吧 那括號裏面你看中括號裏面還有一個小括號 那小括號我們發現也沒有什麼太簡便的 所以我們幫先把小括號裏面的先算一下 那三分之二加五分之一的多少 可算一下十五分之 十三 對不對 它要去乘十三分之一 那這個括號留着啊 小括號退成中括號變成小括號了 因爲裏面的小括號已經算完了啊 那這時候又約掉了 你看對不對 裏面的十三和十三約掉了 所以裏面剩下十五分之一 所以它其實就等於五分之一的嗎 乘十五 等於三 OK 也沒有特別難哈 沒有特別難 所以你只要細心 你不要擔心說你這樣會不會算很久 你一步一步來不要太跳步 很多同學明明會算的 結果老想說就多跳幾步啊 也不差那一會兒 對不對 快極是慢 沒問題吧 這是我們的第一道哈 OK好 那要提升難度吧 你看現在的話加減乘除都差不多都見識了 那我們接下來有個哥們還沒見識 誰呀 小呆呆嗎 帶分數 很多同學比較頭疼的帶分數 那帶分數其實就多一步 還有呢 連乘的連乘的 對吧 所以接下來我們提升一下難度 好吧 那他帶把操作室拿出來 那算的時候一定要按順序哈 按順序先乘除再加減 有括號先算括號 對不對 然後有除法 你就先畫一步再寫一步 沒有關係啊 好來看這題 那這裏再給大家三分鐘 來吧 你自己看看你夠不夠 好吧 不夠再哭一會哈 二又三分之二乘八分之一加八分之七加八分之三乘一又五分之三 再乘着一又九分之一 好先看第一題哈 寫個解 寫個冒號 寫個原式 對不對 好那原式等於什麼來 二又三分之二 在這種乘除裏面 你的帶分數一定劃成什麼 假分數啊 所以你你做多了 你就能總結出來帶分數的話 一般來說 如果你在乘除裏面 你就劃成假分數 如果你在加減裏面 你就拆成什麼 他能整數加分數能理解吧 對不對 拆成整數加分數 要分兩種情況 就比如說一又三分之一 如果你設計到乘除 那你肯定要拆再劃成三分之四 對不對 那如果在加減裏面 有的時候你就劃成一加三分之一 然後整數算整數分數算分數各算各的就完事了 好那這個二又三分之二 你看他後面跟着那個是乘號 所以你把它劃成什麼 假分數三分之八乘八分之一 再加八分之七別動了 再加八分之三乘五分之八乘九分之十 好吧 那在我們我們爲了讓這個空更明顯一點 我們往後啊 往後往後好來八和八約掉 第一個是三分之一 第一個乘法是三分之一 第二個八分之七還是不動的 第三個來約一下 八和八約掉 五和十約掉 對不對 三和九約掉 對吧 那你看左邊兩個分數 KO呢對吧 那右邊剩三分之二 好那這時候剩的這三個分數怎麼算快一點 能少一點就看出來吧 沒問題啊 他們倆先算了 他們倆先加等於多少 等於一哈等於一 那就是一又八分之七 反正對了嗎 應該沒問題哈 OK 好那底下大家也算一下快 三分之二 來除以我們的什麼 三十一分之四再減掉九分之四再加十一分之三 減掉一又三分之二除以三再減掉五來除以二又五分之一 那你看這裏面好幾個乘好幾個除對吧都沒有乘 那也是老樣子哈 我們也一步一步算一下 來 寫冒號原式 等於三分之二流的 除以一個數等於乘它的倒數乘四分之三十一 好減九分之四流的 加十一分之三流的 減三分之五除以三怎麼辦 乘三分之一 減五除以甲 除以五分之十一 有人說老師你咋不除以一個分數變成乘它的倒數了 你先把 帶分數換成甲分數對吧彆着急啊 好來一步一步來來 能約約一下來 二和四都除以二哈 所以這是六分之 三十一 減掉九分之 四 加十一分之 三減掉什麼 九分之 五 對吧 再減掉五乘十一分之 也就是六分之三十一 加上十一分之三 對不對減九分之四 減九分之五 減十一分之二十五 有點這意思吧 OK 那這個怎麼算好算一點 我我我把乘除的各寫各寫在一起啊 不相加減的 就這兩個相加的 我們把它他們倆放一起了 那剩下不是三個要相減啊 連減三個好 那六分之三十一留着吧 我們這時候看到後面其實是有可以減變的對吧 就這兩個 對不對 減掉九分之四再減掉九分之五 就像連減就等於減掉他們倆的和就減一 OK寫着 好 那這個加十一分之三 然後再去減掉什麼 減掉十一分之二十五相當於是減掉十一分之二十二 就是減二 哎 還挺好算的哈 前面是什麼 六分之三十一是五又六分之一 好再減個三 五減三等於二 所以是二又六分之一 就出來了 是吧 就能減變一定記得減變 能減則減 否則你這不好算呢 是不是 沒法算啊 沒法算 OK 那通過這兩道題目下來 大家是不是有點感覺了 我們稍微總結一下 你看我們正常的計算的話 一定是先把代化成假 對吧 代分數化成假分數 這個會多一點 然後呢 第二步的話 你再去把什麼 把這個除法化成了乘法 發現沒有 就如果有代分數的話 一般是先化成假分數 這一步比較前面 對不對 然後到最後的時候呢 你再去乘除加減 乘除加減 再去按照我們的運算順序來 那當然在化的過程中要小心 對吧 能減變則減變 那常見的幾個減變的話 我們也稍微梳理一下 有什麼可減變的 比如說你減a減b 你一個數減a再減b就相當於什麼 減掉ab的和 這也挺常見的 對不對 還要代符號搬家 a減b加c減d 那你也可以什麼 a先加c 再減掉b再加d 這都是比較普通的 挪一下順序 挪一下順序就完事了 一步一步來自然能做出來 ok 那拿出查考紙 我們來我們來看看 開頭的挑戰 好吧 有的人可能覺得說 目前這些題目 不是特別難 來我們來挑戰一下 好吧 看看 這種實際應用題目會怎麼樣 來 先看2020年秋的這道期末考試題 2019又2020分之2019 除以2019 來多少 開始 這道題目兩分鐘開始 楊樹老師怎麼看着有點眼熟 對之前的題目是放後面 有沒有印象 比如說這樣 2019除以 2019又2020 分之2019 那你說他們倆是什麼關係 親戚關係 那倒也不至於 他們倆不就是倒數關係 對吧 那我們先算這個 題目的這個 你們算算算 那這怎麼辦 先觀察 有待分數 有待分數第一步 一定化成假分數 來 解冒號原式 好開始了 一定要格式要寫好 原式首先是 2020 分之 2019乘2020 加2019 再除以2019 對吧 我們先彆着急寫後面的 那這個的話怎麼辦 你把分子化一下 2019乘2020 再加2019 那不就是 2019乘 2021 你可以理解成什麼 2021個2019 好 他再乘2019分之一 就等於什麼 2020分之2021 你們算對了嗎 那當時我們在講分數乘法跟除法的時候 其實也偷偷說了 這種類型的題目的這個 結論我不知道大家記不記得 他就等於2021 分之2020 這個 便是 對吧 不用再算了 因爲他們倆就是一個倒立關係 那我們說的小結論是這樣的 如果一個A 去除以A又A加1分之A 你看 也說有點AAA 整數都是A 分子也是A 對吧 整數兩個A 再分子一個A 然後分母是A加1的 那他的結果就是什麼 A加2 A加1 A加2分之A加1 對吧 那這個的話你稍微化解一下就出來了 也不用去記結論 記了如果沒記好反倒錯 對不對 那我們最多也就是在 已知結論的情況下 我們馬上出一道題目 他還能開K一下 好 大家看看啊 隨便寫一個好吧 你馬上說出來 2099 OK 2100 分之2099 除以2099 哪個了 算一下啊 快點 不用真的去算吧 等於 2100 分之 啥呢 2101 對吧 你要搞清楚他到底是哪個放前面 是帶分數放前面 還是帶分數放後面 OK 好好好 這第一個好 來第二個還是兩分鐘來 2021年合肥的得到點 二等平方減一分的二等平方乘 三等平方減一分的三等平方乘 到99的平方減一分的99的平方 袁碩老師你別急啊 我現在剛算到 11的平方 還沒算到99的平方呢 那等你這個算完 你都不知道幾年級呢都 是吧 這肯定不能這麼搞啊 所以你得觀察 那你觀察出什麼了 觀察出它的分子都是平方 二等平方三等平方四等平方五等平方 一直到99的平方 它的分母都是什麼 平方減一 平方減一呀 平方減一這其實用到一個知識點叫做 平方差公式 我不知道這個大家知道嗎 對吧 因爲1也叫做1的平方嘛 是不是 所以其實就是兩個數的平方的差 好那根據這個公式 兩個數的平方的差 a方點b方 會等於 兩數和 乘上兩數差來 這個很容易證明哈 很重要的這個公式叫平方差公式 我們肯定要用它的號碼 是不是肯定得用它了 是的沒錯啊 那它的話 它的應用有正的應用 和反的應用 兩種拷法 那這道題目是正的應用 就是讓你求兩個數的平方差的哈 那來 第一個上面是2的平方 底下呢 a方減b方 此時的a是不是2 b是不是1 哦 2方減1方 那就等於2加1 2加1 3 2減1 1 是不是三等於1 好第二個3的平方留着 3的平方減1的平方呢 此時的a是不是3 b是不是1 3加1 4 3減1 2 3乘1 4乘2 好 好再來 再寫幾個以免你看不清啊 4的平方呢 5乘3 對吧 4加1 4減1 5的平方 5加1 5減1 還要寫嗎 6的平方 6加1 6減1 不想寫了呀 那後面再寫一下 98的平方 98加1 98減1 99的平方 99加1 99減1 好 就寫到這兒 那現在大家約分一下 這不是在逗大家對吧 那這怎麼約啊 你看 分子是兩個2 兩個3 兩個4 兩個5 兩個6 兩個7 兩個8 一直到兩個99吧 也就是說2到99都是兩個 分母呢 分母的話我們前後分開來看啊 前面是從3開始 3 4 5 6 7 一直到100 對 後面是12345 一直到98 那你這樣你寫一寫 你看分母 分母是123 一直到98 還有呢 3 4 5 一直到100 是吧 9899100 看到沒有 這裏面有哪一些也是兩個的 三也兩個 從3開始一直到98都是兩個 兩個3 兩個4 兩個5 一直到兩個98 1和2只有一個 99和100也只有一個了 是不是 OK那這樣的話 從3到98 這些的平方是不是約掉了 能懂嗎 那我們看看分母剩什麼 剩下12 99 100 那分子呢 分子還有兩個2 兩個99 是不是 能看懂嗎 你3和93到98是不是都約掉了 非常棒啊 好我們看看 那這時候有一個2又約掉了 有一個99又約掉了 對吧 那分母剩下1和100 分子剩下2和99 對不對 那就約掉約完50分之99了 所以答案就出來了 50分之99 那50分之99 這個哥們就約不了了 就這個就真的約不了了 好吧 這就是正着考的 然後它一般會考很多個 很多個平方乍號 那我給大家出一個反着考的 反着考的 比如說最簡單的就是49乘51 需要你口串對吧 2499 那爲什麼 它跟平方乍公式有什麼用 你看反着就相當於是 它要是兩數合成兩數乍 兩數合成兩數乍 要等於兩數的平方乍對吧 那你說這兩個會是兩數合成兩數乍嗎 會是吧 它是什麼 它是50加1 乍呢 它是50減1 一般和 a加b和a減b 它會等於 a的平方 減掉b的平方 也就是2500 減1 等於2499 對不對 好同樣道理48乘52呢 來 大家口串一下 哪個 非常棒 2500減幾 不是減2 2的平方是2的4 2496 以此類推 那也會涉及到平方和公式 對吧 跟平方有關的 我們後面會有專門來講 因爲跟平方有關的還是有點難的 它有很多的性質 平方差公式 平方和公式 完全平方公式 甚至立方和公式 我到時候一一都會給大家講到 不用擔心 OK 那算這麼多的話 OK 下回大家見到這個平方減1的 是不是能想到平方差公式 把它記到你的這個筆記本里面 好吧 然後我們接下來準備緩一緩 怎麼緩一緩 腦筋急轉彎又出來了 賊簡單的 來 小白加小白等於什麼 10秒 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 想出來了嗎 太簡單了是吧 不是大白 小白兔 爲啥 咋就變小白兔不是小灰兔呢 因爲這個兔其實就是 TWO英文的 英文的 簡單吧 而且一點都不坑 當然有興趣的同學 大家也可以跟我出這個 腦筋轉彎 還有比如說 這有好幾個3 這有好幾個5 打一個成語大家猜一下 有同學猜出來了 三五成群 太棒了 對不對 非常棒非常棒 OK