Louis Le Grand -se préparer aux classes prépa en maths -irrationalité de e ex251

bonjour à tous aujourd'hui on va se préparer donc pour le supérieur pour les classes prépa avec la formule de Taylor avec reste intégral c'est une formule que vous allez revoir l'an prochain elle est au programme donc de l'année prochaine mais on peut tout à fait la démontrer en terminal avec des notions comme les dérivées donc il faut par contre avoir l'idée de ce que c'est que les dérivé nm donc c'est l'occasion d'en parler ensuite on a besoin de l'intégration par partie voilà et je vous montrerai rapidement à quoi ça peut servir et quels sont un petit peu après quels sont les chapitres qui vont justement se servir de ça pour développer un petit peu l'analyse donc on est parti avec une formule donc on prend une fonction f qui admet des dérivées de tout de tous ordres alors qu'est-ce que c'est que des dérivées de tout l'ordre alors vous avez appris à dériver hein donc si je prends par exemple la fonction exponentielle et bien vous pouvez la dériver une fois il y a pas de problème c'est dérivable sur R vous pouvez la dériver deux fois donc on appelle ça évidemment vous connaissez la dérivée seconde chapitre sur la convexité mais on peut aussi dériver trois fois on appellera ça la dérivée trè alors on peut encore mettre trois petits ici donc qu ce qu'on appelle donc des apostrophes on dira F 3e hein on dit pas F prime prime prime parce qu'après on s'en sort plus et donc ça on va le noter avec un 3 mais pour ne pas confondre avec puissance 3 on va mettre 3 entre parenthèse d'accord donc ça sera la dérivée 3è donc mais si on redérive cette dérivée si on peut bien sûr pour l'exponentiel a pas de problème on obtiendra la dérivée 4e alors la dérivée pour l'exponentiel c'est toujours la même donc c'est pratique justement pour ça que c'est une fonction qui est très pratique pour illustrer facilement des propriétés comme celle-ci mais on pourrait très bien prendre une autre fonction par exemple la fonction cosinus si je dérive une première fois bon ben vous savez que ça donne moins sinus je dérive une deuxè fois j'ai la dérivée seconde ça me donnera donc moins cosinus je dérive une troisè fois j'ai donc moin moins sinus donc je reviens enfin je viens sur sinus je dérive une 4è fois et je reviens ici sur COS donc vous voyez que c'est si je redérive après j'ai un cycle ici donc les dérivées nm du cosinus et bien c'est un cycle de longueur 4 on revient alors évidemment plus la fonction est compliquée plus les dérivés sont difficiles à déterminer donc parfois c'est même quasiment impossible de trouver une formule sauf bien sûr voyez dans des cas comme ça exponentiel cosinus alors les fonctions du type 1 sur par exemple 1/ 1 + x on sait faire aussi donc voilà c'est des propriétés qui vont être utilisable hein pour des fonctions de référence et donc il seront très pratiques pour donc la fonction exponentielle on vient de voir donc que la dérivée nm c'est toujours exponentiel de X quel que soit N appartenant à un grand N alors par convention la dérivée ici avec un zé he c'est dérivée on va dire 0e c'est donc tout simplement F Dex c'est comme si vous n'aviez pas dérivé et la dérivée donc avec un 1 ça sera F prime vous avez compris le principe donc pour l'exonentielle toutes les dérivées nm Val donc c'est toujours l'exponentiel donc la formule ici qu'est-ce qu'elle nous dit elle nous dit que FX donc l'exponentiel sera égale à la somme pour k allant de 0 à N des dérivées nm de l'exponentiel en é0 mais c'est toujours exponentiel donc ça fait que de l'exponentiel 0 qui vout donc là vous avez du 1 sur k factoriel x puissance K plus une intégrale de 0 à X de X - t puiss n n factoriel et donc ici exponentiel de T DT et donc vous voyez que cette euh décomposition il y a deux parties la première partie qui s'appelle un développement limité he c'est le développement limité de l'exonentiel ici en ZrO et ici vous avez ce qu'on appelle donc le reste intégral est-ce qu'on peut voir c'est que quand on se place très près donc de 0 et bien ce reste intégral hein si on se contente vraiment d'être sur un voisinage é0 et bien ce reste il tend vers 0 quand M tend vers plus infini donc ça veut dire que l'exponentiel en fait va ressembler de plus en plus à ce développement limitéin qui est si on le développe si on l'écrit en extension 1 + x + x²/ 2 + x Cu sur 6 et plus vous rajoutez de termes et plus vous serez sur une approximation exponentielle C en voisinage zéro qui est intéressante voilà et alors là je l'applique à exponentiel et donc ça s'applique à toutes les fonctions qui ont des dérivées de tous ordres et on peut comme ça trouver des qu'on appelle les développements limités donc des polynômes qui s'approchent de façon assez précise de nos de nos fonctions donc la démonstration elle une récurrence elle est pas difficile hein vraiment une récurrence sur n sans grande difficulté on est parti quelques remarques avant de démarrer pour l'initialisation on va avoir besoin de zéro facteur 0 factoriel c'est 1 donc pour les f de termial je rappelle que si on prend n supérieur égal à 1 donc on va prendre un appartenant à N étoil et bien N factoriel c'est 1 x 2 et cetera encord jusqu'à n c'est le prod entier de N donc ça veut dire que 1 factoriel vous avez qu'un nombre 2 factoriel vous avez 1 x 2 donc ça fait 2 3 factoriel fera donc 1 x 2 x 3 ça fera 6 4oriela 24 et cetera d'accord ensuite une chose ente c'est que pour tout x appartenant à r quand on a des formules de ce type et bien x^iss 0 est considéré comme étant égal toujours 1 même si X é= à 0 d'accord ça veut dire qu'ici on considérait que 0^ 0 vaut 1 important pour pouvoir bien appliquer ces formules ensuite on va avoir besoin des dérivées nè donc comme je l'ai dit pour tout x ici la fonction est définie sur R ici la dérivée donc 0e ici 2 x c'est donc tout simplement FX comme je l'ai déjà dit la dérivée donc donc première donc ici ça sera donc f'e X et ainsi de suite vous avez compris le principe une chose aussi dont on va avoir besoin c'est que si on a n + 1 factoriel donc c'est le produit des entiers de 1 jusqu'à n + 1 donc je vais avoir FO n x N + 1 et donc vous avez à l'intérieur ici n factoriel donc n + 1 factoriel ça sera n + 1 multiplié par N factoriel donc c'est une façon comme ça de passer de N factoriel n + 1 factoriel dont on va avoir besoin dans notre intégration par partie on commence donc notre récurrence initialisation donc pour n ég 0 hein alors on va regarder donc ici la Somme et notre donc elle me donne quoi cette expression donc c'est la somme pour k allant de 0 à 0 donc des FKM 0 sur k factoriel x^iss k plus intégral de 0 à X je regarde le membre de droite en remplaçant N par 0 ici j'aurais donc F1 de T DT ce qui veut dire que cette somme donc ici on va de 0 à 0 il y a qu'un seul terme je remplace donc K par 0 j'ai donc ceci 0 factorel x^iss 0 plus alors je commence mon calcul ici on a une puissance 0 je l'ai dit ça vaut toujours 1 donc 1 sur 0 factoriel qui vaut 1 F1 c'est donc F prime t DT ensuite F0 je vous l'ai dit c'est donc F de 0 donc ici F de 0 sur 0 Facte é qui vaut 1 et x^ 0 vaut 1 voà donc plus l'intégral de 1 de 0 à X de f'e T DT donc là il me reste uniquement F0 plus mon intégral donc il faut une primitive de l'intégrand donc F prime une primitive on va prendre tout simplement F donc je met F t de 0 à X donc ça me donne F0 plus remplace d'abord par X FX moins je remplace par 0 F0 vous voyez qu'il reste exactement FX donc là propriété elle est vrai hein donc vrai pour n = 0 hein vous voyez juste des utilisation de toutes les petites remarques que j'ai faites pour la valeur particulière de K é= à 0 pour les réédités donc on prend n appartenant à grand N tel que donc notre propriété est vraie voilà donc je l'ai réécrite et ce qui m'intéresse c'est la part ici ce qu'on appelle ici le reste intégral d'ailleurs cette formule donc c'est la formule de Taylor avec reste intégral donc moi je vais travailler sur le reste intégral c'est là qu'on va faire une intégration par partie alors pourquoi une intégration par partie parce que quel est l'objectif donc l'objectif c'est que cette partie ici et bien ça devienne somme de K = 0 à n + 1 d'accord et donc la somme de n + 1 c'est la somme des Z auqu on rajoute ajoute un terme d'accord donc pour passer de un l'autre c'est assez simple il va falloir montrer alors vous avez ce terme là voilà ça c'est la somme au terme précent et il faut le terme le dernier terme suivant c'est donc pour k = n + 1 donc il faut que je réussisse à fabriquer Fn + 1 en 0 sur n + 1 factoriel x^iss n donc + 1 donc il va falloir que j'arrive à fabriquer donc ce terme là pour mon reste intégral il faut que j'arrive à passer un reste intégral donc qui sera l'intégral de 0 à X x t fa écrire bien x voil il faut j'ai n + 1 sur n + 1 factoriel dériv n plus donc 2 t DT alors pour ça qu'ici on propose une inération par partie parce que le Fn + 1 ici va le transformer en Fn + 2 pour passer de la dériv N+ à la dériv n + 2e on dérive d'accord et donc ça veut dire qu'il va falloir dériver ceci et ça veut dire que si je fais une inération par partie c'est l'autre donc je vais chercher une primitive et ça se tombe bien parce qu'un primitive de X- t^iss n ça va faire apparaître du 1/ n + 1 je m'explique pour notre intégration par partir je vais rappeler quand même la formule l'intégrale de U donc ici V prime ça sera entrecrocher UV u Prim V alors ici je vais dériver en fait Fn + 1 d'accord donc c'est lui qui va jouer le rôle de U et lui qui joue le rôle de V Prim donc là j'ai u et là j'ai V Prim d'accord donc ça veut dire que là je avir u t = Fn + 1 de T donc quand je dérive et ben je dérive je passe de la dérivé n + 1 à N + 2e donc F ici n + 2 je dérive une fois plus c'est ça qu' faut bien compr prendre ensuite V prime c'est x - t puiss n sur N factoriel donc une primitive c'est là que le n + 1 va apparaître x - t^iss N alors imaginez si je devais faire une primitive de x^iss N qu'est-ce que j'ai dérivé j'aurais dérivé quelque chose du type xn + 1 mais comme en dérivant il a n + 1 ça sera sur n + 1 voyez donc ici alors attention là c'est très important on dérive par rapport à T donc c'est là qu'il faut faire très attention quand on dérive par rapport à T X est censé être constant d'accord alors moi ici j'ai X- t donc si on prend X- t en dérivant qu'est-ce qui me donne x - t par rapport à t he ici donc c'est variable t donc ça veut dire que X ne bouge pas j'ai donc dérivé de X- t au Carr mais quand je dérive X- t au Carr par rapport à T j'ai un 2 qui sort ça il y a pas de problème donc je vais avoir un sur 2 mais devant le t il y a un -1 donc je suis dans du dérivé de u² j'ai 2 U Prim u mais mon u Prim il y a un -1 donc là j'ai un moins très important parce que c'est par rapport à T donc ici x - t^iss N donc c'est la même idée c'est par rapport à T donc j'aurais quand même du n + 1 je vais avoir ici ce n + 1 qui permet de supprimer le n + 1 qui apparaît mais quand je dérive x - t il y a un -1 donc là j'ai un moins et on n'oublie pas le N factoriel qui était déjà là donc donc là je vais multiplier par N factoriel comme on a dit dans les remarques n factoriel quand vous lu multipliez par n + 1 et bien ça fait n + 1 factoriel donc là dessous et bien je vais mettre tout de suite n + 1 factoriel et là vous voyez on fait un pas vers notre notre formule au rang suivant on a du n + 1 Facte maintenant j'applique mon intégration par partie alors toujours on précise quand on int par partie u u prime V et V prime sont continu donc intégrable sur 0x donc ici carrément sur R parce que on est sur de r dans R avec des dérivées de tous ordres donc il y a pas de problème ici alors quand une fonction effectivement là f est dérivable ça c'est toujours dérivable donc forcément vous avez toujours des fonctions continues c'est importantin quand une fonction dérivable elle est continue donc là on vous a dit qu'il y avait des dérivées de toute Tor çaut dire votre fonction toutes ces dérivées sont dérivables et sont donc continues là entre crochet on va donc trouver u x V donc x - t^ n + 1 sur n + 1 factoriel multiplié donc par la dérivée n + 1m de F appliqué en T et pris entre 0 X il faut vraiment écrire bien là parce qu'il y a des 0 d x dn ensuite on aura l'intégrale de U prime V donc je mets d'abord V ça fait moin x - t^ n + 1 n + 1 factoriel Fn + 2 donc la dérivée n + 2e de F appliqué en T DT se rapproche vous voyez on a presque ça alors il y a un moins ici a un moins là par linéarité bien le moins on peut le sortir c'est un coefficient constant donc là on va mettre ça et donc on va pouvoir effacer donc ici ce moins et là on a exactementin le reste intégral qu'on souhaitait avoir donc rang supérieur il reste à calculer ce qu' ici entre crochet on remplace donc d'abord par X doncz ça va faire X- x ça va faire 0 donc là j'ai0 donc n + 1 + 1 faoriel Fn + X mais ça va faire 0 Mo le moin qui ça fera plus j'appliquant 0 c'est qui vaut 0 attention c'est pas x donc ça fait X n + 1 sur n + 1 factoriel j'applique ça pour T = 0 Fn + 1 de 0 parfait donc ce terme là va disparaître il me reste donc deux termes on avait dit il nous fallait ce reste intégral il est bon ce terme là on va pouvoir l'ajouter en fait à notre la première partie qui s'appelle donc le développement limité le DL ici en0elle L 0 ici à l'ordre N et donc ici c'est exactement le terme qui nous fallait pour avir le développement à l'ordre supérieur voyez il me fallait un Fn + 10 x^iss N + 1 sur n + 1 factoriel c'est exactement ce qu'on a je termine ça propr donc on avait dit que pour tout x app on avait FX qui valait ça j'ai remplacé le resteintégral par ce que je viens de trouver et vous voyez que les deux premiers ici deux premiers termes ça ça nous ça devient la somme pour Kant de 0 à n + 1 donc d F K0 sur k factoriel x^iss k on av vu c'est exactement le terme qui nous manquait plus la bonne intégral avec X- t donc puissance n + 1 n + 1 factoriel et Fn + 2m dérivé n + 2e exactement la propriété r donc l'hérédité et bien vérifier on pense toujours à conclure donc par le principe de récurrence c'est vrai pour n é= 0 héréditaire donc vrai quel que soit N appartenant à grand N donc notre formule de Taylor avec reste intégrale et démontré pour ceux qui vont aller en prépa ou qui vont faire des maths donc à la fac ou ailleurs rappelez-vous de cette formule voyez la démonstration est accessible ça permet aussi d'apprendre à gérer plusieurs lettres ici voyez on fait que des intégrations et des dérivations par rapport à T et X est censé être constant d'accord mais après quand vous allez l'utiliser et bien vous pourvez faire varier x c'est ça un petit peu qui fait tout le sel de ce genre de relation voilà donc à très bientôt en espérons que ça vous ait plu pour ceux que ça intéresse dans l'exercice précédent et bien on avait utilisé on avait démontré cette formule mais uniquement dans un cas particulier pour FX = exponentiel de X voilà à très bientôt