Terminale spécialité maths - les limites dans les tableaux simple

Bonjour à tous, alors aujourd'hui je vous propose de démarrer sur les limites avec des lectures de tableaux de variation dans lesquelles on fait figurer des limites et on va apprendre à traduire et à voir ce qu'elles signifient ces limites. Donc trois exercices, trois exemples en fait. Je vous donne trois tableaux et à chaque fois il va falloir en déduire des limites et aussi des asymptotes. Donc je rappellerai les formules nécessaires à la compréhension de tout ça. On est parti, premier exercice. Qu'est-ce qu'il faut savoir sur les tableaux de variation quand on est dans le chapitre des limites. Alors, les choses importantes, la première ligne ça donne donc des valeurs de x et donc ici vous allez lire l'ensemble de définitions. Donc ici l'ensemble de définitions de f que je vais noter, df, et bien vous voyez ça va de moins l'infini à plus l'infini. Quand on a des valeurs interdites on verra qu'on a deux barres dans la deuxième ligne, ça sera l'exemple 3. Bon ça vous saviez, j'invente rien, je ne vous apprends rien en tout cas. Ici vous avez un 5 et là un 4 ça veut dire, ce couple là c'est bien que l'image de 5 par la fonction f c'est la fonction, ici à gauche dans le tableau on voit f de x donc c'est bien f f de 5 est égal à 4. Ça, ça vous donne donc une image. Et maintenant, on a ici des moins l'infini moins l'infini, et bien ici ce sont des limites. A gauche on est en moins l'infini donc c'est la limite quand x tend vers moins l'infini, ça veut dire que x devient infiniment petit, négatif et qu'il se rapproche de moins l'infini, enfin c'est pas vraiment se rapprocher en fait il devient aussi grand qu'on veut négatif. Donc c'est la limite quand x tend vers moins l'infini de l'expression f de x et on vous dit que cette limite c'est moins l'infini. Ça veut dire que quand vous allez aller à gauche sur la courbe de f, quand on va aller à gauche c'est à dire quand les x vont vers moins l'infini les y vont aussi aller vers moins l'infini. Donc votre courbe elle va bien plonger elle va aller comme direction vers en bas à gauche. Le côté droit maintenant, plus l'infini, qu'est ce qu'on a ? Et bien on a en haut plus l'infini donc ça nous part de la limite quand x tend vers plus l'infini donc quand x devient de plus en plus grand et ici on a la limite de cette expression f de x, c'est moins l'infini donc ça, ça nous dit que quand on va aller vers la droite donc quand x tend vers plus l'infini et bien les y vont aller vers moins l'infini donc votre courbe a une tendance une direction générale qui va aller vers le bas en bas à droite. Petit exemple qui pourrait correspondre à ce tableau de variation ici une parabole inversée avec un sommet en 5,4 à gauche. On va bien aller vers le bas ici, on va changer un petit peu le repère et à droite on descend aussi. Voilà, ce qui illustre bien ce premier exemple. Deuxième exemple, alors ici déjà, le domaine de définition, l'ensemble de définition, quand on est en haut on est encore ici de moins l'infini à plus l'infini l'ensemble de définition c'est n l'image de moins 2 c'est 1 et ensuite on a bien les limites. Alors ici, la limite à en plus l'infini vous voyez, j'ai entouré ces deux informations là, ça signifie que la limite quand x tend vers plus l'infini de f d'x est cette limite, elle va plus l'infini donc, quand on va aller vers la droite quand x grandit eh bien, on va retrouver la courbe de f de plus en plus haute ici en tout cas le comportement global de la fonction est donc à la hausse quand on va vers la droite. Il peut y avoir des petites oscillations locales, mais c'est un comportement global. On sait ici que quand on va prendre x assez grand eh bien on pourra dépasser n'importe quelle valeur choisie à l'avance. Maintenant l'autre côté, alors ici c'est un peu particulier on a un 2, donc on a une limite quand x tend vers 2 pardon, quand x tend vers moins l'infini de f d'x qui vaut 2 on a ici une limite qu'on appelle une limite finie et ça, ça nous amène à la notion d'asymptote, donc ça va être la deuxième question. Cette limite ici, finie quand x tend vers moins l'infini, elle nous amène à une asymptote. Quand on a limite finie en moins l'infini on a donc une asymptote horizontale donc à la courbe de f et ceci en moins l'infini. Qu'est-ce que ça pourrait donner comme courbe ? Déjà en moins 2 ça vaut 1, donc en moins 2 ça vaut 1, donc la courbe ne passera pas, c'est son minimum. Ici on est en ce qu'on sait, c'est qu'on a dit qu'il y a une asymptote horizontale en moins l'infini, donc ici je vais la tracer cette asymptote. Une asymptote c'est une droite et cette droite ici elle nous intéresse quand on est dans sa partie gauche en moins l'infini parce que l'asymptote ici elle est en moins l'infini. Quand la limite est 2 en moins l'infini ça veut dire que les valeurs de f d'x vont avoir tendance à se rapprocher de plus en plus de cette droite. Donc quand on va vers la gauche, donc en moins l'infini on va se rapprocher. Alors se rapprocher ici on se rapproche en descendant, donc ça va être un comportement qui a cette forme ici. On va descendre jusqu'au minimum qui est ici et ensuite une fois qu'on est à ce minimum ici, le tableau on va remonter. Et là on va monter et remonter en allant de plus en plus haut puisque la fonction est strictement croissante. Donc à gauche vous voyez, plus vous allez aller vers la gauche, plus l'impression que la droite ici blanche et la courbe jaune sont confondues. La courbe jaune va se coller progressivement, elle ne la touchera pas ici, elle peut dans certains cas, mais elles vont se rapprocher en tout cas l'une de l'autre de plus en plus à mesure que vous allez vers moins l'infini, à mesure que vous allez vers la gauche. Et ça c'est donc ce qu'on appelle une asymptote. Une asymptote c'est donc une droite sur laquelle une courbe va se s'appuyer, va se coller de plus en plus en la touchant ou sans forcément la toucher, je vais vous faire quelques figures, on peut ici faire trois asymptotes, vous pouvez arriver comme ici en vous rapprochant comme ça, vous pouvez arriver par le haut mais vous pouvez aussi arriver en oscillant et vous êtes de plus en plus proche mais vous passez de part et de droite de cette asymptote. Dans notre exemple ici on n'a pas le choix la fonction étant décroissante la décroissance elle est donnée par les flèches dans le tableau ici et on arrive avec cette forme là et donc on a une courbe comme j'ai à peu près tracé. Petit exemple ici d'une asymptote en moins l'infini l'équation x égale 2, voilà j'ai choisi comme fonction 2 plus un seuil, vous voyez ma courbe rouge ici quand je vais vers la gauche elle va se coller de plus en plus sur ma droite ici qui est en pointe il est vert et donc cette droite verte c'est une asymptote à la courbe rouge. Et puisqu'on va arriver à l'exercice 3 ici dans la courbe que je vais présenter, il y a une asymptote horizontale à gauche, vous avez ici cette asymptote verte ici, elle est aussi asymptote à droite mais cette fois-ci vous voyez la courbe arrive par le haut donc deux positions différentes et vous avez aussi une verticale bleue sur laquelle la courbe vient se coller ici mais cette fois-ci c'est verticalement, on va voir ça c'est l'objet de l'exercice 3. Et donc avant de faire cet exercice 3 c'est l'occasion d'un petit bilan la définition d'une asymptote horizontale, c'est la suivante on prend un nombre L très important L est un nombre réel fini la droite de l'équation y égale L est une asymptote horizontale à la courbe en plus infini ou en moins infini ici, la limite de cette de la fonction f du x en plus infini ou en moins infini est égale à L et la asymptote verticale le mot est presque le même mais on a une notion de verticalité ici, vous aurez des asymptotes verticales uniquement en des valeurs finies, c'est à dire qu'ici on obtiendra quand on va tracer des droites d'équation x égale a et donc ça donne des verticales on aura souvent cela au niveau des valeurs interdites et donc la définition c'est que si on a la limite en a qui vaut plus infini ou moins infini et bien on dira que la droite de l'équation x égale a est une asymptote verticale à la courbe de f et dans les deux cas la courbe de f va se coller à ces asymptotes donc sur un dessin vous pouvez avoir ce donc là je trace supposons que ça soit une asymptote horizontale ceci est une asymptote verticale, vous pourriez avoir une courbe qui a cette forme par exemple comme ceci et ici quand on s'approche et bien on va monter infiniment et ici on pourrait avoir une courbe qui fait comme ceci et donc vous avez a gauche asymptote horizontale ici, a droite aussi et au niveau de cette valeur ici et bien on aura une asymptote verticale en plus infini, c'est la partie du haut et en moins l'infini c'est la partie du bas et voici un exemple plus complet on a un domaine de définition qui est un petit peu particulier ici parce que vous avez une double barre la double barre ici en 4 ça veut dire que le domaine c'est moins l'infini jusqu'à 4 ouvert en 4 ça veut dire qu'on pourrait dire que c'est R privé du nombre 4 on a une valeur interdite ensuite, on regarde donc chaque borne de cet ensemble de définition il y a 1, 2, 3, 4 bornes donc il y a 4 limites qui nous intéressent c'est la limite en moins l'infini on peut noter limite de f en moins l'infini on ne met pas de x ici, on ne met pas de x là cette limite d'après le tableau, c'est 0, c'est une limite finie, donc asymptote horizontale cette équation, on va l'appeler delta et son équation c'est y égale 0 c'est donc l'axe des abscisses ensuite on a en 4 on a 2 côtés, là c'est très important quand on arrive par la gauche on dit que c'est la limite de f du x, quand x est envers 4 mais en étant inférieur à 4 ce qu'on peut noter autrement, 4 avec un petit mot au dessus et cette limite ici, n donné, c'est plus l'infini donc quand vous allez arriver vers 4 sur l'axe des abscisses vous allez avoir une courbe qui a tendance comme ça à se coller sur cette verticale et qui va aller de plus en plus haut très très vite. Du côté droit la limite de f du x quand x est envers 4 en étant à droite, c'est à dire en étant plus grand que 4 ce qu'on appelle souvent 4+, cette limite c'est plus infini donc ici, si je prends le schéma d'avant, je vais arriver par le côté droit et je vais avoir tendance à me monter en me collant de la même façon mais de l'autre côté parce que j'ai une limite aussi plus l'infini. Dernière chose quatrième borne de mon intervalle, en plus l'infini, la limite de f en plus l'infini elle est donnée égale à moins 1 et donc j'ai une deuxième asymptote horizontale asymptote horizontale d'équation y égale moins 1 et donc ça me fait penser, on retourne à la question 2 là je vous ai tout de suite parlé des asymptotes horizontales j'aurais pu aussi tout de suite vous parler des deux asymptotes verticales en fait il y en a qu'une, elles sont confondues vous avez ici une asymptote la limite de f en 4 est plus l'infini, donc on a asymptote verticale en plus l'infini d'équation donc x égale 4 et pareil on a de l'autre côté la même asymptote puisque l'équation est identique et que c'est aussi en plus l'infini donc vous voyez, cette courbe si on devait la tracer là vraiment je peux juste vous donner à peu près son comportement on a un problème en 4 ensuite on a x égale 4 ensuite en moins 2 on a un minimum qui est en moins 1 et ce qu'on peut imaginer c'est que la courbe on a une asymptote horizontale qui est l'axe des abscisses on part d'ici, ensuite on va avoir une tendance à descendre au niveau de notre minimum à gauche, ensuite ça va remonter ici ça va se coller, se coller, ça peut monter voilà, ça ne passera jamais, cette verticale ça ne la touchera jamais parce que 4 est une valeur interdite donc on ne peut pas avoir de point d'accords sur cette verticale, donc on a une montée comme ça infinie de l'autre côté et bien on a une asymptote horizontale, on dirait qu'il y a moins 1 donc à ce niveau là donc la courbe va partir de très haut parce qu'on a une asymptote verticale et ensuite elle aura une tendance à venir atterrir en fait s'écraser sur cette asymptote horizontale elle ne la touchera pas non plus puisque la fonction est strictement décroissante donc il va falloir imaginer qu'on se rapproche de plus en plus de cette horizontale et voilà à quoi peut ressembler la courbe en 4 on parle parfois de cheminée elle a une sorte de tendance ici les deux côtés montent ici infiniment donc on se rappelle bien une tangente horizontale ici une deuxième tangente horizontale ça c'est des tangentes que vous trouvez toujours à gauche et à droite, c'est à dire en moins l'infini et plus l'infini, jamais ailleurs et les tangentes verticales vous les trouverez toujours ici au niveau d'une valeur finie, et très très souvent pour les valeurs intéressantes. Voilà cet exercice est terminé alors je vous propose pour la suite, pour le prochain exercice dans cette liste des exercices sur les limites, de faire le même travail, un travail simple mais sur des courbes cette fois-ci par exemple ici voilà une courbe, il faudra être capable de dire quels sont les asymptotes qu'on peut imaginer quand on voit cette courbe quelles sont les limites qu'on peut vraiment envisager parce que un graphique n'étant pas une preuve on ne fera que des conjectures. A très bientôt.