BAC TUNISIE -Examen du baccalauréat session sciences expérimentales 2024- Corrigé Exercice 3 analyse

bonjour à tous Aujourd'hui on s'attaque au baccalauréat tunisien donc sujet science expérimental on est bien sûr en mathématique avec l'exercice 3 donc d'analyse sur 7 points étude d'une fonction définie sur R par FX = 12 d'exponentiel 2x plus exponentiel de X + 2x et Z de F c'est la courbe dans un repère orthonormé on est parti tout d'abord ça commence avec des limites tout d'abord pour ceux qui veulent avoir le sujet en grand voici donc la question la partie a la partie A deè question la partie A 3è question avec ici une figure où il faut tracer la courbe Z de F et la partie B avec cette suite d'intégralil et des belles sommes donc on commence tout de suite parti a première question alors la limite donc de F en plus l'infini al regardons donc ici première chose au brouillons rapidement alors on est en plus l'infini donc ici on a notre exponentiel qui va vers plus l'infini une petite composition ou alors c'est exponentiel X au carré comme vous voulez vous multipliez par - 1/2 donc le premier terme va vers moins l'infini le deuxième vers plus infini on a déjà ici une forme indéterminée avec même un troisème terme qui tend aussi vers plus infini donc quand on a forme indéterminé dans une somme on va factoriser par alors ça peut être le terme le plus fort que vous estimez le plus fort ou parfois des petites variante et ici une factorisation qui peut être très intéressante c'est une factorisation par exponentiel de X effectivement quel que soit x exponentiel 2x c'est exponentiel de X au carré donc on peut le factoriser par exponentiel x donc ici factoris donc par exponentiel x j'obtiens - 12 d'exponentiel x ensuite + 1 et + 2 x sur exponentiel x alors est-ce qu'on a lever l'indéterminant al devant c'est plus l'infini et dedans et bien on a une somme de tro terms mais il y a de cel croissance compar ças on pas de problème dans la parenthèse ça t ver oné ça proprement on va dire tout d'abord que la limiteand X plus c'estini limite de X sur X c'est0 en plusini c'est ce qu'on appelle une croissance compar et donc ça veut dire que par somme la limite de - 12 d'exonentiel x + 1 + 2x exponentiel sur exponentiel x ça ça tend donc vers moins l'infini ensuite on multiplie par l'exponentiel qui tendl aussi vers plus l'infini enfin vers l'infini plus lui c'est moins l'infini donc par produit on aura une limite qui est moins l'infini la limite donc de FX quand x tend vers plus l'infini c'est donc moins l'infini maintenant on nous demande FX sur X alors on va considérer donc que X est strictement positif puisque je m'intéresse à la limite en plus l'infini ça me permet d'avoir le droit de factoriser par X d'accord et ensuite on pourra comme ça diviser sans problème donc ça me donne 12 d'exponentiel 2x sur X+ exponentiel X sur X + 2 alors ici il y a des choses qui sont pas si simples que ça parce que quand jeis faire F Dex sur X puisque j'ai pris x strictement positif ça fait - 1/2 Alors on a l'exponentiel ici donc 2x/ x hein il y a encore ici une forme qui est une forme indéterminée parce qu' exponentiel 2 x sur X hein c'est en fait exponentiel de X au Carr donc exponentiel de X FO exponentiel X sur X donc vous avez à l'intérieur un exponentiel de X sur X qui tend vers plus infini et l'exponentiel donc le premier terme va vers moinsinfini le 2uxème vers plus infini on a un + 2 qui est pas gênant il faut donc ici faire une deuxème factorisation on n pas le choix donc on va factoriser al je réécris donc tout ça donc ici j'ai exponentiel donc alors il faut que je laisse quand même la place donc fois exponentiel 2x sur X + exponentiel de X sur X + 2 et donc là on va refactoriser et bien alors pardon par exponentiel on va faire exactement la même chose que tout à l'heure ça donne - 1/2exonentiel X sur X bon ça c'est parfait plus 1 1/ x + 2 sur exponentiel x donc qu'est-ce qui se passe dans notre parenthèse et bien on l' exponentielle de X sur X qui tend vers plus infini c'est croissance comparée on a utilisé son inverse dans la première limite X sur 2 x qui tend ver 0 donc là j'ai plus infini ensuite ça veut dire que la limite donc quand x TVs plus l'infini de 12 d'exonenti x sur X c'est donc moins l'infini la limite évidemment de 1/ X c'est 0 si rajoute alors on va peut-être aller doucement pour être sûr que tout le monde suive donc ça c'est 0 la limite de 2 sur exponenti X bien sûr que c'est 0 aussi donc quand on fait la somme donc par somme la limite de 12exonenti X sur X + 1/ x + 2 sur X c'est donc moins l'infini et on va multiplier par exponentiel x donc par produit la limite de FX sur X c'est donc moins l'infini FO donc plus infini le tableau de limite c'est moin l'infini et ça Tom bien parce que c'est ce qu'on nous demandait et à la manière d'ailleurs du sujet de section donc principale on a la même question avec ici les deux mêmes limites ça donne Mo possède une branche asymptotique de direction au y verticale maintenant limite en moinsinfini ça va être beaucoup plus rapide pourquoi tout d'abord on sait que quand x tend vers moins l'infini exponentiel x ça tend vers 0 d'accord ça veut dire que comme pour tout x on l'a déjà dit exponentiel de 2x c'est exponentiel de X au carré ça veut dire que on peut considérer que c'est exponentiel x FO exponentiel x d'accord donc la limite en moins l'infini d'exponentiel 2x c'est donc aussi 0 on peut aussi faire une composée avec 2x qui tend vers moins l'infini encord deux versions pour cette chose ensuite ça veut dire que on a la limite en moins l'infini de 2x qui est moin l'infini donc là c'est tout bête produit par 12 et on ajoute tout ça par somme la limite donc de FX quand x t vers moin donc égal à ici moins l'infini et maintenant on veut montrer que la droite Delta d'équation y est une asymptote donc il faut é la soustraction donc on va regarder FX 2X X- 2x ça donne 12 d'exonenti 2x+ exponenti x d'accord on voit bien que la limite quand x l'infini de fx- 2x on a deux termes qu'on a déjà étudié précédemment les de T vers 0 donc ça fait 0 d'accord et ça c'est caractéristique que la courbe de F donc Z F donc possède donc une asymptote qu'on appelle oblique parce qu'elle est penchée elle n ni verticale ni horizontale oblique d'équation y = 2x et bien sûr C en au voisinage donc au voisinage en moins l'infini elle s'appelle effectivement Delta pour info voici ce que ça donne he un beau schéma précis donc ici la courbe de F y Delta notre asymptote oblique et donc vous voyez qu'ici la position semble la courbe semble au-dessus de son asymptote et semble repasser en dessous ici au niveau 1 au niveau de peut-être de son extrêmum on verra ça donc maintenant position relative donc on va étudier le signe de FX - 2x tout d'abord FX - 2x c'est - 1/2 d'exponentiel 2x + exponentiel x on l' déjà fait ça plusurs fois on factorise par exponentiel x ça donne - 1/2 d'exponentiel x + 1 on peut faire un petit peu mieux en mettant - 1/2 aussi en facteur ça me donne ceci et là Auris donc - 2 alors ce qu'on peut dire c'est que quel que soit x appartenant à r exponence X est strictement positif donc si je multiplie par - 1/2 c'est strictement négatif ensuite j'ai expé x - 2 alors on va faire deux études tout d'abord quand est-ce que ça fait 0 mais il faut que exponentiel soit égale à 2 exponentiel X et là je vais utiliser donc le ln qui est strictement donc croissant sur donc R+ étoile donc je peux utiliser ici ça fait x = ln 2 et on va faire la même étude mettant positif donc ça équiv exponenti strictement plus grand que 2 et comme le logarithme est strictement croissant ici je suis bien sûr à plus étoile je peux composer par le logarime donc X qui est plus grand que N 2 on peut faire maintenant un petit tableau et donc le ça va donner ici ln 2 on a donc de zones donc 0 le plus on le met pour X plus grand donc plus à droite et on a dit que ça c'était toujours négatif donc ça me fait plus 0 moin donc vous voyez qu'ici le signe nous donne la position c'est vedire que Z de F est donc est au-dessus strictement 2 Delta sur donc moins l'infini ln 2 ensuite Z de F est en dessous strictement de Delta sur ln 2 plus infini vous ouvrez en L N2 donc en dessous faut être très clair et au-dessus et ensuite donc Z de F et Delta se coupe au point alors ici d'abscisse ln 2 donc le point on va appeler A d'abscisse ln 2 et forcément comme il est sur la droite d'équation y 2x donc 2 ln 2 et on voit sur les calculatrices he ici on peut aller chercher l'intersection avec les solveurs graphiques on met intersection et on a bien ici 0,69 on reconnaît L N 2 et 2 x 0,69 1 38 et cetera deème question petit la dérivée alors tout d'abord les fonctions que X associe alors - 1 demi d'exponentiel 2x x associé exponentiel X et X associé 2x elles sont toutes évidemment elles sont dérivables sur R sont des fonctions de référence exponentiel 2 x c'est expon x FO exp c'est un produit de fonction de référence et donc il y a pas de problème surable sur R donc F comme somme est dérivable sur R alors pour F prime on a donc 12 on dérive exponentiel 2x ça fait donc 2 exponentiel 2x l'exonentiel X ne change pas + 2 donc on a petite simplification Mo ins exponenti 2x plus exponentiel x + 2 alors ça ça se factorise très bien mais évident mais on va quand même aller montrer ça comment on peut faire et bien on peut faire donc ici alors ici on tout ça c'est pour X appartenant à R et donc là on peut aller développer ça à côté tranquillement ça donne 2 exponentiel x moin exponentiel de 2x + 2 Mo exponentiel de X donc ça fait moin exponentiel 2x 2 - 1 Plus+ exponentiel x + 2 donc là vous pouvez mettre effectivement que ça vaut bien exponentiel de X + 1 x 2- exponentiel de X si on vous donnez pas l'indice on peut quand même le faire je vous le dis rapidement il faut poser grand x é= exponentiel et petit x ça veut dire que ça se transforme en in grand X2 + grand x + 2 ça c'est un trinome dont une racine évidente est - 1 donc on peut factoriser par par X + 1 avec un coefficient qui est - 1 la deè racine donc ici ça vous donnera forcément - 2 vous mettez ce Mo avec le X- 2 ça fait donc x + 1 2- X et vous remettez place grand exactement cetteorisation que toujours quel que soit apparten posi don vous rajoutez est plus que donc strict positif on peut dire que 2 exponenti x du signe opposé d'ex x moin qu'on a déjà étudié précédemment d'accord on obtient donc le tableau suivant donc on a dit plus plus 0 ici donc plus et moin le sens contraire d'exenti x 2 donc là plus 0 Mo donc strictement croissante puis strictement décroissante al les limites on avait dit moin l'infini moini ça c'est très cohérent on va quand même aller chercher F ln 2 donc ça vaut 1 dem donc d'exonentiel 2x alors exponentiel 2x on peut dire que c'est exponentiel X au carré donc fait exponentiel 2 au Carr plus exponentiel de ln 2 + 2 fois donc ln 2 alors là j'ai 12 exponenti 2 ça fait 2 - 12 X 2 car ça fait 4 + 2 + 2 ln 2 - 2 + 2 ça fait 0 il reste 2 ln 2 donc ici on a donc ln 4 on avait ça c'est très intéressant ce qu'on a de trouver c'est qu'effectivement le maximum en fait de F il est atteint là où la l' syymptote donc d'équation y coup en fait la courbe Z de F donc ça c'est intéressant à remarquer on va donc dire sur mofini 2 fermé F continue strictement croissante la limite en moins l'infini c'est moins l'infini l'image de LN2 est strictement positive 0 et bien entre moins l'infini et de N2 strictement d'accord donc c'est que le théorème de la bijection nous dit que l'équation F mais sur cet interval moins l'fin N 2 unique solution on me peut même préciser que cette solution alpha elle est strictement plus petite que N2 parce qu'en N2 ça ne s'annule pas on fait pareil maintenant de l'autre côté on a donc sur ln 2 + infini F continue strictement décroissante la limite en plus infini c'est moins l'infini F de N2 est toujours strictement positif 0 est bien entre moin l'infini de NO2 c'est la même chose et donc théorème deabjection l'équationx 0 ADM sur ln 2 plus infini unique solution ba qu'on peut même estimer et on est sûr strictement plus grand que 2 puisqu on l' dit en de 2 ça ne s'annule pas donc on a on a donc exactement deux solutions qui sont alpha et betta d'accord maintenant pour avir un encadrement là c'est la machine à la calculatrice j'ai trouvé f-03 à peu près - 013 f-02 à peu près 0,08 donc ça veut dire que 0 est entre donc F de - 0,3 et F de de 0 2 la fonction f elle est bien croissante croissante strictement donc sur donc - 03 02 ça veut dire qu'ici bien consation des antécédents on a ceci donc c'est bon on fait pareil sur 1,2 1,3 et ça donne ceci voyez donc F 1,2 est à peu près 0,2 F 1,3 est à peu près - 0 46 VO ça veut dire que beta enfin pardon 0 et donc entre F 1,3 et strictement en plus petit que de 1,2 et F est strictement donc décroissante sur donc 1,2 1,3 et c'est donc ici antécédent de 0 qu'il faut chercher dans cette zone ça sera donc beta et ici comme c'est décroissant il y inversion 1,2 se retrouve à gauche 1,3 se retrouve à droite on peut même compléter ici le tableau vous avez Alpha qui est ici avec un Z0 et betta qui est ici avec un Z0 d'accord on continue en CADR donc on se place sur Alpha 0 sur Alpha 0 on va faire un petit tableau de variation voilà donc ici alpha 0 si on regarde F et comment alpha 0 elle est strictement croissant F alpha vaut 0 F0 on l' pas encore calculé ça me donne donc - 12 exponentiel 0 plus exponentiel 0 + 2 x 0 ça fait exponentiel 0 ça fait 1 ça donne - 12i + 1 + 0 donc 1 + 1 c'estàd 1/2 ça signifie que si on prend x entre alpha et 0 par croissance de F bien FX sera plus grand ou égal à F alpha plus grand que et inf ég F0 qui vaut 1/ donc on a démontré la première partie ici donc cet encadrement il reste le deuxè c'est pas compliqué on a du FX par contre on a du 1- X au dénominateur donc j'encadre un moin FX donc FX on voit bien que c'est entre - 1/2 et 0 si j'ajoute 1 1 - FX ça signifie que si on prend x entre alpha et 0 par croissance de F bien F Dex sera plus grand ou égal à F alpha plus que 0 et inf ég à F 0 qui vaut 1 dei donc on a démontré la première partie ici donc cet encadrement il reste le 2uxè B c'est pas compliqué on a du f Dex par contre on a du 1 - X au dénominateur donc j'encadre un moin FX donc FX on voit bien que c'est entre - 1/2 et 0 si j'ajoute 1 1 - FX est entre 0 et 1/2 1- FX ça va nous donner donc ici on rajoute 1 donc 1-2i ça fait fait 1/2i et 1 donc c'est entre 121 ça veut dire que je peux utiliser la fonction inverse parce qu'on est sur des nom strictement positifs et quand j'utilise la fonction inverse sur les éléments strictement positifs elle est décroissante strictement donc là je vais avoir l'inverse de 1 et l'inverse de 1/2i qui vaut 2 donc après on a deux encadrements FX entre 0 et 1/2i 1/ 1 - FX entre 1 et 2 et comme on a que des nombres ici à chaque fois positifs on peut multiplier sans problème et donc j'ai 0 x 1 qui sera inférieur ou égal à F Dex FO ça donc ça fera FX sur 1- FX inf é= 1/2 x 2 ça fait 1 c'est exactement ce qu'on voulait donc ici ça repose vraiment sur une propriété hein qui dit que quand on a que des nombres positifs on peut comme ça multiplier des encadrements en prenant membre de gauche membre du milieu et membre de droite pour tracer donc la courbe de F alors j'ai placé tout d'abord alors on nous donnait alpha et betta ils étaient placés ensuite j'ai placé l'image de 0 donc c'est on a calculé 0,5 l'image de 1 donc c'est 1,02 l'image de 1 donc elle est par ici donc j'ai pas mis la croix mais l'image de 1 est donc par ici voilà je vais mettre ça en bleu pour bien que vous compreniez tous les points donc l'image de 1 est à peu près ici l'image donc ici j'ai j'ai beta et en dessous j'ai l'image de 1,5 que j'ai mis en - 2,56 à peu près et vous voyez que si on respecte tout ce qu'on a fait la courbe elle se trace de façon assez naturelle avec un maximum très important à cet endroit-là ici hein dont les coordonnées on a vu était ln 2 donc à peu près 0,69 et 2 fois l'n2 et donc on a plus qu'à relier tout ça et ça donne cette courbe là et on voit bien la position de la courbe par rapport à son asymptote oblique ensuite on nous demande de calculer l'air a de la partie du plan donc limité par la courbe de F par et et par les droit d'équation y 0 X 0 x é= N 2 donc on est sous la courbe hein entre donc la courbe et l'axe des abscisses entre 0 et l n de 2 donc l de 2 c'est là on a notre maximum donc sur la courbe on va quand même justifier que la fonction est positive et bien cette intégrale elle correspond cette r elle correspond à l'intégral de la fonction entre 0 donc et ln 2 et ça donnera donc l'air de cette courbe là donc le domaine de la courbe sous la courbe alors on va quand même rapidement rappeler que f est positif sur 0 ln 2 et ça c'est notre tableau de variation on va le rappeler on est donc ici de 0 jusqu'à ln 2 on sait que F donc est croissante F0 c'est 0,5 ln 2 c'est 2 ln 2 donc sur 0 ln 2 FX est toujours positif donc l' R a c'est l'intégrale de 0 àn 2 de F Dex DX est toujours en unité d'air pour calculer on a besoin d'une primitive al c'est assez simple donc on a du moins 1 alors exponentiel 2x primitive il y a un 2 dessous donc ça fait 1/4exonentiel 2x exponentiel rien qui change et 2x en dérivant on peut par dériver X2 ça donne bien 2x donc vous pouvez vérifier si je dérive ça j'obtiens bien ceci prix entre 0 et ln 2 donc 1/4 donc d'exponentiel de alors 2 ln 2 autre version tout à l'heure j'avais mis au carré mais 2 N 2 c'est aussi N 4 donc ça ça fera 4 plus exponentiel de ln 2 qui fera évidemment 2 + ln 2 au Carr moins en 0 donc j'aurais - 1/4 exponentiel 0 qui vaut 1 plus exponentiel 0 + 0 donc j'ai plus qu'à calculer tout ça e de N 4 ça fait 4 4 x -1/ ça fait -1 plus ici 2 + ln 2 au car là vous pouvez rien faire in - 1/4 donc + 1/4 - 1 alors on a - 1 - 2 + 2 0 il reste donc on va écrire comme ça 1/4 + ln 2 au carré et comme on veut l'air on va donc faire notre conclusion elle vaut donc 1/4 + ln 2 unité d'air et sur geogéb Mance à peu près 0,73 qui correspond bien à 1/ + 2 au carré partie B on considère donc maintenant une suite définie à part sur un étoile à partir de 1 un c'est donc l'intégrale de Alpha à0 de FT puissance n DT donc un n est un entier naturel non nul alors d'abord on va encadrer un donc il faut en fait encadrer FT sur l'interval alpha 0 alors on se rappelle on a encore leable variation sur donc alpha 0 je vais faire un petit tableau de variation comme on a fait plusieurs fois donc ici on a dit qu'on partait alors il y a alpha 0 donc en alpha ça vaut 0 en 0 on a dit 1/2 on a donc ceci la fonction est strictement croissante donc F2 t donc si on prend t entre alpha et 0 F T est entre 0 et 0,5 c'estd 1/2 n est donc àartir une étoile donc quand je mets à puissance n conservation de l'ordre on a ceci plus petit que 1/2i puissance N et on doit intégrer on intégre on peut intégrer une inégalité sur donc un segment alpha 0 j'obtient donc ici intégral de 0 ça fera 0 infintégral ici entre alpha et 0 ben ça c'est exactement un et là j'aurai l'intégrale donc de Alpha à 0 de 1/2^iss N DTA ici j'ai rectifié c'était un N évidemment donc après quand vous calculez ben c'est une constante donc vous allez juste multiplier cette constante par la largeur de l'interval et attention on va de Alpha à 0 donc la largeur c'est moin alpha sinon vous prenez une petite vous sortez ça vous avez une petite primitive qu'on prend parle primitive de 1 ça sera t entre alpha et 0 d'accord et bien ça ça veut dire que c'est alpha c'est 0 moin alpha c'est pour ça qu'on a moin al qui sort donc là effectivement on a bien moin alpha 1 demi puissance n on peuire évidemment la limite du N par le théorème des gendarmes encadrement alpha c'est un réel donc 1/2i est entre é 0 et 1 donc la limite de 1/ dei à la puissance n c'est0 d'accord donc en multipliant par Alpha la limite de par MO ALP alpha la limite est encore 0 théorème des gendarmes ici à gauche ça tend vers 0 parce que c'est égal à 0 à droite on vient de montrer que ça tendait vers 0 donc thorème des gendarmes thorème d'encadrement la limite du N elle aussi est égal au aux deux mêmes limites que vous avez à droite et à gauche c'est-à-dire 0 alors maintenant on passe à des sommes donc la somme de k é= n des UK alors SN donc on prend soit N appartenant à grand N étoile SN c'est donc la somme pour cant de 1 N des UK c'est-à-dire des intégrales de Alpha à 0 DF t à la puissance k DT je la parenthèse est au mauvais endroit pardon ici voilà donc on a une somme d'intégral somme finie d'intégral donc on peut sans problème dire que c'est l'intégral de la Somme ça c'est de la linéarité d'accord somme pour 41 à N D f2t puissance k DT là j'ai la somme de an des puissances du nombre F t pu k donc ça propriété on sait que alors 1 + Q et cetera jusquà q^iss n ça vaut attention si Q est différent de 1 ça vaut 1- Q puiss n + 1 sur 1- Q mais nous ici on fait attention on démarre pas ici à 1 parce que la somme elle va de F de t^iss 1 donc il me faut la il faut Q plus et cetera jusqu'à q^iss n d'accord donc pour faire ça vous factorisez par Q ça fait apparaître 1 + les puissances de Q jusqu'à q^iss n - 1 puisque j'ai factoriser voilà donc quand j'applique ma formule j'ai la somme des puissances la puissance 0 à la puissance n - 1 c'est donc 1 - q^iss N sur 1 - Q donc ma formule c'est donc q/ 1 - Q multiplié par donc et bien 1 - q^iss N et bien sûr toujours pour Q différent de 1 donc moi si je veux appliquer ça il faut que j'arrive à montrer que f T est différent de 1 mais rappelez-vous ce qu'on a déjà montré avant je vais quand même écrire ça quelque part donc je vi montrer que pour tout Q différent de 1 la somme pour Kant de 1 à n des qissance K est donc égal à Q sur 1 - Q x 1 - q^issance n on retient ça et n évidemment n appartenant à N étoil alors on a montré la question 2D que pour tout donc or pour tout t appartenant à Alpha 0 0 est F F de T inf ou égal à 1/2 donc F T est effectivement différent de 1 je peux donc appliquer cette propriété ça veut dire donc la somme pour k alant de 1 an des f t à puissance K c'est donc F t sur 1 f T 1 f t à puiss N et c'est exactement ce qu'on veut regard si je remplace ici mon symbo exactement ce qu'on voulait montrer important indi bien que f est différent de pour appliquer votre somme des puissan N qui vient du chapitre des suites géométri maintenant mon la suite s croissante majorors SN c'est une somme la somme de an des UK ça veut dire que si je prends soit N appartenant à N étoile on remarque que SN + 1 c'est la même somme mais auquel on a rajouté un terme donc SN + 1 c'est SN + un d'accord SN + 1 SN + un + 1 pardon parce que la deuxème somme va de 1 jusqu'à n + 1 donc ça veut dire que SN + 1 n est donc égal à un + 1 or on a vu que pour tout n appartenant à N étoile on avait montré que un était entre 0 et ins alpha sur 12i puissance n ça veut dire que on peut dire donc et bien un est positif d'accord et ça veut dire qu'ici notre différence SN donc un est positif donc un + 1 évidemment est positif donc SN + 1 SN est positif donc SN + 1 su égale à SN conclusion SN est bien croissant donc ça c'est assez simple et a plein de façons de le dire VO j'ai choisi de réutiliser donc l'encadrement qu'on avait démontré à la question B a que j'ai encore en haut ici he qui était valable donc pour notre un pour la majoration on va peut-être utiliser la question précédente alors on sait que on avait encadré he pour tout x appartenant à Alpha 0 on avait dit alors je vais pas mettre X ça ça a déjà me préparé pour mon intégrant donc quel que soit T entre alpha et 0 question ici 2D je l'ai encore en bas on a 0 inf égal à F t sur 1 - F T 1 fa égal à 1 ça c'est pas mal c'est un morceau déjà on sait de plus que FT est donc inf égal à 1/2i est positif donc ça veut dire que on va essayer d'encadrer 1- F t^iss n F t^iss n on avait déjà utilisé ça c'est entre 0 et 1 dem puiss n donc j'enlève 1 et donc assez classique ça veut dire que 1- F t à la puissance n est entre quoi et quoi donc ici on va faire 1- 12^ N et 1 et donc sur Alpha 0 j'ai 1 f t puissance n donc M multipé par FT sur 1- F t on a ici ça c'est inf ég 1 ça c'est inf ça c'est donc aussi inf ég le produit et donc en intégrant ça veut dire qu'on on intégre sur Alpha 0 c'est que l'intégral à gauche ça va me donner SN et donc infée égal à l'intégrale de Alpha à 1 de 1 DT de Alpha à 0 pardon de 1 DT et donc on montre que pour tout n appartenant à N étoile SN alors tout ça pour tout n appartenant à N étoile SN estg là alors ici comme tout à l'heure on fait attention alpha est négatif ça donnera donc moin alpha voilà donc SN est majoré par moins alpha et on arrive enfin à la dernière question alors montrer que la suite Assn convverge alors ça c'est facile avec ceon VI de faire elle est croissante et majoré théorème de convergence monotone elle converge ça c'est bon par contre donc elle converge vers un réel l quel qu'on peut dire sur l alors on sait quoi sur SN on vient de montrer que on sait d'accord que déjà SN est plus petite que moin alpha d'accord mais on sait aussi qu' SN est positive positive parce que c'est une somme de termes somme de termes positifs il y a pas de problème donc on est bien entre 0 et moins alpha ça veut dire qu'en passant à la limite donc passage à la limite 0 inféri ou égale à l 1 ég à - alpha mais alpha on l'avait encadré dans le texte rappelez-vous on sait que Alpha est entre -03 et - 02 donc in alpha est entre 02 et 03 strictement donc ici on met strictement les conclusions vous voyez est bien ég 0 est strictement plus petit que 0,3 c'est ce qu'on voulait et on a terminé ce joli sujet il faut le dire c'est quand même vraiment très très intéressant moi j'aime beaucoup la fin en plus cette intégrale de Alpha 0 avec la somme là c'est vraiment joli donc bravo à ceux qui ont fait ce sujet à ceux qui ont été jusqu'au bout les élèves là si vous avez été jusqu'au bout et bien bravo c'est un joli exercice à bientôt