Параметр - это плюс 4 балла на ЕГЭ. Задача 18 / Математик МГУ

друзья мои одиннадцатиклассники Я рад вас приветствовать Я знаю что вы готовитесь к ЕГЭ и задам вам простой вопрос а Какая задача самая сложная Какая самая интересная во всём варианте профиля и Здесь вы можете писать в комментариях всё что хотите я же отвечу за вас Это задача с параметром Скажет не не олимпиадная а геометрия всё это может быть но скорее всего всё-таки параметр вы не изучаете в школе или уделяете ему мало времени Почему Ну просто банально Не хватает количества часов у учителей чтобы вам это рассказать Поэтому я здесь того чтобы вам эту тему помочь освоить и ни в коем случае не напугать что это очень сложно Вам не получится Научиться этого делать получится я в этом уверен и пожалуйста в комментариях Напишите поддержите ли вы моё начинание или хотите чтобы я выпускал ролики по другим темам кстати сразу рекомендую подписаться на мой Telegram канал потому что там я тоже даю много полезных материалов и всякие разные активности в течение года которые будут проходить интенсивы какие-то ещё мероприятия об этом там расскажу мотайте себе на уз Итак в чём же смысл этого ролика показать нам что всё-таки задача с параметром она Ну примерно такая же как и остальные задачи правда здесь нужно что называется быть хорошо подкованный уметь решать уравнения неравенства системы без всяких параметров то есть чувствовать себя Что называется как рыба в воде эта задача проверяет нашу широту кругозора нашего математического насколько свободно мы владеем материалом Но если это действительно так то у вас точно всё получится Итак от слов переходим к делу идём к доске и учимся решать задачи с параметром Ну что же переходим к практике посмотрим такую задачку нам дано уравнение и вот на этом промежутки всех положительных чисел нано было более двух корней прежде чем решать задачку Давайте поймём Откуда она взялась она взялась из практики реального иг правда достаточно старенькая но это ни в коем случае не умаляет её достоинств задача хорошая и важный момент в последнее время очень ча зада с памет а значит эту тему надо обязательно в памяти освежить Тем более что она встречалась в учебнике в шестом классе а потом может быть вообще у вас не встречалась поэтому повторяю что такое модуль надо знать Ну и теперь давайте рассуждать А как в принципе задачу с параметром мы можем решить на годовом курсе своми я рассказываю четыре метода решения это метод аналитический он же алгебраический это метод геометрический он же графический это плоскость параметра это функциональны зачем нам нужны четыре метода ну вообще-то чем больше у вас разных методов тем больше Свободы выбора Вот вы пришли на экзамены вы смотрите а как я буду такую задачу решать Ну это вопрос который себе надо обязательно задать И в принципе-то как такое может быть чтобы было решение больше двух и тут вы начинаете анализировать Так ну уравнение с модулями это сложно Сложно А без модуля легче легче Давайте на секундочку модуль уберём модуль убрали и тогда что мы видим Мы видим что у нас с вами Если до умножить на X будет у равне квадратно а как у него может быть больше двух корней у него либо ноль либо один либо два корня такого не бывает значит модуль видимо что-то привносит Ну хорошо Пока идею мы эту с вами берём на выражение так так так значит ага модуль раскрывается двумя способами один раз со знаком плюс один раз со знаком минус И тогда что получается со знаком плюс раскрыли там одно уравнение со знаком минус там другое уравнение в обоих случаях квадратные там получается Если группировать корни чтобы было больше двух это либо три либо четыре Ой там как много случаев это я сейчас политический метод рассказывать так А если графика Ну моду ВС рано надо раскрыть двумя способами А дальше нарисовать Вот это я умею рисовать это гипербола А вот это а вот это Прямая линия так это я умею рисовать значит я сейчас нарисую и мне нужно чтобы было что больше двух общих точек у этих линий ВИ это я смогу Правда не совсем гипербола Да потому что здесь модуль часть гиперболы соответственно развернёт отразит симметрично относительно оци Ну ладно это я умею делать Так а на плоскость параметра есть смысл переходить но в принципе А я могу выразить правда сначала придётся раскрыть модуль Но кажется что не самое простое будет выражение Да причём там е поскольку модуль раскрыли значит два варианта Ну наверное я смогу зачем я всё это проговариваем чтобы понять какой из методов мне больше всего в этой задаче поможет её решить быстро функциональный метод Ну никаких хороших свойств функций Я пока здесь не вижу чётность нечётность ограниченность Не я пока не понимаю как это применить значит этот метод я точно накидывают что я сделал Я проанализировал те четыре метода которые повторяю на годовом курсе мы обсуждаем и понял что три из них задачу решают теперь мне осталось выть какой же из них легче всего задачу решать ну здесь Что называется практика практика ещё раз практика Поэтому в течение всего года мы эту задачу с параметром воем номер изучаем каждую неделю Да у нас занятие Каждую неделю по этому номеру присоединиться Можно в любой момент Но лучше не откладывать Что называется в долгий ящик тема сложная сочная четыре первичных балла за эту задачу по ссылочки в описании Жду вас на годовом курсе увидимся на занятиях так вот здесь я проанализировал все эти методы понял что то что у меня сильный стороно является либо я хорошо преобразуют Да у меня аналитика работат прекрасно Либо Я хорошо рисую я понимаю как эти линии быстро нарисовать и тогда у меня графика превалирует либо я понимаю что на плоскость параметра Если я смогу перейти и выразить А я вообще сразу ответ увижу дальше повторяю тот путь который мне больше всего нравится тот я применяю конечно ещё раз возвращаюсь назад идеально освоят все методы Почему все методы потому что у вас повторяю будет Свобода выбора и вот те же самые модули да Они как раз очень хорошо красиво рисуется Если вы сможете нарисовать если дут какой-нибудь логарифм от синуса Ну рисовать его будет уже просто посложнее это нас будут учить на первом курсе но надо ещё поступить в университет а значит нужно сдать хорошо игэ Итак преамбула Что называется мы с вами проговорили теперь выбираем метод значит я буду сейчас решать графический метод потому что он красивый и наглядный вам же рекомендую пройти с другими методами аналитики и плоскости параметра Если получится вы большие Молодцы можете в комментариях об этом написать Ну сколько времени у вас заняло решать методом аналитическим Сколько времени на плоскости параметра если не получилось вы знаете к ком обратиться чтобы Научиться решать задачи этими способами Ну я перехожу собственно к решению задачи Итак первое действие которое мы с вами должны сделать Какое Ну разумеется раскрыть модуль А как мы раскрываем модуль один раз со знаком плюс один раз со знаком минус то есть получаем что модуль 6 / x - 5 либо ран собственно выражени которое стоит под знаком модули либо противоположному выражение Да у нас здесь два варианта При каких x Ну при каких-то X при таких что вот это выражение у нас вами будет неотрицательно по первой строчке или отрицательно если по второй строчке то есть мы здесь просто поменяли знак выражение стоящего под знако модуля Ну по-хорошему надо решить это неравенство Давайте решим его один раз неотрицательно здесь смотрите какой есть важный момент мы с вами стремимся решить это неравенство правильно но есть подсказка ребята Мы работаем только вот здесь где иксы положительные если иксы отрицать нас вообще не интересует сколько там корней нас попросили только на этом интервале сказать корни значит я знаю что По условию задачи X > Ну строго если я знаю что X > Ну то проще всего здесь дом на X и соответственно избавиться от знаменателя домли на X получили 6 - 5X бо ра Ну и тогда перенеся шестёрку мы получаем -5x ра -6 и тогда получается что X не больше чем 6/5 Значит получается Здесь X не больше чем 6/5 Ну и Разумеется с ограничением вот этим которые дали посло задачи Ну а во втором случае X будет ро больше чем 6/5 и получается что в точке 6/5 наши две линии должны склеить почему Ну потому что при X = 65 мы получаем под знаком модуля 0 0 П 0 ми 0 - это одно и то же число нейтральное число и я уже готов рисовать что я буду рисовать я буду рисовать вот эту гиперболу я буду рисовать вот эту гиперболу и вот прямой точнее здесь не прямая А целое семейство прямых да А раз семейство прямых то хотелось бы понять А каким свойствам это семейство обладает Ну это семейство имеет неподвижную точку это так называемый пучок прямых как я этого понял Я спрашиваю себя а вот что здесь самое плохое ну самое плохое то что параметр есть а если бы его не было Ну было бы легче да А как сделать так чтобы не было вместо икса взять ноль тогда параметры пропадают у нас получается 0 -1 это о То есть получается Если я беру X Рав Ну то у меня автоматически правая часть превращается в ми при любом значении А тогда давайте сделаем так скажем что у нас есть две функции функция FX Это левая часть Так здесь X Да а функция GX - это правая часть и тогда получается что G от Ну это всегда ми1 то есть вместо и если взять но то уже будет равно ми всё поехали рисовать Для этого мне нужно значит что у меня иксы только положительные поэтому я не буду рассматривать никакие отрицательные иксы это лишняя работа и буду рисовать в стандартной системе координат XY наше линии Значит есть 65 давайте я пока пунктиром условно нарисую 6/5 здесь соответственно нолик поставлю и теперь начинаю рисовать Ну что я вижу я вижу свою гиперболу есинде - это ВС меня не интересует а нет интересует а X ра Меня интересует Тем более что она как раз ограничит промежуток Ну а -5 соответственно нет и тогда при X ра п я что получаю ноль Да вот эту точку значит я уже готов нарисовать одну ветвь точнее часть Так а как эта часть выглядит Давайте посмотрим у нас коэффициент в числителе положительный Это значит что мы находимся в первой третьей четвертях относительно наших Асим Ну значит вот такая линия чается вот есть прижимаем к вертикальной асимптоти к прямой X Рав нулю теперь вот эта линия значит что мы здесь видим это получается у нас гипербола ветви которая находится во второй и четвёртой четвертях Да потому что здесь у нас коэффициент Мише в числителе значит минус можно которая стоит перед дроби в чи отправить и тогда получится что значит горизонтальная асимптота - это п Давайте где-нибудь вот здесь пятёрку и к ней будем прижиматься получается вот таким образом Да вот всё это я нарисовал график соответственно функции FX теперь график функции G от x Значит у меня есть точка с координатами 0 А 0 -1 Давайте вот здесь где-нибудь отметим и тогда встаёт вопрос а так ми1 Каким образом должна пойти прямая чтобы она с нарисованной картинкой имела три общих точки Ну очевидно первое да что если я возьму равно нулю то у меня получится прямая GX ра -1 которая параллельна оси абсцис И вообще не имеет ничего общего с моей конструкции сразу выкинули если а будет отрицательно то у меня будет прямая убывающая Да вот так вот примерно расположенная и собственно с моей конструкцией снова ничего общего не будет значит единственный вариант - это чтобы у нас с вами была положительная а положительное значение для параметра А тогда какие-то шансы есть Какие шансы есть Давайте посмотрим вот на эту часть графика эта часть графика убывающая а функция AX - 1 при а положительном возрастающая если у нас есть две монотонные функция одна из которых убывает а другая возрастает то у них максимум одна общая точка ну схематично картинка выглядит вот так да либо может вообще ни одной общей точки не быть Ну если как-то там пойдёт неудачно Да наша Вот прямая скажем пойдёт как-нибудь вот так и тогда с вот этим кусочком поскольку мы его отрезали Да вот здесь Мы отрезали всё что ниже оси абсцис мы просто выкинули ничего общего не осталось поэтому такой случай нас не интересует А какой же случай нас интересует нас интересует чтобы один раз пересекли где-то вот здесь и два раза получается вот здесь больше двух корней получается Мы в данном случае можем получить их три если мы решаем аналитикой вот возвращаясь назад Да мы решаем одно квадратное уравнение второе квадратное уравнение от одного уравнения берём один корень от друго два от первого два от второго оди или от первого д и второго д три случая получается но на практике реализуется только один когда у первого конь А у второго РОВД И вот тогда соответственно нас ВС устраивает но мы этого заранее не знаем это возвращаюсь назад к тому кто вот аналитическим путём идёт Вам всё Это предстоит выяснить в ходе решения Ну а на графике это всё наглядно видно Поэтому чем хорош графический метод тем что как раз вот всё Мы это с вами узрели сразу вот они три корня есть но я прол какую-то одну прямую Как понять что она хорошая или не очень хорошая с точки зрения е уравнения С вами до этого тоже доберёмся у меня будут проблемы если я потеряю общую точку вот здесь или хотя бы одну точку здесь то есть если я начну прямую мою чуть-чуть опускать то очень важно чтобы она чтобы она оказалась лежащей выше вот этой жёлтой прямой Да жёлтая Прямая это та которая проходит через вершинку вот этой кривой линии так е Моя Зелёная прямая Выше всё хорошо Одна точка здесь и и две соответственно здесь на правой часть Если же совпадает с жёлтый то вот здесь в точке склейки мы одну точку потеряли Да и соответственно где-то там вторая сохранилась А если ниже то мы вообще всё теряем с этой частью и с этой частью Мы тоже одну точку теряем поэтому остаётся всего одна точка печально Маловато Значит мы поняли что выше жёлтый прямой теперь дальше я начинаю поднимать свою зелёную прямую и До каких пор я могу это сделать а важно сохранить здесь две точки А значит когда мы одну точку теряем Когда будет касание Когда будет касание значит я провожу ещё одну жёлтую прямую дате так вот касательно вот точка касание Да вот она такая прошла то есть получается Всё что лежит между этих двух жёлтых прямых Это хорошо А всё что лежит выше вот этой верхней жёлтый прмо либо ниже жёлтый прмо либо совпадает с ними это будет плохо то есть выше здесь получается одно решение ниже там получается одно решение совпадает с жёлтым прямыми получается два решения на самом деле это тоже не такие уж и плохие прямые чуть-чуть если задания изменить то это как раз тоже будет частью ответа но осталась небольшая Техническая работа Вот чем хорош графический метод тем что технической работы здесь мало когда мы с вами картинку нарисовали нам осталось найти только значение параметра для двух ключевых прямых вот конкретно задача Ну где-то в другой заче Может быть там три или четыре прямых и это на самом деле очень хорошо Ну что же нам теперь осталось Нати уравнение двух ключевых прямых од из них проходит через точ скки соответственно через точку касания Давайте точки сразу обозначим скажем точки и точки и тогда что у нас с вами будет прямая из вот этого семейства всех возможных прямых проходит через фиксированную точку Ну координаты этой точки известны значит они уверяют уравнение нашей прямой значит что мы с вами делаем вместо X подставляем Давайте координат точки напишем сначала 65 0 и вместо Иса подставляем 6/5 вместо и 0 тогда получаем 0 ра 6/5 -1 Ну отсюда это 65 А ну а значит а это 5/6 а 5 Давайте подпишем уравнение прямой Y ра 56x -1 всё с одной точкой разобрались теперь вторая координата точки N как мы их найдём Ну вообще-то раз точка лежит на двух линиях сразу значит здесь возможны Различные подходы Ну давайте я покажу вам самый простой алгебраический значит выписываем уравнение двух наших линии лежит у нас ми точка на прямой вида X - 1 и лежит точка N на ветви гиперболы которая соответственно номер два Вот это -6 / x + 5 поскольку соответственно точка лежат на двух линиях сразу значит систем у нас появилась игрики слева одинаковые значит право части совпадают да Значит получается что давайте здесь AX - 1 Это то же самое что - 6 / x + 5 Ну а теперь что мы хотим от этого соответственного уравнения и сначала системы Мы хотим чтобы у система было одно единственное решение Почему Потому что Точка касания А значит и у получившихся уравнения тоже одно решение домново в одну часть а X к - 6x + 6 = я утверждаю что это уравнение квадратная почему я это утверждаю потому что мы с вами чётко понимаем что Прямая возрастающая значит коэффициент э угловой здесь положительный то есть а Боше Ну дополнительная информация Ну прекрасно значит уравнение точно нелинейное Если бы а было равно бы ли мы что хотим мы хотим чтобы этого квадратного уравнения был о корень а это когда случается восьмой класс вернулись сказали тогда когда дис ра мы уже чётко знаем что диск ра Ну у нас будет ко диск посчитали это будет 36 6 4 А 24 приравняли к нулю данное выражение и получили Что А - это сколько 3624 12 32 подписали уравнение этой прямой получается что 3/2 X - 1 Ну и собственно всё задача у наша решена ещё раз давайте возвратимся к тому что мы сделали мы поняли что любая Зелёная прямая которая лежит между жёлтыми и ни в коем случае с ними не совпадает это наша всё можно написать ответ Итак ответ нас устраивают все значения параметра а от сих до сих то есть от 5/6 угловые коэффициенты Да посмотрели до 3/2 и что получается получается что задача наша полностью решена четыре балла напоминая за это задание положили себе в кармашек конечно задача с параметром самая сложная И по моему мнению самая интересная задача во всём варианте профиля кто-то может не согласиться сказать Вот есть олимпиадная задача есть сложная геометрия Сколько людей столько может быть мнений но тем не менее очень важно что задача решаема сказать Ну это какой-то Древний Древний номер таких уже никогда не будет ещё раз Возвращаюсь с начала и говорю что очень много задач с модулями стали появляться в вариантах реального ЕГ в последние годы А значит эта тема точно и к ней Конечно же нужно готовиться вы чётко можете расчитывать на мою помощь и на всякий случай Напомни что у меня ещё есть Telegram канал где я рассказываю о всех своих активности в том числе и про все интенсивы и про дополнительные занятия и кучу материалов там выкладываем поэтому по ссылочки в описании можете сразу подписаться Ну и что самое главное занимайтесь и у вас тогда точно всё получится ну а с вами был Андрей Павликов