ЕГЭ 2025 Математика. Задача 13. Сложное уравнение: как решить проблемы с ОДЗ?

друзья мои Снова рад вас приветствовать И сейчас я задаю конечно риторический вопрос Какая же задача из ро части самая простая В профильной математике Ну конечно номер 13 - это уравнение напомню что здесь встречаются тригонометрические уравнения показательные логарифмические а также смешные и вот эти смешные могут оказаться совсем даже не смешными то есть иногда непонятно что с ними делать в плане одз и здесь я напомню вам что Я обратился к вам с просьбой в Telegram канал накидывают мне задач которые вы хотите обсудить и вот подписчица проявила активность вот эта Задачка сейчас появляется и говорит А вот я не знаю что делать СЗ самото уравнение вроде бы не сложное А как разобраться с одз и Нужно ли вообще разбираться добавлю я и ответ вы увидите в этом ролике и сразу вас хочу порадовать что такие ролики Я планирую делать часто А значит ваша цель проявлять активность присылайте ваши задачки я с большим удовольствием буду их разбирать Ну что же переходим к доске Ну что же приступаем перед нами смешанное уравнение не самое приятное была бы просто тригонометрия либо логарифм всё было бы хорошо а здесь тригонометрия есть логарифмы есть ещё и показательная функции то есть намешали всё что только можно Ну что же тем не менее раз логарифм появился значит напрашивается выписать в явном виде одз давайте так и поступим То есть то что мы логарифми вот это всё большое выражение 3 в Степе 2x + 52 sin x ми 6 коси к Ми 2 должно быть рого больше ну и вот здесь нас ми ждёт большущая проблема Да собственно которой подписчица и написала уравнение то вроде решить можно а вот что делать с одз не знаю давайте подумаем что мы с этой одз можем сделать с этим неравенством Мы видим что оно смешанного типа тоже неприятно Да логарифм ушёл но тригонометрии показатель функция оста вопрос Смогу ли я решить данно нераст ответ невид за время экзамена Так скорее нет чем да тогда Следующий вопрос а нужно ли мне его решать Ну кажется что да Потому что я же хочу работать с одз тогда что мне делать получается вроде бы я одз выписываю но найти её не могу Какая же от этого польза А польза действительно пока не очевидная но тем не менее сейчас мы с вами увидим Где же эта самая польза есть Итак Давайте ещё раз подумаем что мы хотим мы хотим решить задачу значит и левая и правая части уравнения должны иметь смысл но правая часть имеет смысл При любом значении X А вот ле Не факт что при любом да Тогда мы говорим Ну на секундочку представим себе что вс-таки мы это неравенство каким-то чудом смогли решить и Почему ещё собственно я не советую вам его решать потому что у вас есть не разница пятнадцатый номер вот там решайте А здесь же Ну всё-таки предположим что мы решили и говорим а какой следующий шаг мы бы делали мы бы представили правую часть в виде логарифма с тем же самым основанием что и в левой части давайте так и постум тогда мы получаем с вами Ну формально пока логарифмическое Давайте уравнение его будем называть всё-таки не смешанным Почему Потому что слева логарифм справа логарифм и тогда у нас что получается логарифми по основанию 9 9 в Степе X И вот тогда если логарифмы равны то получается что и выражения которые мы логарифми тоже равны Вот это мы с вами напишем 3 Степе 2x + 52 sinx - 6 коси к x - 2 равняется 9 степени x и вот здесь сделаем небольшую паузу В чём смысл этой паузы Давайте в явном виде Увидим что правая часть данного уравнения просто замечательная она больше нуля Почему Потому что в правой части показательная функции Но что это означает это означает для нас колоссальное достижение В чём это достижение заключается А в том что если правая часть на са вами больше нуля а левая часть равна правой части то подняв глазки на пару строчек выше Мы видим что левая часть участвует Вот в это неравен и нам необходимо чтобы выражение стоящее в левой части было строго больше нуля Так мы только что это увидели значит делаем вывод любое Решение вот этого уравнения автоматически попадёт вз Почему Потому что выражение стоящее в левой части даного уравнения равно выражение ще в правой части уравне А это выражение строго больше нуля вывод давайте я Фикси любое решение уравнение стрелочки показываю вот этого да входит вз и вот как только мы это зафиксировали дальше никаких проблем нет Само нераст тепер решать не нужно Давайте ещё раз зафиксируем Почему Потому что те решения которые мы найдём для них это условие выполняется А для того что мы не найдём какая разница выполняется или нет это всё равно не решение Ну а дальше Просто замечаем что 3 в степени 2x по свойст степеней это тоже самое что 3к в степени x то есть 9е а значит вот это выражение подчеркну давайте так з Вот это выражение и вот это выражение просто Взаимно пропадают и остаётся 52 ми 6 коси к ми то есть мы с вами из Рив Иво тригонометрическое уравнение ну правда есть небольшая проблемка есть синус и косинус но эта проблема легко решается в силу того что косинус во второй степени значит Отт нам в помощь и здесь Напоминаю Вам что самый лучший ваш друг - это скобки Поэтому если вы заменяйте квадрат косинуса какой-то формулы Возьмите всю эту формулу скобки и точно всё будет хорошо Ну а дальше эти скобки аккуратненько Раскройте что мы получаем 52 -6 П 6 сину ква X Ми 2 ра или что тоже самое 6 си к x П 52 sin -8 ра Ну теперь на прак сделать замену очень простую если можете обойтись без замены замечательно Не обязательно значит эту замену делать теперь Вопрос какие значения Т может принимать Но поскольку на сину функции ограни от ми то и по логике не может поть других значений Сможет ли ты принимать все значения из промежутка от мину оно до оного Я пока не знаю почему я не знаю Ну потому что должно же вот это условие выполняться а я его собственно в явном виде ты так и не нашёл Но для себя мы имеем в виду Да что синус А значит и т из промежутка от ми1 до 2 и тогда наше уравнение Квадратное 6t к + 52t - 8 ра 0 у него очевидно есть корни Потому что свободный коэффициент отрицательный найдём дискриминант 5к значит 25 это 50 А -4 x 6 24 и 24 x 8 сколько же это будет 160 Да ещё 32 192 получается Угу получается 192 со знаком плюс проверьте арифметику Ну на самом деле то что я считаю в уме в данном случае вроде бы это не сложно но на экзамене вам совет письменно это делайте потому что вы потом сможете быстро проверку сделать ну Давайте ещё раз 6 и 8 48 и надо ещё умножить на 4 160 и 32 192 Да проверку сделал отлично получается 242 тут у меня червячок сомнений должен появиться это вообще-то неточный квадрат как же я изле корень может быть всё-таки у меня ошибка в арифметике Да нет вроде я проверил всё хорошо тогда давайте обратим внимание Вот на что здесь в условии есть ре2 то есть то что кран получился не точным квадратом это не так страшно потому что вот этот коре зада ВС равно присутствует Значит надо представить это число в виде произведения дву множителей небольшая ссылочка к теории чисел Да как 2х 121 Ну а это уже как раз всё хорошо да Потому что когда будем извлекать корень из дискриминанта то получаем 112 √2 здесь √2 здесь Значит на сале всё хорошо и тогда вычисляем корни первый корень -52 + 112 мы делим на удвоенную шестёрку здесь получается 11 - 5 - это 6 62 6 и 6 сократилось √2 на 2 осталось √2 на 2 это кстати табличное число Значит мы для обратной замены уже здесь решения какие-то найдём второе значение Т это будет -52 -12 делим на дво шестёрку То есть получается -12 делим на 12 Но поскольку уже 16 больше чем 12 16 ко2 тем более больше чем 12 значит это число точно меньше чем -1 я зафиксировал что это меньше чем ми еди и мне пока этого достаточно а теперь делаю обратную замену обратная замену что ГТ Мне нужно решить два простых уравнения первое мо рано этому чис чит Это ко Ну я могу сразу написать ответ и здесь у нас тве серии серия Пер 4 п серия вторая 3пи 4 п ну здесь конечно же куча вопросов Можно писать оди бук при лосе значени Ну и второй случай когда у нас ми sin x ра тут можно сократить на 4 но необходимости в этом нет Да просто пишем -12 на 12 меньше чем -1 и значок что здесь нет решений Почему Потому что наша функция синус значение и промежутка от мину о до о видите нам даже не приш сломать голову а всели значение принимат Вот это значение может принимать Да замечательно других нам не нужно а у нас вами решён мы нашли две серии и готовы перейти к пункту б Итак мы с вами переходим к пункту б это отбор корней на заданном промежутке давайте я напомню серии которые мы получили серия была вида Пи на 4 п 2 пик и серия вида 3 пин 4 плю 2 пик в обеих сериях у нас с вами к целая и сразу задаю вопрос А каким способом отбора корней на промежутке вы пользуетесь Лично я на годовом курсе ребятам показывают три способа это отбор при помощи единичной окружности это отбор при помощи двойных неравенств и это отбор методом подбора А вы повторяю можете пользоваться любым из них может быть даже какие-то другие например там графические способ или ещё какой-нибудь можно придумать В общем делитесь в комментариях Ну а я повторяю что вот эти три способа Я почему именно их показываю потому что они наиболее удобные наиболее понятные И самое главное что при использовании этих способов труднее всего допустить ошибку Кстати а уравнение тринадцатый номер мы с ребятами на гоном курсе начинаем изучать уже с октября к курсу Вы можете присоединиться в любой момент времени но чем раньше вы сделаете это тем лучше по ссылочки описание все условия и мы с вами увидимся на занятиях Итак что я здесь предлагаю самый наглядный способ - это окружность давайте я именно его изберут Если у вас есть предпочтение к методу неравенства или соответственно методу подбора Напишите об этом значит в следующем ролике я покажу другие способы что мы с вами должны обязательно сделать когда мы отбираем кор при помощи окру мы с вами первое должны показать концевые точки того промежутка который нам дали это точки -2 пи и соответственно а мину пи на2 дальше обязательно показываем дугу причём всегда идём от меньшего к большему да то есть вот эта дуга была бы ошибкой а вот эта дуга она наша то есть мы идём с вами против числовой стрелки от меньшего к большему Вот она наша дуга следующий шаг мы показываем все серии которые нашли Вот одна серия вот вторая серия теперь сразу отмечаем достоинство метода в том что мы визуально видим что ровно две точки попали на нашу дугу и значит в ответе в пункте б должно быть ровно два числовых значения и сразу ещё напоминание Да что в пункте А у нас вами серии в ответе А в пункте б конкретные точки Ну и этот метод хорош тогда когда у нас вами меньше целого оборота если больше оборота уже получается улиточка Ну кому-то уже не очень удобно можно нарисовать не сти Можно на одной соответственно спиральку рисовать это уже как говорится дело вкуса Да вы выбираете тот метод повторяю который Вам удобен теперь вопрос чему же вот эти значения равны Ну конечно было бы грубой ошибка написать что это Пи на 4 и 3 Пи на 4 хотя бы из тех соображений что у нас числа которые могут быть на этом отрезке только отрицательные как же мы можем получить Пи на 4 3 на4 ответ никак значит делаем вывод чтобы попасть в эту точку нам нужно пойти Из точки 34 в обратном направлении сколько пройти Ну наверно целый Круг Почему гово наверно ну потому что пока я не уверен потому что мы с вами вообще-то должны попасть сначала в зону отрицательных чисел а там посмотреть А вдруг нам дали бы не вот этот промежуток а скажем ми 100 пи до мину 98 С5 пи значи надо было бы сделать много-много оборотов Ну 50 если бы точно да в отрицательно написано 2пи что такое к - это целое число какое целое число Ну давайте возьмём минус едини получается что это п 2пи ум на -1 то есть Пи на 4 - 2пи - 7 Пи на 4 Ну -7 Пи на 4 которое мы нашли действительно из нашего промежутка Да потому что больше чем -2 пи и меньше чем ми пи надо отлично значит мы всё с вами правильно делаем второй X из серии 3пи 4 + 2пи также берм начальную точку и добавляем 2пи у -1 то есть получаем 3 Пи на 4 - 2 пи - 5 Пи на 4 и также это число между числом -2 пи и ми пи на 2 и тоже его подписываем важный момент да Давайте ещё раз по оформлению концевые точки есть вся дуга выделена серии отмечены значение явно вычислены и подписаны на окружности И после этого подводим итог нашей работы итог нашей работы это всегда ответ причём в ответе обязательно Покажите Что относится к пункту А что относится к пункту б чтобы проверяющий не ломал голову потому что он увидит что у вас там есть серии точки Скат А что к чему относится Я не понимаю давайте-ка я лучше сниж оценку зачем это нужно Итак серия номер оди пи 4 п 2 пик серия номер д и в обеих сериях у нас вами Ну давайте я напишу словами целое число а можно значком можно словами можно просто цее и в пункте мы нашли с вами два корня можно в том порядке как находили можно в порядке возрастания как вам нравится так и делайте Самое главное чтобы их было ровно столько сколько нужно и вычислить они были правильно И вот теперь я могу сказать заветные слова задача полностью решена Ну что ж Как видите ничего сложного не было важно было понять Как устроена одз и не тратить лишние силы на её нахождение потому что неравенство действительно не простое такие нераст вы Ну наверное научитесь решать только на первом курсе в университете и то для этого понадобится аппарат производ да то есть много дополнительных знаний Ну а здесь я хочу отметить следующее что тот кто принимает решение быстро тот получает лучшие условия тот кто проявляет активность передаю привет подписчице которая прислала эту задачу тот получает ответы на свои вопросы поэтому ещё раз вас призываю Будьте активны а Telegram канал по ссылочки в описании на него подпишитесь и туда можете смело мне накидывать задачки я буду делать по математи задачах ролики Ну а с вами был Андрей Павликов