BAC MAROC SM 2024 - session rattrapage mathématiques- Corrigé Exercice 4 algèbre groupes

bonjour à tous Aujourd'hui on s'intéresse au bac Scien mat du Maroc toujours des très beaux sujets on est ici sur un exercice qui n'est pas au programme du tout des terminales en France s exerci sur les structures algébriques donc les groupes anneau homomorphisme groupe commutatif et cetera il y a plein de choses alors c'est plutôt des applications de cours donc c'est pas très difficile mais c'est des notions qui sont très abstraites donc on est parti tout de suite avec un exercice qui vraiment ressemble à ce des an pass souvent les mêm types d'exercices c'est vérification un petit peu des notions et des propriétés du cours donc on note c'est l'ensemble n complex d'accord mun donc de la loi de composition interne étoile ici on vous définit cette loi donc onétudier et première partie tout de suite les premières questions on va utiliser cette loi sur un couple le couple 1 ensuite montrer que la loi interne n'est pas commutative montrer qu'elle est associative don ça c'est toutes les propriétés des lois vérifier encore une égalité donc ça c'est l'application et on déduire que c'est étoile n'est pas un groupe voilà après petite étude sur la stabilité d'un sous-ensemble et on verra après pour la partie 2 donc on démarre tout de suite cette partie donc vérifier que 1 étoile 2 é= 2 donc là j'ai la loi qui est écrite en haut donc ça veut dire que 1 étoile 2i vous allez appliquer ce qu'il y a au-dessus alors évidemment voyz qu'il faut avoir X et Y donc le 1 c'est 1 + donc i x 0 donc le X vaut 1 le y vaut 0 étoile donc 0 + 2 x i donc i x 2 ça c'est vraiment pour détailler donc ça veut dire que X vaut 1 y vaut 0 x prime vaut 0 y Prim vaut 2 dans la pratique on va plus vite que ça donc j'applique ici on a donc X Y prime donc la partie réelle du prier fois la partie iminaire du 2è donc 1 x 2 donc 2 + y donc vaut 0 puiss 5 x 0 + i donc FO y y Prim mais comme y vaut 0 ça fait x 0 donc FO 2 donc on obtient effectivement 2 donc c'est parfait une voi qui est pas évidente des puissances 5 et cetera faut juste vraiment appliquer ça tranquillement donc première question on a déjà terminé maintenant montrer que cette loi donc de composition interne est pas commutative al tout d'abord on vous demande pas mais elle est bien interne on voit bien que ici quand on l'utilise ceci c'est un réel et vous avez plus i fo y y Prim qui est un réel donc on arrive bien chez les complexes donc c'est bien une loi interne on part de complexe et on arrive on multiplie enfin on a donc une opération sur des comple complex qui arrive sur des complexes sur un complexe donc c'est bien une lo interne alors pour la question donc 1 B montrer qu'elle n'est pas commutative donc là on va essayer je pense de trouver un exemple simple là on vous a fait 1 x 2i = 2 donc je propose d'essayer 2i x 1 alors combien va faire 2i x 1 donc j'applique al faut très doucement ça veut dire que 2i al hein ça fait 0 + donc 2i étoile 1 + 0i donc on en dédit que X vaut 0 et y Prim vaut 0 donc quand j'applique x va 0 là il me reste y5 x Prim donc ça fait 2^ 5 x x Prim qui vaut 1 + i X Y y prime qui vaut 0 donc il me reste 2^ 5 ça fait 16 donc on en déduit que 1 éto 2i est différent de 2i é 1 ça veut dire dire qu'ici vous n'avez pas la commutativité donc étoile n'est pas commutative la deuxème question maintenant montrer que la loi est associative donc ça veut dire qu'il faut que je prenne trois couples donc X X Prim x second y y Prim y second appartenant donc à R6 je vais donc calculer x + y é X' + iy' ensuite étoile XS + Ys il faudra en parallèle que je calcule la même chose en mettant les parallèles en de et les parenthèses en 2è donc ça veut dire x + y étoile donc X' + iy Prim étoile x second + iys c'est juste purement technique ça alors première étape est simple je recopie ce qui est écrit en haut ça c'est donc mon premier produit maintenant je fais avec celui-ci donc je dois prendre la partie du premier donc xy' + y5x' xpé par y' c'est-à-dire ici y second + y5 donc c'est le couple y y prime à la puissance 5 x x prime donc le X second + i que multiplie le produit des deux parties donc c'est y y Prim y2 ça ça va ça va assez bien donc ici on va peut-être développer donc j'ai x y' y2 plus on va mettre dans l'ordre x Prim y5 y seconde + y5 y Prim seconde y x + i y y prime y2 on regarde maintenant l'autre pour le premier ici produit c'est facile j'ai pris celui-ci j'ai rajouté à chaque fois ici une apostrophe de plus donc X' Ys y' 5 et cetera et maintenant on fait donc alors on va avoir donc X fois ici X Y prime y second c'est x x'e + la puissance 5 le y le y à puissance 5 donc le y c'est lui donc y^iss 5 x prime x prime donc c'est tout ça X' Ys + y'e 5 x second + i X Y y prime donc ici le produit donc des deux parties magires ça c'est très simple ça retrouve exactement la même alors ici j'ai donc bien X Y prime y2 c'est parfait vous voyez on va au fur à mesure c'est ce que j'avais ici donc c'est bon ensuite plus donc je ce premier produit alors je vais le mettre dans l'ordre X' y5 y2 c'est parfait voyez on a bien le même il reste un petit morceau ici donc plus dans l'ordre donc Xe ensuite je vais mettre le y et y Prim et voil comme ça j'ai oublié personne il manque une puissance 5 ici et vous voyez que là j'ai encore une fois ce terme c'est parfait il me reste la partie donc ici avec le y y Prim y donc c'est parfait c'est la même chose d'accord on obtient vous voyez la même chose donc la loi étoile est associative 3è question petite a encore un calcul qui nous servira certainement dans la suite donc 1 éto 1 + 2i donc ça veut dire qu'ici alors x ça fait 1 x y prime donc x 2 y5 alors ici la partie imaginaire est nulle donc ça fait 0 pu 5 x x Prim qui voit mais ça fera 0 plus i fo le produit de parties imaginair ça fait 0 x 2 il n reste effectivement ici uniquement donc question terminée en déduire donc que c étoile n'est pas un groupe question donc 3B en déduire que c étoile n'est pas un groupe alors supposons que c étoile est un groupe dans ce cas-là et bien le nombre donc 1 admet un symétrique je pour la éto i donc ça veut dire que j'ai é grand Z qui sera égal à l'élément neut je vais appeler et en même temps on aurait grand Z étoile 1 qui serait égal à e donc on sait que on a vu que 1 é 2i est égal à 2 est égal à 1 é 1 + 2i c'est veut dire qu'on a 1 étoile quelque chose qui est égal à étoile autre chose donc là regardez des deux côtés à gauche on va utiliser Z donc ça veut dire qu'ici Z é 1 é 2i va être égal à Z étoile 1 étoile 1 + 2i dans ce cas-là par associativité ça ferait Z éto 1 étoile 2i qui serait égal à Z é 1 étoile donc 1 + 2i Z étoile 1 par définition de Z qui est symétrique de 1 ça donne l'élément neutre hein je vais pas pousser mais eu c'est le neutre on a un groupe il y a donc un neutre donc supposons un groupe D de neutre e voilà c'est qu'ici j'aurais e étoile 2i qui serait égal à e é 1 + 2i comme c'est le neutre ça fait 2i on aurait 2i = 1 + 2i et ça c'est absurde d'accord puisqu'ils sont différents ça veut dire que 1 sera égal à 0 voyez donc la supposition est fausse ça veut dire que c étoile n'est pas un groupe donc dans la question 4 on considère un sous-ensemble de C doncéléments qui s'écrivent x + y avec X réel et y réel non non nul montrer que E est stable dans C étoile bon déjà E est bien inclus dans C d'accord il y a pas de souci ensuite la stabilité donc on va prendre et bien deux éléments de on va montrer qu'on est bien dans e donc je prends 4 réel dans R donc cro r C r éto C r éto d'accord donc c'est un sous-ensemble qui est pas très compliqué en fait donc ici je vais faire x + iy étoile x Prim + y Prim i j'utilise ma loie donc c'est facile ça va me donner donc X Y Prim + y5 x Prim + i yy Prim donc qu'est-ce qu'il faut montrer bon ben déjà montrer qu'on a un couple avec ici quelque chose qui est réel donc ça ça app parti dermère R et ici est-ce que ça appartient à r étoile ben y est différent de 0 il est dans R étoile y prime aussi donc y y Prim est différent de 0 donc ça ça appartient bien à r étoile donc on a bien quelque chose qui s'écrit un élément de R + i fo un élément de r étoile donc ça appartient à e voilà je vais l'appeler on va faire ça bien W voilà et donc W àartir on a donc stabilité par loi étoile donc E est bien stable dans C étoil alors pour la question 4B donc on vient de montrer la stabilité donc on va dire que E étoile donc est stable donc il reste à montrer que c'est un groupe à montrer donc que c'est un groupe alors on a donc la loi étoile qui est interne ensuite la loi étoile puisqu'on est dans C elle est aussi associative d'accord puisque E est inclus e étoile est inclus dans C étoil alors on n pas encore l'élment neutre on va aller chercher le neutre ça veut dire qu'on cherche donc il faut que X + yy étoile donc X' + iy Prim il faut que ça soit donc un autre il faut que ça reste égal alors si je veux mon autre celui-ci donc plutôt mettre a et b ça sera plus simple voilà donc je cherche mon neutre dire qu'ici je dois avoir x + y donc je fais le produit ça veut dire qu'ici alors en terme formule ça fait X Y prime ça me fera donc B plus donc y5 X a + i X byy qui doit être égal à X + yy y donc on en déduit déjà que ici voyez B est égal à donc déjà B est égal à 1 le neutre à une partie imaginaire qui est égale à 1 donc ici ça veut dire que j'ai x + y5 X a qui doit être égal à X donc les X disparaissent ça veut dire que y5 X a est ég à 0 d'accord donc comme ça vrai pour tout x enfin pour tout y ça veut dire que A est égal à 0 donc mon neutre c'est i donc le neutre c'est i donc je vérifie on a bien ça i x + y ça va marcher mais regardez pourquoi ça marche donc ici XY prime ça fait donc 0 y prime 5 y5 x'e donc y ça vaut 1 donc il me reste x prime donc il me reste x voilà plus le produit des deux parties donc j'ai i y donc c'est parfait donc ça veut dire qu'on a le neutre et il se trouve que I il appartient bien il a bien une partie réelle réelle et une partie imaginaire qui est non nulle d'accord et partie imaginaire de I est différente de Z0 donc ça veut dire que I appartient à e donc on a bien le nutre qui est dans notre ensemble E ensuite il reste le symétrique donc je vais partircher du symétrique donc je vais chercher X' y'e tel que X + y é x'e + y' est égal à i ça me donne un petit système ça veut dire que déjà yy Prim est égal à donc la partie ma ça fait 1 et ensuite x y' + y5 X' est ég à 0 donc ici ça veut dire que on a y' qui est 1/ y donc ça veut dire que y' est égal à 1/ y et en même temps là je vais avoir X sur Y + y5 x Prim = 0 je transforme la première ligne je multip tout par y il reste x + y6 y prim= 0 y= 1/ y donc moi il faut x Prim ça que X Prim est ég donc de l'autre côté ça fera x y6 y Prim = 1/ y alors on a y qui est non nul donc y Prim ici est bien différent de 0 ici X sur y6 ça existe ça appartient bien à r donc effectivement le symétrique de X + y donc x + y symétrique de symétrique de ça c'est donc tout simple tout simplement j'ai chercher 1 j'ai commencé par le mauvais donc ça fait Mo X sur y6 + i X 1/ Y donc ici quel que soit donc le couple que je choisis hein j'ai x + y éto ceci qui vaut bien i avec ce complexe ici qui est bien dans e donc on a bien cette choselà alors dans l'autre sens bien regardez ça marche aussi évidemment donc si je fais ce produit et bien j'aurais donc ici xy'e donc moins X sur y6 X Y d'accord ensuite donc + y5 x'e donc ça veut dire que j'ai 1 sur y5 x x'e donc X X d'cord ça vous remarquez que ça fait 0 + i X Y y Prim qui vaut y sur Y qui vaut 1 donc on a bien dans les deux sens d'accord on a donc présence de symétrique dans notre ensemble E et là on a tout interne associatif l'élément neutre le symétrique donc on a bien e [Musique] étoile qui est un groupe alors on va montrer maintenant qu'il est non commutatif à l'aide d'un exemple alors pour exemple je vais prendre un élément de E avec un Y qui est pas égal à 1 comme ça y 5 va être grand donc je vais faire ça étoile 1 + I et on fera pareil 1 + i étoile 1 + 2i normalement avec un chance ça devrait être différent donc XY prime ça fait 1 x ça fait 1 + y5 là j'ai mon 2^ 5 x 1 c'est ma partie réelle plus y Prim al le y y'e n pas d'intérêt et l'autre ici on aura donc xy' donc 2 + y5 1 donc X' 1 donc là ça va me donner un voyez + 2i donc là je trouve 32 et un 33 + 2i tandis qu'ici je trouve 3 + 2 voyez donc ça ça n'est pas pareil donc la loi est non commutative donc ça veut dire que E étoile est un groupe non commu tatif voilà donc dans cette partie on considère un sous-ensemble d'abord donc F donc c'est l'ensemble des y i avec y apparten à étoile c'est les imaginaires pur non nuls montrer que f est un sous-groupe donc déjà on a F qui est inclu dans e donc ça veut dire que pour les lois il y a pas de problème donc on va montrer que c'est un sous-groupe donc montrons que f est donc un sous-groupe donc du groupe E étoile alors la première chose l'élément neutre l'élément neutre tout à l'heure donc on a dit que c'était i I donc appartient à F donc on a bien l'élément neutre on a montré tout à l'heure que c'était I deuxème chose maintenant stabilité d'accord donc soit donc y et y prime appartenant à r étoile si on fait donc y i étoile y prime i qu'est-ce que ça donne on a toujours la loi qui est là-haut donc c'estàd que les X valent 0 donc ici ça donne 0 + iyy Prim yy prime c'est un produit de réel nu ça appartient à r étoile donc effectivement y i étoile y prime i appartient bien à F donc a stabilité par produit stabilité donc par la loi étoile pour l'inverse on avait vu que l'inverse de X + y avec y différ de 0 c'était - x/ y6 + i/ y donc ça veut dire que donc [Musique] l'inverse par cette loi donc de y y donc ça veut dire je prends x= 0 c'est donc i sur Y or 1 sur Y effectivement ça appartient r étoile donc ça veut dire que 1 sur Y i appartient aussi à F donc on a bien l'inverse qui est dans F et on a donc les trois ches importantes élément neutre stabilité par l'étoile et la présence du symétrique le symétrique qu'il est bien dedans donc on a les trois choses on a terminé donc ça veut dire qu'on a bien F est un sous-groupe de e étoile deuxème question petite a donc on considère application Phi d'accord qui a x associé x + i B elle va bien de r dans C ça c'est pas un problème Phi de r = g alors g je vais le recopier quand même j'ai c'est l'ensemble des complex qui s'écrit x + i avec X1 réel donc l'ensemble des complexes de parties imaginaires 1 alors tout d'abord Phi de r = g alors pour tout x appartenant à r on va vraiment essayer d'être complet x + i ben ça appartient à C c'est la somme d'un réel et de i d'un complexe donc ça veut dire que fi de X appartient à r première chose donc on est bien dans R ensuite ici x appartient à R accord donc x + i c'est bien sous la forme d'un élément de G donc X+ appartient à G conclusion pH x ça appartient à G donc f r est inclu dans G maintenant il faut montrer que f r est ég à G autrement dit il faut montrer que tout élément de G est bien atteint par Ph donc soit donc on va prendre y appartenant à G dans ce CASL il existe x appartenant à r tel que y s'écrit x + i d'accord donc on remarque que Phi X est égal à X + I et donc égal à y donc effectivement dire que y appartient à Phi de r donc ça veut dire que ici tout élément de G est dans fi donc G est inclu dans fi par double inclusion bilan double inclusion fi de R est donc égal à G puisque fi de R est inclus dans G j'ai est inclus dans fi de r donc fi de R est égal à G maintenant on va montrer que pH est un homomorphisme de R+ vers C- donc déjà il va bien de de r donc dans C donc ça c'est pas un problème par contre il faut montrer que et bien donc on prend un couple donc soit alors on va prendre A et B appartenant donc à R et bien il faut calculer Phi de a donc étoile donc pardon plus c'est de R+ vers étoile il faut montrer que pH de A + B est égal à Phi de a étoile Phi B donc je vais calculer de séparément pH de A + B donc ça fait A + B + i d'accord donc ça c'est ce qu'on nous a dit c'est j'aiutilisé F ensuite fi DEA é fi de B ça veut dire que je dois faire donc a + i étoile B + i j'utilise en ha toujours ma définition donc de la loi étoile plus facile à D depuis le début vousvez remarqué donc ici on a X Y Prim donc a x 1 plus le y d'ici donc 1 pu 5 1 FO le X d'ici donc B + B + i fo le prod de parties imaginair 1 x 1 donc je trouve A + B + i donc effectivement on vient montrer que quel que soi A et B appartenant j'ai c'est R2 évidemment appartenant R2 et bien pH A + B est ég éto F B donc F est bien ce qu'on appelleomorphisme donc de R+ vers C étoile alors pour la dernière question donc j'ai étoile est un groupe commutatif on va remarquer quelques chose parce que f est un homomorphisme ça serait pratique d'avoir un homomorphisme de groupe le problème c'est queon a vu tout à l'heure que c étoil n'était pas un groupe de je vais réduire un petit peu on remarque que quel que soit x appartenant donc à r f x c'est donc x + i vous voyez que ça appartient à ecord e c'est l' emble donc des X + y i avec y différent de et on sait que justement e étoile est un groupe donc Phi hein va bien de R+ dans e étoile d'accord et c'est donc un homomorphisme de groupe donc Phi est un homo morphisme de groupe 2 R+ vers E étoile et donc propriétés des homomorphises de groupes l'image donc ici euh d'un groupe est un groupe ça veut dire que donc Phi euh de R est un groupe d'accord puisque fi est un nom F groupe l'image un groupe est un groupe donc fi de R est un groupe et donc et comme on a montré que F était égal à G ça veut dire que alors un groupe pour la loi évidemment d'arrivé donc un groupe pour la loi étoile donc g étoile est un groupe et maintenant il reste à montrer juste qu'il est commutatif alors c'est assez évident parce que quel que soit a et b donc appartenant donc on va les prendre dans G c'estàd qu'il existe X et on va prendre y appartenant à r tel que donc r car g² tel que donc pH de X est égal à donc x + I est ég à a et Phi y est ég y + I est ég à B dans ce cas-là et bien Phi x euh pH y c'est donc puisque c'est un morphis Phi de X + y d'accord c'est donc Phi y + x c'est donc pH que c'est un morphice F de y éto pH ça veut dire qu'ici a é B est donc égal à B étoile a donc vous voyez notre groupe ici j'ai est commutatif comme image d'un groupe commutatif donc g étoile est commutatif on a terminé cet exercice donc sur les groupes les structures algébrique je vous souhaite une bonne fin de journée à très bientôt