BAC MAROC SM 2024 - session rattrapage mathématiques- - Corrigé Ex1 analyse

bonjour à tous Aujourd'hui on s'intéresse au bac du Maroc le bac sm c'est la session rattrapage 2024 avec un très bel exercice encore une fois l'exercice 1 c'est de l'analyse il y a du travail donc on est parti il s'agit ici de l'étude d'une fonction fonction qui dépend d'un paramètre entier n n un entier naturel supérieur ou égal à 2 cette fonction est définie sur R + étoile FN de 0 vaut 0 et pour tout x strictement positif FN X est égal à X x puiss n L N x on est parti avec cette étude alors évidemment comme d'habitude si vous n'avez pas fait ce sujet et bien vous mettez pause et vous essayez au fur à mesure de répondre à ces questions il s'agit d'être rigoureux a des justifications donc première question montrer que FN est continue à droite en zéro j'ai mis le sujet en lien sous la description de la vidéo pour ceux qui voir le donc un exemplaire pour pouvoir travailler le sujet dans son intégralité ici j'ai représenté donc en fonction de n les courbes ça c'est la courbe de F2 puis F3 F4 et cetera voyez ce qu'on voit c'est que quand ici on on rapproche X de 0 et bien la courbe semble se rapprocher de l'origine ce qui incite à penser que cette fonction effectivement elle est continue en zé donc ce qu'il faut montrer pour la continuité en zéro c'est que la limite de la fonction quand X se rapproche 0 c'est bien la valeur qui a été choisie on a choisi FN de 0 = 0 donc on va essayer de montrer que la limite de FN de X donc voilà ce qu'il faut montrer que la limite de FN x quand x tend vers 0 alors quand x tend vers 0 c'est sousentendu que X reste ici he strictement positif hein donc ce sera du 0+ il faut montrer que cette limite elle est égale à 0 c'est du 0+ parce que la fonction est définie sur 0 + infini donc la limite alors c'est assez simple simple on est sur le thème des croissances comparé il faut savoir que quand n est non nul et bien la limite de X puissance n ln de X et bien est égale à 0 c'est X qui va donner sa limite où la puissance de X X X2 X3 il faut ici avoir un entier naturel non nul et ça c'est quand x tend verers 0 ici x étant donc strictement positif donc ensuite par addition assez simple hein donc là ici on peut justifier en mettant croissance comparé et ici par addition la limite quand x T verers 0 de X c'est égal à 0 donc par addition par soustraction ici la limite quand x T 0 de X- x^iss n ln x on a ici deux expressions qui tendent vers 0 la différence t elle aussi vers 0 donc la limite quand x tend vers 0 de FN de X elle est égale à 0 elle est égale aussi donc à FN de 0 et donc ça et bien ça montre bien la continuité de FN FN est continue donc à droite en 0 à droite parce effectivement je répéter c'est la limite donc à droite pour la question suivante limite en plus plus l'infini de FN donc ici c'est assez simple parce que on a donc x x N ln x alors on a une ce qu'on appelle donc une forme indéterminée parce que en plus infini donc x tend vers plus infini x^iss n al comme n est supérieur ou égale à 2 ça tend vers plus infini on multiplie par ln X qui tend vers plus infini donc là vous avez une formme déterminée plus infini moins plus l'infini donc il faut faire quelque chose et bien on va factoriser tout simplement par ici x donc ça donne x x 1 - x^ n - 1 ln de X et là c'est très simple parce que le X lui tend vers plus infini d'accord on réigera bien sûr tout ça et dans notre parenthèse le 1 c'est une constante x^iss n - 1 donc n - 1 est supérieur ou égal à 1 donc ça ça tend vers plus infini ln x aussi donc dans la parenthèse ça tend vers moins l'infini donc par produit et bien ça tend vers moins l'infini on rédige ça tout de suite tout d'abord n donc est suéri égal à 2 donc on peut factoriser sans aucun problème par X hein ça ne fait pas de division he par X donc pas la peine de préciser x non nul ensuite on indique les différentes limites on va donc indiquer ici notre factorisation hein qui est valable donc on va on va dire donc pour tout x suée ou égale à 0 je rappelle que n -1 est super strictement à 0 ensuite n -1 est strictement positif donc ça veut dire que la limite de x^iss n - 1 en plus infini c'est plus infini pareil pour ln par produit ensuite on fait notre petite soustraction 1 moins ça ça tendra vers moins l'infini par produit par X qui tend aussi vers plus infini ça fait moins l'infini et donc FN tend vers plus infini tend vers moins l'infini en plus l'infini donc maintenant FNX sur X alors on a déjà factorisé par X donc ça va aller assez vite on a donc FNX sur X qui vaut 1- x pu N- n x j'ai pris strictement positif et ici on a vu on vient de le dire çaattendait vers moins l'infini donc on a bien ces deux limites interprétation graphique donc du résultat obtenu on dira donc que la courbe CN admet une branche parabolique ou une direction asymptotique de direction Oy en plus l'infini la question c'est montrer que FN est dérivable à droite en 0 que son nombre dérivé à droite en Z0 est égal à 1 alors on va donc pour tout x strictement positif on va prendre FN X- fn0 sur X- 0 ce qui donne X- xn ln X sur X on simplifie et il faut regarder la limite donc en 0 à droite donc ici et bien on a encore une fois une croissance comparé hein N-1 est strictement donc positif on va mettre même supérieur ou égal à 1 donc ça veut dire par croissance comparée la limite de X pu pu n ln X et bien c'est X pu1 qui va donner sa limite c'est 0 quand x tend donc vers 0 plus en étant donc strictement positif donc par soustraction la limite de FN X- FN 0 sur X- 0 quand x t ver 0 en étant strictement positif c'est donc égal à 1 voilà et donc et bien ça veut dire que FN dérivable à droite en 0 et son nombre dérivé c'est 1 FN dérivable à droite en 0 FN prime en 0 x ég 1 c'est toujours un nombre dérivé à droite alors les trois fonctions celle qui a x associe x celle qui a x associe x puissance n avec N supé 2 et celle qui assoi à X ln x elles sont toutes dérivables sur 0 + infini ouvert donc par différen C produit FN est dérivable sur donc 0 + infini ouver en Z0 ça veut dire qu'on va pouvoir dériver assez facilement en plus FN prime X ça sera donc alors on dérive x donc 1 ensuite vous avez la dériv xn n x donc c'est un produit donc on drive d'abord xn donc c'est du N xn - 1 ln x plus donc maintenant on dérive ln x donc xn FO la dérivée de N qui est 1/ x donc je développe 1- alors on va mettre ce terme d'abord xn X X X 1/ X ça fait xn- 1 d'accord et ensuite n xn - 1 LM x c'est exactement ce qu'on nous propose donc c'est bon on peut continuer tranquillement la question suivante alors il faut montrer que FN est strictement croissante sur le ferm 01 strictement décroissante sur le ferm 1+ inf alors j'ai regardé rapidement FN prime 1 effectivement quand je remplace par 1 ça fait bien 0 donc maainant il faut trouver en fait le signe de la dérivée avant 1 et après 1 on a dit tout à l'heure que F n prime 0 était égal à 1 c'est donc strictement positif maintenant on va regarder sur donc donc pas sû mais pour X entre 0 et 1 strictement pour X compris entre 0 alors si vous regardez FN prime X est en deux parties il y a 1- X+ N- 1 c'est pas si évident je vais lesett comme ceci et plus donc N xn- ln X il se trouve que ces deux expressions elles ont le même signe si on prend x entre 0 et 1 et bien xn 1 est aussi entre 0 et 1 parce que n - 1 est supéri ou égal à 1 d'accord parce qu'on utilise une fonction strictement croissante sur 0 donc ça conserve l'ordre ensuite ici on fait 1 - xn - 1 on voit assez vite que ça donne des nombres entre 0 et 1 donc ça veut dire que pour X entre 0 et 1 1 - x^ n - 1 est strictement positif ensuite et ben x^ n - 1 est strictement positif ln x on est avant 1 donc c'est strictement négatif ça veut dire que N x N - 1 ln X est strictement positif donc vous ajoutez ici deux quantités strictement positif ça veut dire que pour tout x appartenant à 01 ouvert FN prime X est donc strictement positif on fait maintenant un travail similaire pour X strictement plus grand que 1 donc 1 - x^ n - 1 ça va être strictement négatif hein et n xn - 1 ln x va être he tout est positif sauf le moins donc c'est strictement négatif donc en ajoutant on a FN prime X qui sera strictement négatif donc on peut faire fa un tableau tin de FN prime on fait une petite conclusion sur l'ouvert donc on a montré que FN prime était strictement positif donc paruité la fonction est strictement croissante sur le ferm pareil sur 1 plus infini donc fermé ouvert en 1 FN Prim strictement négatif donc par continuité de FN FN est strictement décroissante sur 1 plus l'infini fermé en ha question 2 à montrer donc ici cette inégalité alors c'est entre Fn + 1 x et FN x donc je prends n su 2 x 0 et j'estime Fn + x - FN x donc j'ai les formules et donc x - x N + 1 ln x moin x - xn ln de X donc on que les X se simplifie ensuite on peut factoriser par X puissance n donc j'auris x^ n ici j'aur ln x moins même je peux factoriser par le ln aussi xn ln x on a donc 1 moin ici j'ai xn + 1 donc 1- x donc vous voy que le signe est très facile alors ici on a un problème parce que cette expression vous voyez elle est valable uniquement pour X strictement positif donc là j'ai juste un petit correctif à faire on va d'abord travailler pour X strictement positif donc on a ceci hein donc X est strictement positif donc ça veut dire que et bien ici a un petit problème de signe au niveau du ln parce qu'il va changer mais le le 1- x aussi donc on va faire un petit tableau l'autre signe sera plus simple on a ceci donc x alors je suis travaillé à partir 0 donc je pas en é0 j'ai donc F alors je vais mettre le signe de alors xn il est strictement positif donc c'est pas la peine de je mettre dans le tableau je vais mettre ln X et 1 - x d'accord et comme ça j'aurai le signe de cette différence Fn + 1 x FN de X pour X strictement positif donc le ln change de sign en 0 c'est -+ 1 - x change aussi de signant 0 c'est plus Mo que c'est décroissant donc ça ça fait Mo donc effectivement donc pour tout x strictement positif pour tout on a bien fn+ x donc c'est touour inf c'est inf parfa juste vérifier pour 0 alors c'est Simp que pour X0 Fn + 1 de 0 est égal à FN de 0 les deux valent donn dans le texte 0 donc ça veut dire que et bien cette inégalité elle est vraie pour tout x strictement vrai pour X suérieur égal à 0 c'est parfait question très simple enire les positions relatives entre CN et CN + 1 bon ben Fn + 1 x est toujours plus petit ou égal à FN x donc c + 1 est toujours en dessous de CN et d'après le tableau qu'on avait précisé he et elle se coupe et se coupe au point d'abscisse au point d'abscisse donc on avait vu 0 et 1 on peut aller chercher les coordonnées si on veut FN de0 c'est 0 donc on va même donner les points un point de coordonné donc 0 c'est l'origine et ensuite FN de 1 donc je remplace par 1 ça fait 1 donc le point de coordonnée 1 donc encord A et B voilà comme ça on a été complet sur cette question rapidement sur ch bras ça c'est donc la courbe de F2 donc C2 voyz qu'ici C3 C3 plus j'ai la trac on voit bien qu'ici à chaque fois c'est en dessous et toutes les courbes se coupent au point A et B don les coordonnées sont effectivement ici 00 et 11 donc ça corrobore tout notre travail question 3 donc montrer que pour tout n supé égal à 2 il existe un unique réel alpha dans l'ouvert 1 2 tel que FN alpha n est ég à 0 donc là on est sur un théorème de la bijection qui on a unicité demandé donc on va regarder FN sur l'intervalle fermé 1 2 donc sur le ferm 1 2 qu'est-ce qu'on sait on a vu que FN estue on sait que FN est donc on est sur une partie de l'interval 1 + infini FN est strictement décroissante que l'interval 1 2 est inclu dans l'interval 1 plus l'infini ensuite FN de 1 on l' déjà calculé ça fait 1 il nous reste à évaluer donc FN 1 c'est strictement positif maintenant il faut évaluer FN 2 alors FN 2 c'est donc 2 - 2^iss N ln 2 alors le texte nous dit de prendre ln 2 é= à 0,7 un peu étrange mais bon on va faire avec donc on suppose on suppose que ln 2 est égal à 0,7 ça veut dire que donc comme n est supérieur ou égal à 2 2^iss N et donc supérieur ou égal à 4 d'accord donc 2^iss n ln 2 est donc sué égal à 4 x 0,7 donc ça veut dire que de ln 2 est censé être supérieur égale à 4 x 7 28 donc 2,8 donc ça veut dire que FN de 2 et donc c'est dire que 2 - 2^iss N ln 2 ça c'est plus petit donc avec le moins ça sera plus petit que - 2,8 donc ça c'est plus petit que - 0,8 ça veut dire que FN 2 est strictement négatif ça c'est important d'avoir le signe alors pour éviter cette drôle d'hypothèse N2 é= 0,7 je pense qu'on aurait pu vous dire que on admet que N2 est entre 0,6 et 0,7 d'accord on sait donc que2 est plus grand que 0,6 ln 2 est donc plus grand que 0,6 2^iss n est donc supérie égal à 4 donc le produit de puissance n ln 2 donc plus grand que 4 x 6 24 que 2,4 d'accord donc ça veut dire que - 2 ln 2 est infé égal à - 2,4 si j'ajoute c'est que 2 - 2^ N ln 2 est égal à 0,4 c'est donc strictement négatif donc FN 2 est strictement négatif voilà comme on aurait pu faire on applique donc le théorème deobjection FNX = 0 donc l'équation unique solution alpha N qui est forcément sur l'ouvert puisque comme l'image de 1 est strictement positif et l'image de 2 est strictement négatif la solution n'est pas ni 1 ni 2 voilà pourquoi on peut ouvrir question 3B vérifier donc que pour tout n sué é 2 alpha puiss alpha pu n l al é donc qu'est-ce qu'on sait sur ALP n + 1 pour tout n su 2 onit que Fn + 1 al + 1 0 question 3 qui nous dit ça puisque n + est forcément su ég à 2 donc on peut appliquer la question 3 donc ça veut dire que si je remplace expression de Fn + 1 ça me donne alpha n + moins donc ici j'utilise FN x donc ici j'ai x^iss n + 1 donc j'auris alpha n + 1 à la puiss n + 1 x N de Alpha n + 1 et c'est égal à 0 je factorise par Alpha n + 1 il me reste 1 - ALP n + 1 puiss n x N ALP n + 1 qui est égal à 0 c'est un produit alpha n + 1 on a vu est différent de 0 donc on peut diviser il me reste donc al 1- ALP n + 1 puiss n ln alpha n + 1 ég à 0 donc effectivement en mettant ça à droite et en inversant on a alpha n + 1 la puissance n FO ln donc de Alpha n + 1 est bien égal à a question 3C maintenant FN de Alpha n + 1 alors on va regarder donc pour tout n supée ég à 2 FN alpha n + vaut combien donc je remplace dans FN x ça fait donc alpha n + 1 alpha n + 1 puiss n ln de Alpha n + 1 moi je dois retrouver alpha n + 1 - 1 donc ici qu'est-ce qu'on a dans la question Pr Alpha n + 1 pu n alpha c'est exactement ce qu'on vient de trouver donc ça fait effectivement alpha n + 1 1 he j'ai utilisé juste ici la question 3B donc c'est une question vraiment très facile la question 3D question intéressante montrer que la suite alpha n pour n supé 2 ainsi défini strictement décroissant alors qu'est-ce qu'on sait on veut nous comparer alpha N et Alpha n + 1 et on vient de montrer que donc pour tout n super égal à 2 on a montré que FN de Alpha n + 1 est égal alpha n + 1 - 1 mais on sait que Alpha n + 1 on sait que pour tout n su ég à 2 alpha n appartient à l'interval 1 2 donc ça que Alpha n + 1 aussi donc ça veut dire que Alpha n 1 est plus grand que 1 donc alpha n + 1 -1 est strictement positif ça veut dire qu'on a ceci d'accord de plus on sait que FN de Alpha n est égal à 0 donc avec ces deux chosesl on a déd que FN de Alpha n + 1 et plus grand on va mettre dans l'utre sens FN alpha n est donc plus petit que FN de Alpha n + 1 d'accord on a donc ici des images hein qui sont rangé dans un certain ordre avec une fonction fnin donc on sait que les deux sont sur un 2 et on sait que sur un 2 FN est strictement décroissante très important ça ved qu'ici les antécédents sont rangés dans dans l'ordre inverse leurs images ça veut dire que donc c'est dire qu'il a inversion alpha N + 1 se retrouve strictement plus petit que Alpha n ça c'est parce que la fonction FN est strictement décroissante et donc la suite alpha n pour N supéri 2 et bien elle est strictement décroissante question pas si simple que ça à corriger c'est toujours facile mais il faut penser vraiment à utiliser tout ce qu'on vient de faire avant et notamment ceci et l'appartenance des alpha n à 1 2 et la strict décroissante sur l'intervalle 1 plus infini la question 3 est très simple on déduire que la suite alpha n converge ben on vient de montrer qu'elle était décroissante elle est strictement décroissante donc décroissante elle est murée par un parce que tous les ALP sont entre 1 et 2 donc une suite décroissante minoré thorme de convergence monotone ou limite monotone alpha N et donc la suite convergente on passe à la question 4 c'est la dernière donc on sait que la suite converge on appelle l la limite montrer que cette limite est entre 1 et 2 donc pour tout n supé égal à 2 on sait que Alpha n est strictement entre 1 et 2 donc passage à la limite et bien ça veut dire que la limite de Alphan sera donc en alors P ton passage l'inégalité strictes seront transformment en l' donc elle est entre 1 et 2 donc ça ça reste simple question donc 4B montré que pour tout SuperG n -1 est ég à ln de ln de Alpha n sur ln de Alpha n alors là on a que du ln alpn on va peut-être revenir à la définition hein pour tout n supéri égale à 2 on sait c'est que FN de Alpha n est égal à 0 donc ça veut dire que Alpha n Mo alpha n puiss n ln alpha n est égal à 0 alors on a ln de ln donc ça indique qu'ici on va certainement prendre du ln donc ça veut dire que ça on va travailler par équivalence ou bon par implication ça suffira donc ceci donc alors on a ici du N-1 donc on va on avait tout à l'heure simplifié par Alpha n alpha n est différent de 0 donc ça veut dire qu'on peut diviser ça fait 1- alpha n n - 1 ln alpha n = 0 donc ça veut dire si je mets ça à droite ça fait donc ça est égal à 1 on passe au logarithme là on peut he parce que ça ça 1 donc ici 0 est égal à ln de Alpha nn - 1 ln de Alpha n c'est parfait ensuite on va séparer ici logarithme en de alors pour séparer il faut justifie que tout est positif donc effectivement on a un produit ici alpha n puiss n - 1 est strictement positif donc on peut séparer ça dire qu'ici vos deux facteurs sont strictement positifs donc ça fait 0 = ln de Alpha n puiss N- 1 + ln de ln de Alpha n c'est parfait c'est ce qu'on voulait maintenant ici on va sortir la puissance les propriété du logarithme on met ça on met un terme d'un côté et de l'autre alors si on veut obtenir celui-ci directement il faut en mettre plutôt égal 0 à droite là je vais sortir ici la puissance mettre ce terme de l'autre côté regarder ça donne donc n - 1 x ln donc de Alpha N qui est égal à moin ln de ln de Alpha n alors alpha n est stuctement plus grand que 1 donc ça veut dire que ln de Alpha n est différent de 0 donc je peux diviser sans problème j'obtiens à gauche donc n - 1 = à moin donc ln de ln de Alpha n sur ln de Alpha n c'est exactement ce qu'on voulait question 4C maintenant on suppose donc strictement plus grand que 1 donc ici he supposons strictement plus grand que donc ici on a l qui est strictement plus grand que 1 et on savait queelle était inféri ou égale à 2 d'accord donc ça veut dire que la limite quand n quand n tend vers plus l'infini de Alpha n c'est donc l d'accord donc la limite quav plus l'infini de ln de Alpha n par composition c'est donc ln de l continuité du logarithme ici sur R + étoile maintenant on a du ln de ln de Alpha n donc une deuxème fois composition par logarithme ln de ln de Alpha n en limite ça donnera alors ici il faut quand même préciser que ln de l est donc strictement positif et infé égal à ln de 2 qui est lui-même donc euh strictement plus petit que 1 alors on va pas avoir besoin de strictement plus petit que en fait on a juste besoin strictement positif parce que ici notre limite ln de n est donc strictement positive donc par continuité de ln quand même l'écrire hein ici on utilise la continuité de ln en ici donc alpha n donc en L d'accord appartenant donc à A0 plus l'infini et ici on utilise la continuité de ln parce que je réutilise en cette fois-ci en ln l puisque ln l appartient aussi à 0 plus l'infini donc ça veut dire qu'ici c'est ln de ln de l la limite vois et ici ln ln l on va vérifier que c'est non nul comme ça on va pouvoir faire une division et donc par quotient ici par quotient la limite de ln de ln de Alpha n sur ln de Alpha n ça sera donc ln ln l sur ln l VO peut diviser he puisqueici on a une limite différente de 0 la question suivante enant la valeur de la limite alors qu'est-ce qu'on peut faire de la question 4C la précédente regardez l'égalité qu'on avait ici on avait à gauche N- 1 à droite ln de N alpha n sur N alpha N à gauche si on fait tendre vers plus infini et bien c'est vers ça tend vers plus infini à droite ça tend vers une constante moins ln ln l sur ln donc on a ici une absurdité hein donc ça veut dire que la supposition qu'on avait fait dans la question 4C bien elle est fausse donc l n'est pas strictement plus grand que 1 il reste qu'une seule possibilité c'est l é= 1 on va écrire donc supposons strictement plus grand que 1 la limite de n - 1 c'est plusinini la limite de ln l alpha n sur ln alpha n c'est ceci c'est un réel donc ici on a un possibilité absurdité absurde si on regarde la question donc 3B 4B parce qu'on ferait un passage à la limite ici qui serait qui donnerait quelque chose de faux donc conclusion l est donc inf ég 1 or appartient à l'intervalle 1 2 donc est égal on a terminé cet exercice voilà j'espère que j'ai été clair en tout cas j'ai fait le maximum je vous souhaite une bonne fin de journée à tous et à très bientôt