Kleine Gruppen

herzlich willkommen heute beschäftigen uns ein bisschen mit endlichen Gruppen wie immer euch versteht man nicht im Video sondern nur aus dem Off und ich wiederhole das was ihr sagt okay ihr habt euch in Vorbereitung mit unterschiedlichen ähm Symmetrie Gruppen befasst m von regelmäßigen Vielecken und das wollen wir jetzt mal systematisieren das schauen wir uns mal im Detail an und wir beginnen mal mit folgender Struktur nämlich wir schauen uns mal die drehsymmetrien des gleichseitigen Dreiecks an gleichseitig okay drehsymmetrien des gleichseitigen Dreiecks so welche gibt's denn da welche gibt's da drehsymmetrie des gleichseitigen Dreiecks welche Drehung bildet das gleichseitig Dreieck auf sich selbst ab Simba Drehung die Drehung um 360° okay die Drehung um 360° ist ja die Drehung die Hexe Identität genau also wir haben auf jeden Fall mal die Identität die ist gleich die Drehung um 360° oder die Drehung um 720° und so weiter ne das braucht man natürlich nicht alles separat auühen weil die gleiche Abbildung ist so das die Abbildung die nix macht letztenendes also das Dreieck ABC auf das Dreieck ABC abbildet okay welche Drehungen gibt's noch beim gleichseitigen Dreieck Hexe die Drehung 120° und die Drehung 240° genau es gibt ja drei deckdrehungen sozusagen und insgesamt drehe ich 360° das heißt ein Drittel davon sind 120° 240° und dann 360° ist Identität gibt's noch weitere deckdrehung beim gleichseitigen Dreieck nee okay so dann schauen wir mal ob das eine Gruppe ist ne die Menge der deckdrehungen des gleichseitigen Dreiecks mit der Verkettung als Verknüpfung und dazu können wir eine verknüpfungstafel aufstellen weil es halt eine endliche Gruppe ist das heißt wir können uns tatsächlich mal alle Ergebnisse aufschreiben und das Ding angucken so los geht's wie füllt man so eine Tabelle aus ihr habt es genug Erfahrung gesammelt zu Hause wie geht sowas ein bisschen systematisch und schneller wie fängt man da an das Wissen mehr los geht's wie fängt man an an was kann man als erstes machen die Identität verknüpften mit allem anderen ne weil was passiert denn wenn ich die Identität verknüpfen mit der Identität passiert ja es gar nichts nicht ja genau die idtität ist ja die Abbildung die gar nichts ändert sozusagen und dann bleibt nur die andere übrig mit der ich verknüpfe also kann ich doch schon mal die erste Zeile Zeile und die erste Spalte ausfüllen ne weil Idee links oder rechts dran verknüpft immer das gleiche ergibt okay weiter geht's das ist eigentlich leichter Anfang ne ja wie geht's weiter ja Stopp die Drehung um 240° verkettet mit der Drehung 120° gibt eine Drehung um 360° also was schreibe ich da rein Idee genau mach weiter Trung 120° mit der träung 240° da gibt auch die Identität okay sehr gut und jetzt fehlt noch ein paar Sachen ja um 120° gedreht und 120° gedreht gibt 20 okay ja um 240° und noch mal um 240° gedreht die Drehung um 480° und das sind halt 360° + 120 ne okay gut jetzt ähm ist das eine Gruppe was müssen wir prüfen um zu schauen ob es eine Gruppe ist welche Axiome ja erstmal die Abgeschlossenheit wie kann man anhand einer solchen Tabelle feststellen ob die Verknüpfung abgeschlossen ist ja eine Lücke haben okay bzw ja wenn ob da irgendwas drin steht was nicht in unserer Menge ist wie wir betrachten ne also wenn h drin irgendwie Drehung um 170° rauskämen oder so und die nicht bereits in unserer Menge drin ist dann hätten wir ein abgeschlossenheitsproblem aber alles was hier drin steht kommt bereits in unserer Menge vor also alles das was hier drin steht steht auch hier am Rand ne okay Abgeschlossenheit Check ja die Assoziativität wie prüft man [Musik] das könnte man machen Problem das ist die kommutativität nicht die Assoziativität Mist Assoziativität bedeutet a verknüpft mit B und dann verknüpft mit C ist das gleiche wie a verknüpft mit B verknüpft mit C wie können wir die Assoziativität hier prüfen theoretisch müsste man es entweder allgemein zeigen oder alle möglichen Kombinationen durchprüfen wenn man nicht eine bestimmte Sache wüsste die im letzten Mal hervorgehoben haben erinnert sich jemand was bei der Verknüpfung von Abbildungen der Fall ist nee wir hatten so ein Maschinenmodell uns angeschaut und gesehen die Verknüpfung von Abbildungen ist immer assoziativ egal um welche Abbildung es sich dreht und begründet mit dem Maschinenmodell ja erinnert ihr euch das sah so aus wir haben hier eine Abbildung a dann haben wir eine Abbildung B und dann haben wir eine Abbildung C das sind wie so kleine Maschinen mit input output ne ich tue was in die erste Abbildung rein dann kommt das Bild der ersten Abbildung raus mit in der Abbildung B reingesteckt das Bild kommt hier raus wird in die Abbildung C reingesteckt und unten kommt das Gesamtergebnis aus Verkettung von drei Abbildungen und ob ich jetzt die ersten beiden zusammen als eine Maschine betrachte die innen drin nichts anderes macht als durch A und durch B durchzuschleusen oder ob ich die zweite zweite und die dritte Abbildung als Maschine betrachte und nichts anderes passiert als da inen drin durch B und C durchzuschleusen ne insgesamt wird immer durch a durch B durch C durchgeschleust egal welche von denen ich als größere Maschine zusammenpacke so das ist das Maschinenmodell und man kann sozusagen oder ihr dürft argumentieren immer wenn es sich um Abbildungen handelt die man verkettet das ist assoziativ und bei diesen drehsymmetrien und deckabbildung und so weiter das Abbildung die verkettet werden also Assoziativität ist gegeben Abgeschlossenheit haben wir Assoziativität haben wir gibt es ein neutralelement Hexe genau das neutralelement können wir identifizieren indem wir schauen in welcher Zeile steht das gleiche wie hier in der zeilenüberschrift das ist bei Idee der Fall und dann muss beim selben Element auch in der jeweiligen Spalte dasselbe stehen wie in der Zeilen Überschrift okay und IDE macht ja nichts mit diesen Elementen und nichts mit diesen Elementen das heißt hier ran kann man sehen IDE ist das neutralelement so was fehlt jetzt noch für ein Axion wir haben Abgeschlossenheit Assoziativität und Existenz eines neutralelements was fehlt noch ja genau es muss zu jedem Element ein Inverses Element geben und dann schauen wir mal gibt's zu Idee ein Inverses Element ja aha Idee ne Idee und Idee ergibt Idee mhm gibt zu d120 ein Inverses Element um 240 genau da kommt dieide raus und das muss natürlich auch anders herum funktionieren ne links und rechts dran verknüpft also d240 an d120 gibt auch Idee die sind sich gegenseitig inverse Elemente okay es gibt zu jedem Element ein Inverses Element ist eine Gruppe sehr schön können wir schauen ob die Gruppe kommutativ ist woran sieht man das an der Tafel also ist ja nicht notwendig für eine Gruppe ne ist n notwendig wenn wir eine abelsche Gruppe haben wollen aber wir können mal schauen woran sieht man an so einer Tabelle ob die Verknüpfung kommutativ ist ja ach ich habe mich gerade vertan nehmen wir mal das hier Idee und 240 kommt 240 raus und kommutativ müsste [Musik] bedeuten okay du hattest ein anderes Element gemeint nämlich was wolltest du dir anschauen ja genau also 120 verknüpf 240 dasselbe wie 240 verknüpf 120 jemand noch ein anderes Beispiel du wollst gleich sagen worum es geht nämlich so das gespiegelt an dieser diagonal gib dieses Element und umgedreht das gespiegelt in der diagonal der gib dieses hier die Diagonale an der Diagonale spielen bedeutet ich tausche Zeile und Spalte und dann muss es gleiche rauskommen das heißt wenn das hier gespiegelt wenn wenn die Elemente die in der Tabelle stehen symmetrisch sind zu dieser Spiegelachse dann ist das eine kommutative Gruppe okay jetzt haben wir uns an diesem einfachen Beispiel der drehsymmetrien des gleichseitigen Dreiecks überlegt wie man die Abgeschlossenheit prüft hier drin dürfen nur Elemente vorkommen die auch in der Ausgangsmenge vorkommen die Assoziativität ist gegeben wegen dem Maschinenmodell weil wir Abbildungen verknüpfen Abbildung verketten neutralelement ist klar es muss so eine Idee geben das nichts verändert und inverse Elemente muss halt jedem Element ein Element geben bei dem IDE rauskommt und kommutativität teste ich mit Hilfe der Diagonalen okay das ist eine dreielementige Gruppe und wir haben hier ganz konkret drehsymmetrien im gleichseitigen Dreieck wir könnten auch uns irgendeine andere dreielementige Gruppe basteln die nennen wir jetzt die wird irgendwie verknüpft und dann gibt's e als neutralelement und die Elemente A und B und E als neutralelement und die Elemente A und B das sind irgendwelche Elemente und ich definiere jetzt wie ich die miteinander m was die ergeben also e und e soll e ergeben das soll a ergeben das B E und A soll a ergeben E und B soll B ergeben und außerdem soll a und a b ergeben und B und B a und a und b soll e ergeben und das soll auch e ergeben so ich habe irgendeine Menge EAB mit irgendeiner Verknüpfung und das sind die Ergebnisse ist das hier eine Gruppe alle mal scharf hinsehen ja gen ach so das genau das gleiche ne die Struktur von den beiden Tabellen ist identisch ich habe nur die Elemente umbenannt und die Verknüpfung unbenannt die sindind aber trotzdem identisch aus von der Struktur her ihr könnt jetzt hier umbenennen das in E umbenennen das in a umbenennen das in B umbenennen und die Verkettung die Verknüpfung umbenennen und schon ist es die iche Tabelle ich muss es also da nicht noch mal prüfen das ist ein Begriff mit dem werden wir uns in zwei Wochen beschäftigen diese beiden Gruppen sind isomor strukturgleich so ich möchte jetzt mit euch eine andere dreielementige Gruppe basteln die nicht Struktur ist gleich ist mit der e soll das neutralelement sein also wir brauchen ja ein neutralelement okay e soll das neutralelement sein so was können wir jetzt machen lass mal loslegen soll anders aussehen als die hier von der Struktur was wirdst du als erstes machen also gut ein neutralelement brauchen wir und das Schreiben wir immer als erstes hin und dann okay bleibt uns nichts anderes übg als das hier zu machen so und jetzt a verknüpft mit a zu e ja genau okay warum bleibt uns nichts anderes übrig weil ansonsten landen wir wieder bei dem hier okay mach mal weiter B verknüpft mit B ist e B verknüpft mit A wird a und a verknüpft mit B wä B okay ist das eine Gruppe nee ne warum ist es keine Gruppe wer sieht's wer sieht warum das keine Gruppe ist irgendwas müsste einem komisch vorkommen guck mal scharfen was kommt euch komisch vor ja sind dann B die Spiegelung ist nicht gegeben A mit B er gibt B aber B mit a gibt a okay ist also keine kommutative Gruppe kommutativität muss nicht gegeben sein also kommutativ ist es nicht okay kein Problem könnte trotzdem eine Gruppe sein ist es aber trotzdem nicht warum Hexe hier kommt zweimal a raus in dieser Spalte E verknüpft mit a ergibt A und B verknüpft mit a ergibt a warum kann das nicht sein weil B ein zweites neutralelement in diesem Falle wäre ja aber das geht ja nicht also wir haben es let mal bewiesen es kann nur ein neutral geben das highilender Prinzip es kann nur einen geben es darf in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element nur einmal vorkommen man spielt sozusagen soku okay das ist das darf nicht der Fall sein hier z x B und das darf auch nicht der Fall sein z a okay das heißt wenn wir so Doku spielen und das hier schon vorgegeben ist und jeder Zeile in der Spalte darf jedes Element nur einmal vorkommen wen wir sonst ein neutral und Inverses Problem hätten okay ähm wie muss ich das vervollständigen also hier darf nicht B stehen sonst würde es zweimal hier vorkommen also wo muss es hin hier was muss dann dahin mm was muss dann hierhin okay und dann muss hier a hin ne und das ist exakt diese Struktur hier Fazit es gibt nur eine einzige Struktur eine einzige Gruppe mit drei Elementen wenn man mal von Umbenennung von Elementen absieht ne also bis auf Isomorphie sagt man gibt's nur eine einzige mögliche Struktur be eine Gruppe mit drei Elementen diese da okay und das meinte ich mit wir systematisieren das jetzt mal also es gibt nur eine einzige Gruppe mit drei Elementen und jetzt fangen wir mal ganz vorne an gibt es eine Gruppe mit nur einem Element habt ihr bei den Aufgaben eine Gruppe Gruppe gefunden mit nur einem Element irgendeine deckabbildungsgruppe nur einem einzigen Element oder wie müsste eine Gruppe aussehen die nur ein Element hat ja nur die Identität genau ne wir haben die Identität und die verknü verketten wir dann kommt nur die Identität raus ist das eine Gruppe gibt's neutralelement ja die Identität ähm abgeslossenheit fangen wir an abgeschlossen ja klar kommt Identität vor assoziativ sowieso kommt eh immer nur Identität raus ähm neutralelement gibt und zu Idee gibt's auch ein inversis fertig ist eine Gruppe und ist auch die einzig mögliche mit einem Element ich kann ja kann ja nicht variieren oder so ähm was für eine deckabbildungsgruppe könnte das sein von welcher Figur ja die drehsymmetrien eines gleichschenkligen Dreiecks z.B ja oder irgendeiner asymmetrischen Figur also nehmen wir doch mal die hier so welche deckdrehung gibt's nur Drehung um 360° so die Gruppe hier so also es gibt nur eine einzige Gruppe mit einem Element ja interessant dre deckdrehungen eines Kreises wie viele gibt's unendlich viele das heißt dann sind wir im Bereich der unendlichen Gruppen okay wir basteln uns eine zweielementige Gruppe was können wir machen wie fangen wir am besten an ah hier finden überall Bauarbeiten statt ist ja voll nervig ey alles auf dem Video drauf wie fangen wir an wenn wir zweite Gruppe basteln na ja als erstes machen wir mal die Identität die ab arbeiten wir ab ne weil das ist ja super easy hier so okay was muss jetzt hier stehen zu Doku Identität genau also a zu sich selbst invers zwei elemtige Gruppe und es gibt keine andere Möglichkeit ne wenn man einmal diese Zeit und Spalte ausgefüllt hat habe ich nur die Wahl für Identität hier weil ich ein Inverses zu a brauche das ist a selbst kommt Identität raus okay was für eine deckabbildungsgruppe könnte das sein oder was für eine symmetriegruppe etwas was ne der ität nur eine weitere ja die deckabbildung vom gleichschenkligen Dreieck okay nämlich welche gibt's da ja die Achsenspiegelung an der Achse A die zu sich selbst invers ist wenn s in der Achse A Spiegel wieder zurückspiegel kommt das Gleiche raus das heißt achsenspiegelungen sind zu sich selbst invers selbstinvers sagt man auch okay und die Drehung um 360° genau zusammenfassen bis zu dem Punkt es gibt bis auf Isomorphie also strukturgleichheit mit Umbenennung und so nur eine einzige einelementige Gruppe von der Struktur her nur eine einzige zweielementige Gruppe und nur eine einzige dreielementige Gruppe jetzt schauen wir uns die vierelementigen an habt ihr eine vierelementige Gruppe bei der Vorbereitung rausgefunden eine Gruppe mit vier Elementen mhm die dre die drehsymmetrien des Quadrats okay wir haben ein Quadrat a b CD und wir haben die drehsymmetrien des Quadrats welche gibt's da so die Drehung um 90° die Drehung 180° und die Drehung um 270° so dre 270° okay klar das können wir sofort machen hier die Verknüpfung mit Identität ist klar ne so das können wir sofort ausfüllen hier sind wir gleich fertig so und wie geht's weiter Drehung um 90° verknüpft mit den da oben was muss ich nur machen wenn ich diese Zeile hier ausfüllen will Drehung 90° verknüpft mit diesen drei Drehungen hier was was kommt hier hin ja 180 180 träung 180° und hierhin wie kommt man da so schnell drauf h ja dann die Identität genau na wir müssen halt zu den da oben immer 90° drauf adieren ne genauso hier müssen wir 180° drauf adieren das heißt dann kommen wir hier zu D270 hier zu Identität und hier zu Drehung um 90° und hier die 270 + D90 ist die Identität dann haben wir hier D9 und da die 180 so okay ist das eine Gruppe let's go gibt's gibt's ist es abgeschlossen du nist warum n ja kommen nur die Elemente hier vor die wir an der Ausgangsmenge haben Abgeschlossenheit gilt Assoziativität deswegen Maschinenmodell Check okay gibt's ein neutralelement gibt's neutralelement nämlich Identität okay ist immer bei diesen Abbildungen so ähm gibt's zu jedem Element ein Inverses ja weil sehr schön in jeder Zeile und in jeder Spalte kommt irgendwo einmal Idee vor ne egal welch Element ich anschaue es gibt immer irgendanderes mit dem es zusammen Idee ergibt von links und von rechts dran verknüpft das heißt in jeder Zeile niederspalte kommt mindestens eine Idee vor okay ist die Gruppe kommutativ ja weil genau es ist ja wurscht ob ich immer erst um einen Winkel Alpha und dann Beta drehe oder erst um Beta und dann Alpha ne okay ist also eine kommutative Gruppe auch in dem Fall gut gibt's noch eine andere Gruppe mit vier Elementen eine wirklich fundamental andere Gruppe von der Struktur her also nicht nur die kann unbenannt werden und dann sieht die genauso aus sondern sieh wirklich anders hat jemand eine gefunden in der Vorbereitung schauen wir uns die vielleicht mal gemeinsam an jetzt nehmen wir nicht nur die Drehungen sondern die deckabbildungen also Drehungen und Achsenspiegelung das Rechtecks so das wissen wir schon das kann man immer hin schreiben welche deckabbildungen gibt es beim Rechteck die Drehung 180° die nenne ich jetzt einfach mal D ist es okay weil es gibt nur eine Drehung mhm die Achsenspiegelung an S und die Achsenspiegelung an t so los geht's also die erste Zeit in die erste Spalte kann man gleich ausfüllen und das ist auch echt ein guter Hinweis für irgendwelche klausursituationen in denen man Strategien haben sollte um solche Tabellen schnell auszufüllen gut was wissen wir noch müssen wir die unterschiedlich miteinander kombinieren und da helfen manchmal die Eckpunkte die bezeichnen od das hatten wir be letzten Mal uns angeschaut das war sozusagen der Einstieg überhaupt wie kann man da vorgehen was können wir noch ausfüllen was sieht man vielleicht sogar sofort was man machen kann jeder Tabelle ja die Drehung um 180° mit der Drehung 180° verknüpft ist wieder die Identität okay ja die achsenspiegelungen sind selbst invers ne S mit S verknüpft ergibt Identität und T mit T verknüpft ergibt die Identität so und jetzt wird's ein bisschen schwieriger mhm es mit D gibt t h mhm D mit T also wir können auch mal sukziv überlegen ne wenn ich d mit T verknüpfe machen wir das noch mal so schrittweise also erstm D dann wird a hierhin abgebildet B dahin D hierhin und C hierhin na da habe ich d ausgeführt einmal 180° gedreht und jetzt spiegeln wir an t dann landet a hier D hier hier landet dann B und da C okay und was wäre das für eine Abbildung die ABCD abbildet auf ABCD Achsenspiegelung an S genau also D verknüpft mit T ergibt S und T verknüpft mit d auch sind wir uns da sicher also warum ja okay dann machen wir es doch mal ne also wir machen T mit D verknüpfen ma wir das noch mal weg komm durcheinander erst t dann landet C hier B da a hier und D da und dann drehen wir das ganze um 180° dann landet C hier D hier a landet hier und B landet hier so D sieht man es ist wieder s okay so und was können wir jetzt noch machen was ist s verknüpft mit t d und hier steht auch d okay also das kriegt man raus wenn man jetzt wirklich das alles einzeln analysiert und dann hier die entsprechende Ergebnisse reinschreibt ist das eine Gruppe hier wird schon genickt warum abgeschlossen ja sieht man Check Assoziativität ja Maschinenmodell Check gibt's neutralelement ja idecheck gibt zu jedem Element ein Inverses ja nämlich mhm ja ist selbsttiners ist die Gruppe kommutativ auch okay ist das die gleiche Gruppe wie die hier nur durch unbenennung Ja oder Nein ja genau hier habe ich eine diagonale überall IDE stehen hier ist jedes Element zu sich selbst invers hier drüben nicht das heißt das ist zum ersten Mal dass wir bei einer endlichen Gruppe zwei komplett strukturell unterschiedliche Gruppen gefunden haben nämlich einmal diese trhymmetriegruppe des Quadrats und man s macht auch das ist eine zyklische Gruppe weil man sozusagen so ein Drehmechanismus da drin hat während das hier die sogenannte kleinche viierergruppe ist so nennt man die hat den Namen okay kleinche Vierergruppe also es gibt nur eine einzige Gruppe bis auf Umbenennung und so bis auf Isomorphie mit einem Element eine mit zwei Elementen eine mit drei Elementen aber es gibt zwei unterschiedliche Gruppen mit vier Elementen und es gibt tatsächlich keine weiteren ja also jede Gruppe die vier Elemente hat ist entweder Struktur gleich mit dieser zyklischen Gruppe oder Struktur gleich mit der kleinischen Vierergruppe geht gar nicht anders so wer Lust hat kann jetzt weitermachen mit fünf Elementen sechs Elementen sieben Elementen und so weiter es gibt auch auf wikipedia eine Liste der kleinen Gruppen da kann man mal gucken wie viele gibt's da jeweils also bei fünf Elementen z.B gibt's wieder nur eine einzige Gruppe bis auf Isomorphie nämlich die drehsymmetrien des regelmäßigen 5x und so weiter so das kann man sich ein bisschen beschäftigen mit endlichen Gruppen wenn man Lust hat und noch ein bisschen weiter analysieren und das machen wir auch noch wir bleiben jetzt erstmal im Bereich der endlichen Gruppen bevor wir machen gibt's dazu noch Fragen von eurer Seite