2024-11 juin-Examen national BAC SM MAROC 2024 Sciences MATHS - Corrigé Exercice 4 Structure

bonjour à tous Aujourd'hui on s'attaque à l'exercice 4 sur les structures algébriques du bac science ma Maroc 2024 avec une loi de composition interne sappelle T qui est défini par la relation suivante ici quel que soit les deux couples que vous prenez dans C croix C étoile et bien AB t CD c'est donc ad bar + C BD d'accord et on va en fait prouver dans cet exercice que et bien c c c étoile T est un groupe non commutatif et que R croix r étoile T est un sous-groupe de ce groupe et donc on est parti alors donc cette loi interne t on prend donc elle est interne à donc c cro C étoil et on l' défini donc vous avez un couple ici d'éléments donc ici donc qui sont tous les deux dans C cro C étoil donc a esten être un complexe B un complexe non nul d'accord on prend deux couples et donc ici vous avez juste ça à réaliser c'est pas très compliqué comme opération donc on va justement prendre un exemple avec le couple I 2 et on va RT 1 i donc j'applique alors pour ceux qui ont un petit peu de mal ben je vous conseille vous mettez les lettres dessous a CD et après ici vous allez devoir écrire ad̅ + C et ensuite B x d donc pour le la première composante ici vous allez faire le premier fois le conjugué du dernier donc i fois le conjugué de i donc Mo ins i plus le 3è qui est c c'est voilà et ici vous aurez B x d donc 2 x i ça fait 2 i donc le 2 la deè composante est très simple pour l'autre ça fait - i² qui fait 1 1 + 1 donc et ben ça va faire effectivement on a bien de deici donc c'est bon on vous demande maintenant de faire dans l'autre ordre voilà est-ce que cette composition est composition est forcément commutative hein c'est l'intérêt de ce calcul voilà hein si si c'est la même chose ça n'est pas une preuve par contre si ça n'est pas même chose qu'on vient de trouver votre loi ne sera pas donc commutative donc ici on fait la même chose i donc 1 x 2 fois le conjugué de 2 mais le conjugué de 2 c'est 2 c'est un réel plus c qui est I et ensuite B x d donc 2i et je trouve 2 + I 2 i donc logique on déduire que la loi t n'est pas commutative alorsment si on avait obtenu le même nombre on aurait pas pu dire qu'elle était commutative parce que exemple ne suffit pas à faire une propriété générale par contre un contreexemple suffit à montrer qu'une chose n'est pas vraie donc ici effectivement si vous faites it I 2 composé avec t I vous trouvez que c'est différent de 1 i t I 2 donc obligatoirement t n'est pas commutative donc dans C cro C étoile question c'est montré que la loi T est associative dans C cro C étoile al là il faut montrer que en prenant donc trois couples qui sont donc dans c c c étoile cube mais il faut montrer qu'en faisant d'abord a T CD et après TEF on obtient la même chose qu'en faisant d'abord donc c d TF et en faisant ici AB t ce qu'on a obtenu donc on va faire les deux calculs et normalement on trouve assez rapidement les mêmes les mêmes expressions donc il faut faire juste attention pas se tromper donc a CD son là làut on peut recopier directement ça fait a d barre + C BD et ensuite te F donc on a dit on prend le premier fois le conjugué du dernier donc j'auris a d̅re + C XP par F bar ensuite on fait plus le 3è + E et ensuite ici on fera BDF c'est très rapide ensuite pour le deuxème on fait donc cdtef donc le produit du premier du conjé du 4e donc ça va me faire c f̅ plus le 3è e et ensuite le produit du 2e par le 4e donc d f on fait notre dernier notre dernière composition donc le premier fois le conjugué du 4e donc a x DF bar plus le 3e CF bar + E et ensuite le produit 2è et du 4e donc BDF donc déjà voyez qu'on a BDF dans les deux cas maintenant il faut regarder juste ce qui reste donc je vais développer alors peut-être déjà le 3è le trè est déjà développé donc c'est plutôt le ici je vais aller un petit peu plus loin dans notre premier calcul et vous voyez qu'on trouve donc a d bar F bar + CF bar + E BDF ensuite on a ici le produit des conjugués on sait que le produit des conjugués c'est le conjugué du produit donc j'ai bien AF bar + cf̅ + E BDF donc voyez qu'on a bien obtenu la même chose conclusion quel que soit donc notre triplet dans c c c étoile cube et bien on a donc effectiv AB t CD TEF qui vaut donc AB t donc c d T e f c'est effectivement l'assoativité qu'on vient de montrer donc T est associative donc dans c c c étoile vérifion que l'élément neutre pour t dans C croiss étoil d'abord on sait que 0 est un élément neutre pour t dans C croiss étoile si quel que soit le couple AB appartenant à c c c étoil on a donc 01 t AB qui est égal à AB T01 éivaut AB d'accord et là on prouvera que c'est un élément neutre donc on calcule tout simplement 01 T1B avec notre relation et ça donne donc 0 fois le conjugué de B mais ça fait 0 plus le 3è donc ça fait a et ensuite B x 1 B c'est bon ensuite AB t 01 donc a x 1 + 0 donc c'est bon et B x 1 voilà et donc on a réussi al vous voyez quand on fait ça on a l'impression finalement que bien l'élève n'a pas fait le calcul donc je vous conseille quand vous faites ça de mettre les petits calculs intermédiaires c'est-à-dire ici on va faire donc 0 x B + A et ensuite une x B comme ça on montre bien qu'on a été appliqué vraiment la loi t ici on va faire a x 1 + 0 et ensuite B x 1 qui donne bien AB donc première conclusion 01 est un élément neutre de T sur c c C étoil alors on sait que c'est une loi interneutre il est unique donc forcément ici c'est un neutre c'est une loi interne donc l'élément neutre c'est bien on peut on peut passer de un élément neutre à l'élément neutre on peut mettre admettre directement en faisant ça qu'on a directement l'élément neut démonstration si vous voulez supposons donc supposons qu'il a deux éléments neutres supposons que on va dire donc pour une loi donc la démonstration donc imaginons une loi étoile d'accord et donc que E étoile a soit toujours égal à a étoile e soit toujours égal à et en même temps on est e prime regardez ce que ça donne ici qu'est-ce qu'on peut avoir et bien si on applique les deux avec pour la première égale à e prime j'obtiens e étoile e prime qui est égal à e prime d'accord et en en appliquant la deuxè à e j'obtiens e prime étoile e ég à e étoile e prime que je viens de calculer ici égale e en bas mais qui a déjà été égal à e prime çaut dire voyez qu'on a facilement e é= e prime donc il y a l'unicité de l'élément neutre quand il existe pour une lo interne voilà donc on a terminé on a bien répondu à la question 3è question pour l'instant les questions sont assez simples on a déjà vu plus difficile dans ce bac sm donc là vérifier ça donc c'est simple on prendre soit AB un élément donc de c c c ettoile éile et ça veut dire qu'on peut donc considérer a sur B bar sans aucun problème ici il y a une barre et ensuite 1/ B aussi donc j'applique ma loi donc j'ai le premier fois le conjugué du dernier a x 1/ B bar plus le 3è donc moins donc+ a/ B bar je vais doucement pour bien montrer que je fais les calculs et ensuite B x 1/ B ça me donne donc a sur b̅ Mo ins a sur b̅ donc ça va s'annuler ici B x 1/ B donc ça fait 1 puisque B est non nul et j'obtiens en fait ici donc 0 1 donc effectivement quel que soit le couple AB appartenant à C cro C étoil j'ai bien AB t a sur B bar 1/ B qui vaut 01 et ça ça va être intéressant parce que c'est 1 c'est justement l'élément neutre pour t dans C croissé étoile alors maintenant il faut montrer que c croix C étoil T est un groupe non commutatif alors la première chose déjà on rappelle que effectivement T et bien est une loi donc de composition interne d'accord on a sa définition làhaut il a les données donc pas besoin de le vérifier mais on voit bien que ici le produit que vous obtenez si B et D sont non nuls et bien B x D est aussi non nul donc on on est bien dans le C étoile voilà donc ça c'est la première chose ensuite il reste trois choses à montrer tout d'abord qu'elle est associative on l'a déjà fait elle possède un élément neutre on l'a déjà fait et il faut que chaque élément hein possède un symétrique d'accord pour notre loi ou ce qu'on appelle un inverse en fonction de la notation euh additive ou ou multiplicative donc ici première chose donc on va rappeler qu'on a montré déjà que T est associatif donc T est associative donc dans c c c effectivement on est déjà sur deux choses déjà de montré ensuite t possède un élément neutre 01 qui appartient bien à C croiss il nous reste maintenant la l'existence pour chaque élément d'un symétrique d'accord et comme la loi n pas commutatif va falloir un faire dans les deux sens c'est que vous devez pour chaque x trouver alors ici c'est la loit t donc je vais mettre x alors avec la la FRAC générale ça serait x é x prime doit être égal à X' é X et doit être égal à l'élément neutre d'accord pour chaque X vous devez trou x prime qui vérifie ça donc on va utiliser la question 3A on sait déjà que pour toute couple AB donc dans C3 C étoile on a bien AB t - A sur B bar 1/ B = 01 on a bien le produit dans le dans ce sens-l donc maintenant dans l'autre re s je vais vérifier que a sur b̅ 1/ B t AB est bien égal à l'élément neutre donc j'applique la loi donc je prends le premier je multiplie par le conjugué du dernier donc FO b̅re plus le 3e + A et j'aurais ici le produit du 2e et du 4e 1 sur B x B ça fait donc je vais tout écrire pour montrer que j'ai bien fait ici j'ai donc les B bares qui se simplifient d'accord et donc je fais a + B et ici B x B ça fait 1 A + a pardon et donc j'obtiens bien 0A et donc je viens de montrer que quel que soit AB appartenant à C cro C étoile il existe un couple CD appartenant lui aussi à C étoil cro C étoil tel que AB t alors je j'ai besoin d'un tout petit peu de place donc je vaiser audessous donc on a AB t CD qui est égal à CD Tab qui est égal à l'élément neutre 01 donc ça c'est parfait on a bien donc l'existance ins symétrique pour tout élément de notre ensemble et donc avec tout ça et bien on a déduit que c croix C étoile T est un groupe alors on a vu d'après la question mais qui n'est pas commutative parce que la loi n'est pas commutative donc est un groupe non commutatif et ça c'est la question 1B qui nous permet de le dire voilà et avant de passer à question su j'insiste il faudra bien quand même dire je sais pas si j'ai bien insisté dire que cet inverse donc c'est lui hein c'est ce couple là et on a bien un sur B qui appartient à C étoil puisque B est non nul et que un sur B ne peut pas faire zé donc ici on a un quotient défini avec un numérateur non nul donc c'est bien complexe non nul et ici on a bien un complexe voilà important tous ces petits détails 4è question pe montrer que R cro r étoile est stable donc on va prendre évidemment deux éléments donc soit AB et CD appartenant don à r C r étoile au carré ça implique hein entre parenthèses c'estd que A et B sont réels et pardon a sont réel et B et D sont réel non nul donc on a vu que alors on va faire notre notre produitrere opération CD ça fait donc c'est écrit encore ad bar+ C B D alors déjà a est réel d appartient à r donc c'est que d bar est égal à D ça veut dire qu'ici on obtient ad + C BD ad C BD donc sont des donc déjà ad + C appartient r ensuite B et D appartiennent à r étoile donc le produit r étoile carré donc le produit appartient aussi à r étoile d'accord donc ça on obtient bien que AB t CD appartient donc à r C r étoile puisque la première composante est réelle et la deuxè est réelle non nul donc on a bien la stabilité donc r C r étoile est stable par la loi de composition interne t maintenant dernière question montrer que R R groupe donc de c c c éto t donc déjà première chose r C r étoile est inclus dans donc c cro C étoile c'est la première chose ensuite attaquer sur l'élément neutreélément neutre c'est 01 01 effectivement 1 est différent de 0 donc 01 appartient à r C r étoile ça veut dire que l'élément neutre est bien don notre ensemble R3 r éto ensuite il faut la stabilité on a déjà dit question précédente R 3 R étoil est stable par la loi T et ensuite l'inverse doit être dans donc on prend soit AB appartenant à r C r étoile AB alors -1 on va le noter comme ça c'est donc par T c'est in a sur B bar 1/ B donc et bien a et B sont réels donc a sur b̅ est aussi réel et 1 sur B est réel non nul donc ça veut dire que l'inverse ou symétrique de AB il appartient donc à r C r étoile d'accord et ça c'est important on a donc les trois propriétés donc ça suffit ça veut dire que R C r étoile donc T est un sous-groupe de C cro C étoil T pour ceux qui veulent éviter de parer ici de -1 vous mettez à la place le symétrique de AB donc et donc le symétrique de appartient à r C r étoile voilà alors on aurait pu aller un tout petit peu plus vite parce qu'il y a une façon de pro de prouver qu'on est un sous-groupe en une seule étape hormis l'inclusion en introduisant deux couples donc soit A B et CD appartenant donc à r C r étoile c'est un petit peu plus délicat ici parce que le symétrique est pas simple en fait il faut montrer un Montron que AB ici avec l'autre couple AB t mais son inverse le symétrique de CD c'est-à-dire C sur D bar 1 sur ici c sur D voilà pour montrer que ça ça appartient bien à r C r étoil d'accord appartient à r C r étoile avec les lettres classiques des groupes c'est le X étoile y Mo- un qui doit appartenir à notre groupe d'accord en faisant ça en fait vous montrer les trois propriétés qu'on a montré précédemment quand on fait le calcul ça donne ceci alors là on a que des réels donc le conjugué vous pouvez l'enlever donc ça ça appartient bien à R et ici B étant non nul et d non nul bien BD appartient bien à r étoile donc on a bien un élément qui est dans R C r étoile donc voilà on aurait pu faire comme ceci mais je préfère à l'autre méthode sauf que c'est pas plus long et on voit comme ça chacune des des des choses essentielles pour former un sous-groupe on a terminé cet exercice je vous souhaite une bonne fin de journée à très bientôt