Bonjour à tous, aujourd'hui je vous propose le concours TESTIA 2024, l'exercice 6 de l'épreuve 1
Limites et dérivés. Il y a 11 questions, ça va aller très vite, je ne vais pas perdre de temps, on va faire en conditions
réelles, comme vous pouvez le faire si vous êtes assez rapide. Donc on est parti, tout de suite, question 35
une limite. Tout d'abord on cherche la limite en moins infinie, alors que l'exponential x en moins infinie, ça, ça tend vers 0
l'exponential ici, alors on a moins 2x, donc le moins 2x tend vers plus infini, je regarde l'exponential en plus infinie, ça me fait plus
infini, comme il y a un moins devant, ça fera moins l'infini, c'est une soustraction, donc c'est
réponse moins l'infini, mais ça va très vite. La limite ici, ln de 2x plus 1
moins ln de 5x plus 2, alors vous devez penser à cette formule de logarithme, c'est une différence de logarithme, donc
c'est la même chose que le ln de 2x plus 1 sur 5x plus 2, alors quand on est bien entraîné sur les limites, en plus
l'infini bien sûr, à l'intérieur, eh bien on va factoriser par 2x en haut, 5x en bas, et donc tout va se comporter comme
une limite de 2x sur 5x, c'est-à-dire que
ça sera la limite de ln de 2 sur 5, donc c'est une limite
finie non nulle, donc c'est la réponse
Ensuite, le signe de x moins ln de 1 plus x
alors ça, plein de façons de le faire, mais le plus rapide, c'est de penser à la concavité de la fonction ln de 1 plus x
On va vraiment adresser un public qui connaît bien la concavité, la fonction ln de 1 plus x, elle est concave
et elle est comme ceci, c'est le logarithme de x, mais qui a été décalé
d'une unité vers la gauche, et comme elle est concave, la courbe est sous sa tangente, mais la tangente ici
de ln de 1 plus x, eh bien elle a pour équation y égale x, et donc comme ln de 1 plus x
ça correspond à une fonction concave, ça veut dire que ln de 1 plus x est toujours plus petit que x
et donc x moins ln de x, c'est toujours positif, parce que x est au-dessus, donc c'est la réponse, vous voyez, penser à ça, la concavité
ça c'est intéressant
parce qu'on peut comme ça comparer ici, en fait l'idée c'est de montrer que x est plus grand que ça
et donc ça, ça marchera quand vous avez une inégalité, une inégalité avec
d'un des deux côtés, une expression affine, penser à une tangente, ça peut être utile. Ensuite, la dérivée d'une fonction, ça c'est très simple
vraiment, on dérive ln de 1 plus x, c'est du ln de u, donc on dérive, ça fait
u' sur u, donc 1 sur 1 plus x, moins x qui est 1
x2 sur 2, ça fera 2x sur 2, ça fera donc x, vous voyez, ça c'est très rapide. Alors
le nombre x, pour la question suivante, on vient de dériver, on va s'en servir, je vais mettre rapidement le même dénominateur
donc 1 plus x, ça veut dire qu'ici j'ai moins, il faut aller très vite, donc c'est moins 1
moins x, donc quand je mets le même dénominateur, là j'aurai le 1
moins une belle identité remarquable, 1 plus x fois 1 moins x, qui me fera du 1 moins x2, mais avec une parenthèse, ça fera moins 1
plus x2, il me reste donc x2 sur 1 plus x
ce qui veut dire que pour x positif, c'est donc
positif, donc cette fonction
elle s'annule en 0, donc elle est strictement croissante, la dérivée ne s'annule qu'en 0, donc on a une fonction croissante
ça veut dire qu'ici, on va regarder ce qu'il se passe, alors en 0
et bien ça vaut 0, donc elle est croissante à partir des 0, ça veut dire que cette fonction elle est toujours
positive, donc c'est la réponse B, le signe est toujours positif
on se dépêche, donc 39, on est sur des dérivées, donc là ça va très vite dans un concours comme ça, on ne perd pas de temps, c'est de u sur v
donc u prime v moins u v prime, le dénominateur il n'y a pas de problème, donc ici je vais donc faire du
u prime, donc on a le v
moins le u fois v prime, moins c fois x plus
B, si je développe, on voit bien que acx et acx disparaissent, il me reste ici le ad
moins bc, ad moins bc c'est la réponse C, très facile aussi la suivante, on dérive x cube exponentielle moins 2x, c'est un produit
donc très simplement, alors il y aura une factorisation par exponentielle moins 2x, ça celle là elle est certaine
alors je vais avoir d'abord donc la dérivée de x3, donc 3x2
ensuite on va additionner x3 fois la dérivée de moins 2x, c'est à dire moins 2x3, donc moins 2x3
et ici, et donc vous voyez que la bonne c'est la E, attention la A ressemble un petit peu, il n'y a pas le moins de exponentielle
donc c'est la E, encore une dérivée donc très rapide, c'est de u sur v, donc on a du 2x
x cube plus 3, moins
donc on dérive le dessous de 2x, x2 plus 1, quand on développe les 2x cube disparaissent, il me reste 6
il me reste en fait ici
6x moins 2x, il me reste 4x, donc la réponse c'est 4x sur x2, 3 au carré, donc c'est la E
42 toujours le même genre de question, l'émulateur ne pose pas de problème, on dérive le haut, il y a un 2 qui
sort, donc 2 exponentielle 2x ici, pour le haut, fois le dénominateur
moins donc
la dérivée du nominateur 2, le numérateur exponentielle 2x plus 1, la dérivée du nominateur qui me laisse un exponentielle 2x, je développe tout ça
vous voyez bien qu'ici les 2 exponentielle 2x, exponentielle 2x disparaissent, il me reste l'autre, donc 6
exponentielle 2x moins
2 exponentielle
donc ici 2x qui me fait 4 exponentielle 2x, 4 exponentielle 2x, c'est nulle part, donc c'est aucune des
autres réponses
plus que 3 réponses, dérivée encore, alors dérivée ça va très vite, là c'est du u3, la dérivée du u3
je rappelle que c'est 3 u prime u carré, donc là ça fait du 3, je dérive ce qu'il y a dedans
donc moins exponentielle moins x plus 1 et on recopie exponentielle moins x plus x au carré
il ne faut pas se tromper, quelle est celle qui correspond, ça m'a tout l'air d'être la d
on peut continuer
44 une limite, alors là c'est des petites astuces, petite astuce, c'est ce qu'on appelle limite d'un taux de
variation, certains parleront du terme d'hôpital mais on va s'en passer, regardez si je pose par exemple en 44
vous avez une forme éternelle 0 sur 0, si je pose f de x égale à exponentielle x moins 1 moins x, vous remarquez que f de 0
vaut 0, vous avez donc devant vous f de x
moins f de 0 sur ici le x, donc c'est x moins 0, c'est donc un taux de variation, s'attend donc que si f est dérivable vers f prime de 0
je dérive f prime, ça prend deux secondes, exponentielle x
moins 1, je calcule f prime de 0, ça me fait exponentielle 0 qui va un moins 1, ça me donne donc 0, la réponse
c'est la D, et ce qui est magique c'est qu'on peut utiliser ça pour le 45
avec un f qui sera exponentielle 2x, j'ai quand même 2 0 égal 0, j'ai le même rapport, j'ai le même f prime, mais attention ma
dérivée est un tout petit peu différente, c'est un 2 et en 0 ça ne fait plus 0
parce que ça fera 2 moins 1, ça fera 1, donc la réponse
c'est une limite, fini, on a déjà terminé les 11 questions de cet exercice 6, à très bientôt !
