Terminale S La continuité Exercice 1 Qu'est-ce que la continuité ?

Bonjour à tous, dans cette vidéo je vais parler de continuité avec un exercice vraiment pour débuter. Qu'est-ce que la continuité ? Par le calcul, donc avec les limites. Et qu'est-ce que la continuité ? Par le graphique. Donc on va regarder si des courbes ont des trous et on va regarder ça avec GeoGebra pour bien vous comprendre. Alors voilà deux exemples de fonctions définies par deux formules qui dépendent de l'intervalle sur lequel on se place. Donc la première, vous avez donc une fonction f qui est définie avant 1 et après 1. Donc la première, c'est donc la fonction qui est définie par f2x x² plus 1 si x est inférieur ou égal à 1. C'est-à-dire que si x égale 1 vous devez prendre cette formule. Et ensuite, une deuxième expression elle vaudra 5x moins 3 si x est strictement plus grand que 1. Donc la question c'est est-elle continue en 1 ? Regardons un petit peu sur un dessin ce que ça peut donner la non-continuité. Alors ici vous voyez, vous avez deux courbes, une bleue et une rouge ici. Et vous voyez bien que les deux courbes au niveau de 1 ne se rejoignent pas. On dit que la courbe est discontinue parce que vous ne pouvez pas tracer à la fois la partie bleue et la partie rouge sans lever le crayon. Donc là on dit que la fonction ne serait pas continue en 1. Si je bouge la valeur 2b par exemple je peux rendre la fonction continue. Ici vous voyez, j'ai une fonction dont la courbe bleue et la courbe rouge se rejoignent ici au niveau du point de coordonnée 1-2, on dira puisque je peux tracer sans lever le crayon que la courbe est continue. Avec des calculs, ça va nous donner des histoires de limites. Il va falloir montrer que la limite quand on arrive par le côté bleu vers 1 va être la même que la limite quand on arrive par le côté rouge vers 1. Donc ça sera juste des petits calculs de limites simples. Donc c'est ce qu'on va faire dans ce premier exercice c'est essayer de vérifier si les deux morceaux de courbe qu'on définit se rejoignent ou pas. Alors vous avez plein de cas de figure vous voyez par exemple ici si je bouge là ça bouge les courbes sans enlever la discontinuité. Si j'enlève B vous avez ici des exemples de courbes qui ne sont pas continue et qui sont continue ici à un certain endroit. Donc première question, je vais tracer d'abord la courbe de la fonction F qu'on vous définit dans le texte. Voici ce que j'obtiens avec notre logiciel GeoGebra. Première chose, ici en bleu vous avez la partie de la courbe qui est ici avant x égale a vous avez ici la verticale donc à gauche la formule qu'on va prendre c'est x carré plus 1 et ça jusqu'à x égale 1 puisqu'on a inférieur ou égal. Donc ce point ici il faut le mettre en bleu il est sur la partie bleue ce que vous pouvez remarquer c'est que ma partie bleue et ma partie rouge se rejoignent. Donc on va démontrer que la fonction est continue. La formule que j'ai utilisé pour tracer la partie bleue c'est x carré plus 1 2x égale x carré plus 1. Pour la partie rouge j'ai utilisé 5x moins 3 pour montrer qu'elle est continue par le calcul. Il faut montrer que ces deux parties ici se rejoignent bien exactement au même endroit et donc on va regarder les limites et les valeurs en 1. Alors pour la fonction, on va regarder la limite quand x est envers 1 en arrivant par la gauche donc en étant strictement inférieur à 1 cette limite c'est donc la valeur de f en 1 puisque la fonction est un polynome ici ça donnera donc 1 au carré plus 1 c'est à dire 2 on peut mettre f égale f de 1 ici parce qu'on a la valeur égale à 1 en haut ensuite pour la partie droite on est envers 1 en étant plus grand que 1 ici on ne peut pas dire f de 1 puisque f de 1 utilise la première formule donc ici on va utiliser la limite donc de 5x moins 3 quand x est envers 1 en étant plus grand que 1 ce qui nous donne ici 5 fois 1 moins 3 donc ça donnera 2 effectivement, la limite à gauche est égale à la limite à droite et est égale à la valeur donc il y a bien un raccordement continu la fonction f est donc continue en 1 on avait donc 2 parties de courbe qui se rejoignent exactement au même endroit donc on peut tracer la courbe de façon continue, c'est à dire sans lever le stylo du début à la fin deuxième question donc là on va s'occuper de la fonction définie donc pour x inférieur au égal à 1 on va détailler par l'expression donc 2x carré plus x donc avec ceci vous pouvez déjà par exemple calculer l'image de moins 1 l'image de moins 1 ça fait 2 fois moins 1 au carré plus moins 1 on est donc sur 2 plus moins 1 donc 2 moins 1, 1 voilà, ça c'est vraiment pour que vous compreniez ici le inférieur au égal ça veut dire que c'est cette formule là que je dois utiliser pour calculer l'image de moins 1 ensuite pour x strictement plus grand que moins 1 je vais utiliser une deuxième formule moins 6x moins 3 ce qui signifie que ma fonction elle dépend de l'intervalle dans lequel je me situe donc la courbe va être en 2 parties la première partie qui va correspondre à ma première formule et la deuxième partie qui correspond à ma deuxième expression ici moins 6x moins 3 sur GeoGebra ça va donner ceci et je vais construire ça avec vous en même temps première chose on a ici une verticale importante c'est la verticale qui passe par moins 1 c'est là que vous aurez la scission on va dire entre la séparation entre les deux formules à gauche ça sera la formule de 2x carré plus x et à droite moins 6x moins 3 donc déjà à gauche je vais tracer déjà toute la courbe 2x carré plus 1 vous voyez qu'elle dépasse donc on va ne conserver de cette courbe que sa partie gauche celle qui est à gauche de la verticale ça me donne ceci on va garder que ça avec le point ici important ce point qui est sur la partie bleue ensuite deuxième chose la portion de droite donc la portion moins 6x moins 3 sur la trace ça me donne cette droite là que je ne vais conserver que sur la partie droite du plan ici qui est découpée en 2 par cette verticale ça va me donner ceci et vous voyez contrairement à notre premier exemple ici vous avez une discontinuité ici au niveau du moins 1 une différence de hauteur on dit que la fonction est non continue elle est discontinue en moins 1 sa courbe ne peut pas se tracer en un trait de crayon alors l'image de moins 1 on a calculé tout à l'heure c'est 1 ici vous voyez qu'il y a un saut pour passer juste après moins 1 donc elle est discontinue alors avec les limites ça se voit très facilement sur ce genre de fonction donc on est parti pour démontrer cela par le calcul on va s'occuper d'abord du côté gauche sur le côté gauche jusqu'à moins 1 exclu tout est continu c'est une parabole on a vu la courbe donc la fonction n'a pas de problème quand on se rapproche de moins 1 par le côté gauche la limite donc quand x est envers moins 1 en étant strictement plus petit ça va correspondre à l'image de ce polynomial ici en moins 1 donc 2 fois moins 1 carré plus moins 1 c'est à dire 1 je vous rappelle aussi qu'on a calculé G2-1 par la même formule G2-1 c'était 1 et maintenant c'est la partie importante on va garder la limite quand on arrive par des valeurs plus grand que moins 1 donc quand on arrive sur le graphique par la droite et donc ici c'est la limite non pas de 2x carré plus x mais ce n'est plus la même formule qu'on doit utiliser on doit utiliser moins 6x moins 3 et donc la limite de moins 6x moins 3 en moins 1, même plus grand que moins 1 je remplace juste x par moins 1 ça me fait moins 6 fois moins 1 moins 3, 6 moins 3 ça donne 3, et 3 c'est différent de 1 donc la limite à gauche n'est pas la même que la limite à droite, et bien forcément vous avez un saut entre les deux valeurs conséquence f est discontinue et donc ça confirme notre impression visuelle qu'on avait ce trou qu'on a dans les courbes donc voilà ce qu'il faut retenir un petit peu dans la continuité c'est juste un phénomène comme ça de limites différentes quand on arrive par la gauche ou par la droite d'un point et aussi il faut que ça conforte la valeur qui a été choisie, ici pas de soucis donc voilà pour le premier exemple que je pouvais traiter de continuité et de discontinuité, vous voyez deux exemples différents l'un est continu, l'autre n'est pas continu et tout ça, vous voyez c'est quand même relativement simple, intuitivement voilà j'espère que vous avez bien compris à bientôt