Seconde- Fonctions- Lecture graphique : image antécédent(s) extremum-ex6

Bonjour à tous, alors aujourd'hui dans cette vidéo je vous propose un petit exercice de lecture graphique pour vous préparer à vos futurs devoirs. Donc, vous avez la courbe d'une fonction, ici la fonction G, et vous répondez aux 6 questions que je pose sous la courbe. A tout de suite pour le corriger et les explications. Avant de commencer à répondre aux questions, tout d'abord on regarde bien la courbe. Je vous rappelle que nous sommes dans un repère dit cartésien. Vous avez deux axes, un axe horizontal, ici l'axe des abscisses, c'est l'axe des X, l'axe des abscisses, et c'est là où, pour les fonctions, on va lire les antécédents. Et l'axe vertical, l'axe des Y, est donc l'axe des ordonnées, et c'est là qu'on va lire les images. Chaque point d'une courbe, ici la courbe rouge, et donc par exemple ce point là, vous avez une abscisse qui va correspondre à une valeur de X, et une ordonnée qui va correspondre à l'image de ce même X. Donc vous avez ici la donnée d'une infinité de coupes X, F de X, et toutes les questions vont porter là-dessus. Alors la première question, on vous demande l'ensemble de définition de la fonction. Alors l'ensemble de définition, c'est l'ensemble des valeurs de X pour lesquelles vous pouvez donner la valeur de F de X. Donc ici, c'est donc les abscisses de tous les points de la partie rouge. Alors les abscisses commencent ici en moins 2, ça c'est notre premier, et donc vous avez des abscisses tout le long ici de ce segment, jusqu'au dernier point de la courbe qui a lui une abscisse ici qui est de 1,5. Donc le domaine de définition, c'est un intervalle, c'est donc l'intervalle, alors on met DF égale, et donc l'intervalle fermé, donc moins 2, c'est 1,5. Par habitude on ferme, mais effectivement, on pourrait très bien laisser les deux crochets ouverts, mais il semble qu'ici les points soient bien colorés, donc on va fermer les crochets. Voilà. Alors, deuxième question, on vous demande l'image de 1. Alors ça c'est très très simple, c'est vraiment la question basique. Alors on vous demande de lire l'image de 1 par la fonction G, donc on va placer ce 1 sur l'axe des abscisses, puisqu'on cherche sur l'image, donc ici on a tout simplement X égale à 1, qui nous donne le point ici, alors pour avoir le point, vous cherchez verticalement, et sur la même verticale vous n'avez évidemment qu'un point, c'est ce point ici, qui a pour ordonnée ici Y égale à 0. Ça veut dire que ce point ici a pour coordonnée un 0, ce qui signifie que l'image de 1 est 0. 1 est envoyée sur 0, ce qui signifie que G de 1 est égale à 0. L'image de 1 par la fonction G est nulle. On écrit ça, réponse G de 1 est égale à 0. Et maintenant on passe à moins 1. Alors moins 1, c'est donc toujours une abscisse, donc c'est ce moins 1 qui est ici, X égale à moins 1. Alors évidemment sur votre copie vous n'écrivez pas tout ce que j'écris. Donc X égale à moins 1, on cherche le point qui a pour abscisse moins 1 sur cette courbe, et ce point là vous allez bien le trouver sur la même verticale ici, il est en bas. Et donc vous allez vous déplacer d'abord verticalement pour trouver le point, et ensuite vous allez lire l'ordonnée de ce point, et vous trouvez ici évidemment moins 4. Ça veut dire que ce point a pour coordonnée moins 1, moins 4, donc l'image de moins 1 est égale à moins 4. Moins 1 est envoyé sur moins 4. On continue, l'image maintenant de moins 2. Alors moins 2, c'est ce point ici qui est au bord de l'intervalle, alors on va supposer que le point est sur la courbe, c'est pour ça que j'ai choisi de fermer l'intervalle. Donc la question ici prend tout son sens, on peut donner l'image de moins 2. Comme ici il est sur l'axe horizontal, c'est exactement pour X égale à 1. Vous avez ici un Y égale à 0, donc l'image de moins 2 est égale à 0. Et on vous demande maintenant l'image de 0. Alors 0, donc il est ici, le point qui correspond, et donc le point ici intersection des deux axes, ça veut dire que son ordonnée c'est 0, donc G de 0 égale 0. Donc voilà la deuxième question. Passons maintenant à la troisième question. Donc on vous demande l'image de 0,5. Alors 0,5 on va déjà le placer, c'est ici sur l'axe, ça c'est X égale à 0,5. On cherche le point qui est sur la même verticale, on trouve ce point ici, et on va lire son ordonnée. Alors son ordonnée ici c'est à peu près, là on va mettre le symbole à peu près égal à 0,4 ou 0,3, on ne va pas se battre ici, on met 0,4. Ceux qui auront mis 0,3 auront tout à fait juste. Et pour racine 2, alors là c'est un peu plus compliqué parce qu'il y a une racine carrée, n'ayez pas peur. Racine 2 c'est à peu près 1,4, il faut le savoir, même 1,41. Donc on va chercher ici sur l'index 1,41. Alors là vous avez ici 1,5, donc 1,41 est à peu près ici. On est sur de la lecture graphique, ça ne va pas être très précis. Vous cherchez le point qui correspond à ce 1,4 et on va lire son ordonnée, qui est un peu plus haute que la précédente, qui est ici vers 0,75. On va dire que c'est au milieu des carreaux. Voilà, on est sur de l'imprécision puisqu'on a une lecture graphique, ainsi qu'il ne tombe pas sur des intersections de carreaux, donc on met le symbole à peu près égal, rien d'inquiétant. Maintenant, une question un petit peu plus compliquée, c'est le niveau 2. Pour quelle valeur a-t-on g2x égale 3 ? Égale à moins 3. Donc là, c'est une question inverse. On ne vous donne pas une abscisse, on vous donne ici une image. On vous dit que moins 3, c'est l'image ici de x, et à vous de trouver x. Donc ça s'appelle une recherche d'antécédent. On va placer le moins 3 sur l'axe vertical. Donc le moins 3, je le place ici. Ça c'est donc y égale moins 3. Et on va chercher tous les points de la courbe qui ont pour ordonnée ce moins 3. Donc là, on va tracer la ligne imaginaire, ici, à une droite, qui est composée de tous les points qui ont une ordonnée égale à moins 3. Et vous trouvez ici, donc vous voyez, deux intersections. Une ici, et une ici. Alors sur votre copie, vous faites ça à la règle. Vous tracez donc cette droite, et vous cherchez l'intersection de la courbe rouge avec cette droite. Et on trouve deux points, dont on va lire ici, et bien, les abscisses. Voilà, on fait comme ça. On envoie en fait ces deux points ici sur l'axe des abscisses, et on lit avec la précision qu'on peut. Ici, vous avez, on est à moins 0,5, entre moins 0,5 et moins 1. Donc ici, je dirais qu'on est à peu près à moins 0,8. Et ici, on est à moins 1,8. Donc réponse, j'ai du x égal à moins 3 pour x à peu près égal à moins 1,8, et x à peu près égal à moins 0,8. Donc on a deux valeurs du x, c'est-à-dire deux nombres, qui ont pour image, moins 3. Cinquième question. On vous demande maintenant, quelle est la plus grande valeur possible de g de x. Alors, g de x, on a déjà dit plusieurs fois, c'est l'ordonnée des points de la courbe rouge. Normalement, la plus grande valeur. Donc, on cherche le point de la courbe le plus haut. Le point le plus haut de cette courbe ici, c'est le point qui est là. Et on dit, le maximum de g de x est atteint, et vous dites, pour x égal 1,5, et sa valeur, c'est ce qu'on cherche, on vous demande la plus grande valeur, sa valeur, et vous lisez ici l'ordonnée de ce point, qui va atterrir ici. Est-ce qu'on l'a déjà dit quelque part ? Non, on ne l'a pas encore dit. La plus petite, ça s'appelle le minimum. Donc, le minimum de g de x. Alors, il ne s'est pas demandé, mais on va quand même dire où est-ce que c'est. Il faut chercher le point le plus bas. Le point le plus bas, vous voyez, c'est le point qui est ici, en bas, ici, de ce creux, et son ordonnée est ici. C'est-à-dire, ici, ça va nous donner y égal à 4,8, à peu près, et la cis correspondante est ici, en moins 1,3 ou 4. Je vais mettre 3, voilà. Donc, le minimum de g, c'est moins 4,8, atteint pour x égal à moins 1,3. Voilà, alors, je rappelle ce qu'on demandait, nous. C'est juste la plus grande valeur de g de x et la plus petite. Pour x ici et x ici. Ce n'était pas précisé, mais bon, je vous le dis comme ça. Si on vous le demande, vous saurez faire aussi. Donc, ces deux valeurs-là s'appellent les extrémums de la fonction. C'est la plus grande et la plus petite valeur que peut prendre la fonction g. Sixième et dernière question. Alors, si x est négatif, quelle est alors la plus grande valeur possible de g ? Donc, c'est la même question que la 5, sauf qu'on ne va considérer ici que les valeurs de x négatives. Ça veut dire que vous allez devoir oublier toutes les valeurs ici de x qui sont positives. Donc, on règle toute la partie du plan qui est située à droite de l'axe. Donc, toute la partie ici rouge ne nous intéresse plus. C'est comme si la courbe démarrait en moins 2 pour s'arrêter en 0. Et là, on vous repose la même question que tout à l'heure. Quelle est la plus grande valeur ? Eh bien, ici, le point le plus haut, il y en a deux. Donc, le maximum, donc le max de g de x, c'est 0, puisque c'est l'ordonnée du point le plus haut. Il est atteint, par contre, pour deux valeurs de x, que je vais préciser ici, atteint deux fois en x égale moins 2 et x égale 0. Ça, c'est pareil que tout à l'heure, ce n'est pas demandé, mais je préfère préciser. Ensuite, le minimum, vous cherchez donc le point le plus bas, c'est-à-dire celui qui est à l'ordonnée la plus petite. Et ce point, c'est le même que tout à l'heure ici. C'est donc toujours moins 4,8 atteint pour x égale moins 1,3. On l'a déjà dit. Donc, voilà ce petit exercice pour vous permettre de vous entraîner. J'espère que ça vous a plu. Si ça vous a plu, n'hésitez pas à liker, ça fait toujours plaisir. A très bientôt pour d'autres fonctions et d'autres lectures graphiques.