Seconde - Les fractions - Cours Complet

bonjour à tous aujourd'hui je vous propose donc un point sur les fractions un quotient et fraction à destination donc des élèves qui vont rentrer en seconde évidemment ça peut concerner tout le monde on va faire un point sur tout ce qu'il faut savoirfire quand on parle justement de fraction alors il y a les règles des signes comparer de fractions comparer des fractions par rapport à un savoir les ajouter savoir les multiplier savoir les diviser savoir les multiplier par un entier savoir les mettre même dénominateuril tout ça on va passer en revue avec un exemple à chaque fois alors le vocabulaire tout d'abord donc on parle ici de division quand on fait la division qu'on écrit par exemple 7 divis par 2 et bien le nombre 7 s'appelle dividende et 2 s'appelle le diviseur on peut poser les divisions vous avez déjà appris à faire ça avec ceci on écrit 7 divis par 2 et on obtient ici un nombre qui s'appelle quotient d'où le mot quotient dans le titre et vous obtiendrez ici un reste ça c'est quand on pose les divisions ici nous on est sur des fractions qu'on va écrire sous une forme 7/ 2 le but n'étant pas de calculer de poser la division dans 7/ 2 bah 7 ce sera le divident 2 c'est le diviseur mais on donne des noms spécifiques au monde des fractions alors on a donc ici un cotient d'accord et bien quand on a un quotient de de nombres entiers ici c'est le cas 7 et 2 on a ce qu'on appelle une fraction donc une fraction c'est donc un quotient qu'on écrit a sur B avec A et B entier qui peuv être entier positif ou négatif donc 7 demi c'est donc une fraction à la différence de par exemple so de 7,1 par sur 2,1 on n'a pas ici des entiers ce n'est pas une fraction ça s'appelle une écriture fractionnaire on peut la transformer on verra en 71/ 21 71/ 21 c'est une fraction 7,1 sur 2,1 c'est un quotient écrit sous forme fractionnaire le vocabulaire il est très important le dividende il y a un nom spécifique quand on écrit donc sous forme de fraction comme ça et bien le 7 va s'appeler le numé rateur vous connaissez certainement ça et le 2 s'appellera le dénominateur pourquoi diton numérateur dénominateur regardez si je prends 2/ 3 on lit aussi 2 tiers et bien tiers c'est le nom d'accord c'est pour ça que ça dénomme vous avez des quantités qui sont des tiers et en nombre vous en avez deux vous avez donc un nombre 2 2/3 c'est pour ça qu'on dit en haut c'est le numérateur il va vous donner le nombre de ce que vous avez donc en bas ici donc comme c'est ici un 3 en bas ça sera des tiers si on a 7 sur 2 c'est des demi d'accord 7 demi vous avez un nombre de demi qui est 7 si vous prenez 5 sur 4 vous avez en fait 5 qu d'accord donc ça dénomme et en haut ça vous donne le nombre donc voilà numérateur et en bas dénominateur première chose qu'il faut savoir faire sur les fractions c'est qu'une fraction c'est très particulier comme objet ça peut avoir plusieurs écritures par exemple 3/ 7 et bien vous avez le droit de multiplier en haut et en bas par n'importe quel nombre non nul par exemple si je multiplie en haut et en bas par 2 je vais avoir 6/ 14 donc 3/7 c'est 6/ 14 si vous pouvez vous pouvez multiplier par 4 ça ferait par 12/ 4 x 7 28 et donc une fraction elle a une infinité d'écriture vous pouvez la multiplier en ha et en bas parce que vous voulez hein et donc parmi toutes ces écritures il en existe une qui est plus simple qu'on appelle son écriture irréductible c'est celle où et bien l'entier du haut et l'entier du bas n'ont pas de diviseur commun par exemple ici et bien 3/ 7 c'est ce qu'on appelle une fraction irréductible et donc souvent quand on vous donne une fraction on essaie de la simplifier pour la rendre irréductible he c'est l'exemple que je vous donne 24/ 32 et bien vous pouvez remarquer que 24 c'est 3 x 8 3 4 X 8 bien on va PIR comme on l' fait dans l'autre sens simplifier par 8 peut mtiper par lifier par 8 8 3 et 3 et bien 3 et 4 n' pas de diviseur commun c'est donc l'écrit IR d'accord souvent on fait comme ça on un petit peu simplifie en mettant on le fait directement 24/ 32 on se dit tiens je vais diviser par 8 donc là j'aurais 3 et là j'aurais 4 on retrouve ça par ex dans la notion de quart d'heure qu'est-ce que c'est que un qu4 d'heure et bien c'est 15 minutes sur une heure qui en fait 60 donc c'est 15/ 60e d'HE et 15/ 60 vous voyez que 15 c'est 3 x 5 on peut simplifier par 3 60 c'est 3 x 20 on peut déjà simplifier par 3 ça fait 5 sur et on peut encore simplifier par 5 5 c'est donc 5 x 1 et 20 c'est 5 x 4 voyez qu'on peut simplifier comme je l'ai fait ici par 3 là je peux simplifier par ça et il me reste ici 1/4 donc effectivement 15 minutes c'est 1/4 d'une heure voyez qu'ici j'ai simplifié par 3 puis par 5 on aurait pu aller un petit peu plus vite en disant que 15 c'est 15 x 1 et que 60 c'est 15 x 4 vous voyez que on arrivé tout de suite à notre 1/4 donc effectivement 15 minutes c'est bien 1/4 d'heure une demi-heure et bien on part de 30 minutes sur 60 on simplifie par 30 il me reste ici donc une x 30 60 c'est 2 x 30 il me reste 1/ demi donc effectivement 30 minutes c'est bien 1 demiheure ou 1 demi d'une heure cette propriété elle est importante parce qu'on l'utilise dans les deux sens d'abord de gauche à droite pour simplifier les fractions d'accord je répète si j'ai par exemple 15 sur 10 je vais simplifier par 5 15 c'est 3 x 5 donc on va 3 x 5 10 c'est 2 x 5 on simplifie par 5 par 5 il me reste 3 dei si on l'applique de droite à gauche ça va servir à mettre au même dénominateur on va le voir si par exemple j'ai 1/2i et bien je peux mettre si j'ai envie d'avoir des 6è je peux multiplier en haut et en bas par 3 et donc ça me fera 36e ça va avoir ça son beaucoup d'intérêt passons maintenant aux opérations al l'addition première addition qu'on peut faire avec des fractions c'est quand elles ont le même dénominateur par exemple 2/3 + 4/3 et bien comme on a des tiers on va juste ajouter les numérateurs donc 2/3 + 4/3 ça donne des/3 et ça fera 2 + 4 ça fera ici 6/3 d'accord et après ben vous pouvez utiliser la première propriété pour simplifier 6/3 bien 6/ 3 ça ça fait 2/ 1 ça fait donc on simplifie d'abord par 3 et ensuite 2/ 1 quand on a donc un entier sur 1 ça fait 2 d'accord si on ajoute 5/7 + 2/7 ici voyez ça fait 5 et 2 7/ 7 et 7/ 7 un cas très particulier ça fait 1 alors après ça ne donne pas toujours des entiers on fait par 2/3 + 5/3 et bien là vous avez des/3 c'est bien le même dénominateur donc en ajoutant on aura 2 + 5 ça me donnera 7/3 pour les soustraction c'est exactement la même chose quand on a un même dénominateur ça va très vite ici on a des 5è donc 5 en bas et on aura en haut 3 - 6 qui me donne donc 3 - 6 - 3/ 5 et comme on l' vu la règle des signes on peut écrire in 3/ 5 alors évidemment toutes les fractions n'ont pas le même dénominateur donc il faut apprendre ai à ajouter des fractions qui n'ont pas le dénominateur ici 1/ + 25 alors là et bien on va utiliser la première propriété et on va donc essayer d'avoir en dessous le même nombre ici on a 3 ici on a 5 on a le droit de multiplier les fractions et en bas par mê donc ici ce qui serait astucieux he bien ça serait de multiplier la première fraction en en bas par 5 donc on va écrire x 5 x 5 et la deuxè par 3 de façon à avoir voyez 3 x 5 15 donc ici ça veut dire qu'on a la première qui qui vaut 5/ 15 + 2 x 3 6/ 15 et on ajoute puisqu'on a maintenant le même dénominateur 5 et 6 11 sur 15 voyez tout l'intérêt de mettre dénominateur c'est qu'on peut après ajouter les fractions facilement ici on a 9 et 7 on va donc multiplier la première fraction par 9 en haut et en bas bien sûr la deuxième par 7 on aura donc deux fractions avec un dénominateur qui sera 9 x 7 63 donc là 4 x 9 36/ 63 2 x 7 14/ 63 et voyez qu'on a appris à ajouter ça on aura donc ici 63 et en haut 36 - 14 qui vaut 22 et après toujours on essaie de voir si on peut simplifier ici on ne peut pas le problème qu'on va avoir ensuite c'est d'essayer de rendre les calculs les moins gros possies si on a des fractions avec 12 et 18 on peut si on veut multiplier la première envoyée en bas par 18 la deème en en bas par 12 mais c'est pas ce qui va aller le plus vite il faut regarder en fait 12 et 18 regardez si on a pas un multiple il serait beaucoup plus petit que 12 x 18 et il y en a parce que 12 par exemple si vous faites 3 x 12 fait 36 et 2 x 18 ça fait 36 36 c'est ce qu'on appelle donc le plus petit multiple commun de 12 et 18 donc ici bien ce qui serait intéressant c'est de multiplier la première en haut et en bas par 3 et la deuxième par 2 vous voyez que ça a fait des calcul beaucoup plus petit que si on avait multiplié par 18 et par 12 la première ça fait 3 sur 36 la 2e 10/ 36 vous voyez que 10 et 3 13/ 36 voyez donc toujours essayer de trouver un dénominateur commun qui est le plus petit possible si vous n'y arrivez pas bien vous simplifierez à après mais ça va vous faire des calculs un peu plus longs vous aurez aussi à ajouter plus de deux fractions parfois tris fractions 4 fractions 5 fractions al comment on fait et bien on peut les ajouter 2 par de on peut d'abord commencer à faire 1/2 + 3/4 1/2 + 34 je vais donc ici on a dénominateur 2 et 4 un multiple commun c'est 4 donc 1/ demi je vais multiplier en haut et en bas par 2 ça va me faire 2/ 4 + 3/ 4 - 1/ 10 on tiens ici 2 + 3 54 - 1/1 on a maintenant deux fractions et on sait les ajouter on va encore mettre au même dénominateur 4 et 10 alors on pourrait prendre 40 mais on a un petit peu plus court on a 20 20 c'est 4 x 5 et c'est 2 x 10 donc je vais multiplier la première par 5 et la deuxème par 2 j'obtiens donc 5 x 5 25 20 2 20 ça 25- 2 23 sur 20 ça c'est la méthode en faisant 2 par 2 aussi ajouter les 3 même temps à condition de trouver comm 2 4 10 donc m comm 4 10 c'est 20 d'acord donc je vaiser de débr TR fractions avec ici donc uninur qui sera 20 ça veut dire qu'ici donc j'ai toujours mon 1 mon 3 et mon 1 je vais multiplier la première en haut et en bas par donc ici 10 la deuxè par 5 et la 3è par 2 donc ici j'aurais donc une x 10 3 x 5 1 x 2 ça me donne donc 10/ 20 + 15/ 20 2/ 20 et comme on a un même dénominateur on peut tout regrouper sous une seule fraction on aura 10 + 15 2 ce qui fait 10 et 15 25 - 2 23/ 20 et heureusement et bien sûr on tombe sur le même résultat quel que soit la méthode que l'on utilise si on l'utilise correctement maintenant on s'attaque au produit alors le produit bien c'est beaucoup plus simple que l'addition pour additionner il faut un même dénominateur pour multiplier bien c'est très simple on va faire le produit des numérateurs donc 4 x 7 divisé par le produit des dénominateurs 5 x 9 on a juste à réaliser des petites multiplications 4 x 7 28 5 x 9 45 exemple suivant 18/ 11 x 22/ 3 on a donc ici à faire 18 x 22/ 11 x 3 alors avant de faire les calculs on toujours de simplifier comme on a appris à le faire ici en haut vous avez 22 vous avez 11 en bas et bien 22/ 11 on peut le simplifier voyez alors je vais décomposer les calculs donc je vous ai dit 22 on va l'écrire donc 11 x 2 18 regardez en bas il y a un 3 18 c'est 6 x 3 donc je vais écrire 6 x 3 et après on a appris à simplifier ce 3 va se simplifier avec 3 le 11 se simplifie avec le 11 donc c'est D1 qu'on fait apparaître qu'est-ce qui nous reste en haut 6 x 2 en bas donc il reste que donc on a tout simplifié mais quand on simplifie je rappelle et ça c'est important c'est pas des Z c'est des 1 qu'on met et donc en bas on aura 6 x 2 sur 1 x 1 et donc directement on écrira 6 x 2 12 donc toujours penser à simplifier avant de faire les grosses multiplications voyez mulper les fractions on multiplie le haut on multiplie les bas particulier quand on multiplie une fraction par un entier par exemple 21/ x 4 mais il faut bien comprendre que 4 c'est on peut l'écrire sous forme fractionnaire c'est 4/ 1 donc voyez qu'avec la règle ça fera 21 x 4 en haut et en bas j'ai 13 FO donc je vais garder 13 donc quand on multiplie une fraction par un entier uniquement le numérateur est multiplié donc autre exemple 11/ 7 x 3 et bien ici ça fera 3 x 11 33/ 7 et surtout pas 21 fait bien attention à tout ça avec ça n'oubliez pas aussi les règles des signes si j'ai par 1/ 7 x 4/ - 2 et bien on aura -1 x 4 en haut donc ça me fera - 4 2 enfin 7 x - 2 - 14 ici et bien les moins vont se simplifier on peut les enlever ça me fera 4/ 14 mais attention hein ici j'ai été un peu vite j'aurais dû bien regarder avant on a 4 on a 2 on peut simplifier d'abord ici par 2 d'accord donc j'obtiens en haut -1 x 2 donc - 2 sur 7 x -1 - 7 les de moins on a dit peuvent se simplifier il me reste 2/ 7 hein c'est ça savoir utiliser les fractions c'est çavoir utiliser toutes les propriétés dans un même calcul donc si on a 3/7 x - 2 et bien - 2 va multiplier uniquement le 3 ça me fera - 6/ 7 qu'on écrit plutôt - 6 7e et si on a 34 x 5 et bien les de moins vont se multiplier parce que ici j'aurais 3 c'est comme si j'avais en fait 3/ 4 3 X- 5 ça fait + 15 sur 4 toujours bien connaître ces règles des signes quand on multiplie n reste la division par exemple 4/ sur 5/7e ici et bien quand on divise et bien on va transformer ça en multiplication on va dire que c'est 4/ FO l'inverse de 5/7 et l'inverse de a sur B c'est B sur a évidemment il faut que notre ici donc dénominateur notre diviseur soit toujours différent de zé obligation quand on fait des divisions donc l'inverse de a sur B c'est b/ a donc ici 4/ va être multiplié par l'inverse de 5/7e c'est juste ici on inverse les positions des deux nombres 7 était au dénominateur il vient au numérateur 5 était au numérateur il vient au dénominateur et après c'est la même r que pour le produit puisque c'est un produit ça fait 4 x 7 28/ 3 x 5 15 donc pensez bien la phrase quand on divise par une fraction on multiplie par son inverse exemple si on fait 4/3 divis par 2 et ben ça sera 4/ xtipé par l'inverse de 2 à l'inverse de 2 imaginez que 2 c'est 2/ 1 donc l'inverse de 2 c'est 1/2i ça fait 4/ 6 on peut aussi simplifier par 2 ça fait donc 2 ti3 on aurait pu le faire ici directement on peut comme ça avoir des calculs un petit peu compliqués enfin qui ont l'air compliqués donc quand on a par ceci bien repéré où est le égal on va s'occuper d'abord du dénominateur puisqu'on a d'abord une division de deux fractions donc pour l'instant on ne touche pas au un tier qui est en haut ici on peut dire que c'est 45e fois l'inverse de 6/7 donc FO 7/ 6 on s'occupe d'abord du calcul qui est dessous on simplifie si on peut voyez qu'on voit ici qu'on peut simplifier par 2 il me restera 2 et 3 j'obtiens donc ici 2 x 7 14/ 3 x 5 15 on a un quotient de de fractions j'obtiens donc 1/ fois l'inverse de celle qui est en bas 15/ 14 et on peut encore une fois penser à simplifier avant de faire les calculs par 3 ça me fait 5 ça me fait un résultat 5 sur 14 on aurait pu faire autrement c'est ça qui rend les choses intéressantes en considérant que c'est cette fraction sur celle-ci d'accord donc j'auris 1/3 FO l'inverse de celle qui est en bas qui sera donc 6/ 7 sur 4/ 5 c'est plus difficile ensuite 1/3 fois donc ici on a un quotient de de fractions 6/7 FO l'inverse de 4/5 qui est 5/4 on regarde tout ce qu'on a on peut simplifier en haut et en bas par 2 donc ça me fait 3 demi on obtient voyez 3 x 5 15 sur 3 x 7 21 x 2 42 et bien sûr vous aurez remarqué que j'aurais pu encore plus simplifier ici j'ai un 3 et donc on peut continuer à mettre voyez ceci donc ça n'est pas 15/ 42 parce qu'on peut le simplifier encore ici 3 était Simp il me reste 5 sur 2 x 7 14 donc 5 sur 14 c'est ce qu'on avait trouvé avec l'autre méthode donc il faut comme ça si vous vraiment voulez vous débrouiller savoir un petit peu se sortir des situations qu'on a quand on a comme ça pas mal d'étages on s'est occupé es les opération il reste juste à comparer des fractions alors des fractions pour comparer de fraction comment on fait sies ont mêmeinateur par exemple si vousvez 1/ et 7 ti quand on a le mêmeateur suffit de regarder les numérateur donc est plustit que 7 donc 1/ est plus petit que 7 c'estz évident si on doit comparer par exemple 1 et 5 alors le plus simplement que 1/ on sait que c'est plus grand que 15/5 mais pour comparer des fractions on va les mettre au même dénominateur donc ici 1/4 je vais l'écrire avec un autre dénominateur 4 x 5 donc je vais multiplier en haut et en bas par 5 et je vais multiplier la deiè en en bas par 4 qu'est-ce que ça me donne ici ça me dit que 1/4 c'est 5/20 alors qu'ici 1/5 c'est 4 20e vous voyez qu'ici et bien comme 4 est plus petit que 5 1/5 est donc plus petit que 1/4 donc pour comparer deux fractions on le met au même dénominateur par exemple 11/ 12e si vous voulez comparer par exemple avec 12 13e et bien on va tout mettre au même dénominateur on va multiplier ici par 13 en haut et en bas et ici par 12 ça va me donner ici donc 12 x 12 moi je connais ça fait 144 sur donc 13 x 12 alors 13 x 12 vous faites donc 144 + 12 ça fait 156 ici on aura 13 x 11 qui fait donc 130 130+ donc B ça fera 141 et en bas on aura sur 156 et vous voyez qu'ici 144 est plus grand que 141 donc 12/ 13 est plus grand on met le symbole supérieur 11/ 12 comparer des fractions c'est savoir déterminer laquelle des deux est la plus grande et laquelle est la plus petite on pourrait terminer avec petite propriété sur les puissances si on prend a sur B à la puissance N et bien ça c'est a^iss n sur b^iss N on est ici sur un mix entre les fractions et les puissances exemple si on a 3/ 7 puissance 2 donc au carré bien ça fera 3 au carré sur 7 au carré donc 9 sur 49 d'accord c'est très simple à conditionment de connaître les formule on peut citer aussi une formule sur les racines carrées √ car a sur B c'est √ car a sur √ car B c'est propriété donc dans le chapitre des r√ carré par exemple √ car 9 sur 16 c'est √ car 9 sur √ car 16 et donc ça fait 3/ 4 ça permet des racines carré de fraction ou des puissances de fraction on va s'arrêter là donc sur ce rappelle toutes les propriétés à connaître pour bien se débrouiller en seconde je vous souhaite une bonne fin de journée à tous et à bientôt