L'égalité de PYTHOU, ça vient d'où? Ep8 avec El Jj

Une belle démonstration. Elle est jolie là, non ? Et puis, les démonstrations avec les puzzles, c'est un peu trivial. Ok, ok. Eh bien, montre-moi ta démonstration. Bien velu ! J'attends de voir. Mais en moins de deux minutes, j'espère. Bon, toutes ces preuves sont beaucoup trop rigoureuses pour moi. Pourquoi s'embêter à faire des démonstrations formelles alors qu'on peut démontrer le théorème de Pythagore en utilisant seulement une méthode de physicien, l'analyse dimensionnelle ? L'analyse dimensionnelle, c'est l'idée que dans une formule de physique, les unités doivent toujours coller. Par exemple, si j'affirme que le volume V d'un cylindre se calcule en multipliant le diamètre d de sa base par sa hauteur h et par pi, je peux directement affirmer que c'est faux. En effet, un volume se mesure en mètres cubes, tandis qu'une hauteur et un diamètre se mesurent en mètres. Le nombre pi, lui, n'a pas d'unité. Mon égalité impliquerait donc que des mètres cubes sont égaux à des mètres carrés. Et ça, ça ne tient pas. Pour rectifier, on peut proposer plusieurs formules qui passeraient l'analyse dimensionnelle. V égale constante sans dimension fois d au carré fois h, ou bien V égale constante sans dimension fois d fois h au carré, ou d'autres formules bien plus improbables. Cette méthode ne permet pas de dire quelle formule est bonne. Elle ne permet pas non plus de savoir la valeur de la constante, mais elle permet en tout cas d'être sûr de se débarrasser des formules fausses. Revenons vers Pythagore. Si je prends une longueur AB au hasard et un angle aigu alpha quelconque, alors je peux construire un unique triangle rectangle ABC rectangle en C, dont l'hypoténuse est AB et dont l'angle a mesure alpha. Autrement dit, l'aire du triangle ABC dépendra uniquement de la longueur AB de l'hypoténuse et de cet angle alpha. L'aire de ABC est donc une fonction de AB et de alpha. On pourrait déterminer l'expression de cette fonction, mais pourquoi se fatiguer à faire des choses compliquées quand on peut s'en passer ? Faisons alors de l'analyse dimensionnelle. L'aire de ABC s'exprimera en mètres carrés, tandis que la longueur AB s'exprime en mètres et l'angle alpha est lui sans dimension. Il n'y a alors qu'une seule façon de faire coller la formule. La longueur AB doit être mise au carré et on met le reste sans dimension dans une fonction f de son angle alpha. Quelle est l'expression de cette fonction ? Là aussi, on n'a pas besoin de le savoir. Bref, l'aire d'un triangle rectangle est le produit du carré de l'hypoténuse et d'une fonction f de son angle alpha. Découpons alors notre triangle rectangle ABC en deux triangles en construisant la hauteur issue de l'angle droit. On obtient alors deux triangles rectangles plus petits, ACH et BCH. Ces triangles ont pour hypothénuse respective AC et BC et ont tous les deux un angle alpha. Ce que l'on a conclu sur le triangle ABC reste donc vrai. L'aire de ACH est le produit de son hypothénuse AC au carré et d'une fonction de alpha, tandis que l'aire de BCH est le produit de son hypothénuse BC au carré et de la même fonction de alpha. Puisque l'aire de ABC est égale à l'aire de ACH plus l'aire de BCH, on en conclut, après simplification, que AB au carré est égal à AC au carré plus BC au carré. Et voilà, le théorème de Pythagore est donc démontré. Et si vous trouvez que cette démonstration manque de rigueur, franchement, je pourrais pas vraiment vous contredire.