1ere et Term Spé Maths -Dérivation - Etude de x^4+ 4x² +16x 11

[Musique] bonjour à tous alors aujourd'hui exercice complet ça va être très long exercice complet sur l'étude donc d'une fonction en première spécialité math il y a 5 parties on a le quoi faire donc une première partie donc j'ai choisi aujourd'hui donc une fonction polynomiale de degré 3 c'est vraiment du classique pour démarrer vraiment sur les dérivations sur l'application de la dérivation à quoi elle sert donc on va étudier les variations on fera on résolvra aussi une petite équation à l'IDE de ce tableau de variation j'empièteri un petit peu sur le programme de terminale comme ça sur ce qu'on appelle la continuité ensuite partie 2 étude d'une tangente particulière donc la tangente sur un point ici d'abscisse 1 demi et position d'entre cette tangente et la cour ça c'est toujours intéressant ça nous fait une belle étude de signe avec une petite factorisation trouver ABC partie 3 étude de la dérivée seconde donc on va dériver F prime pour obtenir ce qu'on appelle la dérivée seconde faire son tableau de siges trouver le tableau des variations de f prime et hors programme de Première on en déduira la convexité hein d'cord vous verrez ces informations sur la courbe et on retrouvera comme ça les résultats de la partie 2 il nous restera une partie 4 où je tracerai la courbe ici sur ce petit graphique j'agrandirai bien sûr mais avec tous les détails qui sont apparus dans l'exercice et ensuite en partie 4 un petit peu compliquer un peu tout recherche de tangentes particulière avec des coefficients donnés à l'avance donc on y arrivera donc on est parti première chose donc l'étude des variations on va dériver cette fonction là première question sur quel ensemble F est-elle dérivable alors la dérivabilité c'est du cours on regarde la fonction on voit ici que c'est une fonction polynomial f est une fonction donc on dit polynomial de degré 3 parfois on dit on dit polynom de degré 3 fonction polynomiale de degré 3 et on sait que les polynômes enfin les fonctions polynomales sont dérivables sur leur ensemble de définition donc vous écrivez dérivable sur son ensemble de définition qui est ici l'ensemble - 1 3 sur son ensemble de définition ici 1 3 ça veut dire que partout en chaque point de la courbe vous avez une tangente d'accord et non verticale ça veut dire que si vous faites un zoom quelque part sur cette courbe vous aurez toujours l'impression d'avoir devant vous une droite non verticale la dérivée c'est très rapide la fonction est simple donc pour tout X dans l'ensemble 1 3 on dérive donc on a - 2x3 je rappelle que la dérivée X3 c'est 3x2 donc pouvez écrire tout de suite - 6x 2 la dérivée de X2 c'est 2x donc comme il y a un 3 devant ça fera 3 x 2x 6x ensuite on dérive 6x - 2 donc on peut faire de deux méthodes soit vous drivez tout de suite 6x - 2 ce qui vous donne 6 sinon vous dérivez 6x qui donne 6 et vous direz - 2 qui donne 0 alors on l'écrit jamais mais là je le mets et ça donne donc ce 6 - 6x 2 + 6x + 6 voilà on va maintenant étudier le signe de cette dérivée donc tout de suite c'est une expression du second deé donc réflexe numéro 1 important on factorise si on peut et vous voyez bien qu'on peut ici on peut factoriser par 6 et ça va me donner - x 2 + x + 1 d'accord donc tout de suite on va faire on va chercher les racines donc de f'e en cherchant les racines de - X2 + x + 6 parce qu'on sait que en factorisant les racines ne changent pas donc je fais un delta avec a = -1 B = 1 C = ceux qui aont fait un delta avec - 6 6 et 6 ont des calcules un petit peu plus long c'est important de bien comprendre Delta b² 1 car - 4ac voyez bien que ça fait 5 donc de RAC réelle X1 B √5/ 2A donc sur - 2 attention ça me fait 1 + attention une fraction 1 +√5 sur 2 voyez ici j'ai simplifi parfois je suis oblé de le refaire au tableau donc je vais le faire qu'est-ce qui s passé pourquoi tous les mot on dispar parce qu'ici en haut on factorise par ça fait donc on met un Mo fa 1+5 donc les de Mo vous avz sont en fait ici dans la factorisation 2 et là en fait les de MO se simplifier X2 sera donc 1-5 sur 2 alors je donc commence avec une Casio on changera au fur à mesure j'ai ici donc je vais prendre -1 même remettre ce 2 F si vous avez un petit doute sur j'ai fait regardez 6 je valide 6 je valide 6 je valide ensuite solve 1 +5/ 2 15 je note surtout les deux valeurs ici et je vais les arrondir donc à 1,6 et 006 donc on a F qui a de RAC X1 X2 donc ici on a 1 3 alors déjà est-ce que les racines sont bien entre les deux oui 06 donc je vais mettre X2 ici 1,6 parfait ce sont les racines donc de F Prim on l'a dit en factorisation n'a pas changé donc ici j'ai 0 j'ai0 F Prim c'est une expression du second degré avec un Mo X2 donc si vous traciez ça don une parabole inversée donc ça ferait moin moin plus parce qu'on a 2 racin donc le cours application à la dérivation ça veut dire que fa strictement décroissante jusqu'à X2 ensuite strictement croissante puis strictement décroissante à ce moment la partie parce que c'est une partie en fait il faut prendre sa machine et on va remplir ici je demander aux élèves donc de remplir à l'aide de la calculatrice donc on va aller regarder sur le solveur graphique les maximums et cetera on va utiliser tout ça donc on commence par la Casio donc vous allez dans le menu graphe voil vous rentrez ici l'expression on utilise bien sur le X qui est ici au niveau de ce qui a un petit peu de mal ici doit être marqué grand y à chaque fois s'il y a autre chose il faut aller régler dans le type ici sur F3 il faut les règles y é= faut vraiment pas qu'il a marqué autre chose ici donc attention ensuite juste regardez bien votre x certains mettent un X un peu différent parfois donc il faut et c'est très important vraiment utiliser ce X là et avoir un y à cet endroit donc là vous tracez mais le repère sera pas bien cadré donc il faut aller cadrer pour cadrer et bien ça serait bien déjà d'avoir peut-être quelques indices au niveau des valeurs maximales imum sinon vous prenez votre fenêtre vous reculez alors vous mettez déjà x donc on est entre -1 et 3 c'est notre domaine après on regarde on en est où ici vous voyez bien qu'on va pas assez haut pas assez bas donc je reviens sur la fenêtreà on va alors je sais pas pour l'instant quand on ne sait pas on met pas 10 puis on met 50 on verra bien voilà vous avez à peu près tout donc ici ça serait bien déjà de savoir combien ça vaut en 1 et en 3 ici on a l'air d'être si j'ai mis 50 donc là vous revenez et vous mettez un petit peu moins vous mettez par exemple 20 on verra déjà un petit peu mieux les choses voilà ça commence à être un peu mieux cadré donc ici les choses qu'on peut faire sur une quand vous avez la courbe entière sur le dessin vous mettez g solve maximum et ça va placer un point ici c'est un maximum local donc en 1,6 donc c'est bon c'est bien X2 on a à peu près 7 09 donc à peu près 7,1 on s'en rappellera et sinon on peut le marquer tout de suite donc là on va mettre à peu près 7,1 ou vous mettez à gauche ici FX1 est à peu près 7,1 FX2 bien on va aller chercher un minimum local minimum voilà en 06 c'est parfait - 4,1 donc ici on met à peu près 4,1 ou vous mettez ici FX2 à peu près - 4 vir au niveau des valeurs là donc vous pouvez rester ici vous mettez toujours g sol vous allez dans l'autre menu à côté et vous calculez les valeurs de Y en donnant x = -1 il indique y = - 3 donc là je mets - 3 ensuite je fais la même chose avec 3 donc j'écris 3 je crois qu'il faut y retourner quand même ou alors peut-être valider non on retourne ici au même endroit y x = 3 3 voilà et je trouve 11 mon tableau est cohérent c'est parfait vous pouvez aussi si vous voulez aller dans le menu ici de table c'està-dire que là vous avoir un tableau de valeur et vous indiquez donc table vous mettez les valeurs que vous souhaitez si vous vou la valeur en -1 vous écrivez -1 et vous avez bien - 3 et à côté vous avez la colonne qui donne les nombre dérivé d'accord si vous n'avez pas cette colonne ici sur une casion y prime vous allez dans le setup i si vous mettez shift setup vous devez descendre ici sur la ligne dérivée ou détive et Activ vous mettez Activ ou on et off ça dépend des modèlesord on ressortient vous mettez 3 vousurez 3Z bien 11 d'accord bon je vais faire tout de suite la beaucoup de M on la donc ici on va dans le gra indi él vre [Musique] fonctionci donc le X il est ici d'accord à force vousz prendre l'habitude les puissances tout ça donc on descend on a + 3x2 P un petit peu moins de celle-ci mais vraiment elle est très performante il faut le dire un très bel objet Mo 2 voilà on valide donc vous avez plein de possibilités ça vous voyez c'est écrit fonction polynomiale en plus je trace le graphique voilà al il est déjà presque bien ad s'il y a pas le -1 et le 3 ben il va falloir un petit peu changer on va ici donc dans axe et pouvez indiquer ici donc les valeurs de x donc x va aller ceci donc entre -1 et 3 voilà on valide on est bon donc maintenant alors attendez comment on ressort de là euh on revient non on revient en arrière pardon écoutez je voilà on est revenu donc après on est bien entre 1 3 on est pas assez bas voyez donc il va falloir descendre un petit peu donc là vous allez régler pareil de la même façon vous descendez le y donc on va se dire entre donc moins al on peut mettre auutau mais voyez qu'il va descendre pas assez B donc entre - 5 et non on descend pas ass bas donc il faut que je mette 10 15 voilà et 20 par exemple ex 10 qu'on av mis ça tout à l'heure on valide on revient sur le voilà et on a à peu près tout voyez donc on a ce tout ce qu'on avait calculé tout à l'heure si vous avez précision vous appuyez sur OK et là donc ici rechercher on met maximum voyz s placé ici 1,6 7,1 voyz que c'est quand même très très pratique donc n'oubliez pas on appuy sur OK on recherche ici minimum on va juste avoir besoin après des Z0 donc on a bien 06 - 4,1 c'est parfait voilà donc vous avez compris comment ça fonctionne si vous voulez des valeurs c'est au même endroit vous mettez ça vous cherchez antécédent vous avez ici tangente interne donc tout ça il y a des choses que vous utiliserez à la fin de l'année les antécédents pour l'instant on pas besoin moi ce qu'il me faut c'est les images donc pardon je fais ceci je reviens et là vous PZ dans le tableau de valeur tout en haut dans lequel vous pouvez calculer les valeurs donc vous mettez -1 il calcule tout de suite à côté l'image de -1 qui est - 3 vous faites pareil pour 3 et ça fait - 11 donc on a vraiment facilité d'utilisation faut bien penser à la touche OK sur laquelle vous allez chercher les calculs alors quand même allez faisons les Texas comme ça tout le monde aura été servi donc vous allez ici dans f2x vous rentrez expression je l'ai déjà fait ensuite dans fenêtre vous régle votre fenêtre donc x minimum maximum y minimum y maximum vous tracez ça donne ceci après et bien donc là je suis pas descendu à C je crois il fallait aller jusqu'à - 11 oui donc pourant oui moins y minimum 11 puisque c'est la valeur 3 on a toute notre courbe maintenant au même endroit que la Casio vous avez calcul donc vous allez y aller seconde calcul et vous avez les mêmes choses donc alors c'est un petit peu différent parce qu'il faut préciser faut encadrer la zoneù VZ maximum donc là vous mettez une donc la première fois ça paraî un petit peu difficile vous encadrez en fait votre maximum vous mettez un premier TR à gauche un premier à droite je crois qu'on re une trè fois et ça va placer le point normalement au bon endroit une petite erreur minimum ah oui non j'ai mis minimum pardon c'était maximum donc je refais voilà on va mettre un maximum attention donc je valide vous pouz commencer à droite à gauche ça ne change rien al c'est un petit peu moins pratique quand même c'est pour ça que je préfère moi personnellement pour les courbes je préfère la Casio là je m'étais trompé oui j' mis dans le mavais sens donc la Texas il y a ce petit ce petit défaut faut quand même le dire donc je reviens voyez 4 donc ceux qui ont une Casio une se disent qu'il sont bien fait dans ces moments là mais il y a d'autres moments où là Texas c'est très pratique on valide et voyez qu'il va se placer cette fois-ci au bon endroit donc 1,67 voà je vous montre en direct avec les erreurs qu'un élève peut faire vous faites aussi le minimum pour calculer les valeurs et bien euh là vous n'avez pas ici le mêm menu mais c'est valeur donc vous mettez 1 vous dites x = -1 et comme ça directement il vous donne - 3 donc ça c'est pratique par contre il y a pas besoin de sortir de là c'est très très rapide maintenant on arrive à la question 4 donc quelle hypothèse peut-on faire sur nombre de solution l'équation F x é= 0 alors je mets hypothèse parce que en premier on n pas les les connaissances pour justifier ça de façon rigoureuse parce qu'ici quand on regarde le tableau on voit bien qu'on passe ici de - 3 à - 4,1 donc là ça ne peut pas faire 0 c'est toujours plus petit que - 3 donc ça on peut le dire sur -1 X2 la fonction a fait décroissant donc FX est plus petit ou égal à - 3 donc strictement négatif donc FX ne peut pas faire zé d'accord ça on peut le dire en première il y a pas de problème c'est la décroissance de F on a par contre après des zones là on va de - 4,1 à 7,1 voilà alors on peut faire l'hypothèse qu'on va forcément c'est strictement croissant on va passer une seule fois sur toutes les abscisses sur toutes les ordonnées qui sont entre - 4,1 et 7,1 alors regardez les quatre points que j'ai placé ce sont les points qui correspondent au tableau de varation la courbe elle va ressembler à ça ici donc vous avez une tangente horizontale ici donc après ça va remonter je sais pas comment mais ça remonte strictement donc voyez une courbe qui va ressembler à ça et donc et bien à condition qui pas de trou dans la courbe on va être obligé de passer à chaque valeur entre - 4,1 à peu près et à peu près et exactement et à peu près par 7,1 donc vous allez trouver une solution ici quelque part entre donc X2 x ici d'accord sur une ABS alpha on va essayer de trouver la machine et c'est pareil après vous passez de 7,1 à - 11 donc et bien le fait qu'il y ait pas de trou dans la courbe et bien vous et que la fonction soit strictement décroissante ça va garantir en fait l'existence d'une solution unique quel ça s'annule donc il y a deux endroits où ça fera zé alors la notion qui permet de faire ça en terminale c'est ce qu'on appelle la continuité et quand une fonction est dérivable et bien elle est continue et la continuité ça assure une courbe qui n'a pas de trou vous pouvez pas sauter pardessus zéro sans y passer donc ça si vous verrez ça dans un chapitre où vous apprendrez à utiliser un une conséquence d' théorème le théorème des valeurs intermédire autrement appelé un thorème de la bijection ça c'est pour l'année prochaine donc pour l'instant cette année et bien on peut dire qui a deux solutions une entre X2 et X1 et l'autre entre X1 et et 3 comment trouver ces solutions alors là les calculatrices sont très perfectionnées pour ça elles sont parfaites donc on va retourner nous ici sur notre dessin donc il y a plein de façons de le faire he mais là on va faire ça très vite on trace et vous allez dans les solveur i c'est dans toutes les calculatrices vous allez mettre racine al il y en a sur les Texas c'est marqué zéro et là vous Metz racines et donc il vous indique la première donc à peu près 0,2 2977 alors je demandais des solutions à peu près je demandais pas de rapprocher donc là je vais donner de chifres on va mettre à peu près 0,30 et pour l'autre vous rappuyz une deuxième fois donc 030 et à peu près 253 sur la Texas donc vous mettez calcul dans le menu calcul vous mettez 0 voilà donc il va alors encore une fois borne gauche donc il faut encadrer vos zéos voyz c'est petit ch que j'aime pas trop quand même mais ça prend quelques secondes vous validez ça va balier en fait en Reval et donc vous voyez 0 à 0,29 donc c'est du 030 et vous faites pareil pour l'autre so vous allez sur la courbe ok donc là vous appuyez sur OK vous allez dans rechercher et ici zéro vraiment très pratique ça aussi donc ça fait 09 vous mettez ceci et donc de 53 et ça donne deux autres points de la cour ça veut dire qu'ici on va couper l'axe donc à peu près 03 donc à peu près ici c'est ce que j'ai appelé alpha et ensuite 253 pour VAT donc à peu près ici alors en ce qui concerne les maximum minimum locaux on va mettre ici des petites flèches pour indiquer des tangentes horizontales ça permettra de tracer la courbe de façon plus précise il faut qu'elle soit vraiment horizontale traduit vraiment la tangente horizontale la dérivée qui s'annule à ces deux endroits alors la question donc 1 de la partie de donc la tangente l'équation la tangente au point d'abcisse je rappelle qu'au point d'abscisse petit à la tangente d'une courbe F pour équation y = F Prim X- a + fa donc là c'est une multiplication ici on va appliquer ça pour a é= 1/2 je rappelle queicici F Prim c'est 6x 2 + x + 6 et on va donc calculer F 1/2 et F Prim 1/2ensite on calcule on remplace donc dans les expressions X par enfin x oui plutôt par 1/2i puisqueici petit avant 1/2i donc j'aurais des 1/2 au³ alors petit détail quand on fait 1/2 au Cu hein ça fait donc 2 x 1/8 et on simplifie les fractions he surtout fait 1/4 après vous avez pas mal de simplification ici 6 x 1/2 je rappelle que 6 x 1/2 ça fait 6/ demi c'est c'est idiot de le dire mais encore des qui font des erreurs donc attention il faut savoir manipuler les fractions sans problème donc on trouve ici 32 15 demi qu'on peut mettre sous forme décimale ensuite bien on remplace dans formule j'ai rappelé alors moi je préfère avec les fraction hein parce que pour les produits c'est plus facile 15/2 x 12 ça fait 15/4 donc ça fait 15/4 + 6/4 ça fera 9 car pour ceux qui aiment les décimaux là vous pouvez leses valeurs sont exactes vous multipliez donc sachez que quand on multiplie par 1 demi ça divise par 2 ça fait donc ici 375 ça fait donc 3 375 + 1,5 ser - 2 25 voilà donc pour cette question la question de maintenant on introduit une nouvelle expression d Dex qui sera je vous dis une distance verticale sur le graphique et on va calculer d de 1/2 et ensuite on va factoriser d parce que ici a propriété qui dit que quand un polynôme ici s'annule en une valeur ici 1 demi bien on peut le factoriser par X- cette valeur c'est-à-dire ici par X - 1/2 donc je calcule d 1/2 je fais l'effort quand on a un ilut faut faire l'effort de calculer pas toujours utiliser la machine parce que les fractions c'est très important d'avoir de l'aisance donc on fait très attention 1/2³ 1/ 1/4 32 x 12 ça ferait 3/4 on va tout mettre sur 4 ici on peut parce que - 2/ 8 ça fait 1/ 4 on simplifie par 2 3/4 34 ça ça va s'anner + 1/4 effectivement on trouve bien 0 pour la suite donc je relle la propriété comme 1 demi c'est une racine du polynôme D et bien DX se factorise par X - 1/2 donc pour tout x on peut CR que làz important DX mettez bien D2X je l'ai mis en bleu parce que parfois et bien on va aller on se trompe dans STR un dev voir ou d'un exercice et bien on écrit l'expression de F donc c'est bien l'expression de d Dex il faut mettre ici qui va se factoriser par X- 12 vous avez ici un polynô de degrés 1 ici un polynôme de degré 3 donc ça se factorise ici avec un polynôme de degré 2 donc x 2 + BX + C ensuite pour trouver les valeurs de a et c on va utiliser la méthode terminale on peut aller plus vite mais je ici on la méthode G on développe le côté droit voilà proprement et on va procéder par identification al qu'est-ce que c'est que l'identification c'est une propriété qui dit que quand deux polynômes sont égaux sur les valeurs de tout un intervalle non réduit à un point ici donc 1 3 il y a une infinité de points et bien quand de on les mêmes valeurs sur une infinité de points et bien les coefficients sont les mêmes en fait ce sont les mêmes polynômes donc ça veut dire qu'ici on va identifier les différentes puissances de X donc à gauche et à droite on regarde X3 vous voyez que le a à droite le X3 il y en a qu'un à gauche c'est le - 2 donc a est égal à - 2 donc on va identifier donc ici vous avez ce - 2 que j'identifie avec ce a ensuite on va faire pareil avec le deuxième terme important la constante ici seul terme constant à droite et à gauche il y en a un à chaque fois fois ça revient aussi à remplacer X par 0 on déduit que - 1/2 de c est égal à donc 1/4 donc on trouvera comme ça la valeur de c très rapidement juste après vous voyez on écrira a = 2 et c'est ég donc je multiplie par 2 ça fait c'est ég - 1/2 autrement dit - 2/ 4 maintenant il reste encore bien les X2 alors les X2 à dro à gauche j'en ai qu'un seul j'ai + 3 et et à droite j'en ai + B et attention a de termes 12 donc soit sont plus dur à trouver voyez pour le a j'aurais pu le trouver tout de suite c'est - 2 pour le C on peut le trouver en regardant le produit I 1/4 qui doit être égal à 12 FO C pour les autres il est découpé en 2 donc là je vais écrire B donc 12 A et ça je sais que c'est égal à 3 il me reste encore les coefficients de x donc- 32 al je fais tout ça permet de faire une vérification dire que là si tout se passe bien votre système va fonctionner sur les quatre équations et vous serez sûr de votre factorisation donc j'ai ici je vais faire un petit peu de place c - 1/2 de B doit être égal à - 32 donc je vais calculer B faut donc 3 + 12 de on ne se presse pas bon vous pouvez par contre à place de a mettre x 2 puisque a vaut 2 ensuite ici on va calculer la valeur de B donc a est ég à 2 B vaut donc 3 + 1 4 c'est va - 1/2 et on va vérifier la dernière ligne donc ça me fera - 1/2 1/2 de 4 qui doit être égal à - 3/2 est-ce que ça marche - 1/2 donc ici vous voyez ça fait - 1/2 - 2 et ça va donner - 32 donc il y a une erreur Z parce que ça fait - 1/2 2 ça fait - 5/2 donc là on on vérifie c'est très important cette dernière ligne parce que si elle est fausse et que vous vous êtes trompé quelque part souvent une faute d'inattention donc on va relire donc je relie donc B- 1/2 est bien égal à 3 c'est bien le coefficient que j'ai là j'ai bien recopié ici les bonnes choses c'est important ça et ici le coefficient de X c'est bien - 3 donc je me suis trompé juste ici donc VO c'est ici j'ai oublié voyez le - 2 donc très important je laisse l'erreur exprès hein parce qu'il faut comprendre que les quatre lignes doivent fonctionner si tout marche bien vous ne vous êtes pas trompé c'est vraiment une vérification absolue pour ce genre de pour cette question d'identification donc ici a = 2 donc là n pas c'est ceci donc B n'est pas égal à 3 + 1 mais 3 - 1 Voyez important il faut savoir trouver ces erreurs c'est souvent d' des erreurs bêes de recopie donc déjà aussi vérifier vous avz bien pris de DX au lieu de FX et donc ici je trouve b= 2 je vérifie donc là j'ai 2 ça fait 12- 1 qui fait bien 3 3 donc les 4 fonctionnent donc vous nêtes pas trompé ça veut dire i on peut dire que DX se factorise en X - 1/2 FO don a =- 2 2 x B = 2 + 2x c'est é= 1 voilà la question 3 maintenant le signe donc on va en fait chercher les racines de ceci d'accord donc là je vais prendre calculer Delta B car 4ac quand il a beaucoup de moins surtout détaille bien donc là je calcule alors je vais essayer d'être clair donc on va aller indiquer racine on sait pas s'il y en a s' en a pas 2 - 2x2 + 2x - 1 donc Delta é= ceci ce qui me fait 4 Mo Mo moin ça fait Mo 2 x 48/ 2 ça fait 4 je trouve 0 donc ça veut dire qu'il y a une racine on appelle une racine double qui est X0 = B donc on va mettre b/ 2A sur 4 fait 12 on retrouve encore 1/2 alors là vous avez plusieurs optionsin quand on connaî bien son cours et bien on on déduit ici que - 2x 2 + 2x - 1/2 ça vaut - 2 x x - 1/2 au² ça c'est la factorisation du cours quand on a une racine double ça se factorise en a x X- X0 au² ça veut dire qu'en fait D2X bien regardez il y a le - 2 qui est ici et vous avez x - 12 au Carr qu'on le remultiplie ça fait - 2 x - 1/2 au³ très classique dans ce genre d'exercice avec des fonctions degré 3 donc voilà ça c'est pour ceux vraiment qui auront utilisé la factorisation là le tableau de signe se fera directement hein pour la plupart des élèves on va faire deux ligne donc c'est ce que je vais faire voilà et je ferai quand même le tableau avec une seule ligne ici donc on va faire la ligne de X - 1/2 la ligne de - 2x 2 + 2x - 1/2 donc je suis entre -1 et 3 vous remarquez qu'il y a 1 demi donc je ne le mets qu'une fois voilà là je vais mettre le signe donc de dxn vous allez voir c'est une différence donc le signe ça s'annule pour les de ici donc pour lui aussi donc là j'ai moin plus ici parce que ça c'est une fonction àine croissante ici j'ai une fonction second donc une parabole avec une seule racine donc on a ceci le signe c'est donc moins moins donc quand on multiplie ici j'ai plus 0 Mo pour ceux qui ont factorisé qu'un cube et bien dans le signe d'un cube donc x - 12³ Le Cube c'est croissant c'est moins 0+ he le cube c'est comme ceci celui-ci s'annule en 1/2i d'accord et par contre il y a un - 2 qui va changer tous les signes c'est pour ça que vous avez + 0 exci c'est pas si simple que ça il faut le dire donc maintenant on a le signe sur 1 3 positif nul puis négatif question 4 en déduire en expliquant le lien avec D la position relative entre CF et T donc pour étudier la position donc relative entre la courve de F et la T t il faut étudier il faut le signe de FX moin donc l'expression droite membre de droite de la tangente et je rappelle la tangente c'était y égal à 152 x - 9/4 d'accord donc je vais faire F Dex - 15/2 x - 94 et si je calcule je dois retrouver d donc je le fais tranquillement - 2x3 + 3x2 + 6x - 2 - 15/2 2 x + 94 regardez - 2x3 + 3x2 ça ça commence bien 6 c'est donc 12/ 2 donc - 15 ça fait - 3/2 x 2 ça fait - 4/ 2 ça fait donc effectivement 4 c'est sur 4 ça fait 8/ 4 + 9/ 4 ça fait donc + 14 c'est exactement DX donc DX c'est bien c'est la différence X et 15 x 9 donc son signe va nous donner la position entre CF et T donc sur - 1 1 dei ouvert FX Mo 152 de X- 9/ et donc positif strictement ça veut dire que FX est plus grand que 152 X- 94 et donc et bien CF est au dessus strictement de sa tangente d'accord ensuite sur l'autre côté 1 3 le signe est négatif donc FX est plus petit strictement que x 9 donc CF est en dessous strictement donc de sa tangente T et ensuite CF et T se coupe au point d'abscisse 1 demi puisqueon a 0 le tableau ici et on a terminé on regardera ça dans la partie 4 avec le tracé de la on va revoir toutes ces choses alors on va tracer cette tangente quand même donc j'ai besoin de la valeur de ma fonction donc 1/ demi je vais tracer la tangente donc ce point demi c'est 1,5 on l'avait déjà fait 12 donc ça si je veux tracer cette tangente il me faut de points donc déjà on a vu que pour 1 demi on avait trou 1,5 donc on va mettre 15 X- 9 K et pour 0 ça fait 94 - 2 25 donc je place donc en 1/2 ça fait 1,5 donc on est par ici et ensuite en 0 on est à - 2 25 donc 3 est là 2 25 c'est ici donc je vais tracer cette droite et voici ce que ça donne donc vous voyez he j'ai donc ici les points qui apparaissent les quatre points qui apparaissent dans le tableau les doubles flèches pour indiquer les tangente horizontale on a ici notre tangente j'ai tracé en Pointier vert avec de points qu'on a trouvé tout à l'heure ici que j'avais appelé ba c'est les racines et Alpha alors ici si on zoome là il y a pas la courbe est très près de la tangente mais elle ne se coupe pas en alpha elle se coupe ici sur ce point là qu'on va détailler dans la partie suivante ce point s'appelle un point d'inflexion c'est un point très particulier parce que si vous regardez bien la position de la courbe avant la tangente on a vu la courbe est au dessus sa tangente et quand on passe ce point là la cour passe en dessous la la tangente va traverser la cour pardon va traverser sa tangente et ça c'est en mathématique très important sur cette courbe il n'y a qu'un seul point comme ça c'est ce point partout ailleurs la courbe ici ne traversera pas sa tangente si vous regardez par exemp n'importe où ici prenez ce point là tracer à tangente et bien la courbe arrive pardessous et repart pardessous prenons un autre point ici il je trace la tangente aller par là vous voyez que la courbe arrive par-dessus et repart par-dessus c'est le cas quasiment partout dans une courbe hein quand vous êtes sur une tangente souvent la courbe est du même côté de la tangente sur sur une zone localisée autour du point ici c'est complètement différent vous arrivez par-dessus vous ressortez par-dessous ça s'appelle un point d'inflexion c'est très important comme point ça va être l'occasion d'empiéter un petit peu sur point terminal sur un chapitre qu'on appelle la convexité et ça sera la partie justement la partie donc 3 donc pour étudier cette fameuse convexité donc j'aiindique question 4 programme on peut quand même faire les choses de PR calculer ce qu'on appelle la dérivée seconde pour ça on va dériver F prime donc je rappelle que F Prim x on avait TR c'était 6x 2 + 6x + 6 ça veut dire que F Prim de X donc fonction f Prim c'est ce qu'on appelle une fonction polynomiale F Prim est un polynôme F Prim est une fonction polynomiale donc dérivable dérivable sur son domaine de définition donc ici sur son ensemble son domaine de définition qui est ici donc - 1 3 donc pas de problème c'està dire qu'un polynôme enfin une fonction pe même vous pouvez la dériver autant de fois que vous voulez parce qu'en dérivant c'est toujours un polynôme d'ailleurs au bout de quelqu fois ça va s'annuler et donc on obtiendra F Prim X1 pour X appartenant à 1 on ESS toujours de donn l'ensemble pour lesquels sont valables les choses c'est pour ça que j'ai indique à chaque fois pour X appartient à - 1 3 F second donc on dérive 6 fois dérivée de 2x x 2 qui est 2x + la dérivée de 6x qui est 6 d 6 qui fait 0 ou alors vous dérivez 6x + 6 tout de suite qui donne 6 et directement normalement on écrit plutôt - 12x + 6 voilà on va faire le signe très simple à faire d'accord le S de F second donc la dérivée seconde c'est la dérivée de F prime donc je suis sur 1 3 F x c'est très simple alors attention c'est une fonction affine décroissante il 12 donc ça décroit donc on regarde quand est-ce que ça vaut 0 et bien c'est très simple ça fait x = - 6/ - 12 et on retrouve 1/ dei ce fameux 1 de de la partie précédente d'accord donc 12 0 par contre c'est décroissant donc plus moins et là on a donc le s f Le FSE parce que si vous dérivez F prime en fait c'est FSE donc le S de FSE c'est le cours va nous donner les variations de f'e donc F prime x va être croissante et décroissante strictement donc on a une dérivée qui d'abord augmente toujours et ensuite diminue toujours alors regardez ici j'ai tracé la tangente au point d'abscisse -1 voyez tangente dont la pente est négative mais ce qui va se passer ce qui m'intéresse c'est les variations de ces pentes quand je déplace mon point bien que les pentes augmentent toute la première partie de la courbe jusqu'ici les pentes des tangentes augmentent voyez bien et donc la dérivée elle est croissante strictement quand on arrive à ce point ce fameux point d'inflexion bien regardz est pente diminue on a donc une dérivée F prime qui est décroissante bien ça un phénomène en mathématiqueon fait entrer dans un chapis s'appelle la convexité sur la partie où les pentes sont croissantes on dira que la fonction est donc je répète à gauche la courbe donc les P descend la courbe est audessus de C tangente au point ici donc exactement dem un changement comme ça radical et maintenant les tangentes audessus de la la est en dessous donc je répète gauche on dit que la fonction est convexe surinv et 13 on dira que la fonction est concaveord vous étz ça bien plus en détail en terminal mais donc sachez que pour un point d'inflexion si la fonction est deux fois dérivable et bien on va chercher le sinus C seconde ça nous donnera les variations de f Prim qui elles nous indiqueront comment évoluent les pentes de la courbe voilà et vous voyez qu'on retrouve bien la les résultats de la partie on a étudié la position par rapport à la tangente donc il y a pas de problème avec notre partie donc c'était la partie 2 voilà il me reste maintenant la partie 5 j'ai déjà fait tous les tracés maintenant partie simple recherche de tangente particulièire donc au point d'abscisse -1 de la courbe la tangente donc je vais appeler t -1 la pour coefficient F prim-1 = - 6 montrer qu'il y a un autre point la cour pour lequel la tangente est paril à T-1 quelle est son abscisse on regarde tout de suite sur donc notre courbe voilà alors je vais préparer une petite animation encore donc là c'est la tangente au point d'absisse -1 voyez bien une pente - 6 et bien on cherche une autre tangente ou d'autres tangentes qui seraient parallèle à celle-ci donc je vais comme si j'avais une règle bieniser les parallèles est-ce qu'il y a un endroit où on a une tangente bien voyz pour l'instant pas du tout mais ici par là voilà en fait ici certainement donc il semble qu'on a une tangente ici qui soit par il y en a qu'une seule donc on va retrouver ça bien sûr pour les calcul et ça a l'air d'être au point donc je vais placer ce point là ça a l'air d'être au point d'abscisse donc j'ai pas prendre ce point au point d'absciss 2 alors il s'est pas placé au bon endroit effectivement il semble bien que la tangente en de soit parelle à la tangente en -1 donc on va aller vérifier ça on dit pas tangente en 2 he officiellement on dit tangente au point d'abscisse 2 pour être très rigoureux donc voilà ça c'est le dessin maintenant le calcul donc il va falloir trouver les endroits où la dérivée vaut - 6 c'est que la dérivée en ici doit être la même que là donc ça c'est une petite équation on va juste résoudre he on résout sur l'inval 1 3 on résout bien sûr avec un T F prime x = - 6 donc donc F prime ça faisait - 6x 2 + 6x + 6 = - 6 donc on va tout mettre du côté droit ça aura plus de moins devant ça fait 6x - 6x - 12 donc voyez qu'on divise par 6 ça fait X2 c'est une équation donc je peux diviser par 6 sans problème c'est même pas la peine de factoriser on divise fait ceci et on va donc résoutre cette équation du second degré très simple delta b² - 4 x 1 x - 2 ce qui fait on sait que déjà il y a une solution en 1 puisque va 6 donc de solutions x1= B- 69 3/ 2 12 pard pr qui est é excuse-moi j'ai maaise équation attention j'aiis les coefficients avant simplification il faut que je prenne cel donc B ça fait 1 3/ 2 je trouve bien -1 on retrouve -1 x 2 1 + 3/ 2 ça fait bien 2 donc il y a un autre point donc ce point il a pour abscisse 2 donc on rappelle peut-être sur sa copie que F Prim c'est la pente de T-1 et donc on trouve F' 2 = f'-1 c'est la seule autre solution donc l'abscisse cherché c'est 2 et on a terminé ce je trouve joli exercice si vous savez faire ça vraiment en première vous êtes déjà vraiment dans les bonnes conditions pour aborder la terminale voilà j'espère j'espère que ça vous a plu je vous souhaite une bonne fin de journée et à bientôt