Geometrische Grundlagen nach Euklid

Ja, herzlich willkommen. Heute beschäftigen wir uns mit Geometrie, und zwar mit Geometrie from its very beginning. Wir haben uns jetzt in der Geometrieveranstaltung mit ein paar Aufwärmaufgaben, Aufwärmübungen am Anfang mit grundlegenden geometrischen Begriffen beschäftigt, insbesondere mit geometrischen Figuren. Wir haben uns Rechtecke angeschaut, Dreiecke, wie die jeweils miteinander zusammenhängen, haben uns das Haus der Vierecke angeschaut, das Haus der Dreiecke, und haben versucht, in diesen Bereichen auch zu definieren. Also, was ist ein Parallelogramm? Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten. Aha, okay. Aber was ist ein Viereck? Ein Viereck wird gebildet aus vier Punkten a, b, c, d. Also, man hat vier Punkte a, b, c, d, und die Vereinigungsmenge der Strecken a, b, b, c, c, d und d, a ist ein Viereck. Okay, aber was sind Strecken? Was sind Punkte? Und so weiter und so weiter. Also, wir definieren Begriffe auf der Basis oder unter Verwendung bereits definierter Begriffe. Und die muss man ja auch irgendwann definiert haben, mit bereits definierten Begriffen. Und die muss man auch irgendwann definiert haben, und so weiter. Ein ähnliches Beispiel war Cappuccino. Was ist ein Cappuccino? Ein Cappuccino ist ein unter hohem Druck gefertigter ... ... nee, ein Espresso mit aufgeschäumter Milch. Cappuccino ist Espresso mit aufgeschäumter Milch. Okay, aber was ist Espresso? Was ist Milch? Ah ja, Espresso ist ein unter hohem Druck gefertigter Kaffee. Ja, okay, aber was ist Kaffee? Was ist Druck? Und was ist ein hoher Druck? Das heißt, man braucht immer wieder Begriffe, die man verwendet, um neue Begriffe zu verwenden. Das geht ja aber nicht bis in die Ewigkeit. Irgendwann braucht man mal Begriffe, von denen man ausgeht, dass sie intuitiv von allen richtig verstanden werden. Wir brauchen sozusagen Anfangsbegriffe, auf die man sich geeinigt hat, dass man da nicht drüber spricht, dass das klar ist. Und von diesen Anfangsbegriffen aus kann man dann alle anderen neuen Begriffe definieren. Ähnlich ist es mit Aussagen. In der Mathematik gibt es ja nicht nur Begriffe, die man definieren muss, sondern auch Aussagen über Konzepte, Begriffe, Objekte der Mathematik, ganz allgemein gesprochen. Für solche Aussagen verwendet man bereits bewiesene Aussagen. Und für die hat man auch bereits Aussagen bewiesen, die man da verwenden kann und so weiter. Aber das geht auch nicht bis in alle Ewigkeit zurück. Wir brauchen auch grundlegende Aussagen, die grundlegende Zusammenhänge klären zwischen Objekten der Mathematik. Und diese Aussagen, auf die man sich sozusagen geeinigt hat, anfangs, dass die mal gelten sollen, ohne dass man sie beweist, da kann man nicht beweisen, weil das sind ja die Anfangsaussagen. Und diese Aussagen nennt man Axiome. Also wir haben Anfangsbegriffe, auf die man sich geeinigt hat, und Axiome. Und das zusammen bildet sozusagen die Grundlage für die weitere Arbeit in dem Gebiet. Und da kann man sich auf unterschiedliche Dinge vielleicht einigen. Natürlich einigt man sich in bestimmten mathematischen Gebieten auf die Dinge, die einem sinnvoll erscheinen, damit man eben das Mathematikgebäude so aufbauen kann, wie man es gerne hätte. Und spannend ist halt, was würde denn passieren, wenn man die Anfangsbegriffe und Anfangsaxiome anders wählt. Okay, aber das führt zu weit. Und in der Geometrie braucht man das auch. In der Geometrie braucht man Begriffe, die am Anfang stehen, und Axiome, die am Anfang stehen. Jetzt würde ich euch mal fragen, habt ihr eine Ahnung, wovon man da ausgeht? Oder was da ein ganz populäres Beispiel ist? Das würde mich interessieren, ob ihr das wisst. Es gab nämlich mal jemand in der Vergangenheit, der wurde sehr populär damit, dass er die Anfangsbegriffe und die Anfangsaxiome sozusagen der Geometrie definiert hat, ähm, festgelegt hat. Und darauf aufbauend dann ein ganzes Gebäude gebastelt hat, der Geometrie. Yes, Marth, Euclid, Klein, Euclid, genau. Euclid. Euclid hat ein Buch geschrieben. Ja, genau, ein ziemlich bekanntes Buch sogar, die Elemente. Richtig, Marth, die Elemente, genau. Und das war wirklich ein sehr bekanntes Buch. Ähm, es war lange Zeit der Menschheit das nach der Bibel am weitest verbreitetste Buch. Na, weil es eben zu Bildungszwecken überall eingesetzt wurde. Also man hatte eben die Bibel und die Elemente von Euclid. Ja, genau, die Konstruktion mit Zirkel und Lineal spielt da auch eine Rolle. Die euclidischen Werkzeuge, Zirkel und Lineal, das haben wir in einer anderen Veranstaltung gemacht. Das machen wir auch in dieser Veranstaltung nicht so sehr, weil wir das bei uns eher im Master verortet haben. Aber die spielen da auch eine Rolle. Genau, natürlich, ja. Wenn heute mal wieder so ein Mathebuch, so ein Bestseller würde, ja, ja, genau. Das wäre natürlich schön. Aber Euclid hat es damals geschafft, wurde sehr populär. Und ja, ich würde sagen, wir schauen uns mal die Geometriebasis, die Geobase vom Euclid an. Die habe ich mitgebracht, die habe ich hier auf dem Tablet. Ah, das muss ich mal kurz umschalten. So, nochmal. Okay, so. Hier ist die Geometriebasis von Euclid. Und mal kurz zum Übersicht. Der hat ein paar Definitionen, Axiome und Postulate. Das gucken wir uns mal genau an, was das hier bedeutet. Ich kann auch gleich vorweg schicken, das wird nicht die Basis sein, die Geobase, die sozusagen die Grundlage für unsere Geometrieveranstaltung bildet. Das hat eher so historischen Wert, dass man sich das mal anschaut. Vieles davon wirkt auch heute natürlich in unsere Geobase hinein, werden wir gleich sehen. Aber ich zeige dann anschließend noch in einem zweiten Video unsere Geobase, die wir voraussetzen, die daran sehr stark orientiert ist, aber die nochmal ein paar Dinge mehr enthält und so weiter, mit der wir dann im Semester arbeiten werden. Okay, also hier die Geobase, Geometriebasis von Euclid. Und da gucken wir mal, was er hier definiert hat. Und wenn man heute sagen würde, wir brauchen grundlegende Begriffe in der Geometrie. Grundlegende Begriffe in der Geometrie, das ist jetzt nicht Viereck beispielsweise, weil wir haben gerade gesagt, Viereck besteht aus Vereinigungsmenge von Strecken, die jeweils Endpunkte haben. Da können wir überlegen, vielleicht Strecken und Punkte, aber Strecken sind auch Begriffe, die man definieren kann unter Verwendung anderer Begriffe. Nämlich Geraden. Und die grundlegenden Begriffe, würde man heute sagen, der euclidischen Geometrie sind Punkte und Geraden. Punkte und Geraden. Und das geht zurück auf Euclid, die Elemente von Euclid, und der hat jetzt einmal den Begriff Gerade nicht in dieser Form verwendet, sondern wir schauen mal an, was der gesagt hat. Und der fängt mit Punkten an. Ein Punkt ist ja sozusagen das kleinste Objekt, das man sich in der Geometrie vorstellen kann. Und das ist gar nicht so einfach zu definieren. Euclid hat so versucht, was keine Teile hat, ist ein Punkt. Was keine Teile hat, ist ein Punkt. Also ein Punkt ist nichts. Du kannst mal versuchen anzudeuten. Ein Punkt ist das da. Ah, ist schon kein Punkt mehr. Hat schon eine Ausdehnung. Also man kann eigentlich gar keinen Punkt zeichnen. Jedenfalls nicht mit dem Stift, mit dem überhaupt nicht. Das ist so ein etwas dicker Dödelstifter. Bleistift, super gespitzt, super gespitzter Bleistift. Du machst einen Minipunkt. Hat natürlich eine Ausdehnung, wenn du mit der Lupe hinschaust. Insofern ist ein Punkt ein gedankliches Objekt. Ein Punkt ist ein gedankliches Objekt. Man kann keinen Punkt zeichnen, aber man kann ihn sich denken. Als das, was keine Teile hat. Falls ihr Fragen oder Kommentare habt, schreibt in den Chat rein. Dafür ist der Chat da. Also Euclid, was ich auch bewusst finde, braucht irgendwie so Begriffe am Anfang. Und jetzt könnte man sagen, na gut, jetzt muss man auch wissen, was sind Teile und so. Wie sieht das Problem aus? Am Anfang hat man immer so etwas, wo man sagt, okay, jetzt ist es halt so. Teile sind auch nicht ganz selbsterklärend. Stimmt schon. Da müsste man den Euclid auch mal kritisieren an der Stelle. Ist der Punkt nicht selbst ein Teil? Ah ja, okay. Jetzt könnte man natürlich sagen, Euclid meinte wahrscheinlich etwas, was nicht aus kleineren Objekten besteht, die zusammengesetzt wiederum den Punkt ergeben. Es gibt keine echten Teile im Sinne von echter Teilmenge oder sowas. Okay. Naja gut, aber vielleicht können wir uns darauf einigen, dass Euclid das schon so gemeint hat, dass das auf die Art und Weise gemeint hat, wie wir ihn auch verstehen. Und das ist halt am Anfang so, dass man sich das so vorstellen muss. Okay, er meinte halt. Naja gut, da gibt es halt. Das ist halt irgendwie überhaupt nichts nicht ausgedehnter Minipunkt oder sowas. Okay. Eine Länge ohne Breite ist eine Linie. Das ist auch geil. Man muss sich vorstellen, also eine Länge ohne Breite. Man kann sich ja vorstellen, dass man hier so ein Rechteck mal zeichnet. Ein Rechteck hat eine Länge und eine Breite. Das sind ja eigentlich, Länge und Breite sind ja eigentlich gemessene Größen von Strecken. Okay. Ich kann jetzt auch kein Altgriechisch. Ich weiß nicht genau, ob Länge und Breite damals irgendwie im Altgriechischen irgendeine andere Bedeutung hatte. Vielleicht weiß das jemand von euch oder unter YouTube kann mir jemand kommentieren oder so. Auf jeden Fall hat er sich halt gedacht, ich habe jetzt hier so ein Rechteck vielleicht und das hat aber nur eine Länge und keine Breite und dann ist das eine Linie. Er hat noch nicht mal an ein Rechteck gedacht. Eine Linie könnte auch so aussehen. Eine Länge ohne Breite. Warum könnte es auch so aussehen, da kommen wir gleich dazu, weil Definition 4 definiert, dass es eine Gerade ist. Also ich denke mal, dass er sich bei einer Länge ohne Breite auch eine geschwungene Linie gedacht hat. Könnte man sich vorstellen. I don't know. Ja. Und jetzt kommt aber, interessanterweise, drittens, die Enden einer Linie sind Punkte. Also er hat sich wohl vermutlich eine Linie gar nicht unendlich gedacht, sondern, leider kann man nicht mehr fragen, genau, hat sich die wahrscheinlich nicht unendlich gedacht, sondern eine Linie hat Endpunkte und Endpunkte, also die Enden einer Linie sind Punkte. Und das ist jetzt sein Versuch, Punkt und Linie als Begriffe in Beziehung zu setzen. Er sagt also, was keine Teile hat, ist ein Punkt und außerdem sind die Enden einer Linie Punkte. Was jetzt hier noch nicht klar ist, dass sozusagen auch die Zwischenelemente einer Linie Punkte sind. Hier erstmal nur die Enden. Okay. Ich weiß auch nicht, ob er die Vorstellung da irgendwie auch mit unendlich langen Linien hatte. Auf jeden Fall, so wie es da steht, würde man annehmen, ne, eine Linie ist endlich und hat halt dann in Enden Punkte. Okay. So, jetzt kommt Definition 4. Also was haben wir jetzt definiert? Punkt und Linie. Und, also, naja, 3 ist vielleicht sowas wie die Definition von Endpunkten oder so, ne? Aber eigentlich haben wir da keinen neuen Begriff definiert, würde ich sagen, ne? Sondern das ist eigentlich, naja, okay, keine Ahnung. Haben wir vielleicht Endpunkte definiert, ja. Okay, dann bei 4. Eine Linie ist gerade, wenn sie gegen die in ihr befindlichen Punkte auf einerlei Art gelegen ist. Also jetzt versucht ihr mal bitte zu interpretieren, wie das gemeint ist. Ich habe das jetzt hundertmal schon gelesen, ne? Okay, er versucht halt irgendwie gerade zu definieren, ne? Aber, also dieser Text ist ja wohl wirklich ein bisschen schwurbelt, ne? Wenn sie gegen die in ihr befindlichen Punkte auf einerlei Art gelegen ist. Und außerdem sagt er jetzt, dass tatsächlich auch in ihr befindliche Punkte sind, ne? Das haben wir ja vorher noch gar nicht gesagt. Ich will jetzt nicht Euclid bashen, ne? War ja über Jahrtausende der State of the Art, ne? Aber man muss natürlich schon mal drüber nachdenken. Und, okay, das hat er vielleicht auch so als Erzversuch zu formulieren, ne? Ah ja, Marius wäre nach der Definition auch auf einer Kugeloberfläche eine gerade Linie möglich. Finde ich etwas schwammig formuliert. Ah ja, genau. Stimmt, ja. Gute Frage. Könnte man sich vielleicht vorstellen, dass auch eine Linie auf einer Kugeloberfläche gerade wäre? Denn die in ihr befindlichen Punkte sind auf einerlei Art gelegen. Naja, weiß ich nicht genau, ne? Also der würde wahrscheinlich sagen, Euclid, die sind nicht auf einerlei Art gelegen, weil die irgendwie so halt um die Kurve rumliegen, ne? Aber, genau, wir sind nicht verboten darüber jetzt nachzudenken, sondern im Gegenteil. Wir machen uns unsere Gedanken hier zu den Formulierungen von Euclid und versuchen natürlich zu verstehen, was er gemeint hat. Also gemeint hat er hier, da haben wir jetzt eine Gerade. Wobei, ich glaube, er hat eine gerade Linie mit Endpunkten gemeint und nicht eine Gerade in dem Sinne. Also wenn wir jetzt hier eine Gerade meinen, dann meinen wir ja eine, ich kann keine Gerade zeichnen, das ist eine Strecke, aber ich meine damit eine in die Unendlichkeit in beide Richtungen fortgesetzte Linie, in der die in ihr befindlichen Punkte auf einerlei Art gelegen sind, ne? Also ich meine gerade, wenn ich nicht gerade sage, meine ich natürlich ein unendlich langes Objekt. Ich bin mir nicht sicher, ob Euclid das ja auch so gemeint hat. Ja, guten Morgen Matt Brötchen. Sehr schön, dass du auch Euclid, Pythagoras und Euler begrüßt. Ich weiß gar nicht, ob wir heute hier sind. So, und jetzt sagt er noch, fünftens, was nur Länge und Breite hat, ist eine Fläche. Jetzt hat er noch Fläche definiert. Okay, jetzt gehen wir ins Zweidimensionale. Was nur Länge und Breite hat, das heißt, man könnte jetzt auch andenken, nicht Höhe. Und deswegen bleiben wir im Zweidimensionalen und gehen nicht in die dritte Dimension. Er hat jetzt versucht, hier die Objekte zu definieren, die sich in zwei Dimensionen aufspannen lassen, aber nicht in einer dritten oder mehr. Was nur Länge und Breite hat, ist eine Fläche. Jetzt könnte man vielleicht heute auch sagen, ja, würden wir Fläche dazu sagen, oder vielleicht Figur, eben eine Figur oder so, die einen Flächeninhalt hat. Ja, okay. Ja, das sind die Definitionen von Euclid. Was hat er definiert? Punkt, Linie, Endpunkte vielleicht, Gerade, Linie und Fläche. Okay, das sind so seine grundlegenden Begriffe. Schauen wir mal weiter. Jetzt hat er noch Axiome formuliert. Gehen wir mal weiter nach oben. Und Postulate. Ich mache mal beides auf hier. Axiomen und Postulate. Und das ist aus heutiger Sicht vielleicht ein bisschen strange, weil man würde annehmen, ach hier, Core. Was ist eigentlich eine Breite? Wenn man eine Linie zeichnet, wäre ich auf die Idee gekommen, dass die eine sehr, sehr schmale Breite hat. Ja, genau. Eine Länge ohne Breite ist ja eine Linie. Und, naja, was eine Länge und eine Breite hat, ist eine Fläche nach Euclid. Das muss man sich überlegen, was steht denn da drunter? Also Breite haben wir ja nicht definiert vorher. Länge auch nicht im Übrigen. Also auch hier, ja, Diskussionsanlass auf jeden Fall. Okay, ja, die Axiome von Euclid und die Postulate von Euclid. Und jetzt muss man allerdings sagen, die Axiome von Euclid sind Aussagen, die vielleicht gar nicht so sehr auf die Geometrie bezogen sind, sondern vielleicht auf die allgemeine Logik oder so. Und die Postulate von Euclid würde man heute die Axiome nennen. Okay. Also, aber schauen wir uns mal jetzt an, was er als Axiome bezeichnet hat. Dinge, die demselben Dinge gleich sind, sind einander gleich. Also was meint er damit? Wenn ich zwei Dinge habe, ich bezeichne es jetzt mal mit Variablen. Dinge, die demselben Dinge gleich sind. Also, wenn A so ein Ding ist, das gleich dem Ding B ist, und wenn C ein Ding ist, das gleich dem Ding B ist, dann sind das ja Dinge AC, die demselben Dinge B gleich sind. Und die sind auch einander gleich. Also daraus kann man folgen, dass A gleich C ist. Also was er hier sozusagen definiert hat, ist, würde man heute sagen, die Transitivität der Gleichheit. Wenn A gleich B und B gleich C, dann ist A auch gleich C. Okay. Und das gilt natürlich nicht nur in der Geometrie, das gilt ja überall. Diese Grundlegende Gleichheitstransitivität, und deswegen hat er es wahrscheinlich auch zum ersten Axiom gemacht, weil das eben ganz besonders grundlegend ist, dass man sich darüber einig ist, dass wenn Dinge demselben Dinge gleich sind, sind auch die Dinge gleich. Das hat er sozusagen als erstes Axiom formuliert. Okay. So. Fügt man zu Gleichem Gleiches hinzu, so sind die Summen gleich. Ah ja, okay, jetzt scheinen wir uns in der Arithmetik zu befinden. Also, angenommen A gleich B gilt weiterhin wie hier oben, und jetzt mache ich auf A plus D und B plus D. Also ich füge Gleichem, A und B ist ja schon gleich, füge ich Gleiches hinzu, so sind auch die Summen gleich. Okay. Also, man könnte sagen, ich definiere jetzt hier die Äquivalenzumformung in einer Gleichheit von zwei Termen. Wenn ich auf beiden Seiten dasselbe addiere, sind die Terme weiterhin gleichzusetzen. So. Das gleiche ist jetzt sozusagen, das dritte Axiom nimmt man von Gleichem Gleiches hinweg, so sind die Reste gleich. Das kann man sich natürlich auch entsprechend vorstellen. A minus D ist gleich B minus D. Okay. Also, er definiert hier, könnte man fast sagen, grundlegende algebraische Umformungen. 4, Axiom 4 wiederum bezieht sich auf die Geometrie. Was zur Deckung miteinander gebracht werden kann, ist einander gleich. Was zur Deckung gebracht werden kann? Also Beispiel, ich habe hier ein Dreieck und hier ein Dreieck. Wenn ich das eine Dreieck so verändern, bewegen kann, verschieben kann, ohne es selbst in der Form zu verändern, also wenn ich es so bewegen kann, verschieben kann, spiegeln kann und so weiter, dass es auf dem anderen Dreieck landet, auf dem zweiten Dreieck, dass ich das zur Deckung bringen kann, ohne dass etwas übersteht von einem der beiden Dreiecke. Die liegen exakt aufeinander. Also alle Seiten liegen exakt aufeinander. Die Winkel sind gleich groß und so. Dann sind diese beiden Dreiecke gleich. Und heute würde man für diese Gleichheit den Begriff kongruent verwenden. Das sind kongruente Figuren, wenn sie zur Deckung gebracht werden können. Man sagt auch deckungsgleiche Figuren. Deckungsgleiche Figuren, kongruente Figuren. Okay. Und 5, das Ganze ist größer als ein Teil. Ja, da könnte man jetzt auch sagen, warum kann das Ganze nicht ein Teil seiner selbst sein? Hat Euclid sich nicht so gedacht. Der Teil, also wenn ich es in Mengen, theoretischen Begriffen denke, würde man sagen, die Teilmenge, er hat hier echte Teilmengen gemeint und nicht Teilmengen. Okay, na gut. So, das sind die Axiome von Euclid und jetzt kommen die Postulate, die sich direkt auf die Geometrie beziehen. Und wo wir heute sagen würden, das sind eigentlich die Axiome, die wir meinen, wenn wir über geometrische Axiome sprechen. Und die schauen wir uns jetzt auch nochmal an. Es soll gefordert werden, dass sich von jedem Punkte nach jedem Punkte eine gerade Linie ziehen lassen. Interessant. Also, Euclid sagt, ich habe hier einen Punkt und ich habe noch einen Punkt. Ich mache es mal ein bisschen dicker, obwohl sie natürlich keine Teile haben. So, diese beiden Punkte. Und egal, welche zwei Punkte ich habe, es lässt sich zwischen diesen beiden Punkten eine gerade Linie ziehen. Zwei Punkte sind ja sowieso die Endpunkte einer Linie, nach Definition sowieso. Und da kann ich hier also zwischen diesen beiden Punkten eine gerade Linie ziehen. Heute würde man sagen, zu zwei Punkten gibt es genau eine Gerade, die durch diese beiden Punkte hindurch geht. Und wir meinen damit die gerade, die unendlich lange Gerade. Also die unendlich lange gerade Linie. Zweitens. Ferner, dass sich eine begrenzte Gerade stetig in gerader Linie verlängern lässt. Also wir können eine gerade Linie, wie hier die oben beispielsweise, stetig verlängern. So, drittes Postulat. Ferner, dass sich mit jedem Mittelpunkt und Halbmesser, Halbmesser ist dasselbe wie Radius, Ferner, dass sich mit jedem Mittelpunkt und Halbmesser ein Kreis beschreiben lässt. Okay, du hast einen Mittelpunkt, du hast einen Radius, kannst einen Kreis machen. Sehr schön. Ferner, dass alle rechten Winkel einander gleich seien. Das, genau, würde man sagen, hör was, ist doch logisch. Manchmal muss man ja auch Dinge sagen, die klar sind. Wobei, also ich habe hier einen rechten Winkel und ich habe hier einen rechten Winkel. Und die lassen sich natürlich zur Deckung bringen. Und da würde ich mir sagen, also gut, Euclid, du hast doch hier oben gesagt, was zur Deckung miteinander gebracht werden kann, ist einander gleich. Und rechte Winkel können einander zur Deckung gebracht werden. Ich denke, dass man das beweisen kann, mithilfe von Komponenzerbildung oder ähnlichem. Ich weiß nicht, ob Euclid das damals schon so gesehen hat. Aber auf jeden Fall hat er irgendwie das Bedürfnis, trotzdem nochmal zu sagen, dass alle rechten Winkel einander gleich seien. Na gut. Und hier, fünftes Postulat. Endlich, endlich sind wir beim fünften angekommen. Endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden Geraden ins Blendliche verlängert schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte. Hä? Also, alles vorher war irgendwie so relativ easy-peasy formuliert und jetzt haben wir hier so ein Mega-Ding. Ja, dann vielleicht versuche ich das mal. Dieses Postulat, schauen wir uns nochmal genauer an. Also, endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte. Also, ich habe eine Gerade, nenne ich mal G, und die trifft zwei Geraden, also zwei Geraden schneiden jetzt diese Gerade. Und zwar auf folgende Weise, auf derselben Seite der Geraden, also zum Beispiel hier auf der rechten Seite, sind die inneren Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte. Also, so. Diese inneren Winkel Alpha und Beta sind zusammengenommen kleiner als 180 Grad als zwei Rechte. Okay. Also, jetzt haben wir die Ausgangssituation. Wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden Geraden ins Unendliche verlängert schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner sind als zwei Rechte. Also, wenn ich jetzt das Unendliche verlängere, dann treffen die auf der Seite zusammen, nämlich hier in dem Schnittpunkt P, auf der die beiden Winkel liegen. Was steckt da drin? Die beiden Geraden, ich nenne sie mal H und I, sind nicht parallel. Die sind nicht parallel. Und das wird folgendermaßen formuliert, sie schneiden die Gerade G auf eine Art und Weise, dass ich nicht zwei rechte Winkel habe. Also, sie stehen nicht senkrecht sozusagen auf G. Nicht mal senkrecht, sondern in der Summe nicht. Also, die Summe der beiden Winkel ist nicht 180 Grad. Also, zusammengenommen sind sie kleiner als 180 Grad. Das ist die Voraussetzung dafür, dass H und I nicht parallel sind, denn sie müssen nicht senkrecht auf G stehen. Da kann ich aber auch Folgendes denken, dass sie so liegen. Und dann sind ja diese beiden Winkel hier zusammengenommen 180 Grad, weil das hier ist ein Stufenwinkel zu dem hier, zu dem da. Und diese beiden Winkel sind Nebenwinkel und sind 180 Grad. Also, wenn die beiden inneren Winkel nicht zusammen 180 Grad ergeben, das ist die Voraussetzung, dann sind die beiden Geraden nicht parallel, also schneiden sie sich in einem Punkt. Also, das ist die Grundidee von Aktion Nummer 5. Heute würde man sagen, das ist das Parallelen-Aktion. Und das würde man heute anders formulieren, nämlich folgendermaßen, das habe ich auch darunter geschrieben, in einer Ebene gibt es zu einer Geraden G und einem Punkt P außerhalb von G genau eine Gerade, die zu G parallel ist und durch den Punkt P geht. Also, das ist jetzt anders formuliert. Jetzt gucken wir uns an, was ist eine Parallele? Hier bei dem fünften Postulat von Euclid hat man eher die Nichtparallelen betrachtet, aber sozusagen die andere Seite der Medaille ist das Parallelen-Aktion. Ich habe eine Gerade hier, die nenne ich jetzt mal G und einen Punkt P und das Parallelen-Aktion sagt, dass durch P genau eine Gerade geht, die zu G parallel ist. Es gibt nicht zwei oder drei verschiedene Geraden. Kalua, also machen Euclids Postulate gar keine Aussage über parallele Geraden? Ja, also letzten Endes indirekt. Postulat 5 sagt indirekt was über parallele Geraden, aber auch nicht so richtig aussagenlogisch korrekt, also im Sinne von, er sagt ja gar nichts, was passiert, wenn zwei Geraden nicht in der Art und Weise auf eine Gerade G treffen. Aber naja, er war halt auch wirklich at the very beginning. Okay, aber immerhin. Also da steckt das sozusagen drin, dass wenn die beiden Geraden eben nicht zwei Winkel kleiner als 180 Grad bilden, dann treffen sie sich nicht, wenn man sie bis ins Unendliche verlängert. Also sind sie parallel, so könnte man sagen.