Ein schönes Geometrie Rätsel – Berechne die Fläche!

hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese Geometrieaufgabe mitgebracht die folgendermaßen lautet drei identische Kreise liegen innerhalb eines Rechtecks können wir hier schön sehen die liegen hier schön drin sie berühren sich gegenseitig sowie die Seiten des Rechtecks auch hier können wir schön sehen dass sie sich hier berühren und eben auch die Seitenwände hier berühren wie groß ist der Flächeninhalt des Rechtecks der ist also gesucht der nenne ich einfach mal a und wenn wir die Seitenlängen des Rechtecks hätten dann können wir den Flächeninhalt ja einfach ausrechnen also wenn wir die Seitenlänge hier unten einfach mal x nennen die Seitenlänge hier nennen wir y und dann ist x mal y der gesuchte Flächeninhalt okay gucken wir mal ob wir x schnell herausfinden können wir haben ja hier diese beiden Kreise die sich hier berühren und von der einen Seite bis zur anderen Seite ineinander übergehen sozusagen also von links nach rechts laufend startet es hier ja mit dem Radius von der Länge 1 dann geht's weiter mit dem zweiten Radius dann haben wir hier noch mal den Radius von der Länge 1 und dann noch mal also die Seite X ist 1 2 3 4 lang und dann können wir x schon mal durch 4 ersetzen und haben einen Teil schon mal gefunden dann suchen wir y und schauen mal ob das genauso schnell funktioniert wir wollen von hier oben bis ist nach unten durch ich habe es jetzt mal hier in die Mitte gezeichnet weil wir hier ja dann auch eben schon mal ein Stück kennen wir wissen dieser Teil hier ist eins lang genauso vor Mittelpunkt zum Kreisrand der ist auch eins lang hier oben von der Seite bis hier zum Berührpunkt ist das ganze auch eins lang weil das ist ja im Grunde der Radius wenn wir das mal hier so hier einzeichnen ist es einfach der Radius aber wir haben keine Ahnung über das Stückchen hier in der Mitte da können wir jetzt nicht einfach sagen wie lang der Teil ist deswegen machen wir alles mal noch mal rückgängig y ist auf jeden Fall nicht so einfach zu finden was man aber immer machen kann wenn man solche berührpunkte hat und mit Kreisen unterwegs ist kann man die Mittelpunkte einfach mal mit den berührpunkten verbinden also einmal hierhin einmal hierhin einmal hier vom Mittelpunkt zum Berührpunkt genauso hier vom mittelpt zum Berührpunkt und hier genauso und dann sehen wir dass wir hier ein schönes Dreieck gebastelt haben von dem wir die Seitenlängen tatsächlich ja auch kennen weil das ja jedes Mal der Radius ist also hier haben wir den Radius 1 hier haben den Radius 1 Radius 1 und so weiter und so fort das heißt die Seitenlänge hier von meinem Dreieck ist 2wei wenn ich die mal hier zusammenfasse genauso hier zwei und eben auch hier dann zwei aber ich lasse die mal einzeln hier getrennt weil ich die hier hier gerade nicht weg wegradieren kann aber wir haben ein gleichseitiges Dreieck tatsächlich und wir müssten eigentlich nur wissen wie lang die Höhe davon ist denn wir haben ja gesagt wir kennen das Stück hier oben mit eins wir kennen das Stück hier unten mit eins und wenn wir die Höhe dazwischen dann auch noch berechnen könnten dann wüssen wir automatisch wie lang y ist okay wie können wir die Höhe denn finden na ja das ist ein rechtwinkliges Dreieck hier auf der linken Seite wir können Pythagoras anwenden um die Höhe zu berechnen dazu müssen wir erstmal schauen wo die Hypotenuse ist die liegt ja immer gegenüber vom rechten Winkel also das da ist meine Hypotenuse und dann sagt Pythagoras schnapp dir die eine Seite von deem Dreieck das ist H quadriere das Plus die andere Seite von deem Dreieck das ist die 1 und quadriere die und dann kommt da die Hypotenuse zum Quadrat raus also 2 zum Quadrat und diese Gleichung kann ich einfach nach H umstellen 1 zum Quadrat ist nichts anderes als 1 2 zum Quadrat ist nichts anderes als 4 ich bring die 1 mal rüber dann steht mein h Quadrat alleine da 4 - 1 sind 3 und um nach H aufzulösen muss ich die Wurzel auf beiden Seiten ziehen da ich in einer Gleichung bin bekomme ich zwei Lösungen für mein h raus einmal H1 und H2 einmal die positive Wurzel von 3 schib hab ich einfach als Wurzel von 3 hin und einmal minus die Wurzel von 3 was sagen wir zu Wurzel von 3 für unsere Höhe eine negative Seitenlänge eher unrealistisch können wir einklammern wir rechnen hier nur mit der positiven Lösung Wurzel von 3 sol lang ist unsere Höhe hier das habe ich mir noch mal hier dann schön farbig eingezeichnet und dann können wir jetzt sofort sagen wie lang unsere y Seite ist die ist 1 + w√el von 3 + 1 also 1 und 1 kann ich zu einer 2 schon mal zusammenrechnen und Wurzel von 3 kommt dann noch dazu das schnappen wir uns denn wir wollten ja den Flächeninhalt ausrechnen da hat unser y noch gefehlt das setzen wir hier ein also haben wir viermal und hier schöne Klammer drum herum um die zwei und die Wurzel von 3 das ist die exakte Lösung kann man noch in Taschenrechner eintippen und sich eine ungefähre Lösung von 14,93 für den Flächeninhalt ausgeben lassen und damit haben wir die Aufgabe gelöst ich bin gespannt wie ihr vorgegangen seid schreibt eure Lösungswege gerne in die Kommentare habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut