Teilbarkeit durch 3

In TrueMath geht es darum, hinter die Regeln zu schauen, die viele kennen, aber vielleicht nicht wissen, warum die Regeln gelten. Viele denken ja, Mathematik besteht aus so Regeln, die man anwenden muss, aber warum gelten die eigentlich? Da habe ich wieder mal eine Regel heute mitgebracht, oder mehrere eigentlich, die wir uns mal gemeinsam anschauen wollen und gemeinsam überlegen wollen, warum die gelten. Wie immer gilt, macht gerne mit im Chat und dann legen wir los. Ich habe hier mal eine Regel mitgebracht oder eine Frage an euch. Die Frage ist, ob ihr die Regel kennt. Wie kann man denn testen, ob eine Zahl durch drei teilbar ist, also ob man eine Zahl durch drei ohne Rest teilen kann? Wie prüft man das denn? Wer von euch weiß das? Quersumme. Da kommt sofort die Quersummen-Regel. Genau, Quersumme. Quersumme. Okay, ja, gucken wir uns mal an, was das bedeutet. Ich habe hier mal so eine Beispielzahl. Nehmen wir mal die 1242. Was bedeutet das mit der Quersumme? Also wenn ich jetzt wissen will, ob die Zahl durch drei teilbar ist, was muss ich dann machen? Genau, Quersumme würde ich sagen, aber weiß nicht, woher ich das weiß. Ja, ja, genau. Die Quersumme kann man auch mehrfach anwenden. Das ist vollkommen richtig. Ah ja, hier kommen schon die ersten Rechnungen. Alle Ziffern summieren, die Summe der Ziffern bilden und da steht sogar Opa Hut und I7 haben auch gesagt, was ich genau machen muss. Also ich muss rechnen. 1 plus 2 plus 4 plus 2. Genau. Und was kommt da raus? Da kommt 9 raus. 1 plus 2 ist 3, plus 4 ist 7, plus 2 ist 9. So, also was können wir schließen? Ist die 1240 jetzt durch drei teilbar oder nicht? Ja, I7 schreibt schon, 9 durch 3 ist 3. Nuclea schreibt Yes, Ja, genau. Alle schreiben Ja, genau. Also die 9 ist durch drei teilbar. Also ist auch die 1242 durch drei teilbar. Und jetzt kann man sich fragen, hä, warum gilt das denn? Wie kommt man auf, wer kommt auf so eine Idee? Mr. Harpies, genau. Ja, also wie kommt man denn, wie kommt man denn da drauf? Also wie kommt man darauf, dass jetzt, wenn man die Quersumme bildet und die durch drei teilbar ist, dass dann auch die ursprüngliche Zahl durch drei teilbar ist? Das wäre doch cool, wenn man das mal verstehen würde. Restomathie hat schon eine erste sehr gute Idee. Genau. Das hängt mit der 10 zusammen. Das ist vielleicht schon ein Hinweis, was wir uns mal genauer anschauen könnten. Nämlich, wir schauen uns mal die Struktur der 1242 an. Mathematik ist ja die Wissenschaft der Muster und Strukturen. Das haben wir auch beim letzten Mal schon intensiv besprochen bei den Aufgaben, die wir damals hatten. Und wir schauen uns heute mal die Stellenwertsystemstruktur der Zahl 1242 an. Ja, vielleicht kennt ihr das noch aus der Schule, so eine Stellentafel. Ich schreibe die mal hier hin, um es möglichst schön zu machen. Also wir haben einen Tausender. Wir haben zwei Hunderter. Wir haben vier Zehner und zwei Einer. So, das ist die 1242, wenn man die unterschiedlichen Bündelgrößen des Dezimalsystems anschaut. Okay. Ja, und jetzt nähern wir uns mal der Frage, warum man das hier mit der Quersummenregel so machen kann. Und vielleicht schauen wir uns dazu mal, oder wir machen folgende Überlegung. Um uns das einfacher vorstellen zu können. Und zwar stellen wir uns mal vor, wir haben 1242 Gummibärchen. 1242 Gummibärchen und die wollen wir auf drei Personen verteilen. Und zwar derart nach Möglichkeit, dass kein Gummibärchen übrig bleibt. Und wenn wir die 1242 Gummibärchen auf die drei Personen verteilen können, so dass nichts übrig bleibt, dass es aufgeht, dass jeder gleich viel bekommt am Ende, dann ist die 1242 durch drei teilbar. Und ansonsten nicht. Teaching Science hat schon eine gute Idee, auch im Chat hier, wenn wir die Zahlen von 10 bis 19 bilden, erhöht sich die Quersum immer um eins und jede dritte Zahl ist Bestandteil der Dreierreihe. Ja, das könnte man sich so systematisch mal anschauen. Das ist vielleicht ein anderer Weg, der interessant ist, den man mal verfolgen könnte. Jetzt schauen wir uns vielleicht mal diese Gummibärchen-Überlegung an. Und zwar, also wir haben 1242 Gummibärchen und wollen die an drei Personen verteilen. Und die Gummibärchen, das macht Bauchweh für drei, Theo Fried, ja genau. Ja, und die Gummibärchen liegen in unterschiedlichen Packungsgrößen vor. Okay, und zwar haben wir hier eine ganz große Packung, eine tausender Packung Gummibärchen. Ich zeichne die mal hier hin, das ist eine tausender Packung, da sind tausend Gummibärchen drin. Okay, und wir haben zwei hunderter Packungen. Ich zeichne das jetzt mal nicht verhältnismäßig auf. Eine hunderter Packung ist jetzt hier vielleicht ein bisschen zu groß, aber das Prinzip ist klar, okay. Also wir haben zwei hunderter Packungen mit Gummibärchen. In jeder dieser Packungen sind hundert Gummibärchen drin. Okay, so, und dann haben wir vier zehner Packungen Gummibärchen. So, zeichne ich mal hier vier zehner Packungen hin. So, und was haben wir noch? Wir haben noch zwei einer Packung. Naja, okay, wir haben eine Packung. Kommen wir mit Leben, oder? Es gibt halt irgendwie Packungen, da ist nur ein Gummibärchen drin. So, eine Packung, zwei einer Packung. So, also, wir haben 1242 Gummibärchen, die in unterschiedlichen Packungsgrößen vorliegen. Promopackung, genau, wie Marte, sehr geil. Ja, genau, Promopackung, da ist ein Gummibärchen drin. Super, mega, unnachhaltig. Okay, jetzt wollen wir diese Packungen, die Gummibärchen in den Packungen, auf drei Personen verteilen und schauen mal, ob das aufgeht oder nicht. Ja, genau, One from the Falls sagt, ja, die drei, also die 30 und 300 und 3000 sind durchdrehteilbar, aber wieso jetzt die 1200 auch, wegen der 1 plus 2, wie kann das funktionieren? Ah, Fredchen, bei dir kommen auch die Gummibärchen im Unterricht zum Einsatz. Genau, mal ein bisschen Gummibärchen-Pädagogik hier. Also, wir haben diese Packungsgrößen, so, und jetzt wollen wir die auf drei Personen verteilen. Ich würde vorschlagen, wir reißen jetzt mal Packung für Packung auf und verteilen die an die drei Leute, okay? Wir fangen mal bei einer 10er-Packung an, okay? Wir reißen mal so eine 10er-Packung auf hier, okay, und verteilen diese 10er-Packung. Wie viele Gummibärchen kriegt jeder von den drei Personen? Schreibt mal in den Chat, ich muss mal kurz was trinken, aus meiner tollen TrueMath-Tasse. Obi Morte, 3,33 Gummibärchen kriegt jeder. Nee, wir dritteln hier keine Gummibärchen, okay? Drei Gummibärchen kriegt jeder, genau. Nuclea, Knochi, I7-Operhut, Mathe, Z-Man. Ah ja, Anisa sagt schon, eins bleibt übrig, genau. Blut sagt das auch, Mathe, Z-Man, Christo, Mathie, einer bleibt übrig, genau. Also, von den 10 Gummibärchen kriegt jeder drei von den Personen, ein Gummibärchen bleibt übrig. Ich mal das mal hier oben hin, ne? Das haben wir jetzt noch nicht verteilt, das müssen wir am Ende verteilen, okay? So, jetzt reißen wir die nächste 10er-Packung auf. Wie viel kriegt davon jeder? Naja, auch drei, ist bei jeder 10er-Packung so. Jeder von den drei Personen kriegt drei Gummibärchen, haben wir neun verteilt, eins bleibt übrig. Das ist einfach bei jeder 10er-Packung so, bleibt am Ende ein Gummibärchen übrig. Okay, gut, jetzt gehen wir zu den 100er-Packungen, reißen die mal nacheinander auf, ne? Die 100er-Packung hier, wie viel Gummibärchen kriegt jeder von den drei Personen, wenn ich so eine 100er-Packung aufreiße? I7 war schon schnell, hat schon meine Frage vorher gewusst. 100 durch 3 ist 33, genau, kriegt jeder 33, Rest 1. Mathe, Z-Man, es könnte auch jeder 30 kriegen, Rest 10, das wäre denkbar. Aber von diesen 10 Rest-Gummibärchen könnten wir ja auch jedem nochmal drei abgeben. Genau, mich kriegst 33, eins bleibt wieder übrig. Okay, auch bei dieser 100er-Packung bleibt eins übrig. Gehen wir mal zur 1000er-Packung, jetzt reißen wir die 1000er-Packung auf. Riesen-Gummibärchen-Packung hier, wie viel kriegt jeder von den drei Personen von der 1000er-Packung? Ja, 333 kriegt jeder, insgesamt können wir 999 Gummibärchen verteilen, ein Gummibärchen bleibt übrig. Ist das nicht verrückt? Das liegt natürlich am Dezimalsystem oder an der Verbindung der 10 im Dezimalsystem und der 3, also der Anzahl der Personen, auf die wir verteilen wollen. Weil 9 durch 3 teilbar ist, 999 durch 3, 999 durch 3, 9999 durch 3, 99999 durch 3 teilbar und so weiter. Diese Zahlen sind alle durch 3 teilbar und dann fehlt immer gerade noch eins zum Stellenwert, also zu 10, 100, 1000 und so weiter. Bei jeder Position bleibt ein Gummibärchen übrig. Ah ja, und Basti kennt auch schon meine nächste Frage, die Einer-Packung, die müssen wir auch noch verteilen, ne? Genau, von der Einer-Packung, wenn ich die an drei Personen verteilen will, kriegt leider keiner eins. Ich habe ja nur ein Gummibärchen, also bleibt hier auch eins übrig bei einer Einer-Packung. Kriegt jeder null Gummibärchen, eins bleibt übrig. So, Obi Morte, bitte, woher kommen diese verrücktstimmigen Beispiele? Man sitzt hier und checkt es, wie kommt das? Das freut mich natürlich, das freut mich natürlich. Die Beispiele sind durchdacht, natürlich. Okay, so, wir haben jetzt fast alle Gummibärchen verteilt, gleichmäßig an drei Personen. Wir haben fast alle Gummibärchen verteilt. Was müssen wir jetzt noch prüfen, um zu testen, ob die Gesamtanzahl durch 3 teilbar ist? Und einige haben schon in den Chat hineingeschrieben, wir müssen jetzt noch versuchen oder schauen. Wir müssen noch prüfen, ob die einzelnen Gummibärchen übrig geblieben sind. Ob man die auch gleichmäßig auf drei Personen verteilen kann. Alle anderen haben wir schon gleichmäßig verteilt, nur die einzelnen noch nicht. So, die restlichen Bärchis müssen wir jetzt auch schauen. Die müssen wir auch durch 3 teilen. Wie viele sind denn das? 1 plus 2 plus 4 plus 2. Ah ja, das ist gerade die Quersumme. Verrückt, das ist cool. Ich will im Dezimalsystem prüfen, ob 1.242 durch 3 teilbar ist. Die Packungen, die hier drin stecken, sind alle fast gleichmäßig auf drei Personen verteilbar. Es bleibt immer ein Gummibärchen übrig. Ich muss also nur zählen, wie viele Packungen ich habe insgesamt, weil pro Packung ein Gummibärchen übrig bleibt. Wie viele Packungen habe ich? 1 plus 2 plus 4 plus 2. Das ist die Quersumme. Mathe-Z-Man, noch nie verstanden vorher. Akela, irre. Das freut mich, das ist ein mega Feedback hier. Das ist ein super Feedback. Teaching Science, wirklich super anschaulich. Letztendlich geht es sozusagen um die Anzahl der Packungen. Genau, letzten Endes richtig erkannt. Letzten Endes geht es um die Anzahl der Packungen. Das ist die Quersumme. Marius, du nimmst mir meine nächste Frage vorweg. Ist natürlich toll, dass du das jetzt hier gleich anmerkst. Das gleiche Spiel kann man natürlich bei der Teilbarkeit durch 9 spielen. Genau, also wenn ich jetzt durch 9 teilen will, ich habe 1242 Gummibärchen, die will ich durch 9 Personen teilen. Ich habe auf einmal 9 Personen, dann kommt das auf das Gleiche raus. Jede Packung kann ich an 9 Personen fast gleichmäßig verteilen. Bei der 10er Packung 9 Gummibärchen kriegt jeder eine, 1 Gummibärchen, 1 bleibt übrig. Bei der 100er Packung kann ich 99 Gummibärchen an 9 Personen verteilen, 1 bleibt übrig. Verrückt. Jetzt wird gerade gleich gefragt, geht das bei allen Zahlen oder nur bei der 3 und bei der 9? Also, wenn ich jetzt mal nur die Teilbarkeit prüfen will bei Zahlen von durch 2 bis 9 oder so, also Teilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, da gilt das nur für die 3 und für die 9. Denn bei den anderen Zahlen ist es nicht so, dass bei jeder Packung 1 übrig bleibt. Können wir mal prüfen. Angenommen, ich will die Teilbarkeit durch 2 haben. Angenommen, ich würde jetzt jede 10er-Packung aufreißen an 2 Personen, ah, Teilbarkeit durch 2 ist ungünstig, nehmen wir mal Teilbarkeit durch 8. Also ich will jetzt hier die 10er-Packung an 8 Personen verteilen, dann kriegt jeder ein Gummibärchen aus jeder 10er-Packung und 2 bleiben übrig. Bei der 100er-Packung ist es aber anders. Bei der 100er-Packung kann ich 96 Gummibärchen gleichmäßig an 8 Personen verteilen, kriegt jeder 12. 12 mal 8 ist 96. Hoffe ich habe mich nicht verrechnet. Da bleiben 4 Gummibärchen übrig pro Packung. Also bei den 10ern bleiben 2 Gummibärchen übrig, bei den 100er-Packungen bleiben 4 Gummibärchen übrig. Da kann man nicht mit der Quersumme arbeiten, das funktioniert nicht. Da schauen wir uns aber gleich eine andere Regel an zur Teilbarkeit durch 8 am Beispiel. Das kann man auch mit dem Gummibärchen-Modell machen, aber es führt nicht auf eine Quersummenregel. Die Quersummenregel geht nur bei der 3 und bei der 9. Falls ihr das noch weiter seht, es gibt noch andere Quersummenregeln, zum Beispiel bei der Teilbarkeit durch 11. Da hat man die alternierende Quersumme und so. Wir können uns jetzt hier im Stream nicht alles anschauen. Wenn ihr daran interessiert seid, dann kommt doch zu uns in den Discord-Channel, in den Discord-Server. Dort haben wir einen Aftershow-Channel und der Discord-Server steht auch zwischen den Streams permanent bereit. Da sind ganz viele interessierte Leute, die gerne mit euch auch gemeinsam da weiter überlegen und weiterdenken. Wenn ihr da mal weiter forschen wollt, dann macht das gerne mit uns gemeinsam auf Discord.