Première spé maths- Dérivation-le calcul du jour- quotient -Nathan Hyperbole 80p133

Bonjour à tous, aujourd'hui exercice sur les fonctions dérivées avec lecture ici on va dire graphique, en tout cas utilisation de données pour répondre à un problème. Le problème est le suivant, on a une fonction f définie sur R, on va la représenter uniquement sur moins de 2 et son expression, il y a des paramètres m, n, p et q, il va falloir trouver en fait les valeurs de ces nombres, elles sont d'inconnues, respecte évidemment des conditions données. Donc on a ici une fonction polynomial de degré 3 avec les coefficients qui sont donc inconnues, on vous donne des infos, donc il y a la courbe représentée ici en rouge, on a une tangente ici représentée en vert, donc c'est la droite AB, c'est la tangente à la courbe donc ACF au point de coordonnées 1-11, le point A qui est ici. Une deuxième tangente qui n'est pas tracée, c'est la tangente en haut, l'origine, qu'il y a pour l'équation, par contre on vous donne l'équation, c'est y-12x. Donc l'objectif de l'exercice c'est bien sûr de trouver m, n, p et q et ensuite d'étudier les variations de cette fonction. Et dans l'ordre, on va donc traduire les informations graphiques, f2-0, f1-0, f2-1 et f'2-1, et grâce à ça on trouvera p, q et ensuite m et n. Donc on est parti. Il faut bien comprendre que les valeurs de f, donc les f de quelque chose, donnent des positions, c'est-à-dire des coordonnées de points. Les valeurs de f' donnent des directions, c'est des pentes de tangentes. Très important, informations de position, informations de direction. Donc on nous dit, tout d'abord, AB c'est la tangente ACF au point de coordonnées A, 1-11. D'accord, donc qu'est-ce qu'on va faire avec ça ? Il faut bien comprendre que comme c'est en lapsus de AC1, ça c'est des informations plus tôt qui vont nous servir pour la question B. Donc pour la question B, on utilisera le point A. Pour la question A, f2-0 et f'2-0, c'est donc, il faut des positions au niveau de la psy-0, c'est-à-dire au niveau de, justement, l'origine. Donc qu'est-ce qu'on sait ? Que la tangente en haut, pour l'équation y égale moins 12x. Donc là c'est intéressant, c'est une double information qu'il faut bien comprendre. Je vais l'appeler T7 tangente T0, d'accord, puisque c'est au niveau de l'origine, donc c'est pour x égale 0, y égale moins 12x. Alors qu'est-ce que ça peut nous dire ? Eh bien tout d'abord, c'est la tangente en haut. Donc on a dû dire que le point haut appartient à la courbe de f, d'accord, c'est la tangente en haut, donc le point haut est sur la courbe de f. Donc comme il est sur la courbe de f, et que ses coordonnées c'est 0, 0, et comme tous les points de la courbe, quand on a un point M de coordonnées x, y qui appartient à la courbe d'une fonction, ça équivaut à dire que si je prends l'image du x, je tombe sur y, d'accord. Donc ça veut dire qu'ici le 0 est envoyé sur 0, ça veut dire que 0, 0 appartient à cf, et donc f de 0 est égal à 0. Donc ça c'est une première info très importante. Mais dans une tangente, en tout cas quand on donne l'équation, il y a une deuxième info, c'est ce moins 12, le coefficient directeur de la tangente, donc là je suis bien dans la question 1, la pente autrement dit de t0, c'est le nombre dérivé de f au point considéré, c'est à dire ici pour x égal à 0. Donc la pente de t0 c'est f' de 0, et la pente de t0 vous voyez c'est moins 12, le coefficient du x. Donc on vient de trouver non seulement f de 0, et aussi f' de 0. On a déjà deux infos uniquement avec justement l'équation de la tangente, qui nous donne les coordonnées du point où on prend cette tangente, donc 0, 0, et on vous disait que c'était la tangente en haut, vous voyez bien que quand je remplace x par 0, y vaut 0, donc le point où il est non seulement sur la tangente, mais il est aussi sur la courbe, et donc on en déduit f de 0 et f' de 0. Donc petit a c'est fait. Pour la question petit b, f de 1, alors on sait quoi, le point a, donc il est donné 1, 11, 1-11, il appartient à la courbe de f, donc ça veut dire que, ici, l'image de 1, c'est donc moins 11, donc f de 1 est égale à moins 11. C'est une information de position, c'est un point. Pour avoir f', il faut une information de direction, donc il faut aller chercher la tangente. Donc la tangente en a, c'est donc, c'est la droite ab, d'accord ? Donc ça veut dire que la pente de cette tangente, donc la pente de ab, c'est le nombre dérivé appliqué au niveau de l'abscisse de a, c'est-à-dire f' de 1. La pente d'une tangente, c'est le nombre dérivé à l'endroit considéré, donc il faut la pente de ab. Alors les coordonnées de a, c'est 1-11, les coordonnées de b, elles sont données, vous voyez, moins 2, 16, je lis ça sur le dessin. Donc quand je vais calculer la pente, rappelez-vous de cette fameuse formule, y a moins y b sur x a moins x b, ça fait des petits calculs. Alors y a, donc c'est moins 11, moins y b, moins 16, sur x a, moins x b, moins 2, donc moins moins 2, ça me fait moins 27 sur 3, et moins 27 sur 3, ça fait moins 9. Et donc on a bien une information de position, f1 égale à moins 11, et direction f' de 1 égale à moins 9, donc je vais noter ça ici, et comme ça on va pouvoir faire la suite, donc f de 0 égale à 0, f' de 0 égale à moins 12, f de 1 égale à moins 11, et f' de 1 égale à moins 9. Pour la question 2a, alors on va utiliser les résultats de la question, donc on nous a dit 1, petit a, il faut bien lire les questions, ça c'est important, donc on va utiliser f de 0 égale à 0, et f' de 0 égale à moins 12. Donc f de 0 égale à 0, je remplace en l'expression 2f, f de 0 égale à 0, ça équivaut à quoi ? Et quand je remplace, vous voyez, les x valent 0, donc x cube x carré x valent 0, il ne me restera que l'inconnu q égale à 0, donc je viens de trouver la valeur de q. Ensuite, pour f' de 0, je vais aller chercher la dérivée, donc f est dérivable sur R, et f' c'est assez simple, c'est la dérivée d'une fonction polynomiale, donc ça fait 3mx², le m est considéré constant, plus, donc on dérive x² ça fait 2x, donc je vais écrire 2mx plus p et q, c'est une constante donc en arrière ça fait 0, de toute façon il vaut 0, je remplace donc ici, ça veut dire qu'en utilisant cette expression-là ici, x²x vont faire 0, je remplace par 0, ça me fait p égale à moins 12, donc c'est assez simple, on a trouvé déjà q et p. Et un premier bilan, ça veut dire que sur R, on vient déjà de trouver que f de x c'était mx³ plus nx², donc p vaut moins 12, donc moins 12x plus 0. Voilà, maintenant question 2b, on va utiliser les deux autres informations, alors je vous ai dit f de 1 vaut moins 11, et en même temps f' de 1 vaut moins 9, donc ça veut dire que quand je remplace ici dans l'expression que j'ai, je remplace x par 1, ça va me faire donc mx³ m plus n moins 12 égale à moins 11, donc ça veut dire que m plus n vaut moins 11 plus 12, ça fait 1. Je fais pareil dans f' donc là je dérive, bon f' je l'ai encore ici, vous voyez, sauf que je connais la valeur de p, donc ça me fait 3m, je remplace par 1, donc il me reste 3m plus 2n plus p, donc ça fait moins 12 doit être égale à moins 9, donc j'obtiens une deuxième relation entre m et m, 3m plus 2n égale moins 9 plus 12 donc égale à 3. Vous voyez que j'obtiens un système à deux équations, deux inconnues, donc ça ça se résout par substitution, donc la première question j'en ai dit que m vaut 1 moins n, je substitue, je remplace dans la deuxième le m par 1 moins n, plus 2n égale à 3, donc je vais garder toujours la première ligne qui me permettra de retrouver la valeur de m quand j'aurai trouvé n, donc là ça me fait 3, moins 3n plus 2n, donc vous voyez doucement, moins 3n plus 2n égale 3, donc mon système il équivaut à donc m égale 1 moins n, j'ai donc ici 3, donc moins n, parce que ça fait moins 3 plus 2, égale à ici, les deux 3 s'annulent, ça fait 0. Conclusion, donc moins n égale 0, m égale 1 moins 0, m égale 1. On a tout trouvé, donc sur R on peut dire que f de x va être égal à, alors m j'ai trouvé 1, donc x cube, il n'y a plus de x carré, donc x cube moins 12x. On a terminé donc la question de v, maintenant on vous demande d'étudier les variations de la fonction f. Alors pour les variations on a besoin de la dérivée, donc on a déjà dit que c'est dérivé, c'est un trinôme, f prime de x c'est donc la dérivée de x3, 3x2 moins 12, il me faut donc le signe, alors c'est un second degré, mais par contre je vous conseille de factorer d'abord par 3, ça fait 3x2 moins 4, et donc on va pas partir avec un discriminant, x carré moins 4 ça se factorise tranquillement en x moins 2 fois x plus 2, donc ça veut dire qu'il y a, en fait c'est un trinôme avec deux racines qui sont 2 et moins 2, donc j'ai écrit plutôt moins 2 et 2, avec ici un coefficient dominant positif, donc ça veut dire que f prime, la courbe c'est une parabole vers le haut, ça veut dire que quand vous allez faire le tableau, on a x moins l'infini plus l'infini, on a donc moins 2, 2, ici signe de f prime, donc on l'a dit ça s'annule en moins 2 et 2, donc la parabole est vers le haut avec deux racines, donc plus ou moins plus, du signe de A à l'extérieur, et les variations de f de x en fonction de x, on a donc une fonction qui est d'abord croissante, puis décroissante, puis croissante, alors je vais calculer les valeurs ici en moins 2 et 2, l'expression n'est pas trop compliquée, donc on peut le faire sans machine, donc je remplace ici x cube moins 12x, x cube donc 2 cube moins 12 fois 2, ce qui me fait 8 moins 24, ça me fait moins 16, ça c'est f de 2 que je viens de calculer, donc ici moins 16, f de moins 2, alors petite remarque, on peut le dire la fonction f, elle est impaire sur R, parce que quel que soit x appartenant à R, quand vous calculez f de moins x, x cube ça fera moins x au cube, moins 12 fois moins x, en fait c'est la somme de deux fonctions impaires, ici le moins va sortir parce qu'on a un cube, le moins va sortir, ça fera plus 12x, et vous retrouvez en fait moins f de x, donc c'est bien une fonction impaire, ça veut dire quoi ? Une fonction impaire, ça veut dire que la courbe de f, donc cf, elle est symétrique par rapport à l'origine, je vous la montrerai sur GeoGebra, donc ici on a moins 16, on doit trouver 16 ici, donc on vérifie quand même, moins 2 au cube, moins 12 fois moins 2, ce qui fait moins 8 plus 24, ça fait effectivement 16, on s'y attendait. Cette année on ne va pas parler des limites, je vous les donne quand même, il faut savoir que quand x est très grand négatif, c'est x cube qui va donner sa force, et donc ça va faire une force très grande, mais vers le bas, et pareil en plus ça finit, le x cube va être considérablement plus gros que 12x très très vite, si vous prenez x égale à 1 million vous verrez, on sera tout près de 1 million au cube, donc là on aura des valeurs de x qui tendent vers plus d'infini, mais ça on est un dollar du programme de première, comme ça je vais vous montrer un petit peu la courbe, mais en première on doit s'arrêter à ce tableau là. Alors voici donc la courbe qui était fournie, elle n'était qu'entre moins 2 et 2, si je veux poursuivre le tableau en considérant que c'est sur R, ça donne ceci, on a bien le 300, un sommet ici en b qui est bien à 16, ensuite ici ce qu'on appelle un maximum local, parce qu'il y a des valeurs plus grandes après, mais localement vous avez ici un endroit plus grand que les autres, une valeur est pour en fait les images plus grandes, et par ici vous avez un minimum local, ici en 2, vous avez bien cette symétrie par rapport à l'origine, les deux tangentes je les ai tracées, ici c'est donc y égale à moins 12x en 0, donc il y a bien une pente égale à moins 12, et pour l'autre celle-ci qui était donnée dans le texte donc en A, les limites vous voyez que quand on va vers la gauche ça plonge vraiment très vite vers moins l'infini, et ici quand on va vers droite ça monte très très vite aussi. Voilà ce petit exercice est à présent terminé, c'est intéressant parce qu'on apprend à y rechercher des valeurs en fonction d'informations graphiques et d'informations de position, de position et direction, ça c'est vraiment très très important, l'étude en elle-même est assez simple, ça permet de finaliser cet exercice, à très bientôt.