Problème : étude d'une suite arithmético-géométrique (ES)

Bonjour, plus de la moitié des sujets du bac comportent l'étude d'une suite arithmético-géométrique. Vous serez interrogés sur ce type d'exercice 3 ou 4 fois dans l'année, en DS, au bac blanc, au bac. Je vous propose ici un exercice total, avec les incontournables et différentes fins possibles. Vous avez un énoncé. Quelles informations en extraire ? Vous vendez des téléphones. Selon un modèle, chaque mois, vous devriez écouler 20%. C'est-à-dire que vous vendez 20% de vos téléphones. Vous en achetez également 300. Et le 1er mars, votre stock initial était de 1200. On s'intéresse donc à l'évolution d'un stock de téléphones noté UN. Quel est le stock le 1er avril et le 1er mai 2018 ? Pour avoir le stock en avril, on part du stock en mars, qui est 1200. On en vend 20%. Et on n'oublie pas l'achat de 300 nouveaux appareils. Ici, face à une évolution de pourcentage, il faut toujours factoriser. Dans ce cas, on factorise par 1200. On n'oublie pas l'ajout de 300. Et on obtient 1260. Pour le mois suivant, on applique le même principe. On part de 1260. On multiplie directement par 1-20 sur 100. Et on obtient 1308. Je vous conseille, comme d'habitude, de récapituler vos résultats dans un tableau. Enfin, pour cette question, n'oubliez pas de conclure par une phrase quand la question est concrète. On vous demande ensuite de justifier la définition par récurrence. Le 0,8 vient de la baisse de 20%. Une baisse de 20%, on l'a vu, se traduit par une multiplication par 1-20 sur 100. Et le plus 300, évidemment, par l'achat des 300 nouveaux appareils. En terminale, vous devez absolument traduire une baisse d'un certain pourcentage par une multiplication. Et de même pour une hausse. Enfin, dernière remarque, si votre question est concrète, vous ne pouvez pas faire l'économie d'une phrase à la suite de vos applications numériques. On vous demande maintenant de montrer que la suite UN n'est ni arithmétique ni géométrique. Pour cela, il faut trouver des contre-exemples. Montrer qu'une suite n'est pas arithmétique, c'est montrer que la différence entre deux couvres de termes est différente. U2-U1 fait 60, U3-U2 fait 48. Les résultats sont différents, la suite n'est pas arithmétique. Pour une suite géométrique, c'est pareil, sauf que cette fois, on effectue les rapports U2 sur U1, qui est différent de U3 sur U2. La suite n'est pas géométrique. Bien entendu, cette méthode ne permet pas de montrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique. Puisque UN n'est ni arithmétique ni géométrique, vous ne pouvez pas passer de sa définition par récurrence à sa définition explicite. C'est pour ça que l'on vous fournit une suite auxiliaire. Et cette suite, vous allez devoir démontrer qu'elle est géométrique. C'est la question centrale de l'exercice qui va vous permettre ensuite d'enchaîner deux ou trois autres questions. Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut se souvenir de la définition par récurrence de ce type de suite. Pour cela, il va falloir utiliser cette formule et l'adapter à n plus 1. Ensuite, vous utilisez la définition par récurrence de UN plus 1 que vous avez obtenue à la question précédente. Vous simplifiez et en général, vous bloquez ici. Pour débloquer la situation, il faut avoir en tête votre objectif. Vous voulez un certain nombre de fois Vn. Et comme Vn, encore une fois, c'est cette formule qu'on utilise, c'est UN moins 1500. Vous allez chercher quel nombre fonctionne. Et le nombre qui marche ici, il est évident, c'est 0.8. 0.8 fois UN, on a ce qu'il faut. On peut vérifier que 0.8 fois 1500, ça fait 1200. Mais vous savez que ça doit marcher puisqu'on vous demande de prouver que la suite est géométrique. Et l'exercice a été construit pour que ça marche. Ainsi, Vn plus 1 égale 0.8 fois Vn. Et donc, la suite Vn est géométrique. Maintenant, en déduire Vn plus UN en fonction d'UN. On vous demande donc les définitions explicites de Vn et UN. Et Vn est géométrique, donc vous savez le faire. Vn géométrique, donc Vn est égal à V0 fois Q puissance N. Maintenant, comment trouver V0 ? Encore une fois, troisième fois, on utilise cette formule. V0 est égal à U0 moins 1500. Dans la plupart des exercices, ça marche. Mais ici, pas de chance, on n'a pas U0 puisque notre suite est définie à partir d'UN. Donc on doit réadapter notre définition explicite en V1 fois Q puissance N moins 1. On a une multiplication de moins puisqu'on part de V1. Et V1, on utilise cette formule. On trouve V1 égale U1 moins 1500. On remplace en sachant que U1 vaut 1200. On obtient ce résultat. Et pour obtenir UN, que fait-on ? Encore une fois, cette formule, quatrième fois, on la retourne. UN égale Vn plus 1500. On remplace Vn par son expression. Et on a bien UN en fonction de N. Ainsi, pour s'en sortir dans ces deux questions centrales présentes dans presque tous les exercices de ce type, il faut se souvenir tout d'abord des deux définitions des suites géométriques. La première sert à démarrer. Elle vous donne votre objectif pour cette question. Et la deuxième vous permet également de démarrer la question suivante. Alors, également se souvenir que, pour terminer, il ne faut pas hésiter à indiquer ce que vous voulez pour finaliser le passage et la démonstration pour la suite géométrique. Enfin, pensez à revenir toujours à cette formule quand vous coincez. Nous l'avons vue. Elle est utilisée quatre fois sur ces deux questions. Ces problèmes se terminent en général par une dernière question. Je vais vous présenter ici trois fins possibles. On peut vous demander de déduire la limite de UN et interpréter ce résultat. La première chose à faire est de rappeler la définition explicite qu'on vient d'obtenir. Ensuite, si l'on note que 0,8 est compris entre 0 et 1, la limite de 0,8 puissance N-1 va tendre par 0, d'après le cours. Qu'on ait N ou N-1, évidemment, cela ne change rien. Ensuite, si l'on multiplie par moins 300, la limite est toujours nulle. On peut préciser par produit. Et enfin, si l'on ajoute 1500, par somme, la limite vaut 1500. Pour interpréter le résultat, il faut se rappeler le problème. UN décrit un stock de téléphones portables, donc le stock va se rapprocher de 1500, ce qu'on exprime par une phrase. Pour avoir tous les points de rédaction, n'oubliez pas de préciser que Q compris entre 0 et 1 est de justifier les étapes de construction de votre limite. Deuxième fin possible, déterminer à partir de quand le stock dépasse les 1400 appareils. Le stock, c'est UN, donc on traduit par UN supérieur à 1400. Ensuite, on utilise la définition explicite qu'on a obtenue précédemment. Pour transformer l'inégalité, on soustrait par 1500 à gauche et à droite, donc on ne change pas l'inégalité. Par contre, quand on divise par moins 300, il faut changer l'inégalité. On simplifie. Si vous n'avez pas vu les logarithmes, ici, vous allez trouver le résultat par tâtonnement à la calculatrice. Par contre, en deuxième partie d'année, vous appliquez le logarithme qui fait tomber les puissances. Et ici, il y a un piège. Le logarithme de 0,8 est un nombre négatif, donc il faut à nouveau, quand vous divisez, changer les inégalités. Ensuite, pour la fin, pas de difficulté. Vous effectuez les calculs, vous simplifiez. N supérieur à 6. Rappelez-vous, le mois 1, c'est mars, donc le mois 6, c'est août. Vous aurez bien noté que la difficulté principale porte sur les relations entre inégalités et signes. Si vous multipliez ou divisez par un négatif, vous devez changer le sens de l'inégalité. Troisième fin possible, un peu plus corsée. On vous demande combien de téléphones vous vendez entre mars et décembre 2018. Rappelez-vous, vous vendez 20% de votre stock, donc 0,2 yuan. On vous demande de calculer combien de téléphones sont vendus entre mars et décembre. Il y a 10 mois, vous devez réaliser une somme. Vous introduisez une lettre S et vous aurez 10 termes. Vous factorisez et vous voyez apparaître la somme des termes d'une suite. Malheureusement, elle n'est ni arithmétique ni géométrique. Vous ne pouvez pas appliquer une formule du cours. Heureusement, vous avez Vn. Vous utilisez la relation entre Yuan et Vn. Yuan va être égal à 20 plus 1500, de même pour les autres termes. A partir de là, vous terminez en séparant en deux votre calcul. D'un côté, vous calculez la somme des termes de la suite géométrique. De l'autre côté, le reste. Il y a 10 termes ici. Ensuite, vous appliquez votre formule du cours. La fin ne pose pas de problème. N'oubliez pas de conclure par une phrase. Attention, pour les calculs de somme, vous n'avez des formules que pour les suites arithmétiques et géométriques.