【清華大學】《大學物理》（國家級精品課）下 P14 - 114. 114-教學錄像-電磁感應3

好 我們接着上堂課內容 上堂課我們講法拉第電磁感應定律 那麼發現就是法拉第電磁感應定律的背後原因 一個是所謂動生電動式 這個原因是什麼 導體在磁場裏面運動 然後受到勞倫茲力 這個勞倫茲力充當了非經典力 另外一個我們還發現 就是如果磁場變化的話 裏邊就會產生改生電廠 這個改生電廠是不同於靜電廠的 那麼它充當了什麼 就是非經典力 它是因爲它纔有了電動勢 另外我們對有的情況下 如果磁場隨時間發生變化的話 可是在磁場隨時間變化的區域裏面 沒有迴路實際上 但是有一些大塊的導體 這個時候因爲大塊導體它有足夠的空間 它會在那裏面自己形成一些迴路 然後產生因爲改生電廠 產生的電動勢引起的電流 我們叫做渦流 它有很多應用 剛纔跟我們講了這些 下面我們接着來看一看 法拉第電磁感應定律裏邊 另一個很重要的一個特性 我們來看下面兩個特性 一個是分屬於不同的兩個機理 一個是動生電動式 一個是改生電動式 可是你看一看 下面一個具體例子 比如說我們現在有一個小線圈 然後這個是和電源相連接的螺旋管 螺旋管產生磁場 那就是磁場的圓 現在我們是幹什麼 我們讓這個線圈不動 這個圓動 按照我們前面的理解 我們說你這個動了磁場發生改變了 於是這有個改生電廠 另一個我們換一個參考系 這是換一個參考系 換到哪了 換到了圓這個參考系 那都是慣性系 那麼我在圓這個參考系 就是這個線圈 就是這個螺旋管所在的參考系 在這個參考系看來是這個小線圈在動 那麼這個小線圈在動 我們知道它在我們磁場裏面動的話 它不是受勞倫之力嗎 所以我們說這是動生電動式 可是你這個兩個一比較 你就會發現 在這個參考系它是什麼 電荷受到了電廠力 因爲有改生電廠 在這個參考系是受到了勞倫之力 換句話說 在兩個不同的參考系 在這個參考系只有磁場 可是換到另一個參考系的話 裏邊不僅有磁場還有電廠 所以這跟我們前面在磁力的那一章節裏面講過 在不同的參考系 磁場只有磁場會轉變成電廠 在這裏邊仍然有體現 下面給大家一個例子 最簡單的一個例子是什麼呢 假如一個導體棒 勻速運動 在磁場裏面 現在磁場是沿着這一方向的 那這個我們知道 這個很容易理解 就是說你一運動的話 它就會產生 因爲勞倫之力 所以我們有一個受到勞倫之力的非靜電力 所以這個電荷受到勞倫之力 當然這裏邊就會有一個電動勢 對不對 產生電動勢 這個電荷移動 然後電荷就有積累 是這樣效果 如果我們換一個參考系 跑到導體棒參考系 那相當於你是不動的 對不對 你不動的話 可是這裏邊剛纔我們發生的這些事情 電荷因爲受力 然後移動 然後積累 當然最後平衡了 是不是 因爲靜電場合勞倫之力就要平衡了 這件事情你在另一個棒上觀測的話 它同樣應該發生 對不對 因爲不同的慣性系 觀察到的物理現象不會發生變化 可是你在導體棒上看的話 你這個導體棒是不動的 所以這裏邊如果電荷一開始受到力 要有一些重新分佈的話 這個力一定是電場力 對不對 這個電場力 因爲你換了一個參考系 我們從狹義相對論力的變換關係 我們知道載力的變換關係 如果靜止的參考系和運動參考系 垂直於運動方向的力是差個伽瑪貝 對不對 記得吧 有這麼個力 所以你在這個參考系上應該電荷受到伽瑪貝的力 對不對 而伽瑪貝的力就是我們知道它這個 然後把它帶進來 就是這個力 也就是說它應該載這個力 在這個棒參考系裏面應該受到這個力 這個力應該是什麼 因爲棒不動 所以它受到力不可能勞動力 只能電場力 所以我們說它受到的是電場力 假如說這個電場設爲一撇的話 另外我們假設 因爲我們接受這個假設 電荷是相對論不變的 就是電荷在不同的關係裏面 它是電荷量是不變的 所以這個電荷量還在 那麼在這個參考系裏面 就應該有這樣一個電場分量 而這個電場分量應該等於多少 應該是等於這個的 同意嗎 就這個意思 也就是說你換了一個參考系的話 就有一個電場在那裏面了 現在這裏面有個問題 什麼問題 你回想一下 這個情況和我們過去牛頓力學的情況是不一樣的 牛頓力學的時候 我們當然知道F等於MA那幾個 就是牛頓第二定律寫成敵體分子 敵匹的話 它是勞倫茲不變的形式 可是這個理論說到底還是伽利略不變爲基礎的 伽利略不變性爲基礎的 所以說你如果遇到一些和相對論 比如說高速這個問題聯繫在一起的時候 你就會發現矛盾 比如說你會發現不同的慣性系觀測到質量是不一樣的 你原來一樣以爲一樣 可是後來發現它們是不一樣的 是不是 你一旦知道了勞倫茲變換以後 你就發現質量是不一樣的 長度在不同慣性系觀測它也不一樣 時間在不同慣性系觀測也不一樣 也就是說你原來有個經典力學 你想用狹義相對論的一些理論 和原來力學的理論混在一起用的時候 它們互相之間是矛盾的 是不是 所以我們要發展一種狹義相對論的力學 現在在這裏面你發生的問題是什麼 比如說我用狹義相對論 我們立的變換公式 和電磁學的現象和它合在一起 我們會深刻的瞭解剛纔發生的現象 你知道了 原來換一個參考系 這裏邊是產生電場了 比原來我們對法拉第電磁感應定律 有一個更深的理解 對不對 而且我們沒發現 電磁學和狹義相對論之間 它是很和諧的 你發現了嗎 它不矛盾你知道嗎 所以實際上它並不是偶然 原因是因爲電磁學被發現以後 Maxwell把它總結成Maxwell電磁方程組 這個理論建立的寫成這方程組的時候 那方程組是按着 他們說可能比較偶然的原因 總之它寫成了 勞論制變換下不變的形式 所以電磁學被發現的時候 它天生就是狹義相對論的理論 就是和狹義相對論是一起 我們實際上叫做諧變的理論 就這樣的關係 所以說你看歷史上是有了電磁學這個理論以後 沒過多少年 狹義相對論就被發現了 爲什麼呢 因爲電磁學理論裏邊就已經包含了相對論 你只是不知道而已 所以當勞論制研究電磁學的電子理論 這個時候裏邊就出來 比如說長度收縮 或者是像勞論制變換式的 這些東西自然就從那裏面出來了 所以愛因斯坦很自然的05年就發現了狹義相對論 所以愛因斯坦後來說 如果不是愛因斯坦當年發現了狹義相對論 他說在5年內一定有其他人會發現的 其中一個道理我相信就是因爲 就是電磁學這個理論發現的時候 就已經是狹義相對論的理論了 就是這樣非常重要的一個部分 所以我們說電廠和磁廠實際上有相對性的 在這個觀點去觀測只有磁廠 在另一個觀點去一看 不僅有磁廠還有電廠 是這樣 前面我還說過法拉第電磁感應定律 實際上是早於法拉第 有一個亨利的這個人發現了是不是 實際上他發現的是質感理論 不過法拉第是把這個 法拉第發現的是實際上 嚴格說是像互感一樣的東西 兩個線圈之間互相感應 但是法拉第把這個東西總結成 把它提升了 他認識到這裏邊 磁動量的變化引起了電動勢 是這樣 所以他就是雖然晚了一年 但是他這個規律是他發現的 不過亨利這個人發現的 實際上是質感現象 質感現象什麼呢 本質上是和法拉第電磁感應現象是一樣 只不過是發生在自己這個線路上 因爲你這個自己的線路 你這個迴路比如說有電流 你有電 你把電池把它連起來 然後你給它合上開關的時候 那你這個地方就會有電流改變 一開始沒有電流 然後逐漸有了電流對不對 那這個過程當中 因爲你電流增加了 於是這個迴路裏邊磁動量就增加了 原來沒有磁動量 這個磁動量是自己產生的磁場 產生的磁動量 自己產生的 那自己 法拉第電磁感應電力 它不管你是誰產生的 反正這個迴路裏邊有磁動量變化了 自然就會有電動勢產生 這個電動勢我們根據這個論詞定理知道 它是阻礙這種磁動量變化的 阻礙的話 歸根到底是阻礙你電流的增長 是不是 所以你電流剛開始上升 它這個迴路就會有一個電動勢 阻礙你電流增長 這個就是所謂質感電動勢 它是反抗電流變化的能力 這是質感現象 這個現象我們可以在這裏面 給大家做個演示實驗 不過先看一下電路圖 簡單電路圖就是這樣 這是線圈質感的 就是這個裏面有線圈 線圈多的話 這不是按照我們前面講的 磁鏈不是n倍嗎 線圈纏得多的話 你這個磁動量就變化就大 對不對 所以它變化率也大 這樣它跟一個燈泡連起來 然後這邊不跟燈泡連起來 它們是並聯的 然後你把這開關一合上 沒有這個的時候 當然這兩個是我們知道電壓一樣 兩個燈泡如果是一樣的話 一起亮 對不對 可是現在如果說這裏面有個線圈的話 按照我們剛纔說法 它這個裏面不是有了一個反抗電流變化的能力嗎 你這個本來是電流從零開始慢慢增長的 是不是 所以你現在看到和線圈連在一起的燈泡會晚亮一點 你就會看到這個現象 這個是我們達到一的話 就是剛纔這個線路 這兩個燈泡注意 這兩個燈泡 上面這個燈泡 下面這個燈泡和這裏邊畫了一個 這就是和質感聯繫起來 就這個質感 這線圈很多 是不是 這個線圈和這個串起來了 所以說當我把這個電合上的時候 這個先亮 這個稍微慢點亮 你們稍微注意一點 再看 這個先亮 這個後亮 對不對 再看 你看 是不是 這真的是這樣 你看再看 你越看它會越加深 這個印象 當然這是一個 另外我換到另一個開關就是這樣 就是說我按上它的時候 它是另一個迴路 待會我把這個迴路給大家看一看 這個迴路和這個線圈是連在一起的 現在我把這個開關一放開 就等於把電斷開了 電斷開的瞬間 你發現這個燈泡閃一下 比原來還要亮 看一眼 比原來還要亮 就是說我把這個開關放開了 等於把這個電跟電池脫離了 它卻更亮一下 然後關掉 就這個現象 這個現象我們很快會後邊給大家一個解釋 這是所謂質感現象 你看到這個實驗以後 你就知道 很自然的你接受 是這麼回事 是不是 剛纔我講的這些東西是沒有什麼問題的 好 那麼這個質感現象裏面很重要的一個物理量是什麼 就是質感係數 這是什麼質感係數 對非鐵瓷質 通常我們在這裏面用的質感都是鐵瓷質 這裏面都擱了一些鐵片什麼這些東西 但是先研究的時候我們用非鐵瓷質 然後因爲我前面給大家講過 像錫鋼片那種軟瓷體那些東西 馬馬虎虎可以是線性變化 對不對 電流跟磁場不是線性變化嗎 記得那顆出線嗎 對吧 那麼在這裏面的討論對這種情況基本上是正確的 只不過那裏面的磁導力大一些 對非鐵瓷質材料的介質的線圈 它會有什麼關係 你這個磁通量 你這個線圈裏面磁通量 它是跟電流成正比的 就是跟電流成正比 線圈本身自己有關係 這個可以理解嗎 容易理解 知道爲什麼嗎 誰能說一下 爲什麼正比 磁通量當然是磁場產生的 對不對 對了 磁場跟I成正比 比薩拉定理 所以比薩拉定理迭加原理 每一個小電流源那裏面都有個電流 這個電流都是我自己的電流 大家都一樣 都給提到技術方案外邊 不就是這個嗎 就這樣 它正比於這個 所以你就可以把這個磁通量寫成一個等式 前面這個係數比例係數叫做質感係數 這叫質感係數 所以一個線圈的質感係數 它是跟電流沒有關係的 它是給定的 對不對 假如說你在這裏面利用法拉利電磁感應定律的話 這裏面產生的電動勢當然是這個 那麼你直接可以用電動勢 產生的電動勢和電流隨時變化力的比 來定義這個 也一樣的 對不對 這個當然是也普遍的定義 因爲這件事情非要非鐵磁製不可 所以這個東西有鐵磁製就不好用 剛纔說了爲什麼呢 因爲你在這裏面的磁通量 只要有鐵磁製的話 你這裏面的磁場怎麼樣呢 主要是那個鐵磁製產生的 電流產生的部分是很小的一部分 對不對 可是對於軟磁材料我說過了 磁場B實際上跟H是大概馬馬虎虎成正比 H跟電流是成正比 所以這件事情還是馬馬虎虎成立 如果不是軟磁材料硬磁材料呢 這件事情就不行了 是不是 可是這件事情不行了 這件事情還成立 是不是 那意思是說你拿這件事情可以算質感係數 可是質感係數你會發現如果是硬磁材料的話 顯然它就跟電流什麼的有關係 就有的時候隨着電流的增大變化 它這個質感係數會不一樣的 對不對 這是會有關係的 但是這是一個普遍事實 當然硬磁材料如果是這個東西變化的話 就不太有意思了 對吧 因爲它不代表這個東西的一個特性 所以軟磁材料的話就有意思 是吧 軟磁材料正比還在 所以這件事情就比較有意思 所以它是一個常量 好了 下面我們舉個例子 一個常值螺旋管質感係數怎麼算呢 常值螺旋管 很簡單的一個想法 就是說如果你有一個 比如在這裏面算某個東西的質感係數 你沒有什麼可參考的東西 沒有什麼值得可以思考的東西 只有一件事 它是怎麼定義出來的 然後你就找那個關係 剛纔我們說吃通量就是ai 對不對 然後你先設一個電流 比如說無線長的螺旋管 設一個電流 這樣的話你在這裏面 我們可以算出來磁場是這個 是吧 μ0ni 如果那裏面有線性磁介質的話 就是μni n就是n分之大n 就是這是扎數 這是長度 也就是單位長度上的扎數 單位長度上的扎數 對吧 現在你磁場知道了 那麼這裏面的磁通量等於多少呢 乘上面積就行嗎 有的時候就稍微不注意一層面積 磁場乘上面積就完了 就忘了這裏面還有n扎 是不是 所以還要乘上n扎的φ 你以爲這裏面有了n 你這個可能就會忘 實際上這裏面還要乘 這是兩回事 其作用不一樣 所以你現在算出來這個 然後根據定義一算 這個就出來了 於是你就知道這個質感係數 確實是只跟介質和幾何條件有關係 跟電流什麼沒什麼關係 你可能說這裏面你算的磁場是無限長的 這是有限長的 所以你知道算出來這個東西肯定是不準的 對不對 你真正比如說有一個螺旋管 長了對不對 扎數都很密 可是真正的是單位長度上 就是很均勻的長了 即使很均長了 長度你也知道 這個面積也都知道 然後裏邊假如說是μ0 事實上它的質感係數是不能拿這個算的 對不對 很明顯不能拿這個算 可是大概是這個的零點幾 就是比它0.5什麼0.3 0.7什麼 這些東西會里邊出來係數 因爲它邊緣效應不有嗎 這是有的 可是我們如果稍微密一點的話 這個東西真正用的時候是真正用 我們上課的時候 有的時候你想做點習題的時候 習題用那是另外一件事 對吧 所以我馬馬虎虎用這件事 可是你知道這件事情它是不準的 但是你也知道這裏邊的因素 這個是重要的 比如說它是跟幾何有關係 跟扎數的平方有關係 跟介質有關係 這件事情 所以你在螺旋管裏面插上一個軟瓷材料的話 這個μ是一個斜率比較大的一個東西 對不對 比起你空氣來說 斜率大個幾千倍 當然你質感係數大幾千倍 對吧 就這樣 這樣的話 你拿這種線圈就變成了一個帶有質感係數的一個器件 這是一個很重要的器件 它是讓電流緩變的一種器件 後來我們後面馬上會知道 它甚至是儲存磁能的一種器件 我們知道電容是儲存電能的 對不對 這個是儲存磁能的器件 所以像線圈叫質感係數的線圈 以及跟電容 還有我們以前早知道的電阻 這就構成了電路里面最重要的基本器件 再加上後來的我們說的二極管三極管這些 都是變成了電路的基本器件 就這樣 好 現在我們拿這個繼感器件 我們看放到電路里面會出現什麼東西 現在把質感器件跟電阻串在一起了 如果我現在有個電池 然後我把這個開關一合上 電流會慢慢增加 一開始沒有電流 可是要慢慢增加 爲什麼要慢慢增加 因爲你這裏邊的質感電路是不能無限大的 你只要這個電流是跳變 只要電流是跳變 那敵梯分子敵愛就無限大 無限大 你這個質感電路是就無限大 這不可能的 所以你這個東西只能是什麼 只能電流是漸變 光滑的那種 不是光滑 就是它要漸變 有沒有這個意思 這可能抖一些 有些可能稍微不抖一些 可是它是要漸變的 所以還不能突變 因爲這個電流不能突變 所以有的時候把這個質感叫做電慣性 慣性你知道什麼意思 對不對 像有質量的東西的話 它不能速度一下子變成無限大 明白這個意思嗎 速度不可能不是一下子變成無限大 速度不能從零突然躍變一個速度 速度只能是漸漸漸變 就是這個道理 因爲力不能無限大 所以那個慣性是一樣的道理 現在我們由楞似定理知道 因爲I的變化 它受到質感電動勢的阻礙 對不對 所以我們通常把質感這個器件 就是叫做感抗 就是有交流電的時候這種東西 它有阻礙你變化的這種作用 所以它也叫感抗 那個電容叫龍抗 是不是 那個電阻叫阻抗 就這樣 好 現在我們對K合到A的時候 寫出傑爾霍夫第二定律的話 就是這個東西 傑爾霍夫第二定律就是轉一圈 電勢降等於零 對不對 這裏邊真有一個電勢 這裏邊有一個IR這個電勢 這是我們以前知道的 那麼現在應該多了一個什麼 多了一個質感電動勢 質感電動勢爲什麼合在這一起寫 因爲它這個東西和電池增加 電池和電池來說它總是相反的 你這開關一開 電池要這樣它就要反你 對不對 所以你要擱到另一側 就這樣 如果你把這個A打到B這個的時候 那這個沒有了 就這個地方沒有這個了 和這個是一樣的 只是這個沒有了 所以這個就等於零 這兩個方程式實際上我們解過的 什麼時候解的 就是在電容那個站態過程 電容和電阻的站態過程 那個方程裏邊只不過那個I不是I是Q 然後那裏邊不是這種IR可能位置不在這個地方 但是總之是你要算的一個變量係數 一個變量對時間的微分系數 然後等於有一個非極致向極致向 這個方程我們解過 它的解就是電流對時間的解 就是一個指數解 對不對 指數解我們知道的 然後你注意它最開始的時候 T等於零的時候 電流是等於零的 那麼電流得漸變 電流從T等於零的時候 I等於零開始慢慢漸變 然後如果是打到B 打到B就是I開始逐漸變成零 就這樣 所以我們把這個方程解出來的話 就這兩個結果 就是K打到A的時候結果 K打到B的結果 這兩個結果跟電容情況是一模一樣的 上課我都在那裏面稍微講過 所以我不在這再多說了 把這個畫成圖的話 對了 這裏邊有很重要的時間常數 對不對 就特徵時間 就是說當你電流什麼時候從零變到 穩定的電流 等電流穩定以後 質感對電流就沒有影響了 同意嗎 電流對直流電它是沒有影響的 因爲它的影響只是低T分之低I 如果你的電流穩定了 對時間導數沒有了 沒有影響了 是吧 就是這樣 所以這個時間大概有多少 是跟這個有關係的 大概在這個時間尺度 它就基本穩定了 我們看一看它的圖就變成了 像這個圖就是 電流從零開始這樣增長 差不多時間無限大的時候 時間無限大的時候 這個變成零了 就達到了穩定了 但是我們說過指數這種東西是變化很快的 它不需要無限大 就是這一點點就基本上就達到穩定了 對不對 這個也是一樣的 它就從這個 如果你打到B的時候 它從電流I開始就往下下來 所以我們剛纔觀察到的現象是 你和質感線圈連起來的燈泡 你的電流是這樣上來的 所以慢一些 那個直接就上去 因爲沒有質感的話 直接電流變成I了 直接到這了 所以有這麼一段時間延遲 這個時間延遲大概是這個量級的 就這樣 剛纔我們看到小燈泡閃亮的線路 是這個線路 這個是什麼線路 你質感和電阻這麼連起來 然後這個地方有個小電泡 你把它連起來的時候 燈泡是亮的 現在你把燈泡亮的時候 它這裏邊有個電流 電流多大 假如說這個地方有電流是I1的話 因爲我們在這裏面 燈泡的電阻大於I1 我們做的 我們把它做成這種燈泡了 所以它大於它的話 你穩定的時候 燈泡的亮度 是網站上面的I2決定的 可是I2是比I1小的 現在當你把開關斷開的時候 斷開的話和電池沒有關係了 你這個變成了一個新的迴路 迴路裏邊 你質感的電流是不能突變的 所以一開始它是I1 你這個迴路裏邊 就是I1開始慢慢衰減 所以你它變成它的時候 它的電流就變成了 從I2就變成了I1了 I1比I2大 當然它就更亮 就突閃一下 就這樣 聽懂了嗎 這個是我想你們可以理解的 好 這是質感現象 那麼護感現象是什麼呢 護感當然就是實際上法拉第 最早發現電池感應定律的東西 就是我這個電路里邊 有電流發生變化的話 當然我產生的磁場就會發生變化 我這個磁場發生變化的話 我這個磁場在你迴路上的磁動量 就會發生變化 於是你在那裏邊就會產生一個電動勢 我就是說這是護感電動勢 就這麼點 所以現在這兩個線路線圈 你一發生變化 當然對於非鐵磁製來說 這個一載二線路上產生的磁動量 是跟一的電流I1成正比的 前面有個係數叫做護感係數 就是一對二的護感係數 爲什麼它們成正比 跟剛纔我講法是一樣的 不用再解釋 就是比薩拉在一下底下 你馬上就知道 這是一個跟電流成正比的 這正比沒問題 所以前面這個係數叫護感係數 可是你這個護感係數是什麼 是一對二的護感係數 是不是 反過來二對一也有護感 同意嗎 如果你在這有變化的話 你在這有電流的話 你在這也有磁動量 這個磁動量是跟二成正比的 可是在這裏邊你會注意一點 就是什麼 實際上護感前面這個東西是有符號的係數 你想想看爲什麼有符號 你想想 如果我電流是這樣的時候 假如說有一個磁動量是這個 現在我把電流反一下方向 磁動量方向應該怎麼樣 反方向了對不對 換一個符號 所以說你的式子裏邊就只有這個 電流I2你就寫了電流I2 如果你電流I2不帶符號的話 你這個東西就帶符號了 聽懂了嗎 那麼我們這個符號怎麼弄 你符號的意思是 你事先要規定一個正方向 要麼是正要麼是負 你中間有個規定一個正方向 那麼我們說你怎麼規定正方向 你自感的右手螺旋 你自感不是有一個 你比如說一這個線路 你右手螺旋一下 是不是有一個磁動量的方向 這個方向你就規定爲正方向 然後你看二電流在一線圈上的磁動量 是不是跟這個方向是一致的 我說一致是正的 你就這麼定了 你互感係數不就定了嗎 但是真正用的時候 你會發現互感係數大家都不用符號的 就是用一個M 然後符號正負是後來規定 M就是不說符號 然後用的時候看你電流是這個方向 我就加一個M 如果你是電流反方向的話 我就搞一個負的M 它是這麼用 那全在於你 如果你想這個M自帶符號 那就自帶符號 我們這個裏邊因爲不設計太多 所以我們就自己自帶符號 你要是不自帶符號的話 它有一個規則 比如說有一些規則規定什麼 他們有一些叫做 又引入一些新名詞 然後規定一些正方向 我一下想不起那個名稱了 好 法拉第電磁感應定律 在互感這個線圈裏邊 當然也要成立 就是說你的磁動量是這樣的話 如果你電流隨時間發生變化的話 你當然這裏邊就會給 因爲這個磁動量產生的電動勢當然也有 就這樣 反過來這個也有 對不對 二線圈對一也有 一對線圈對二也有 就是這樣 這裏邊有一個很重要的一個東西 可是我們不證明 就是什麼 就是說這個互感係數是一樣的 不管這個線圈 這個是這樣的線圈 這樣是這樣的線圈 意思是這兩個線圈完全不一樣 可是放在那的話 他們之間你對他的和他對你的互感係數是一樣的 這個證明非常簡單 但是你得引入 如果是引入了一個磁勢 磁場裏面有電動力學 裏邊會有關於磁場 因爲它的磁動量等於零 所以就會有一個 磁勢這種東西 然後有了那個東西以後證明這個非常容易 但是我們沒引入 你證明它稍微麻煩一點 所以我們也不證明了 我們直接用 就是說這兩個線圈之間互相之間感應係數是完全一樣的 一模一樣的 我們用這個 是不是一樣呢 當然你不證明的話 至少得給一個什麼東西讓大家心情好一點 所以我給大家一個例題 這個例題就是說 一個大線圈一個小線圈 這個小線圈就在大線圈的圓心附近 所以現在我規定一個電流是這樣的 這樣的電流是這樣的 這樣的話 根據我們的約定什麼呢 因爲我們的自己的磁動量方向不是用右手螺旋來判斷嗎 所以你右手螺旋右手螺旋 你會發現什麼呢 就是你大線圈給小線圈的磁動量的方向 和小線圈自己的磁動量方向是一致的 是不是 反過來也是一樣的 所以正方向是給定了 所以你能猜測 這種情況下 互感係數應該是正的 對不對 互感係數應該是正的 好 我們來看一看 你怎麼算互感係數 它讓你算的是 如果這個叫一線路的話 這個叫二線路 它讓你算是一對二的互感係數 一對二的互感係數 你如果想得不是很清楚的話 這個東西是比較討厭的 爲什麼比較討厭 你想小線圈它磁場是 我們知道一個線圈磁場是這樣的 對不對 可是小的這個裏邊是過來了 在大的裏邊進去了 是不是 進去了 可是出來的和進去的 外邊還有進去的 所以這兩個差值纔是一對二的磁動量 對不對 可是這個磁動量如果想好了的話 這個算起來比較容易 這個我是聽有一個科大的老師說 他有個學生用這種方法解了 我覺得他的想法非常好 他怎麼想的 他是這樣想 你看看科大學生也很厲害 所以說他是這樣 一線圈對二線圈的磁動量我怎麼算 我以大線圈爲大圓畫一個球面 這是畫球面 這一球面的話 實際上一對這個球面的磁動量 就是我們說的磁動量 對不對 因爲我們說磁動量的意思是 你只要以線圈爲邊界 畫一個隨便哪個面就行了 對不對 現在他這個做一個球面 爲什麼做球面好 好算 球面的話你就會發現 你這個小線圈對球面上的每一點來說 你是一個什麼東西 磁矩 對吧 磁矩就是說 就是說這個因爲它是小的 小的意思是說 它的半徑比起它的半徑小很多 也就是說這個球面對他來說是比較遠的 遠的當然遠的意思不就是磁矩可以隨便用 明白這種 磁矩這個公式而且還有好處 就是說它離你位置是怎麼樣 距離都是一樣的 然後你算磁場 當然這個也不是 當然看着也稍微好點了 爲什麼 因爲距離都一樣了 現在你這個方向就是每一個面員的方向 就是球面上面員的方向 也就是說它是沿着使勁的方向 使勁的方向 S1是使勁的方向 不不不抱歉 S1是小面員 在小線圈的方向是這一方向 注意 剛纔說錯了 S1是磁矩 所以它是小線圈的 反線方向 所以它是這一方向 你現在算的是這個球面上的磁通量 所以你在那隨便找一個小面員 面員的方向是沿着使勁的方向 對不對 然後你使勁方向和麪員 這個這一方向點擊你都知道的 那是cosc的 就是這個cosc的 所以你就可以把這個東西算出來 把這個帶進去 然後你算ds是這個小面積 這個小面積會算的 這個是不是 小面積是這個 小面積因爲我們知道你的立體角和耳平方分支 那個小面積就等於立體角 然後沿着那個方向 對不對 所以這個你帶進去 然後你知道這個立體角是怎麼算 你們立體角在那個球座標器裏面的立體角 就是sinθdθdφ 這個知道嗎 就是sinθdθdφ 就是你們應該學沒學過這個球體積的那種公式 如果你求球體積的公式的時候 你算的是在直角座標器是dxdydz 然後你通過那叫什麼變化 雅各比行列式 然後那個雅各比行列式sinθdθdφ 不是 是雅各比行列式sinθdθdφ 耳平方 是不是 然後後邊有dθdφ 然後現在你在這裏面是耳平方sinθdθdφ 不就是小片面積嗎 實際上這幾何上是這個意思 你雅各比行列式的意思是前面這個係數 所以數學上有些東西在這裏面是這樣的 連起來的 你要連起來你就會發現你們都學過的 是吧 好 你積分就好了 這個積分你們會的 把c的積分從0到2分之π 這一半是不是 φ呢 2π轉一圈 然後你積分算出來結果就是這個 就把這個積分出來就這個 這個積分不難 然後你積分出來就是這個 這沒問題吧 這個是吧 數學回去你們再看一看 這個我不能說三十的口三十的怎麼積分 這是很容易的 然後你積分積出來是這個 然後你根據這個公式一代 你就算出來了 1這個線圈對i這個線圈 這個互感係數是這個 是吧 如果 如果你算什麼 如果二對一的互感係數 那容易算的 二對一怎麼容易算呢 假如說二 我要說二對一的話 二對一是因爲大線圈在小線圈裏面吃着吃動量 可是大的在中心的那次上我會的 2r分之μ0i 對 2r分之μ0i 乘上它的小面積s1不就是吃動量嗎 你除以i2不就是這個嗎 你看這兩個一樣不一樣 一模一樣的是不是 所以 m21和m12一樣的 你看這個 這個就是例子裏邊是一樣的 所以你放心了 對吧 至少我們給給你一個例子沒證明 你就答是可以的 作業裏邊可能還有 你比如說一根線 然後旁邊有一個什麼方塊的 矩形的什麼這種東西 都是類似的東西 對 這個還有一個什麼好處呢 就是說像剛纔這個問題 如果你知道了這個的話 你就直接這麼做就行了 對不對 即使他問的是一對二的互感係數 你也可以算二對一的互感係數 然後就是它 簡單算出來 是不是 就是這樣 但是這個是有意義的 是不是 有的人這麼想的話 也是有意義 這樣 這個有問題嗎 咱們質感和互感就是這樣 很快的就過來了 可是爲什麼呢 因爲你質感也好 互感也好 本質上不是法拉第電池感應定律嗎 本質上不就是裏邊的持動量發生變化 而引起的電動勢嗎 是一樣的是不是 這裏邊只是有了一個新的概念 一個叫質感係數 一個叫做互感係數 對不對 好 我們有了質感係數 互感係數 互感現象 我們知道以後 我們就可以研究磁場能量了 你記得我們研究電場能量怎麼研究的 記得嗎 我們先 記得嗎 這就是能量密度 廠的能量密度 我們怎麼得出來的 就平行板電容器得出來的 對不對 現在你想想在磁裏邊 跟電裏邊平行板電容器差不多的一個 我們覺得比較簡單的一個器件 就是一個無線場的螺旋管 所以用一個無線場的螺旋管 它所儲備的能量 然後我們說這個能量可能就是儲存在磁場裏邊的 然後等效成磁場裏邊能量 然後我們把磁場裏的能量密度給算出來 然後我們就得到一個式子 同樣的思路 現在我們剛纔我們說了 剛纔我們看到那個實驗 你這個可以斷開的時候它會突閃 意思是說你突閃的能量顯然不是從電磁來的 對不對 因爲你斷掉了 可是那能量一定是額外從某一個東西來的 我們知道這裏面有個質感 所以它是從質感裏邊來的 所以質感是什麼呢 是可以儲存能量的 這個能量我們爲什麼把它叫磁能呢 是因爲磁通量變化有關係 那個電能就是那個閃一下那個電是來源於什麼呢 來源於磁通量變化引起的那個電動勢 那個電動勢驅動了這個電流 讓它閃一下 所以我們把它叫磁能 那磁能比如說這個線圈裏邊 一個線圈裏邊可以有一個能量放在那 這能量能存儲多少 比如說一個線圈 當然我們現在討論的不是無線大的線圈 無線長的線圈 我們說它是質感係數爲L的這樣的線圈 質感係數爲L的這樣的線圈 它這個裏邊儲存多少能量呢 你覺得應該怎麼算呢 你覺得有個思路應該是怎麼弄的呢 克服對不對 克服就跟我們以前說的 我克服你質感電動勢 我克服質感電動勢 我電池做了多少工讓你變成了這個狀態 就是你的那個能量對不對 就跟那個電裏面一樣的 我克服電力我做工你的能量變成多少 然後我拿那個思路一算 我就可以算出這個東西 先下課一會