【麻省理工】公開課《經典力學》 P18 - 18. 傾側運動,陀螺儀

我們了解力矩後 請冷靜下來 結合力矩與角動量的知識 我們現在可以分析沿斜坡滾動的物體 例如以下情況 我這裡有一個圓柱體 或者說是一個球體也沒關係 這個角度是β 我比較不喜歡使用 alpha 因為那是角加速度 而且與表面有摩擦係數 稱為 μ 這物體將會沿著這個方向滾動並獲得加速度 a 當我們處於純滾動狀態時 我將評估這種情況 那表示這個物體既沒有打滑也沒有打轉 什麼是純滾動 如果這裡有一個半徑為 r 的物體 例如圓柱體或球體 而且我要這樣旋轉它 朝這個方向滾動 中心稱為點 Q 一旦它完成一次完整的旋轉 如果此時點 Q 移動了距離 2πr 我們就稱之為純滾動 當我們有純滾動時 這一點Q 的速度與輪緣的速度… …如果你能看懂那個 我就在那裡標上 C……是相同的 換句話說 vQ 現在就等同於 v 圓周長 而 v 圓周長永遠等於 omega r 這部分總是成立的 但僅在純滾動時才成立 你可以輕易想像 如果 這裡沒有摩擦力 物體可 能會靜止不動 瘋狂旋轉 但Q卻不會移動半步 因此我們會出現打滑和打轉的情況 而äll則不會出現純粹的滾動狀況 如果物體在打滑或打滑 則這 裡的摩擦力必須 始終達到最大值 如果物體僅純滾動 則摩擦力 可能顯著小於可能的最大摩擦力 現在 我想和你一起計算一 個圓柱體在斜坡上純滾動時所 獲得的加速度 它具有質量m長度 l 以及半徑 r 我希望你能憑直覺來做 如果做錯了也別害怕 我將讓這兩個圓柱體沿斜 坡滾下來 它們都是實心的 質量相同 長度相同但半徑卻大不相同 我將要這兩者之間進行一場比賽 哪一個會先到達底部 所以我要再重複這個問題 兩個實心圓柱體 長度相同 質量相同 但其中一個的半徑較大 將會有一場比賽 我們將讓它們滾下來 純粹地滾 哪一個會贏 有人認為半徑最大的那個會贏嗎 誰認為 sat的半徑最小的人會贏 誰認為不會有勝者也沒有敗者 嗯 你的直覺比我的更好 我們看看會怎麼發展 請記住你投了哪一 input 你很快就會看到結果 好的 讓我們把所有已知的力量都加在這個物體上 這個是重力 並我們將對其進行分解 沿著斜坡一路走來 這就是 mg sinβ 而另一個則垂直於斜面 我們已經這樣做過無數次了 而這個則等於 mg cosβ 在這裡還有一個法向力 而且這個正向力的大小是 mg 乘以 cosβ但 在此方向上沒有加速度 然後我們這裡有摩擦力 我會寫成 Ff 在任何瞬間都存在一個角速度 ω 這會隨著 時間而改變 毫無疑問 然後這個質心 Q 點 它將獲得一個速度v 而這個v也會隨時間改變 而點Q的v 隨著時間改變 就是圓周的v 因為這是純滾動的條件 這等於角速度乘以半徑 這總是正確的 但這只有在純滾動時才成立 我對時間求導數 該點 Q 的速度的導數 根據定義 就是它的加速度 所以我得到 A 等於 omega dot 乘以 r 這等於 alpha r 其中 alpha 是角加速度 所以這就是純滾動的條件 現在我要計算作用在Q點的力矩 當我計算作用在Q點的力矩時 N不會產生影響 因為它經過Q點 mg對轉矩沒有影響 因為它經過Q點 所以只有一個力對轉矩有貢獻 這個半徑是r 大小是rf 以及方向是黑板上 但目前我只對大小感興趣 所以我得到 r 倍的摩擦力 這必須是 I α 我為繞此軸旋轉的轉動慣 量 Europeans through pointQ 乘以角加速度 但我可以將角加速度 替換為A除以r 因此我得到轉動慣量 約 Q 乘以 A 除以 r這是我的第一個方程式 我的未知數是摩擦力 我的未知數還有 A 因此我無法同時解出 InvariantCulturesanctuary 我需要另一個方程式 我接下來的方程式是顯而易見的 也就是牛頓第二定律 F 等於 ma 對於質心 我可以將所 有的質量都視為位於Q點 我們必須有F等於ma 因此m乘以該點Q的加速度 我們的目標就是這樣 這個分量等 於 mg sine beta 這 就是沿斜坡向下的分量 而減去摩擦力Ff 這就是沿斜坡向上的分量 這是我的第二個方程式 現在我有兩個含有兩個未知數的方程式 所以現在我可以解出來了我可以消去Ff 並在此處代入Ff的值 這個數量除以 r 所以我得到 ma 等於 mg 正弦 β 減去繞 Q 點的轉動慣量 乘以 A 除以 r 平方 現在請注意 我已經消去了 F 的 F 因此現在我可以解 出A所以我會得到…… 我把A移到一邊 這樣我就得到A乘以m 加上轉動慣量 除以r平方 等於 mg 正弦 β 現在我們有 我將兩邊乘以 r 平方 我得到分子是 mr 平方 g 正弦 beta 分母是 mr 平方 加上該點 Q 的轉動慣量 這是我的結果 現在只需要加入繞 該軸的轉動慣量即可 我只想提醒你 這只有在 純rho的情況下才成立 因此我們現在可以代入 實心圓柱體的相關數值 如果我們有一個實心圓柱體 然後繞此軸的轉動慣量等於質心 我 稱之為 Q 為二 分之一 mr 平方 如果我在此處替換它 會發現我所有的 mr 平方都消失了 我得到 1 加 1/2也就是 1.5 頂朝下 它變成了 2/3 所以A等於三分之二乘以g乘以正弦β 沒有n 沒有l 也沒有r 所以如果我有兩個實心圓柱體 質量完全不同 半徑 也完全不同 它們進行 一場賽跑 但沒有一方獲勝 這非常不合常理 每次看到它 我都覺得有點驚嘆 注意到所有東西都消失了 m、r 和 l 都消失了 所以那些曾經說過的你們 如果我拿兩個質量相 同但半徑不同的圓柱體 那些說沒有輸家也 沒有贏家的人是對的 但更驚人的是 連質量都可以改變 你可以改變任何東西只要這兩個圓柱體是實心的 這才是重點 所以如果我們取一個空心圓柱體 那麼繞此軸的轉動慣量 通過質心 通過Q 如果大部分質量 真的位於表面的話 那麼它非常接近 m 乘以 r 的平方 然後是加速度 如果在這裡代入 mr平方 我得到的是二 等於二分之一乘以g乘以正弦β 所以這個加速度比那個小 因此 無蓋的圓柱體在任何 賽跑中都會輸給實心圓柱體 無論其質量、 半徑或長度為何 我想讓你們看到這一點 我這裡有一個設定 我會試著讓你看到 也出現在那塊螢幕上 但對於坐在前面的各位來說 可能會更好 請直接看一下這裡的示範 我這裡有…… 我這裡首先有個由黃銅製 成的很重的圓柱體 這個則 是鋁製的 它們 的質量差異很大 但半徑和長度都相同 它應該沒有差異 不應該有勝者 也不應該有敗者 我將同時開始他們 我希望你能看到那裡 這就是…這就是起 點我可以稍微降低一點 我會從三數到零 然後你會看到它們 幾乎同時到達底部 這麼不同的質量 質量差至少是三倍 其他所有尺寸都相同 三、二、一、零 完全一致 這對我來說不太直覺 現在我有一個半徑非 常小的 與這個相比這是一根小鋁棒 也許你可以在電視上看到它 這要重得多 幾乎是30倍重 這應該不會有差別只要夠堅固 應該不會有差別 沒有輸家也沒有贏家 半徑不同 質量不同 這應該沒有差異 好的 現在我們開始比賽 三 二 一 零 他們同時抵達底部 但現在我有一個空的 你絕對可以相信 它是中空的 所以現在所有的質量都集中在周圍 現在需要更多時間 現在的加速度 正如你所說 如你所見 是半倍的 g 正弦 β在另一種情況下 是三分之二 你或許可以今晚思考一下 為什麼這個會更多 這當然與轉動慣量有 關但同樣地 它與質量、半徑和長度無 關所以這純粹是幾何學的問題 這一個注定會成為輸家 而這一個 不論質量或長度 都將成為贏家 所以你看到他們了一個是空心的 一個不是 這很輕 這很重 我把中空的那個放在你那邊 三、二、一、零 那個空心的東西掉了下來並摔在了地上 是的 我發現這些事情總是令人感 到非常驚奇 大自然就是以這樣的方 式運作的 我對大多數人 或者說 很多人 有正確的直覺感到印象深刻 當他們說這不會有任何差異時 對兩個實心圓柱體來說是這樣 現在我們來到最難以直覺理解的部分 關於8 01課程的內容而且可能是最困難的部分 在物理學中 這與陀螺 儀有關 我 強烈建議你多 加注意 不要錯過任何 十秒鐘 因為你將會看到 一些令人驚嘆的示範 這些示範非常難以直覺理解 除非你跟隨了導致它的步驟 否則你會完全不知道自己在看什麼 它會很有趣 會很可愛 但不會對你有任何幫助 想像一下你我來到了外太空 沒有重力 我們處於外太空的某處 那裡有一個自行車輪子 我將會以這個方向對 自行車輪子施加扭力 所以我會將右手朝向你 左手遠離你 我只這樣做一段短時間 然後我就放手 明 顯接下來會發生什麼這個輪子會這樣轉下去 永遠 我稍微施加了一些扭力 這意味著如果有扭力 就會有角動量的改變 角動量的變化必須 等於力矩乘以時間差 所以我這樣做並放手 它將永遠繞著這個軸旋轉 這很簡單 對吧 好的 現在我要朝這個方向扭轉它 我們真的處於外太空 完全靜止不動 我只做這個動作 然後鬆開它 它將永遠朝這個方 向旋轉 這很清楚 現在來看這部分 非常不符合直覺 現在我要試著朝你的方向發送一次 而且現在我又會這樣扭轉 接下來會發生什麼 你會說…… 或者你可能會說……我並不是在指責你做任何事 你可能會說 好吧 你轉動一下輪子 所以輪子可能會繼續轉動 而你這樣做 所以你可能會看到什麼樣的情況 它會像以前一樣旋轉 同時輪子也會旋轉 但這是不可能的 因為如果輪子這樣旋轉的話| 那麼旋轉輪子的角動量 是這個方向 如果我給 它一個扭轉 並且它持 續旋轉 它 就會這樣旋轉 那麼這旋轉角動量就會這樣轉動 這是不可能的 因為系統上沒有力矩 因為一旦我放開 就不再有任何力矩了 因此 輪子無法持續旋轉 因為我施加的扭力 它只會轉圈 這是不可能的 大自然會怎麼處理這件事呢 我會用一個圖表來展示給你看 結果會非常難以直覺理解 接下來我們也會…… 我也會向你展示 所以這裡的情況正是我告訴你的那樣 作為觀察者 你正處於這個方向 這個方向是26 100 所以你現在是這樣看待這些輪子 的它們正朝你轉來 我馬다면這麼做 現在我也暗示了這一點 這是我右手 這是我的左手 我的右手和左手之間的距離是小b 所以我施加的扭力是Bf 這相當於這段臂長乘以這股力 而這股力與臂長垂直 我施加一個扭力一段時間 稱為 Δt 當我這麼做時 我會施加 我在這個方向上增加角動量 但輪子是朝這個方向旋轉的 你看到它了 而輪子的旋轉角動量 這方向是這樣 我在此方向增加角動量 你會看到這裡的情況 所以這原本就是輪子的自轉角動量 我施加力矩一段時間 Δt 所以我這樣加上角動量 然後我停止 這表示我只施加短暫的力矩 然後停止 這意味著在我停止之後 系統的總角動量無法再改變 因為系統上沒有力矩而自然現今唯一能解 決這個問題的方式是 是要以我在此處所指 示的方式傾斜這個輪子 並讓它朝這個方向旋轉 它就會停止 換句話說 我手中握著這個輪子 我會拿到它 我把它轉動一下 我握在手中 我把它轉向你 我將右手朝向你 左手朝遠處伸展 角動量現在朝這個方向 所以我要這樣施加扭力 這代表向上輪子會怎麼樣 輪子會這樣動作 非常不合直覺 請注意看 那不是很奇怪嗎 你不會預期那樣的事 我會再做一次 我會用力將手推 towards 你 而輪子卻做出完全出人意料的動作 它只是傾斜而已 如果我反方向扭轉 那麼扭力當然會讓它這樣翻轉 我會給它一點更多的旋轉角動量 所以我現在把左手拉向自己 然後把右手推開 接著我預期輪子會這樣轉動 而它確實這樣做了 極其難以直覺理解 這些扭力作用在旋轉的輪子上 總是會產生你意想不到的結果 然而 有一件事總是能幫助我 在引導我的方向上* 而且這就是你可以永 遠預測的 自轉角動量 會一直朝著扭力的方向移動 這就是我所施加的外力矩 我們再複習一次 我們這裡有你看到的自轉角動量 它是朝這個方向的 我在此方向上施加扭力 這是一個向量 那麼角動量會做什麼呢 它會朝著力矩的方向轉動 然後當我停止施加扭力時當然 什麼也沒有改變 然後這隻輪子就會傾斜 但請注意 l 是角動量 這裡已經從這裡移動到這裡了 而我正在這個方向上施加扭力 所以它會朝著扭力的方向移動 如果你已經消化了這些內容 現在就可以測試自己了 現在我們有相同的輪子 我將以完全相同的方向旋轉它 但現在我不會這樣在z方向上施加扭矩 暗 或者像這樣在負z方向 現在我要這樣做 或者我要那樣做 現在試著真正專注於我剛才教你的內容 請嘗試回答以下問題 輪子正在旋轉 我拿在手中 將會這樣扭轉它 以便轉矩向量與你方向一致 角動量是這樣的 轉矩是這樣的 角動量向量會怎麼樣 沿著轉矩的方向移動 那麼角動量矢量會怎麼樣呢 如果力矩是這個方向 它就會這樣做 它會在水平面上移動 這非常不直覺 但這就是它會做的 我會把它展示給你 我要轉動這個輪子 我將用高角動量來旋轉它 高角動量旋轉 然後我將坐在這個凳子上 我會像你看到右邊圖片中那樣扭緊 我會這樣扭緊 只要我這樣扭緊 那自轉角動量想要在水平面上轉動 當我反方向施加扭力時 它會在水平面上反向轉動 我會按照你看到的圖片那樣扭緊 你準備好了嗎 我停止扭力 沒有任何反應我反向施加扭力 我持續施加扭力 我能感受到手上的力量 我真的必須用力推 我停止施加扭力 它也停止了 所以角動量向量在某種意義上追隨著扭力 這是不是很難理解 非常難以理解 它有時也相當危險 我們將座椅的運動稱為進動 在這種情況下 飛輪的 運動我們也稱為進動 所 以你對旋轉的飛輪施加力矩 那麼你得到的就是進動 我可以從另一個角度向你展示 進動現象 這實際上非常有趣 假設我這裡有一條繩子 就像那裡的那條一樣 我抓住那根繩子 我把這個輪子綁在繩子上 就像這樣 我放手了 好吧 我們都知道會發生什麼 噗通 當然但現在我要在放手之前先把它轉一下 所以在這一點 P 的底部有一個環 這裡是自行車輪的旋轉軸 是實心黃銅製成的一體結構 而我給它一個長度為小寫 r不要與大寫 R 混淆 這是指自行車輪子的半徑 因此這是大寫的 R 它可以繞這個點相當自由地旋轉 我稱這個中心點為 Q 崮這是你那一側輪子的部分 我試著讓你看得稍微立體一點 假設我現在朝這個方向旋轉它 稱為「Ω旋轉」 S 代表旋轉 現在自轉角動量的方向是哪 邊用你的手 用你的拇指 它正朝這個方向旋轉 對吧 它正朝這個方向旋轉 角動量也朝這個方向 那稱為軌道角動量 簡稱為l 好吧 這個系統上有一股力量 mg 而且這股力量是朝這個方向的 它有質量 m 自行車輪子 以及半徑大寫 R 這部分是小寫 r 因此相對於點 P 有一個力矩 這個力矩是 r 乘以 mg 因為這是 90 度 所以叉積很整潔 那個角度的正弦值是1 所以相對於點P的力矩是r乘以m乘以g 那個力矩的方向是什麼 r 交叉 F 那個力矩的方向是什麼 用你的手、拇指 隨便你用什麼都 可以你是這樣想的嗎 我不同意 r 交叉 F 是 你一定是在開玩笑吧 在黑板上 它不在黑板上 它在黑板上 r 交叉 F 在黑板上 這裡有向這個方向的扭力 minY 自然的重力提供了這股扭力 自轉角動量會怎麼樣 它將朝著力矩的方向移動 它將追隨力矩 那麼 如果角動量在這裡會怎麼辦 它會做什麼 它會這樣做 當它移動時 扭矩將始終垂直 於平面、繩子和r 你可以親自看到這是為什麼 在這個瞬間 當角動量是這樣的時候 扭力在黑板上 因為它是 r 與 F 的叉積 但當我在此處時 這個r的位 置已經改變 並始終與輪子垂直因此 力矩的方向也會改變 因 此這角動量 自轉角動量 它會繼續追尋扭 力並開始自由旋轉 這正是我當時坐在凳子上所做的事 只是我必須用手這樣施加扭力 這正是相同的方向 我一直必須使用它 當我停止時 進動也停止了 但在這裡 力矩永遠不會停止 因為這個MG會一直存在 我馬上就會讓你看到你可能會說 你一定是瘋了 因為你違反了牛頓第二定律 F等於ma 這個物體必須下落 作用在這個物體上的力只有一個 F 等於 m 乘以 a 那它怎麼可能不這樣呢質心必須以加速度 g 下落 原來如此 物體上不只有一種力作用 你認為這裡是什麼 這根繩索中的張力T將正好等於mg 因此合力 該物體上所有力量的總和為零 該輪子上沒有淨力 但存在淨力矩 這就是它會進動的原因 如果存在淨力 那麼 這物體也會向下運動 如果這力量比這個更大 所以大自然非常聰明 它處理這些相當困難問題的方式 在向您展示這個示範之前 通過旋轉這個輪子然後將它懸掛在那條繩子上 我想提一下 也就是進動的角頻率 這絕 對不應該與旋 轉的角頻率混淆 為您推導出來……這只是 一個三到四分鐘的任務…… 在你的書第344頁 我這裡不推導它 但從中得出的結果就是扭力 這就是我們在這個情況中所看到的 除以自轉角動量 這會給出進動的頻率 在我們的情況中 對於我們的自行車輪子來說 這是 Rmg 而且這個輪子的自轉角動量 如果它以角速度ω旋轉的話 將是I乘以ω 請記住 L是旋轉輪子的I乘以ω 所以我這裡有一個繞著點 Q 旋轉的物體 這是旋轉軸 為自轉角速度 這是自轉 這是進動 接下來進動的週期將是2π 除以進動角速度 讓 我們看一下這個方程式 並判斷這樣直覺上是否合理 首先 如果你增加樓上的扭力 那麼它表示進動頻率會增加 這對我來說是合理的 因為扭力在促使 它會產生角動量跟隨它 所以力矩是在說服 自轉角動量改變 好吧 如果力矩更強 那麼它就更有力 因此你預期進動頻率會更高 然而 如果自轉角動量非常強大 那麼自轉角動量說 對不起 是力矩 我不會按照你想要的速度那麼快地進行 當你增加輪子的角動量時 這也是直覺上 進動頻率會下降 當輪子旋轉時 它具有旋轉 角動量 但當它像這樣進動時 也會在這個方向上產生角動量 因為它像這樣旋轉 因此 存在總角動量 它是兩者的矢量和 這個方程式只有在自旋角動 量真正主導總 角動量時才成立 而且你可以馬上看到因為假設你讓自 轉角動量變為零 那麼它根本不會旋轉你真的認為進動頻率會無限高嗎 當然不是 所以這只在自轉角動量遠遠大於因 進動而產生的角動 量的情況下才成立 因此有所限制 當輪 子停止轉動時 當它不 再旋轉時 你最好相信 那東西會發出咔嗒聲 已沒有進動模式 對於我們的自行車輪子 要感受進動需要多長時間 我們可以代入數字來計算 我們的自行車輪子、桿子、銅桿、小r 長度為17公分 而且自行車輪子的 半徑約為29公分 而且讓我做個假設 即 自行車輪子的全部質量 都位於輪緣上 這並不 十分準確 但大致接近 我的意思是 這裡有一些槓桿但我們假設所有東西都在這裡 那麼轉動慣量就是 mr 平方 好吧 如果現在你有一個五赫茲的頻率 也就是旋轉頻率 那麼現在 你可以計算旋轉頻率的角速度 角 速度等於兩倍的圓周率乘以旋轉頻率 因此我知道現在可以將它替換進 去這樣我就能得到一個歲差 現在等於 rm g 乘以轉動慣量 我假設所有的質量都位於周圍 這是一種近似值 因此我 們得到 mr 平方 然後我們得到 ωs 這就在這裡 我們失去了 m 因此我們得到 rg 除以 omega s 乘以 r 平方 這就是進動的角頻率 以及進動的週期是二π除以ω 然後你會發現進動的週期 大約是十秒鐘 因此 如果我給它五赫茲的 旋轉頻率 並採用這些尺寸和 這種近似方式 即所有質量都 位於周圍 你會預期它會進動 在大約十秒內非常輕柔地運作 但我對頻率的控制非常有限 所以我可能給它七赫茲 也有可能我給它三赫茲 但是我会盡我所能 我確實會盡我所能 這總是能保證成功 輪子在哪裡 輪子就在這裡 我們將啟動它 然後把它放進來 請注意我轉動的方式 現在我把它離遠一點 我會改變它 下次用不同的方法 它走了 大約十秒鐘 那不是很驚人嗎 而且從下方看是順時針旋轉的 現在是這樣進行的 我將重 新做這個實驗 改變旋轉方 向然後它就會朝另一個方 向轉動 現在的角動量 由於它這樣旋轉 所以指著這裡 角動量的方向是這樣的 轉矩就是這樣 所以角動量在追著這個轉矩 我就是角動量 我就是轉矩 這個就是轉矩 它正在追著它 好 我現在用右手拿著這個 這樣就可以了 現在我要…… 所以當我把它啟動起來時 就是這樣 那讓我們現在改變方向 我把它翻轉過來 現在我要再啟動它 角動量現在是這個方向 看 它正朝相反方向轉角動量是這個方向 力矩現在朝向我 角動量追著力矩轉 我改變了自轉角動量的方向 我沒有改變力矩的方向 現在它正從下方逆時針旋轉 以前 它是順時針旋轉的 如果我能透過在軸上放一些 重量來增加扭力……嗯 我確實 有……這實際上在我們的情況下會延伸出來 我可以 在這裡放一些重量 然後我確實增加扭力 接著你會看到它轉得更快 进动頻率會提高 所以我會在那裡放一些重量 那麼讓它先轉一圈大約是十秒鐘 我們計算出來的 現在我要在這邊放上兩公斤 現imos你會看到一個瞬間的增加 在進動頻率中 你看到 現在它快多了 我把它取下來 然後它又回到大約十秒的時間 所以我所做的就是增加了這個扭力 但並沒有以M為代價 因為 M 的原因而取消 是因為轉動慣量 中包含 M 但如果我 只是將這個物體掛上去 那不會改變飛輪的轉動慣量 這一切都不直覺 你可以用一個5美元的玩具陀螺完成所有這些事情 我想要讓你看這個這是我的玩具陀螺 我把它放在辦公室裡非常有趣 這個玩具陀螺正在做完全相同的事情 這是在做什麼 讓我給你看看這個玩具陀螺 首先 玩具陀螺 這裡有一個玩具陀螺你能看到嗎 也許我應該讓這裡稍微暗一點 你看到我的玩具陀螺了吗 是嗎 我打算把它轉起來 然後我要用同樣的方式把它掛起來 我要轉動它 讓坐得近的人能夠看到 然後把它水平放置 並把它懸掛在繩子上 你會看到同樣的情況正在發生 而且現在 當然透過小說 所有這些樂趣最終都會停止 我有件非常特別的東西 要給你 或者我可能有件 非常特別的東西要給你 這取決於我身後的助手 我聽到他了 他在那裡 好的如果你達到最高速度 我最高的目標是 成為一名優秀的 工程師 這是我一直以來的夢想 請幫我拿這個行李箱走一圈 拿起來 走一走 轉幾個彎 請往另一個方向走 這 menstrual 是什麼情況 對啊 就是這樣 你在幹嘛 老兄 你表現得這麼奇怪 再轉幾個彎吧 伙計我們得去…… 我們得趕飛機 它並不會像你想象的那樣運作 對吧 所以在這裡 你猜對了 它是一個轉輪 當你這麼做的時候 會對它施加扭力 它會做出你最意想不到的反應 它會翻轉上去 這不是很有趣嗎 是的 你可能會被逮捕 當你帶著這個行李箱前往洛根機場時 非常感謝 這很好 旋轉的物體具有穩定效果 如果你拿一個自行車輪子 我們有一個 我把它放這裡 什麼都不做 它會倒下 沒有人感到驚訝 然而 如果我稍微轉動一下 那麼它就不會掉下來 為什麼 因為它具有角動量 它具有自轉角動量 它才不會掉下來 它不只是自行車的輪子 看 非常穩定 不只是用自行車的輪子你拿一塊錢 而且你像這樣把二十五美分放在你的書桌上 你賭你的性命 它會掉下來 滾動它 它會變得穩定 你給予它旋轉的角動量它就會變得穩定 拿一張紙 你把一個陀螺放在桌子上 它倒下了 你轉動它 給它一個旋轉 那個陀螺就穩定了 自轉角動量具有穩定事 物的特性 在你的一項作業中會看到這個問題 當 我想讓你定量地處理它時 這就是慣性導航 系統的基本原理 在慣性導航系統中 你會有一個旋轉的輪子 至少在導航系統還使用機械輪子的時代是這樣 你有一個織布機 但這個織布機的 安裝方式使得你 無法對織布機的旋轉軸施加扭力 這就是它的安裝方式 我們稱之為三軸萬向節陀螺儀 因此 只要你一施加扭力 外殼 在這種情況下是黃色的外殼 和黑色的外殼 將開始旋轉 你永 遠無法在旋轉的輪 子上獲得那種扭力 你永遠無法在這個軸上獲得它 因此 如果你現在把它放在 你的船上 或者放在飛機上 或者說是導彈上 你永遠 無法對旋轉的輪子施加扭力 而且如果自轉角動量的方向是這個方向 它將永遠保持不變 假設我們沒有摩擦力或能量損失 當飛機轉彎時 旋轉角動量的方向不會改變 當然 會發生的是 這個黃色的框架會旋轉 或者這個黑色的框架會旋轉 而且在這些軸承中裝有 旋轉編碼器 它們能感 測外殼的旋轉 以確保 這裝置始終指向同一方向 dığında [-] [-] [-] 你的陀螺的自轉角動量 現 在以這樣的方 式安裝 即使飛 機改變方向 你也無法對它 施加力矩 我想讓你看看這個 天啊 好的 這是我的自轉角動量方向 我就是飛機 我即將飛起來 看看那個旋轉角動量 它不把我放在眼裡 不管我怎麼飛 它都保持同一方向 而來自黃色外殼和黑色外殼軸承的錯誤訊號會 回饋至自動駕駛系統 因此飛機會 保持正確航向 現在我能做的是讓你進行一 次思維的最終測試 這個輪子 以這樣的方式懸掛 使得它 沒有重力力矩 就像這裡一樣 但是我可以透過在軸上 放置一些重量來施加扭力 如果我現在在軸上放一些重量 你認為會發生什麼事 這個輪子正在轉動 但現在我要在這裡施加一個力矩 它正朝這個方向轉動 角動量正直接朝向我 遠離你 我會這樣施加力矩 在那裡放一個重量 力矩會朝這個方向 角動量會怎麼樣 力矩朝這個方向 角動量的方向為此方向 角動量將開始追隨力矩 注意看 它去了 角動量正在追趕力矩 你看到的正是我之前給你看過的同樣現象 如果我增加力矩 那麼進動頻率會增加 看 它現在馬上停止了 當我把它拿下來 再重新戴上 持續進行中 把它再加一點 跑得快很多 如果我把重量放在這邊 接下來會發生什麼事 所以我改變了力矩的方向 如果我把它放在這邊 力矩現在就是這個方向 自轉角動量是這個方向 它現在是反方向的 我們走吧 而且你 النهائي看到它了 令人驚訝的不直覺 如果你有這方面的問題 你並不孤單 周三見