【台灣大學】《邏輯學》（全100講）傅皓政 P29 - 29. Ⅳ：4.8.一群句式之間的關係

進入到 4.8 我們來談談一群句式之間的關係 我們在從 4.4 開始到 4.6 跟各位談到了 如何檢查一個語句式 恆真句 矛盾句 偶真句 接下來我們又做了兩個句式之間的關係 接下來我們來想像一群句式的關係 所以一群句式之間的關係 當然就是說我們有很多句子 那它們之間有什麼關係呢 原則上我們就是要來談談它們的關係 那它們的關係包括了 不一致的關係 或者是一致的關係 也就是說 我們其實對語句的一群句式呢 我們通常是在談 一致或者是不一致這樣的一個關係 那什麼是不一致呢 我們來看看它的這個說法 我們想像任意一個句式集合 Gamma 現在如果想像一個任意一個句式 Gamma 那麼 Gamma 是不一致的呢 意思就是說呢 沒有任何一個情況 能夠使得它的句式都為真 ok 我們的記號會寫成 Gamma 後面加個 double term style 好 那這個什麼意思呢 各位可以看得出來 Gamma 不一致的意思呢 如果用我們比較日常語言的方式來講就是 Gamma 的內部本身就是矛盾的 好 那我們在前次的課程裡面跟各位提過說 我們其實 如果我們的前提已經是有矛盾的話呢 那麼它就可以推出任何的結論 換言之 如果 Gamma 是不一致的 表示呢 Gamma 內部的句子會產生矛盾 那產生矛盾的意思就是 它可以推出任何語句 也就是說 我在這個 double term style 後面加上任何句子 這個蘊涵關係都成立 所以這個就是不一致的情況 所以如果各位用你日常語言的方式來想想看 其實這個很有趣 這個會產生在什麼時候呢 如果你覺得一個人講話很矛盾 對不對 他這個人講話已經產生矛盾了 結果他自己又不知道 然後又一直講一直講一直講 那你會對他有什麼反應呢 很多人會對他的反應大概就是說 好好好 你講的都對 你講的都對 為什麼他講的都對 因為如果他本身已經是矛盾的 那他接下來講任何的結論 通通都成立啊 因為對他來講 所有的結果都是可以從矛盾的前提裡面推出來的 所以在這樣的情況下 你就不難想像說 有時候我們對於已經產生矛盾的人的說話 其實就反映了我們對這個不一致的想法 也就是說 如果你連矛盾的東西你都不瞭解的話 那你講什麼都對 大概是這個意思 那證明方式是什麼呢 我們來看看證明方式 證明的方式是說 我們把所有的句子真假值 全部把它做一個演算 然後去觀察有沒有這些句子同時為真的情況 如果不存在這樣的一種情況的話 我們就說這些句子彼此是不一致的 也就是這群句式彼此是不一致的 好 那我們的範例是 我們有個 Gamma 這個集合 我們裡面有幾個語句 各位可以看一下我們有幾個語句 第一個是 P 則 Q 第二個是 Q 則 R 第三個是 P and negation R 那我們來看看計算的方法 我們用真值表把它列出來 各位發現我們在這裡在列的時候 各位特別注意一下 我們因為有三個命題符號 所以我們這裡有 P Q R 三個命題符號 各位可以看到有三個命題符號 所以我們總要考慮八種情況 為什麼 因為每一個命題符號 有真跟假兩個可能性 那三個命題的話 它就會是二的三次方 總共會有八種情況 因此我們在寫的時候 請依據這樣的順序來寫 因為我們會希望各位按照順序來寫 比較不會有一些麻煩 第一個我們先把 8 除以 2 8 除以 2 等於 4 對不對 所以我們先在 P 的地方寫四個真四個假 然後再除以 2 4 再除以 2 就是 2 所以在 Q 的地方就是兩個真兩個假 兩個真兩個假 那 R 我們再除以 2 所以就是一個真一個假 這樣寫的好處是什麼呢 就是保證各位不會有漏掉任何一個可能情況 那以前曾經有同學 隨自己的方式這樣寫 那我們後來都發現說好像 他自己重複了某些情況 或者漏掉了 miss 掉某些情況 沒有注意到 所以為了預防這樣的情況 我們會建議各位一定要 按照這樣的方式來寫 那如果我們可以順利舉行執筆考試的話 我們也會要求各位同學要 照這樣的方式來寫 那接下來我們來看一下 這個 P 若 P 則 Q 若 P 則 Q 是 以 P 作為前件 然後 Q 當後件對不對 所以只有在前真後假的時候為假 那各位會發現在什麼時候 這個 P 為真 Q 為假呢 當然是在第三個情況跟 第四個情況的時候各位會發現 它是前真後假 P 為真 Q 為假 其他情況呢 因為都沒有出現前真後假的情況 所以我們都把它寫上真 所以各位會發現 其他情況呢 我們都可以寫上這個真 那接下來我們來看第二個句子 第二個句子是 Q 則 R 那 Q 則 R 是以 Q 作為前件 R 作為後件 那各位也一樣去找找看 前真後假的情況在哪裡 各位稍微找一下 你會發現在第幾個情況呢 應該是在第二個情況 還有第六個情況 第二個情況是前真後假 第六個情況也是前真後假 所以我們會得到 這兩個情況為假的語意值 接下來其他情況呢 因為都不是前真後假 所以它都為真 接下來我們來看最後一個句子 是 P and negation R 那 P and negation R 呢 我們當然用連接詞強度來看 我們當然從 negation R 開始對不對 那 R 的真假值是 真假真假真假真假對不對 所以 negation R 當然就是 假真假真假真 那完成了 negation R 的真假值之後 接下來是要處理 and 這個二元連接詞對不對 那這個二元連接詞呢 它是用 P 跟 negation R 來做的 所以來做運算的 當我們在做運算的時候 就是用 P 跟 negation R 做運算 那根據 and 的這個語意值 告訴我們是什麼 就是隻有兩個都為真的時候才為真 那各位可以觀察一下 哪一個是兩個都為真呢 各位發現 在第二個情況跟第四個情況 是兩個都為真 所以我們可以 第二個情況跟第四個情況給它證 其他情況呢 因為沒有兩個都為真 所以其他情況都為假 所以各位把它完成之後 會看到這樣的真值表 你會發現紅色的部分就是 這三個句子最後的真假值的結果 那我們來看看 有沒有全部都為真的情況 各位發現 從第一個情況到最後一個情況呢 你都不會發現全部為真的情況 你看第一個情況是 真真假 第二個情況是真假真 第三個情況是假真假 第四個情況是假真真 第五個情況是真真假 第六個情況是真假假 第七個情況是真真假 第八個情況是真真假 所以沒有全部為真的情況 表示這三個句子彼此之間是不一致的 它是 inconsistent 表示說這三個句子放在一起 其實是互相矛盾的 如果用各位比較習慣的話來講 就是這三個句子其實就是會產生矛盾 如果這三句話呢 意思就是這三句話不可能同時為真 或者你想要講說 這三句話不可能同時成立 也都可以 那接下來我們來看看 什麼是一致呢 剛剛學過不一致之後 一致就變得很簡單了 什麼意思就是 我們如果任意一個句式集合 如果它是一致的 那我們一定可以找到某一個情況 使得所有的句子都為真 那這個記號我們可以把它寫成這個樣子 Gamma 後面的 double 乘以實在 畫一條斜線 這個畫斜線的意思呢 通常它的意思就是告訴你說 它不會導出任何句子 換言之它是裡面是沒有矛盾的 所以這個我們先念成 Gamma is consistent 就是 Gamma 是一致的 這個我們會這樣讀 那我們的計算方式跟剛剛是 計算不一致是一樣的 一樣我們把所有的句子列出來 那麼如果 列出來之後我們發現說 至少只要有一個情況 只要有一個情況就好 不用很多隻要有一個 如果存在有一個情況使得 剛剛這些 Gamma 裡面的 所有句子都是真的 那就表示什麼 那就表示說它是一致的 所以我們來看底下這個範例 各位看到這個範例呢 我們有三個句子對不對 是 P or Q Q or R P 則 negation R 我們有三個句子對不對 那一樣我們把三個句子 用這個表列出來 各位發現 第一個 P or Q or 的語意當然是 只有兩個都為假才為假對不對 所以各位發現它一定是在 第七個情況跟第八個情況呢 為假對不對 然後其他情況呢 應該都是為真的 因為要兩個都為假才為假 所以各位能夠很快的完成 P or Q 的真假值 接下來 Q or R 一樣 各位可以仔細找一下 哪一個情況兩個都為假呢 各位會發現是在 第四個情況跟第八個情況 是兩個都為假 所以其他情況應該都為真 接下來我們來看最後一個語句 最後一個句子是 若 P 則 negation R 如果若 P 則 negation R 的話 我們一樣從 negation 開始 因為 negation R 的連接詞強度比較強 所以我們應該從 negation R 開始 那 negation R 它是什麼呢 它是跟 R 是相反的 所以如果 R 為真的情況 它就應該為假 如果 R 為假的情況呢 它就應該為真 所以它最後的結果應該是 假真假真假真假真 各位很快的可以把它做完 接下來我們來看 conditional 若 P 則 negation R 這個 這個若 P 則 negation R 這個呢 當然是要前真後假的情況為 那各位看 P 作為前件 各位注意回到這裡 P 作為前件 這個 negation R 作為後件 各位去找找看 有沒有前真後假呢 有 在哪裡呢 在第一個情況跟第三個情況 第一個情況跟第三個情況是為假 其他情況應該都為真 所以我們很快的可以把它完成 就只有第二個情況跟第四個情況為假 其他情況都為真 那完成之後一樣 各位仔細看 紅色的部分就是我們最後得到的結果 大家觀察一下 有沒有全部為真的情況 當然有對不對 第二個就是了 還有第五個第六個都是全部為真的情況 所以至少它出現了一個全部為真的情況 表示這三個語句彼此是一致的 也就是說這三個句子可以同時為真 那我們就說這三個句子是一致的 也就是說這三個句子彼此之間是 consistent 因此我們就知道說 一致跟不一致是一群句式的關係 那我們的第四單元就會到這裡結束