🔯最新課綱🔯 九下數學 ~ 二次函數的歷屆試題(2)

歡迎收看數學很簡單,我是張老師 今天我們要上的是九年級國三的數學 目前進度講的是二次函數的歷屆試題 題目的量還算多 所以我們在安排上的節奏會比較快一些 我們看一下在講義的第五十四頁 五十四頁這題它算是簡單 算是一個比較早期的題型 算是比較基礎 它怎麼說呢?它這樣問 它說使用配方法 把這個二次函數 y等於負2x² 加4x加6 它說把它劃成 劃成就配成 配成a貝德瓜 x加h的平方再加k 那要求a加h加k的值 所以很明顯這裡是個標準送分題 同學經過這段訓練 這種題目都沒問題的 那要怎麼做呢? 從這邊這樣接下來 它會變成y等於 二倍提出來 跟著負2 它是負2嘛 負2提出來 負2提出來呢 括號裡面放什麼 你要這樣想 你提負2是除以負2 那除負2之後呢 這個除負2變x2次 這個除以負2要變號 變成-2x 空格保留 把這6移到後面去 但是不用變號 知道嗎 它是位置往後移而已 好再來 這裡要擺什麼 擺這個值 一半二次方 它的一半是1 所以你要加上1的二次方 1二次還是1 1乘到負2 變成了多減2 多減2後面怎麼樣 補回來 這裡要寫個加2 所以它這邊這樣寫 然後這個結果 負2括號x減1的平方 加6加2就加8 所以我們的a是誰 這個a指的是這個負2 這個負2 這a的位置 h呢是這個位置 h就是負1 那麼k k就是8 加k加8 它是問說a加h加k的值 那就是負2加負1加8 那答案就5 所以選的就是a 這是第九題 算簡單了 來我們看下一題 來我們看第十題 這裡就出了相對的 很友善 它為什麼 它說呢 這個二次函數 它的頂點坐標是多少 那頂點坐標怎麼樣 把x用0代 用0代之後答案就-4 所以答案選它 選的就是c 那我猜這題目應該是 比較早期的歷屆的 基本學理測驗題型 才會這樣出 現在會考不會這樣出的 這樣出會給人家笑 應該不會這樣出的 來我們看第十一題 十一題打星號 這裡是很棒的一題 好它題目是問說 在坐標平面上 移動這個二次函數 的圖形 使得它跟x軸相交於兩點 這兩點的距離 剛好是一單位長 那移動方式怎麼移動 這題目怎麼這樣出 那麼奇怪 它是說呢 在移動完之後 跟x軸的交點 它是一單位長 你這樣想 如果這是x軸 那y軸我不畫了 這二次函數 它的開口是朝上 朝上的時候 你看它這樣子拋 這樣拋弧線的時候 它是說 跟x軸的交點 這兩個交點的距離 就是一單位長 x軸的交點 等於是x軸的 跟它的一個解 就是y等於零的時候 的一個解 這個解 解出來之後 這兩個答案 它說距離是一單位長 也代表說 這兩個應該是個連續的整數 再看題目本身 你會發現 175 176 剛好就是連續整數 換句話說 我把這6弄掉就好了 這6如果不要 是要減6 減6表示要把這二次函數 往下拉6格 往下拉6格之後 往下平移6格 往下平移6單位長之後 這個6就不見了 不見之後 它跟這個x軸 y等於零的一個 y等於零的方程式的解 它解出來 x答案就是175跟176 那175跟176怎麼樣 剛好差一單位長 所以答案怎麼樣 把這二次函數 往下平移6格 所以答案選的是珠瓦 往下移6格之後 這個常數6不見 6不見之後 這個方程式的解 讓它等於零之後 它的解就是175跟176 所以這兩個點 一個是175 一個是176 相距一單位長 所以答案選的是 往下移6格 答案選的是珠 這是第11題 這樣有沒有問題 ok 好看那個第12題 我把這個擦掉 第12題 它說哪一個二次函數 跟x軸的交點 會有兩個 通常這種題目出現的時候 可以畫圖就畫圖 因為比較快 我們看一下這四個選項 只有一個珠可以畫圖 其他都很難畫 其他你要配方法 配過纔能夠畫 如果珠要畫圖怎麼畫 什麼意思呢 它的頂點在y軸上 如果頂點在y軸上的話 而且是正的 在這邊 開口在朝上 哇 這個沒交點 所以珠就取消掉 沒有珠了 反正它會問說 是哪一個圖形 跟x軸會有兩個交點 那我們只好用算的 那要怎麼算呢 就直接算那個判別式 判別式就是說 它是b平方減掉4ac 上次我有說過 所謂跟x軸會有交點 因為x軸的方程式 我剛剛有講過 它就是y等於0 所以x軸的方程式 是y等於0 y等於0什麼意思呢 yo0代 你yo0代的時候怎麼樣 是解這個一元二次方程式 那有沒有解看什麼 就看這個東西了 看判別式 b平方減4ac 只要判別式 因為我們的公式解 這樣解的 x等於2a分之-b 加減根號 b平方減4ac 有沒有 根號裡面這個東西 我們就稱之為判別式 如果這個比0小 無解 沒有交點 如果這剛好是0 重跟 剛好跟x軸交於一點 如果這個比0大 有相依兩個解 它就會有兩個交點 所以你要找那個 會有交點兩個的 就要找這個怎麼樣 要大於0 所以每個我們都代一次 每個都去算一下 看它的判別式 有沒有比0大 那我們從a開始 這個是a 這是b 這是c 所以a是-1 b是2 c是-5 所以它的公式解 這樣代 大足等於 這個2平方是4 減掉4ac 4乘-1乘-5 減掉4倍的-1跟-5 這樣乘出來之後 有沒有大於0 那負負負三顆負還是負的 所以45是20 它是4減20 -16 比0小 少於0 它最後結果變成是-16 那反而是少於0 不行了 我們要大於0 所以a也沒了 換b 一樣算它判別式 大足等於 b平方減4ac 這個b是-8 8平方是64 減掉4ac 減掉4 乘-2 乘上-11 結果你看喔 三個負的還是負的 428 8乘11是88 它會變成64-88 你也不用算了 一定比0小 這個又不是 換下一個 剩它有機會了 那我們說 大足會等於 b平方減4ac 這個b是-6 -6的二次方變正36 36 減掉4乘a a是3 乘上c 這c是1 結果呢 43是不是12 36減12 24 24怎麼樣 大於0 所以只有這個 它跟x 會有兩個交點 所以答案選擇是c 這樣有沒有問題 這是第12題 再來看那個 第55頁的第13題 這裡也很棒 它也是 不需要特別算 但是要稍微想一下 來13題 看有沒有圖 它沒有圖 沒有圖 我先把題目燒一下 它說 二次函數y 等於1二分之1 x平方 通過ab兩點 然後呢 這ab兩點 的x座標 分別是24 然後是y軸 a座y軸的平行線 b座a座的平行線 相較於c點 求c的座標 抽上來 看那個 第55頁第13題 它題目這樣說的 它說呢 在座標平面上 這二次函數是這個 y等於2分之x平方 好像還蠻簡單的 這圖形算簡單 然後呢 它說圖形通過ab兩點 那這a座標呢 ab兩點 它們的a座標分別是2跟4 它說自a座y軸的平行線 然後過b座a座的平行線 它相較於c點 然後求c的座標 其實你會很抽象 因為沒有圖啊 所以沒有圖我們就自己來 自己畫 簡單畫啦 不要畫太複雜 這邊是a軸 然後這個是y軸 那你看喔 這二次函數的頂點 就是原點 00 x用0代 y也是0 所以頂點在這裡 好再來呢 開口是朝哪邊 朝上 所以我們要簡單畫一下就好 就簡單畫 好那大家看個感覺 好它的a座標跟b座標的x 分別是2跟4 你要怎麼表達出來 這是原點嘛 這是一單位長 2 3 4 2往上對是這一點 這個就是a啦 這個往上對呢 這個是b 所以這個是2嘛 這個是4 對不對 它是2什麼4什麼嘛 然後是這樣子喔 好 那它要求的是那個c座標 c座標怎麼來的 c座標它是說呢 它是做a點 過a點 是a點 做y軸平行線 這個是a啊 做y軸的平行 就這樣畫下來 這樣畫 然後呢 再來是過b點 做a軸的平行線 所以變成這樣畫 這樣畫之後呢 這焦點呢 就是c座標 對不對 所以看到c座標 有一個你不用算的 c的x往下看 看到2 所以這邊答案就2啦 對不對 y座標你要算一下 它的y座標跟b點y座標是一樣的 所以我要求b的y座標 那b的y座標怎麼做呢 這邊 把這算出來就好了 所以x用4代入 好 x用4代進來去算 那就y等於2分之1 乘上4的2次方 因為x用4去代 4是16 16乘2分之1 答案是8 所以這個點座標是28 好 是b的這個座標是48 這個是8 是48 而這個y座標是8 c座標怎麼樣 這也是8 因為它們y座標是一樣的 所以c座標的答案 就是2跟8 所以答案選這一個 選的是a 這是第13題 這樣沒問題吧 好 翻過來我們看到一個56頁 第14題 好來 14的這一題 它就說呢 這跟我們的理化有點相關 但是它把它改為數學題了 它說呢 向上發生一枚砲彈 經過x秒之後呢 它的高度是y公尺 它說呢 已知時間跟高度的關係 它是 y 等於ax平方 加bx 後面就沒了 沒有了耶 然後呢 它說呢 這砲彈在第7秒跟第14秒 的高度相等 那個秒是x 它說x秒之後 的高度是y公尺 y公尺 那它又發現呢 它在第7秒的時候 第7秒 跟第14秒 這兩個高度會相同 它問你說 下列選項呢 哪一個時間的高度是最高的 其實這一題 看起來好像很抽象 但是你想一想 還蠻簡單的 它的砲彈的發射 砲彈發射有沒有 會這樣發射嗎 從這邊發射 然後往下降上來 不會嘛 所以砲彈發射怎麼樣 它是這樣子 發射之後就這樣回來 就會落到地面去 它題目是說呢 在第7跟第14秒的時候 高度會相同 我們這個砲物線呢 它是個對稱的 所以這邊如果 拉一條虛線下來之後 它對稱嘛 左右對稱 你說第7秒 這邊好了 第7秒 這樣對過來是第7秒 還有第14秒 高度相同 這樣對下來 第14秒是高度相同 那中間第幾秒 相加除2 對不對 所以7加14 相加除2的時候 它的最高點 落在這個時候 這個時候第幾秒 我就把那個 7加14 21除2 10.5秒 所以10.5秒的時候 它會到達到最高點 然後又落下來 因為它是一個 線對稱圖形嘛 這樣看就沒有錯了 所以越靠近10.5秒 它的高度就越高 所以答案挑哪一個 挑最靠近它的啊 答案選B 它是第10秒 只有這個秒數 離10.5秒最接近 所以它的高度會比較高 但10.5秒是最高的時候 就這樣子而已喔 所以是第14題喔 算簡單對不對 好看那個第15題 56頁的第15題 它題目是問什麼 15題它題目是說 它說下一哪一個函數呢 它的圖形跟A軸 會有兩個焦點 你要找說圖形跟A軸 會有兩個焦點 它就這樣子出題的時候 當然是畫圖 對不對 一定要畫圖喔 畫圖的時候呢 我們先把頂點 依序找出來 像A的頂點呢 就是負832274 那B的這個選項的頂點 它就是83 還有呢2274 那這個C的頂點呢 一樣是83 那這個是負的2274 數字都很大 這個呢它是負83 還有呢2274 剩的2274 是嗎 看一下有沒有抄錯 沒出來喔 那它是要找說呢 這圖形跟A軸的焦點 老師剛剛說畫圖 對是畫圖沒有錯 好畫圖的時候我們怎麼樣 當然準備 準備一下畫這裡 畫不太像 我就畫一下 這是A座標 這是Y座標 分為四個象限對不對 我跟你講 你就畫象限就好了 你不要畫那麼仔細 就大概畫一下 像這個A的話呢 它是負正 負正在哪邊 負正在第二象限 你就隨便打一點 第二象限 開口向上 這樣畫了 沒焦點 馬上就換B啦 那B的話呢 它是正正 在第一象限隨便抓一點 開口向上 哇 這也是沒焦點對不對 再換 換下一個 C選項的話呢 它是正負 正正 負正 負負 正負 第四象限 開口向下 哇 這樣畫 又沒焦點了 剩最後一個了 豬選項的 負正 正正負正 負正是在第二象限 隨便打一點 然後呢 開口怎麼樣 向下 欸 向下有了啊 只有它兩個焦點 我們把那A座再延伸下去 欸 有兩個焦點沒錯吧 所以答案選的是豬 那這是第十五題喔 用圖解來去作答 這樣會比較快 你不是要猜括號字嗎 猜括號再解那個判別式 那就瘋掉了喔 不是這樣做的喔 我們畫圖來求解 這第十五題 好 看那個第十六題 好啦 我題目寫的同學都在笑了 來 這十六題啊 它就是說喔 它這二三還說呢 它說叫你把配方法 整理完變這個 然後求它 H 加 K 那這題目我已經做得不下百題了 大家都很熟悉了喔 來 怎麼做呢 把這個呢 先提負二 我剛剛說也很熟悉 是因為我們剛好有個題目 也跟它也差不多 也都提負二的喔 提負二之後呢 變成了 X 二次 就這個除負二喔 十二 X 除以負二 會變成負六 X 那個一不用理它 放後面就好 寫個加一喔 不理它不是不寫 要寫後面去啊 好 再來呢 這邊要放什麼 加這個值 一半二次方 一半是三喔 那你要加三的二次方 你要想喔 這是你另外多寫的 它三平方變九 結果九又乘到負二 變成減十八 多減十八 後面補回來 加十八 記得喔 你多減它把它補回來 所以變成負二的括號 X 減三的平方 加一加十八就加十九啦 所以它 HK 是誰啊 H 就是我們現在寫的這一個喔 H 喔 這個這個 有沒有 負三 H 負三 K 這個 十九啊 所以負三加十九 答案是十六喔 所以選擇就是 A 這是第十六題喔 這樣有沒有問題 OK喔 好 看那個第十七題 十七很棒耶 打星號 這裡 這裡不錯耶 打星號起來 在那個獎勵五十七的第十七 它說呢 在座標平面上呢 有三個方程式 其中呢 第一個呢 是 Y 的二十四平方減九 它說呢 跟 X 的交點 就是 A 跟 A' 那等一下它比較 A 跟 A' 的距離 所以我把它這樣畫一條線了喔 那再來這個方程式呢 是這一個 它跟 X 的交點 是 Bb' 這是另外一個二次函數 它跟 X 的交點是 Cc' 它要比較什麼呢 比較說喔 A' Bb' Cc' 它的大小關係喔 我們先看這個三個二次函數 你有沒有注意到 注意到什麼 好像寫錯一個字 對啊 這個漏寫了 給它加負號 首先喔 它的開口方向不大一樣 方向不一樣是說 這個兩個都是朝上的 只有它是朝下 就朝上跟朝下的差異 好 再來第二個問題喔 這三個的開口大小 是相同的 方向不同 但大小相同 這個是二 所以大小一樣 那它正式要問什麼 問說 它跟 X 的交點情況 我大概這樣畫一下好了 我這樣畫完 大家同學大概知道怎麼回答了 這是 X 座標 然後這是 Y 座標 如果開口大小一樣 它跟 X 座標的交點 同學你這樣看喔 這是一個二次函數 然後呢 這又是另外一個二次函數 對不對 然後我再畫另外一個 這是又是一個二次函數 再畫一個 我隨便亂畫的 假設呢 這三個開口都一樣 開口大小都一樣 你說這藍色比較大 其實不是啦 你把它稍微縮小 這樣減半這樣看的時候 開口是一樣的 只有這沒有畫完 它的開口大小是一樣 好 藍色比較大 不管它 開口大小是一樣的 那我問你喔 跟 X 座標的交點誰比較大 藍色的比較大 為什麼 因為它這個頂點離 X 座標比較遠 橘色的比較小 為什麼 因為它的頂點離 X 座標比較近 換句話說呢 當開口大小一樣的時候 你不用管方向 你看那個跟 X 座標的距離喔 越近的開口就越小 越遠的開口就越大 所以這三個呢 怎麼看 看這個數字 負九 負八 跟正五 九的距離比較遠 所以它是 就像這個藍色的 距離比較遠 所以它跟 X 座標的交點怎麼樣 就會比較大 那這個加五的 它跟 X 座標距離比較近 所以這個開口 X 座標的交點 就會比較小 所以從大排到小 剛好是 AA 盤 大於 BB 盤 大於 CC 盤 所以從大排到小 答案選這個 答案選的是豬 這是第十七理喔 這樣懂不懂 因為它的開口大小都相同 只是方向不一樣 然後這是拉近拉遠的問題 所以離 X 走越近的 它那個交點的距離就越小 離 X 走越遠的 它這個交點就會比較長 所以我們用這方式來判斷 這個大小關係 這是第十七題喔 好 看那個第十八題 我們看一下 這是五十八頁的第十八題喔 它說如附圖呢 在桌面上有個透明片 我現在沒有這樣畫了 它本來是這個位置 然後有一個拋物線跟 P 點 它把這個圖形呢 透明片呢 它往右往上移動之後呢 它的頂點從 00 跑到 72 去 我問你說 這個時候它的 P 座標 會跟著一起動嗎 所以 P 會從這邊跑到這邊來 那 P 座標答案是多少 對不對 好不好回答 很好回答吧 它的頂點本來是 00 的 對不對 因為跑到 72 去了 怎麼跑的 往右 7 個 往上 2 個 沒有 往右 7 個 往上 2 單位長 那你 P 座標是不是一樣比照辦理 當然是啊 所以 P 座標怎麼樣 也是往右 7 個 往上 2 個 往右 7 個 21 加 7 對不對 往上 2 個 Y 座標還加 2 4 加 2 所以這個新的 P 座標 叫做 9 跟 6 結束啦 所以答案選的是 B 這題你知道有概念的時候 發現滿簡單的 不難對不對 好 看那個第 19 題 它題目說 這個小梅將一個化油 一個泡霧線的一個透明片 放在座標平面上 泡霧線的頂點 跟這個 23 是重合的 開口向上 這時候它說 這個泡霧線 它的方程式 就叫做 Y 等於 然後呢 如附圖 1 就這個圖 它把這個透明片呢 整個反轉 就是整個從上往下反轉 所以紅色的往下 直接反轉 變成紫色的這一個 它的開口向下 但頂點沒有變 它說那這樣子 新的二次函數 你要選哪一個 如果這個只是 把它反轉往下 頂點沒有變 開口由上而下 把前面加負號就好了 結束了 所以Y就等於 負的括號 負的兩倍 括號 X-2 的平方再加3 答案選它 那答案就選A 理由為什麼會這樣選 是因為 它從這樣子 直接反轉下來 前面加負號就可以了 這樣知道嗎 因為它頂點沒有改 開口大小沒有變 只是方向有變 從朝上的邊朝下 所以這邊加負號就好了 第十九題 答案選A 好那我們今天上到這裡 下一題我們就禮拜五 再來做解說 好今天講到這邊 拜拜