九上數學 33 點、直線、圓的位置關係(1)：切線性質與切點、弦心距的祕密、講義第 1-2 頁｜何肇忠老師(最新課綱)

歡迎收看數學很簡單,我是張老師 今天晚上我們要教的是九年級國三德數學 目前的進度講的是原德性質 原德性質的話,這邊的課程在舊課綱的時候很豐富 到了新課綱的時候有一些微調跟調整 所以要把那些公切線、外公切線、內公切線等等的題目都刪光光 包含什麼原內密德性質 包含像之後什麼前切角、原外角、原內角 你可能都沒聽過,但是沒有關係 因為這個東西以後都不會考了 所以現在變成有些單元是老師可以不教 學生可不學 斷考不該出,會考也不會考 所以我們那些課程就先不去上它 等到最後的時候我們時間有多餘的話 我們再來安排做一些補充 那我們看在講義的第一頁 它要介紹的是 本來這個是很完整的要介紹說 它是點跟圓的未知關係 過來就是線跟圓的未知關係 再來是圓跟圓的未知關係 結果,圓跟圓的被刪掉了 所以我們現在變得簡單很多 那我們就可以輕鬆的把它學好了 好,第一個我們先看那個點跟圓的未知關係 我先把圖先畫下來 什麼叫做點跟圓的未知關係 調整一下 我在黑板這邊先畫一個圓 因為我們那個黑板有做一些複製 所以版面上面可能就受限了 這個圓呢,圓心寫個O 同學要注意一下喔 圓心寫個O,它叫做圓O 什麼意思呢?圓O就表示這個圓 這樣知道嗎? 如果圓心寫的A,它叫圓A 圓A不是這個點啦,是這個圓 這樣懂意思嗎? 就跟我們說那個三角形一樣 這個三角形的名稱呢 可以命名叫ABC 叫做三角形ABC 或注意F,你這個要取英文名嘛 那圓也是一樣 圓的命名看圓心 圓心寫什麼英文字母,它就是誰 那圓心寫個O,所以這是圓O 通常O也是圓心的代號 圓心代號通常是給O比較多 然後呢,我們這邊給它三個點 這個是A點 然後呢,這個是C點 這個是B點 那習慣上呢,我們都會假設 這圓的半徑呢,它叫做R 半徑知道吧 半徑就是圓心到圓周的直線距離 它的半徑一般就設為是R 所以半徑我寫R,我寫小R 好,這個時候呢 我們在講一個定義 它這A點很明顯 它在哪邊? 它在圓內 所以A點的位置 它的位置在圓的裡面 叫圓內 好,在圓內的時候呢 你會發現 這個時候A到圓心的距離 我們叫OA 就是OA指的是 圓心到A的距離 是OA OA的長度你會發現比什麼小? 比半徑小 換句話說 只要這個點到圓心的距離 比半徑小 這個點它一定發生在圓內 圓的內部叫圓內 我剛剛發現這個沒有閃耶 我把它調一下 這樣閃一下比較有氣氛 閃太快了 好 好,我剛剛說的 那個點在圓的內部 叫圓內 好,這個時候我們再看B的位置 這B的位置呢 你會發現 只要跑出去的 跑出去的時候呢 我們會說 這個B的位置 它在圓的外面 叫圓外 這個圓外不是很有錢的圓外 古時候有錢的叫圓外 不是啦 它在圓的外面叫圓外 然後之後你會發現 圓心O到B的距離 怎麼樣 比半徑還大 因為半徑就到這裡 它比半徑還要長 所以OB會大於R R就是半徑 最後一個呢 就是C座標 C很特殊 這個C的話呢 你會發現 它就在哪邊 在圓的圓週上 因為在圓的圓週上 所以我們會說 C在圓上 所以這個圓上你要注意 這個圓上不是圓的上面 像A這樣子 不是啦 有同學誤解說 這個A叫圓上 不是 我們說圓上是說 漏一個字 叫圓週上 那個周被省略掉 不寫了 所以圓上是圓週上 這個時候呢 你會發現 圓心到C的距離 它就跟半徑會一樣長 所以OC會等於R 以上這邊介紹的是 點跟圓的位置關係 很簡單很容易學 請你把它注意一下 一些定義的部分 只要點跟圓 圓心的距離 比半徑小 它就在圓內 如果點到圓的距離 它比半徑還要長 它在圓外 如果這個點到圓的距離 到圓心的距離 跟半徑就一樣了 表示說這個點在圓上 這圓上指的是圓週上 這一圈圈上面 這邊有沒有問題 這邊指的是 點跟圓的位置關係 很簡單 這邊帶過就好了 接著我們看下一個 下一個我們要講的是 線跟圓的位置關係 就是直線跟圓的位置關係 那在講義上面的話 我給了三個圖 可是在黑板這邊 為了方便解說 我把三個圖合在一起 變一個圖 所以等一下你們自己在 如果有講義的話 你搭配看的時候 注意一下 老師把這三個圖 合併在一起了 一樣這是圓 圓的名稱 圓心我給它O 它叫做圓O 然後這邊畫了三條線 第一條線 它叫做L1 L1它跟圓心畫 這邊的垂直地方 給它一個代號 叫做P座標 所以這個是P P座標 另外我們再畫一條線 這條線它很特殊 我們現在都畫跟L1平行的 它跟這個圓 就碰到一點而已 碰到一點之後就離開了 就碰到這一點 這一點 然後呢 這個叫L2 另外一條線 第三條線 一樣畫平行的 但是它遠離這個圓 它的代號叫L3 那一樣 我們從圓心對它做垂線 垂線我畫一下 不然感覺沒有垂線 垂直 畫垂線 這邊有垂直 這裡有垂直 那這點座標呢 叫做R 這個點座標剛剛沒有給到 這叫做Q Q 我們看那三條線 這三條線很特殊 其中呢 這第一條線呢 它L1這條線 它跟這個圓呢 它相交於兩點 它是相交 相交不是那個banana 相交是說L1跟圓O 它碰到兩點 叫做相交 完整叫做相交於兩點 相交於兩點 那這個時候呢 這個L1呢 它有個名稱 它把這圓分割成兩部分 它叫做割線 割線就是說 它把這個圓分割了 分割成兩部分 它叫做割線 這樣有沒有問題 所以L1是一條割線 它把這圓分成兩部分 然後我們的講義呢 它有一個比較長的空格 你要寫什麼東西 你要寫這個 這個時候你會發現 圓心到P的距離 是OP OP的長度 你會發現比半徑還要小 對比半徑小 叫做小於R 你記錄這一個 所以L1跟圓O 相交於兩點 然後O到P的距離 會比半徑還要小 小於R L2很特殊 它這個點 它這條線跟這個圓 只碰到這一點 就這樣切過去 那切過去的時候 這Q它有個專有名稱 它叫做切點 這Q剛好碰到這一點 它就稱之為切點 因此這條線 它的名稱就叫做 切線 我們現在有時候上禮拜會上到什麼 叫切線 現在才正式介紹它 這個叫切線 可是這條線它跟圓就碰到一點而已 這樣知道嗎 只碰到這一點 這L2它是一條切線 這個時候它跟這個圓 它只相交於一點 它就碰到一點 就相交於一點 而且你會發現 這個時候 圓心到Q的距離 OQ跟什麼一樣長 就跟半徑會一樣長 就等於R 所以圓心到Q的距離 就是 圓心到Q的距離就是半徑 代表說這個點就是切點 所以當切線發生的時候 就會有切點 切點就在圓周 所以切點到圓心的距離 就是半徑 在L3 這個線 這個線你會發現 它跟圓一點關係都沒有 這沒有關係的線 不要說沒關係的線 它沒有名稱 只要跟你說它不相交 它跟這個圓就不相交 不相交 那不相交的時候就代表說 圓心到R的距離 圓心到這個線的距離 就是圓心到R的距離 它會比半徑還要大 超過半徑的 所以圓心到這個線的距離 超過半徑的這個線就會在 圓的外面 就是外面的線 Line in 就是在外面 這邊有問題 這邊講的是線跟 圓的位置關係 基本上它會判別一下說 它這個線跟圓會有什麼關係 在後面的題目我們上段 我們再來解說 這邊先簡單的帶過 因為這也不是那麼重要 聽過有概念就好了 那比較重要的是這個 叫切線 切線要記得一下 還有割線的名稱稍微記一下 割線是說把圓分割成兩部分 它叫做割線 把它切割 分成兩部分 再來我們看下一個 下一個我們要講的是 切線性質 那切線性質是一個大重點 同學要打五顆星 這個東西超級重要 很多題目從這邊考 尤其我們這個單元都三的差不多之後 剩下的重點也就不多了 所以就更凸顯出來 這個切線性質 會變得非常的重要 它題目會變得比較多 因為這個東西它比較富有變化性 好我們看下那個主題三 講的是切線 什麼叫切線呢 你在講義上面看到這個圓 它是黃色的 跟顏色也沒關係 我們這邊圓心一樣標出來 你自己找圓心寫個O 它叫圓O 圓O的外面隨便打一點 這點我們就打這裡好了 這叫做P 就是P點P就圓歪一點 就是P 這個時候我們這個P 就跟圓做切線 只要做切線 就是說你用尺去量 然後跟這個圓剛好碰到一點 用尺去畫 我現在老是無尺 我們就用手畫好了 就碰過去 這稱之為切點 這也是一樣就畫下來 畫下來之後碰到這一點 碰到這一點 這一點也是稱之為切點 我們把這個上下兩個切點 給它名稱 叫做A跟B 所以A是切點 B也是切點 那A、B都稱之為切點 還記得齁 切點 然後呢 切點發生的時候呢 它跟圓心連起來 一定會垂直 跟圓心要怎麼連 就是直接連直線 連起來之後呢 這邊會垂直 一定會垂直 切點跟圓心連一定會垂直 連完之後呢 你看喔 這個時候呢我們再把OP連起來 OP連起來是說我要做個簡單的證明 證明什麼東西呢 證明說呢 這兩個三角形全等 PAO 全等PBO 三角形的PAO 我們簡單證 會全等三角形 的PBO 為什麼會全等呢 我寫後面 你看喔 半徑有沒有一樣長 有啊半徑一樣長 做記號 再加上OP OP是共用邊 有沒有 PAO有OP PBO有OP 共用邊 再加上一個 直角對直角 所以怎麼樣 你看喔 不要寫SSA喔不是SSA喔 當你發現兩個三角形 又是一股一斜邊一股一斜邊 對應相等的時候沒錯 它叫做RHS RHS全等 所以它會全等 那全等完之後重點出來了啊 所以怎麼樣 所以PA等於PB PA就等於PB 它是告訴你說 只要圓外面隨便找一點 它做的切線段之後呢 這兩段會一樣長 就稱之為 切線段等長 這可以背下來 切線段不用背沒關係 意思懂就好 PA等於PB就稱之為 切線段等長 這很重要喔 再說一次喔這叫切線段等長 所以PA一定等於PB PAPB一定會一樣長 而且A跟B跟原心連一定會垂直 這是切線性質的一些部分 部分的重點 這邊有沒有問題 OK喔 好了之後旁邊空白的地方我們再畫一個圖 因為還有一個東西我要稍微講一下 不要講了後面再來補充 反正講到時候 你再回來這邊做補充 你再把它寫到第一頁來 那這邊指的是那個 切線段等長 就是圓外一點做切線的時候 切線段會等長 它的應用非常特別喔 等一下我們一些很特殊的題目看到之後 跟你講就這樣用 超級好算的喔 叫切線段等長 再來下一個喔 我們要翻到第二頁 第二頁我們要講的是這個 弦 一樣的喔這個單元呢 我們的星刻鋼的弦切角已經被 被out掉了 刪除掉了 所以很多題目啦 應該都不會再遇到 因為也不會考 不會考就不會遇到 那有些私立國中會教 會教那個 我們這個章節 有那個外弓切線內弓切線 如果你是讀私立國中 你有教的話那恭喜你 你就學到一些古老的技巧 那學到也沒有不好啦 學了就學了嘛就把它學起來就好了 那我這邊老師就不教了 因為我這邊是以星刻鋼的進度為主 反正會考不考 我們教的不能這樣講喔 考試不考就不學蠻奇怪的 後面我們有時間我再來做補充 不然我覺得這樣很尷尬 說考試不考我們就不教 老師哪可以這樣子 但是我們後面時間 充分的話有多餘的話 我再來安排一下 一些疏漏的一些 一些數學的課程 在以前舊課剛有 現在沒有的我來做個補充 那我們先以進度為主 看那個第二頁 我們要畫的是那個圓 圓的話呢 一樣啊 圓心代號就給O 我們就是一般來講 圓心就給O 給O之後接著 我們在這個圓上面呢 隨便畫兩條線 這條線你畫的時候 一長一短 就是這比較長 這個是 這比較短隨便你 就看你自己情況 這圓沒畫好 畫起來怪怪的 我剛那圓沒有畫正 要畫正圓 如果你有圓規最好了 如果沒有圓規的話五十塊硬幣畫個圓也可以 現在好看多了 這個是圓 圓心是O 然後呢 我們現在在圓週上隨便 拉兩個點 這個是比較長的 這是AB AB比較長 那AB的終點呢 就叫做M 另外呢 我們給它畫個比較短的 這邊 叫C珠 C珠的終點 給它代號叫N 這個時候呢 我們把這個 ON連起來 垂直 OM連起來垂直 我來介紹一下 其中我們剛畫的A跟B 都稱之為線 什麼叫線 圓週上這兩點的 直線連線 就稱之為線 所以這稱之為 AB的這條直線 它的名稱叫做 弦 AB弦比較長 C珠弦比較短 然後再來 O到M的這個長度 它有個非常美麗的名稱 同學都知道 它就稱之為弦心距 弦 弦到圓心的距離 就稱之為 弦心距 反正這個名字裡面有心就好聽 什麼什麼心 有心就好聽 弦心距 那你會發現 我們這兩個弦它有大小問題 你會發現 AB弦比較長 我剛畫比較長 C珠弦比較短 所以AB弦大於C珠弦 因為AB弦大於C珠弦 所以弦心距會顛倒過來 你弦越長的 弦心距越短 所以變成OM就比較短 那ON呢 就變得比較長 所以ON就會大於OM 就是OM小於ON 這跟你說弦心距的問題 所以你會發現 兩個弦 如果大小不一樣的時候 大的弦會對到 小的弦心距 小的弦 會對應到大的 比較長的弦心距 這應該可以理解 再來第二個很重要的 那如果弦都一樣長呢 太棒了 這個時候如果AB弦跟C珠弦 假設一樣長的話 等弦就會對到 等弦心距 抄下來 等弦 就是說一樣長的弦 等弦 相等的弦長 就會對 就會對到 等弦對等弦心距 都完全沒有 多的最詞 等弦會對到等弦心距 所以呢 你弦一樣長的 弦心距一樣長 弦心距如果一樣長的 弦就一樣長 所以等弦會對等弦心距 會不會很繞口啊 等弦對等弦心距 弦一樣長的 弦心距會相同 這邊OK嗎 OK吼 這邊講的是弦的問題 好那差不多了 我們可以看題目了 以前我們這個章節 還會在講那個什麼公切線 公切線我要畫很多條 亂七八糟 畫一個黑白畫不完 結果現在不教了 快樂吼 真的快樂很多 以前舊課光這個東西 我們就搞壞一節課 現在都不用了 有沒有覺得很幸福 蜘蛛掉下來 嚇死人 好我們看一下講義德第二頁 開始我們就來做題目 好那題目的話呢 這邊會口述一下 我們說明一下題目的東西 好看一下第一題 他說呢 平面上有一個圓歐 他這邊有圖 都是用文字來描述的 有個圓歐 半徑為十公分 我們簡單記錄一下 半徑十公分 他說有個P點 到這個圓心歐的距離是六 顧名思義就是圓心歐 到這個P的距離 他說長度是六 問你說這個P點在哪邊 在位於 什麼位置 很明顯答案怎麼寫 他就在哪裡 歐P 這P點比半徑小 在圓的裡面 圓裡面記得不要寫圓上 是圓內 所以答案第一個 要寫圓內 好下一題 就這樣子而已 就是很親切 看第二題 我先把題目描述一下 在一個平面上 以這圓歐的半徑 為六 P是圓歐內部一點 他已經跟你說P是圓內 第二題是跟你說P在圓內 他的P的位置已經鎖定了 他在圓內 然後呢 他知道這圓的半徑是六 怎麼跟第一題很像 不一樣 第二題是說這圓歐半徑是六 而且P在圓內 他說如果呢歐到P 的距離就是 T的話 那T的範圍你要怎麼寫 首先這T是一個什麼 T是說歐到P點的距離 這P在圓內 代表說圓心到P拉直線之後 那個長度就是T 那你會發現他有在圓內 在圓內的話代表說 他也不會在圓上 不會在圓週上 如果在圓週上的話 他的距離剛好就是半徑的六 所以不會就是比他小 連等號都沒有 那不能無限小會有負的問題 所以要大於誰 那這個P的位置呢 他在圓裡面跑來跑去 這是圓 然後這個是圓歐 這是P 你就想著P歐 跑來跑去 所以最遠最遠最遠 再怎麼遠都不會比六 所以就是在邊邊跑來跑去 那跑裡面去怎麼樣 最後越來越靠近圓心呢 有可能怎麼樣跟圓心會重疊 重疊的時候距離變零 所以他有可能是零 所以這T的這個長度歐 他是零小於等於T 小於六 這第二題歐 也是覺得簡單歐 好看那個第三題歐 好第三題歐 把這邊都擦掉 好第三題呢 他說呢平面上呢 有一點圓歐另外一點是K 那K歐 K歐勒 K歐的距離是 重來一次 他說是有個K點 然後K到歐 的距離就是五 可是圓的半徑是三 他說這樣子的話呢 K的位置在哪邊 很明顯來 你K到歐 圓心到歐的距離是五 五比半徑長耶 代表說K在哪邊 所以第一個回答 他回答很多問題耶 所以第一個我們先回答 他在圓外 這死人骨頭卡到我了 不太好寫字 好再來第二題歐 第二題呢他說呢 圓歐的 K到圓歐的最短距離 跟最長距離歐歐這個 極少了歐這個就沒有剛剛想那麼簡單了 你要畫圖歐圖自己畫一下 我們就簡單畫一個圖 這個是圓歐 這是圓歐他有說半徑是三 然後K在外面嘛 所以這個是K歐 K在這邊好了這是K K在這裡歐 所以你看歐 他說K歐距離是五 歐K嘛歐K距離是五 K歐距離是五 距離是五 其中半徑又是三 所以他第二題問你說 這個K到 圓歐的最短距離是多少 最短距離 K到歐的最短距離 他指的不是到圓心歐 你說K點到 圓歐的最短距離 這個最短距離 他怎麼發音的 K到圓歐的最短距離是到哪邊去 到底是到這裡 還是到這個圈圈上 答案是圈圈上 因為圓歐是指這個圈圈 不是這一點這一點是圓心 所以你說K到圓的最短距離 是要K到圓軸啊 到圓軸上那你最短距離怎麼樣 就是拉直線之後這邊會最短 多少五扣掉三 答案是二 所以他的最短距離 答案是二 還有問什麼呢 還有 第三個 問他的這個K 他到這個圓歐的最長距離是多少 最長跑哪去 你說K到最長到這邊 還不夠長 到這邊最長 拉一條直線 一條直線拉到底的時候 K到這邊最長 就是這個K點 到這個圓的最長距離是到這邊來 最長不是嗎 所以半徑是三 這邊是五不是嗎 這邊是五的話加個半徑三 因為半徑是三題目給了一次 所以五加到三答案就是八 所以這個K 他到圓歐的最短距離 是這一段答案是二 這K到圓歐的最長距離 是從這邊到這邊 他是五加三答案是八 這個是第三題 有沒有覺得還是很輕鬆愉快 真的都不難 這個單元都超簡單的 再來看第三頁 第四題 各位同學好 有陳佑跟子毅 你好 這邊OK 我們以前教的是國三 語言的部分 我知道學校已經上滿快了 學校進度上比較快 沒關係老師就盡量 把進度調整到 跟學校 盡量不要差 脫離太大 我們看 第三頁的第四題 這裡有個圖 我先把圖畫下來 把題目的意思描述一下 順便把 給了一些長度寫在圖上 第三說 如圖呢 四邊形的OABC中 OABC中 這四邊形 他說角A跟角C均為直角 這直角 然後OA長是24 OA長24 寫上去好了 另外呢AB長是7 這邊有寫 然後BC長是15 回答下面的問題 第一個要求OC長 OC長 這沒什麼大問題 你只要學過直角三角形 你有背過三邊比例關係 那四組 你自己抄下來 有三四五 五十二十三 七二四二五 八十五十七 這邊是二十五 二五之後呢 十五跟二十五 心悅分知道嗎 心悅分啦 五五二十五五三十五 這什麼比例 三比四比五的幾倍放大 三四五嘛 五三十五五二十五 五四二十 所以OC長是二十 第一個問你說OC有多長 當然OC是二十 再寫一下 第二個 如果 他現在以O點當圓心 這是圓心的位置 OA為半徑 OA 這是我半徑 OA是半徑畫圓 畫圓之後呢 這ABC三點分別在 圓內圓上或圓外 那這裡蠻單純的 他要看ABC ABC 你把OA當半徑 那A就在圓週上 你不是剛好半徑長嗎 所以A在圓上 圓上指的是圓週上 那B呢 B的話 再來是B OA長二十 O到B怎麼樣 超過二十 所以B在圓外 在圓的外面 那C呢 這邊是二四 雖然看起來像OC 不是要看啦 我們是以長度看數字 OA是二四 OC才二十而已 二十比二四還要小 所以C在哪邊 C在圓內 所以空哥你自己寫一下 分別是圓上圓外跟圓內 這個是ABC的位置 再來呢 看範力二 不過講到範力二的時候 稍微停一下 因為我發現今天是我們休息很長一段時間 還有上圓的課程 然後今天講的一些重點 所以範力二我先不要上 所以我們今天上到這邊 同學你有空的時候 把我們剛剛一開始上課的一些重點 包含什麼是切線 切線性質 把它先搞懂來 我們禮拜三接著往後面上 我們今天上到這裡囉 拜拜