八下數學 13 等差級數(4)：各校段考高頻精選題、級數公式進階運用、正負項判定與區間求和實戰｜何肇忠老師 (最新課綱)

歡迎收看數學簡單,我是趙老師 今天晚上我們要教的是國二的等差級數 等差級數目前已經上到比較中間的部分 就是教一些進階的課程 今天會上到一些斷考精選題 時間夠的話就會再上到立階試題的部分 關於這個單元有一個是等差數列、等差級數 還有一個是等比數列的部分 等比數列會在我們等差級數上完之後再來做安排 那個也都不難,蠻簡單的 像我們看那個在講義的第27頁的第7題 那題目是說呢 他從300到500的正整數中問你說 47的倍數最小是多少,然後最大是多少 300到500的正整數中 47的倍數最小跟最大分別是多少 這個時候我們怎麼回答 超過300以上的7倍數 我們就用300先去除以7 那300去除以7的時候呢 用7除,是7-4-2-4-8 相減是20 那7-2-14 相減是餘6 餘6什麼意思呢 7的42倍還沒到300 因為還差6 變成說7的43倍的時候呢 他就超過300了 所以變成說 7的43倍 那是多少 你可以這樣計算一下 7-3-21-2 7-4-28 28再加那個 7-3-21 7-4-28 301 所以超過300的7倍數 最小是301 那最大呢 最大因為不要超過500 所以我們用500去除以7 500除以7的時候呢 他是77-49-10-717 然後餘3 餘3是說呢 7的71倍還差3變500 所以往下乘 變成7的71倍 多少 717-497 再來差3變500 好 那所以他第一個問題說 7的倍數呢 在300跟500之間 7的倍數最小是301 最大是497 那第二個問題說 這樣一共會有幾個7的倍數 比如說從這邊開始 7倍數是 301 308 315 最後一直到497 會有幾個7的倍數 所以你發現呢 他是7的43倍 44倍 45倍 46倍 到7的71倍 這樣會有幾個數呢 所以我們就那個 因為齁 43倍這個也算 71倍這個也算 所以我們可以用那個 71-43 還要再加1 加1是因為頭尾都算 就像算日期一樣嘛 比如說2號到5號一共幾天 你不能寫5-2打在3天 他是2 3 4 5一共是4天 因為5-2還要再加1 這個算日期的情況是一樣的 所以71-43以後加1 一共有幾個數 71-43 他是20 28 28加1 29 所以有29個這樣的數字 29個7的倍數 好第三個問題說 那總和多少呢 總和怎麼求 因為你知道上底是301 下底是497 沒有梯形公式 所以那個上底的301 再加下底的497 乘以高 一共有幾個 29個數字 乘29再除2 看答案多少 那這個老師我先算好了 因為怕現場算會出一些問題 所以答案是11571 但是我覺得是不應該有問題 同學也是練習一下 去乘一下看答案多少 有沒有符合這個答案 這是那個第七題 好再來看那個第八題 好第八題是說呢 有一個等差數列 首項是16 公差是4 那求這個數列 第五項到第十五項 的總和是多少 好等差數列 首項是16 公差是 求第五項到第十五項的和 我們把題目整理一下好了 好這是那個 求等差級數的提醒 瓜子球某一段 第八題 他說首項A1是16 公差D會等於4 然後呢 求第五項到第十五項 所以他從哪邊開始 從A5開始 A5加A6 加A7加A8 因此最後加多少 加到A的第十五項 A15 那首先你看喔 從A5到A15一共會有幾項 A5要算 A15要算 我就用後面減前面再加1 所以15減5 再加1 一共會有11項 那這邊的話呢公式 沒辦法使用A15是因為 所謂的A15是前十五項總和 如果你是用A15的話 你變成說 用A15扣掉A14 扣掉前四項也可以 不過這樣好像沒有比較快喔 那我們要發現呢 從第五項開始 到第十五項結束的話 他的等差中項是哪一項 5加15除2 是不是A10 所以A10是等差中項 那A10也是整個等差奇數 從A5開始到15結束 的平均數答案 所以A10答案是多少 代公式 A1加N減1乘D 所以A1是16 再加10減1 是9 9D公差是4 96 9654 A1是16 9是36 16加36呢 52 所以那個第十項是52 那題目說呢一共會有11項 代表說你看喔 我們A10是等差中項 平均數就是52的話 因為等差中項的概念很像平均數 所以從A5到A15 的平均就是52 又有11項 11項平均52那總和多少 有52去乘以11 答案是572 所以總和 是572 當然同學你也可以這樣做喔 就是你把A5求出來 把A15求出來用T型公式 上底加下底 乘高11項除2 一樣會有答案也是572 這第八題喔 好再來我們看一下那個 一些各校的端考精選題喔 看一下那個第一題喔 但是很多題目啊其實同學不陌生 他會出現在那個像是一些 大章的考卷啊或者是 一些作業裡面都會出現喔 他說呢將數字呢 按照復圖的順序 往下寫 第一層寫一個數 第二層兩個數 所以第三層三個數第四層四個數 那寫到什麼時候呢 寫到第二十層喔他會問你說 第二十層第一個數是多少 可是他這樣寫的喔 他第一層寫個2第二層寫 46再來寫的是 80 12 再來是 14 16 18 20 這是第一層 第二第三第四層 寫到第二十層的第一個數 那你看一下有沒有什麼規律喔 第一個有規律啊他是246 80 12都是偶數對不對 所以你看喔如果你把 這個齁246 80都給他 除二的話變什麼結果 你看除二之後變123 除二之後呢 4 5 6 除二之後7 8 9 10 換句話說喔你看喔 我們這個10是不是這邊 1加2加3加4剛好變10 1加2 3 3加3 6 6加4 10沒錯嘛 那你要求 第二十層的第一個數 我就先求這邊從1到 從1到19層 就是從這開始 1加2加3加4加到19 是多少 所以第19層 從1加到19層是 1加2加3 一直加到19 這19層的 總和是多少就看到19層的 尾數是誰 所以加起來多少呢 上底是1下底就19 乘以高一共19 再除2 上底1下底19乘高除2 那19加 1是20 除2是10 10乘19是190 等於說你加到第19層結束的時候 那個數字 就是190本身 第二十層的時候第一個數 就是191 那我們那邊是要乘兩倍嘛 他這邊排到 第19層的時候 尾數就是190 第二十層的時候第一個數是191 可是我們這邊是要兩倍嘛 所以191要不要乘2 要乘2 所以是191乘2 答案是382 要選這個答案 要選的是豬 這是那個 第一題OK嗎 好看那個第二題 其實我覺得發現第二題跟第一題很類似 蠻類似的 第二題他說 復圖他寫個3 第一區是3 第二區是69 第三區是12 15 18 跟我們剛剛寫那個24680的規律 是蠻類似的 有多類似呢我們看一下 他要求那個 第八區的所有數字和 我們看一下 他的第一區就只有一個3 這是第一區 第二區的時候是69 這是第二區 第三區的時候是12 15 18 這是第三區 一直類推 然後要求哪一個 他要求第八區的所有數字 的總和是多少 所以我看這裡 他的那個規律呢 是按照那個3倍數 3 6 9 12 15 18 一直往下推 那我把它除以3之後 這邊是31 313 326 339 34 12 35 15 36 18 有沒有按照規律是一個數 兩個數 三個數到六 有時候這邊是一個數字兩個數字 三個數字所以1加2加3 不就6 到第四區的時候他就是1加2加3加4 那答案是10 所以第四區可以寫到 7 8 9 10 四個數嘛 這剛好到10對不對 所以你到第八區的話 我們就求什麼 求1到7區的總和是多少 有幾個數字 所以從第一區 到第七區 有幾個數字 有幾個數 第一區一個數 第二區兩個數 第三區三個數 到第七區有七個數 會有七個數字喔 全部把它加起來 用梯形公式 上底1下底7乘以高一共7個 再除2 這樣答案是多少 那1加7是8 8除2是4 4728一共是28個數 所以到第七區的時候 是28結束 所以第八區的時候 第八區的時候 他的數字會從第29開始 可是這29還要乘三倍 你看喔 我們的第三區 是到6結束嘛 3648 所以到第八區的時候 第一個數是29 可是你不要忘記喔 你這邊的29 30 31 32 33 34 他有8個喔 12345678 因為我們是剛剛去除以三算幾個數字 所以到第八區的時候 累加第八區的結束是36個數字 但是這一區的總和 他實際上寫法是 29乘以3 29的三倍有沒有 29的三倍就是87 30的三倍呢就是90 31的三倍就是93 所以實際第八區所寫出來的數字是 87 90 93 一直到最後多少 乘以三倍108 那哈廷博士問說 第八區的87 90 93 到108 總和是多少 我們可以使用梯形公式 上底就87 下底就108 所以上底再加 下底108 乘以高一共幾個數字 這裡有8個 再除2 所以是87加108 再乘8除2 2跟8可以約分喔 那約完之後呢 87加108是多少 195 195乘以4 4520 49 36 38 73 780 所以第八區的總和是780 答案選擇是A 這是第二題 這樣子有沒有問題 跟我們剛剛上一題很類似對不對 這是排個規律的 好再看第三題 第三題呢 它是說有一個等差數列 前n項的總和 就是3n平方加4n 問你說 這樣子第十項 第十項是多少 這題很類似的考題 在很多一些考卷都會出現過 所以這求法你一定要會喔 因為它很簡單喔 它都給你公式了 它的前n項的總和有一個結果 那這邊的題目是說 它的結果就是 3n平方加4n 所以你這樣寫 你把第三題 它說的前n項總和 就所謂的Sn 它的結果是 3n平方加4n 那要求第十項 它要求第十項 在A10 你要求A10其實很容易 你要求A10的話呢 我就用呢 用前十項的總和叫S10 叫前十項 扣掉前九項 就第十項了嘛對不對 所以用S10扣掉S9 這什麼概念齁你這樣想 什麼叫S10呢 它是A1 A2 A3一直加 加到A9加A10 這S10對不對 那扣掉S9 扣掉前九項 所以A1A2A3都被扣掉 剩下S10 所以前十項 扣前九項 就是第十項 好那我們就利用這兩個 前十項前九項 就代它題目本身 所給的公式 3n平方加4n直接套入使用 就直接代囉 所以第一個的S10 它就是 3n平方 注意喔 它是n平方先算 不是3乘以10再平方 它是n平方先算 所以3乘10的平方 加4乘10 n是10 這是S10的 再扣掉S9 一樣齁n代9 所以是3乘9的平方 再加4乘9 兩個相減 這是第十項 好那這邊的話呢 10平方是100 3乘100就300 300再加40 所以第一個是340 再扣掉這一個 99是81 那81去乘以3 31824 243 4936 243加36多少 279 所以340 扣掉279 答案是多少 做減乏來 10跟它減要借位 所以這借的變3 它就變10 3又不夠了跟它借 它是2它變13 3減7答案是6 所以答案是61 那麼它的第十項呢 就是61 所以答案選的是A 那這是那個第三題 這樣有沒有問題 應該沒有 沒有的話我們再看那個第四題 好這裡也是不錯的 蠻有意思的一題 它說呢它參加那個校慶呢 所舉辦的趣味競賽 它的規則呢是說 在一個直線上呢它放了15個蘋果 每個蘋果呢 之間距離是1公尺 那先站在第一顆蘋果的地方 它要把15顆蘋果呢 全部都放回同一個位置 有第一個蘋果的位置 那每次只能夠拿一顆 它在這個遊戲中呢 它共需跑多少公尺 才能把那個所有的 那個蘋果 放回到第一顆的位置 好那這什麼意思 就說喔 你可以畫個圖來想一想 這是第一顆蘋果的位置 我寫個1 一共會有15顆蘋果 這是第二顆蘋果的位置 相隔是1公尺 第三顆第四顆 後面還有很多啊 最後到第15顆蘋果 然後呢它的跑法這樣跑的喔 它題目是說呢 它要 它每次只能拿一顆蘋果 拿完之後放到第一個蘋果的位置 所以為了拿這個第二顆的蘋果 它要跑過來拿蘋果 再回去 第三顆的時候呢 跑過來再回去 第四顆跑過來再回去 所以我不畫到這麼多給你看 因為畫不下去了喔 也就是說呢它跑的長度是多少 1 1 2 2 3 3 4 4 最後到多少 最後到14跟14沒有到15喔 1到3的時候是2 2 1到4的時候是3加3 所以1到15是 14加14 所以我們先算這個喔 所以算1加2加3 加到14之後 這幾倍 兩倍因為有折返 這樣沒錯啦 那左邊這邊不陌生吧 是T型公式可以用的啊 有首項有末項 有上底有下底 代理公式第一個上底加下底 乘高除二 上底是1下底14乘以高 一共幾個數字有14個 所以乘以14再除二 最後還要不要乘二 要乘二因為是折返嘛 它是折返折返是兩個1兩個2兩個3 我這邊只有算單邊的喔 還沒有算乘兩倍的 所以2跟2約分 約分完之後呢 就變成了15 去乘以14 這樣總共是多少 這樣子喔 我們在乘的時候你可以直接乘啦 或是把這14分為2 7 14 2跟15去湊30 乘以7210 所以它折返跑一共跑了210公尺 那答案選的是 C 這題有沒有問題 這個是等差級數的題目 那關於那個等比 數列的題目我們會安排在 等差級數整個講完之後 再來講等比的部分 好看那個第五題喔 等差級數的前八項 的總和 比前四項的總和 多了112 而且我知道首項是-16 他說 求這等差級數的第十項 是多少 第十項是多少 好我們看一下這個 第五題喔 前八項比前四項 多112 所以代表說你用前八項 前八項 扣掉前四項 就是112 你看第五題喔 等差級數它的前八項的總和 所謂前八項 叫做S8 S8就是前八項總和 比把它想成等號 會等於 前四項的S4 的總和多112 加112 所以你把那個S4往前移 不就前八項的 扣掉前四項的 就112 前八扣前四項還剩幾項 一共就八項而已的話 你前八項 扣掉前四項會從第五項開始 那不就是第五項開始 A5 A6 A7 A8 為什麼沒有前四項 因為被扣掉了啊 S8叫前八項啊 扣掉前四項 剩下這麼多項啊 相加是112 那我們就依序 把它用公式化取代好了 那題目說首項多少 它有給首項16 -16沒有寫 首項是-16 要求第十項 所以A5怎麼換 A5換成第十項公式 是A1加N減1乘D 所以A5就是A1加4D A1是-16 先寫A1好了 寫-16不好寫 A1還比較好寫 A1加4D 這是A1加5D A6是A1加5D A7是A1加6D A8是A1加7D A1加7D 然後等於112 幾個A1 有4個A1 所以4個A1 再加幾個D啊 我把A1寫好了 4A1 所以4個A1 再加幾D 這邊是4D加5D 4加7是11D 5加6也11D 22D 會等於112 可是我知道呢 A1題目有說-16 所以4乘-16 是-64 A1是-16啊 所以4乘-16是-64 -64一過來 加64 22D 等於12加64 176 那你要求公差D 所以22一過來除22 應該是8吧 答案是8 所以公差是8他要求第十項 一樣第二項公式啊 A1加n減1乘D 我寫這裡好了 A1是-16 再加n減1是9 乘以公差是8 所以9872 -16加72 72減16多少 56 所以第十項答案是56才對 第五題 所以答案選的是C 目前為止這邊有沒有問題 應該可以 他不是很難對不對 真的是不難 第六題也不錯 這還蠻生活的一題 他說志祥號 從臺南到臺中 他沒有每站都停 因為志祥號是大站才會停 他停在 新營站嘉義站斗南站斗六站 田中園林跟彰化站 問你說臺鐵 他要準備幾張這樣的車票 纔能夠符合 他們的需求 你會發現他準備很多車票 其實都不用準備 印出來就好了 他們要準備 這種準備是早期的 早期那個車票 他沒辦法現場 印 他都先印好的樣子 那很早期的 他是先印好之後 所以你要什麼車票直接去抽 不過後來就是改用印的方式 所以要準備幾種這樣的車票 這題目蠻奇怪的 第六題 他從臺南站開始 臺南不要算 臺南要算嗎 他臺南到臺中 中間停靠了新營跟 彰化等站 他第一個是臺南站 我寫直的比較寫得下 臺南過來是新營站 每個都寫一寫好了 大家順便認識一下 從臺南到臺中 會經過哪些大站 新營站 過來是嘉義站 嘉義的火雞肉很有名 新營的話 新營是營區 再來是斗南 我對斗南很陌生 再來是斗六 斗六我也一樣陌生 田中 田中是大站 再來是員林 員林站 彰化我知道有辦法玩 彰化站 最後是臺中站 一二三四五六 六個站 一二三四五 怎麼多一個 一二三四五六七 一二三四五六 七個沒錯 他說要準備 幾種的車票 我們這樣看 他的車票怎麼準備 準備車票是說 臺鐵要準備什麼車票 臺南到新營要不要車票 他要印出來臺南到新營 新營到嘉義也是一種 嘉義到斗南一種 斗六到田中一種 田中到員林一種 員林到彰化一種 彰化到臺中一種 一種兩種三種四種 五種六種七種 八種如果這樣過來就有八種 八種沒錯 八種是說 他是北上的 這是北上的 北上只有那個 隔一站的就是每一站的 兩站兩站就有八種 一種兩種三種四種五種 六種七種八種 九個站要八種 那如果說是隔兩站呢 隔兩站什麼意思 比如說臺中到嘉義一種 新營到斗南又一種 嘉義到斗六 一種三種 四種五種 六種七種 這樣變七種 所以我們隔一站是八種 隔兩站是七種 都是北上的 隔三站呢 隔三站的話 本來是這樣隔兩站 隔三站是說臺南到斗南 臺南到斗南就一種 新營到斗六兩種 嘉義到田中三種 斗南到員林四種 斗六到彰化五種 田中到臺中六種 這樣就六種 我不再畫了再畫就崩潰了 它有沒有規律它有耶 分別是八七六五 四三二 這個一嗎 臺南到臺中 只打一種 所以北上就是八七六五 四三二一一直加 加到一對不對 所以光是北上我們就有這麼多種 那南下怎麼樣啊就一樣的嘛 只是說你從臺南到臺中 變成臺中到臺南又算另外一種 所以它要乘二 所以我們的做法是這樣子 它是八加七加六 一直加到一之後 不要忘記它的車票總的還要再乘二 乘二是因為北上是一種的 北上是臺南到 臺中是一種算是一種 臺中到臺南又算是一種 也就是說你的彰化臺中是一種票 臺中到彰化也是一種票 它是兩種票不一樣 因為出發跟目的地是不同的 所以它的票額之中 是八加七加六一直加到一 之後還要再兩倍 可以用提醒公式 上底是八下底是一 乘以一高一共是八個數字 再除二 還要乘二因為兩種 所以這邊二跟二可以約掉 變成是九八七十二 所以臺鐵必須要在這些站裡面 準備了七十二種的車票 纔能夠使用 所以答案選的是A 這邊有沒有問題 這是準備車票的部分 再來我們看 底下有兩個題目 一個是非選題 先看非選好了 非選的這一題 它說等差極數 這樣子然後求它的 前十三項的總額 不過這題我覺得比較偏向是 根式運算的部分 所以你會發現都需要做化解 才會知道它的規律 我們看一下 這一題 題目是等差極數 等差極數顧名思義是 等差數列累加的 第一個是√3加√2 分之一 再加√3 這一項 再加上√3 減√2 分之一 先整理一下好了 它說要求前十三項的總額 我們首項是沒問題 也有問題 我們在做根式運算的時候 它的分母是不能有根號的 所以要把它先化解 這怎麼化解呢 它是上下都乘相反的 如果題目出一個√3加√2 你就乘個相反的 叫做√3 減√2 這樣的乘法稱之為有理化 分母的有理化 就是把分母 它從無理數變有理數 叫做有理化 這樣乘很容易 就是我故意這樣乘之後會湊到平方差 看到相加乘相減 會變成平方減平方 √3平方是3 √2平方是2 3減2不就1 分母是u-6不學 剩分子了 所以分子是√3減√2 這個是第一項 首項 再加√3是第二項 再加這一個 最後有理化怎麼做呢 一樣分子分母都乘相反的 你寫√3減√2 我就故意乘個√3 加√2 乘的時候分子也要乘 √3加√2 乘完以後注意看一下 有沒有什麼規律 一樣看到平方差 看到相加乘相減 變成平方減平方 3減2就是1 √3平方是3 √2平方是2 3減2是1 剩分子√3加√2 它的分子就剩下的 √3 加√2 所以你看 首項這一個 它是等差極數 我先化解 首項是它 這是第二項 第三項 公差多少 後減前 後減前是 √2 √3加√2 所以它的公差 就是√2 你看這不對喔 往後推加公差 這個加√2 所以公差是√2沒錯 那首項A1呢 它是√3減√2 是這一個 它要求的前八項 前十三項 我們代公式好了 叫S13 只要這個是 根式運算比較不好處理 代公式喔 公式第二個 二分之N乘2A1 加N減1乘D 二分之N就二分之什麼 13 再加上2A1 我們A1是√3減√2喔 所以2A1怎麼樣 二乘√3 減√2 叫2A1再加N減1 13減1變12 12乘以公差D D多少D是√2 有沒有發現寫起來 感覺不是很親切的 一個題目喔 有點惡意對不對 所以它是二分之N乘 乘喔 等一下 二分之N乘 乘2A1 A1是這個√2 再加N減1 N是13 12D 我們把那個分子整理一下 這樣寫我也不會算 把它整理一下 變成二分之13 乘上多少 把裡面整理一下 這邊整理我把它拉出來 二乘√3 是2√3 二乘√2是減2√2 再加12乘√2 就12√2 我們同類合併喔 所以2√3留著 2√3留著 -2加12是10 所以加10√2 好來再把它拆掛 拆掛之前 發現這邊可以約分 2跟13是不能約 跟裡面可以約 這兩個都除2喔 所以你約分2的時候 這邊1這邊是5 所以它是√3加5√2 那乘到13以後怎麼寫呢 乘以13之後 乘以13叫13√3 乘以13以後呢 是65√2 所以它總和是 13√3加65√2 這是第一題 這個有沒有問題 這個可以喔 把這頁講完好了 剩下一題 他說某人騎腳踏車 他去遊玩 然後行程是1萬公里 1萬公里 啟程的第一天 他騎了10公里 之後每一天都比前一天 多騎5公里 一直騎到50公里之後 就每天騎50公里 直到 他的旅程完成為止 那問你說 這樣子要花幾天才能騎完 這1萬公里 他說最後一天如果騎不到50公里 也算一天當然的啊 因為還沒有騎完 所以你看他題目這樣子 他全部的里程是1萬公里 1萬公里我們把它寫出來 1萬公里 他的目標是1萬公里 1萬公里 那第一天騎多少 第一天只有騎10公里 這是第一天喔 那第二天的時候呢 他說加5公里就變15 第三天的時候又加5公里 變20 一直騎到 50公里之後呢 就變成每天騎50公里 所以我們就想了喔 他一開始前面那幾天呢 分別是第一天10公里 第二天15公里 第三天20 一直加,加到50的時候 這是哪一天 這是哪一天才會騎到50 那要怎麼做呢 他是要求哪一天要哪一項 用末項減首項 我們先求這個項 因為沒有項數 這哪一天都不知道 到底是哪一天是50 50是末項 末項減首項 用50去扣掉10 末項減首項 除以公差 每天都多5公里嘛 公差是5,再加1 50減掉10是40 除5是8,8加1是9 所以這是第9天 所以第9天可以騎到 50公里 那麼從這邊的10、15、20 再到50的總額是多少 我把它算一下好了 總額是幾公里 多少公里 前9天一共騎了幾公里 那用梯形公式 所以上底是10 下底是50 因為50公里嘛 乘以高,高是幾項嘛 9天嘛,9項,除2 上底再下底乘高除2 所以變成是60乘以9除2 60乘9除2 2跟60約分是30 那30去乘以9的話呢 答案是270 所以這9天 他騎了270公里 那之後呢 他是每天都騎50公里 所以之後剩幾公里 他騎9天,騎了270公里之後呢 還剩幾公里 所以用1萬要扣掉270 1萬扣270 答案是多少呢 這邊對齊減一下 減270 這邊是0 這邊是3 這邊是 變9了 9730 還剩下9730公里 還沒有騎完 那這9730公里 是每天50公里 去把它去騎完的話 還要騎幾天 所以用9730去除以50 9730 除50 等於多少 3是天數的意思 於是於幾公里 所以9730 除50 51 50 4739 450 相減230 4 200 於30公里 所以他需要194天來騎 還剩30公里沒有騎完 這也算一天 所以他問你說 一共要騎幾天呢 本來那個9天 前面那9天 一共騎270公里 所以9天再加上 有194天都騎50公里 再加194 再加最後30公里還需要一天 所以9加1是10 10加194 204天 所以204天就可以騎完這1萬公里 這樣子有沒有問題 ok 那我們今天上到這裡 掰掰 那我們那個預計 今天剛好把那個 各校的精選題上完之後 我們禮拜三可以上到 歷屆的試題 歷屆試題上完之後呢 就會上那個 等比數列的部分 那我們今天上到這裡囉 掰掰