小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用五年級學生，全120集 P6 - 五年級春季06-圓與扇形初步（下）

好那我們繼續 那我們剛剛已經選了圓的對吧 來我們把這個公式稍微說一下 圓的周長 圓的周長是 2πr 也會等於πd 熟不熟 現在熟不熟 挺熟的吧 圓的面積呢 πr² 是吧 好扇形記不記得 扇形記得吧 先說周長吧 360分之n的 2πr 再加2r 面積呢 360分之n的 πr² 對吧 好大家把這個稍微再寫一寫 然後記住 如果求的是面積 那一定求的是扇形的周長 那一定這個2r一定要加上 能理解嗎 啊否則你就錯了 否則你就錯了對吧 那歌步法的話 就是我們要把不規則的 轉化成規則的 能懂嗎 那不規則怎麼轉成規則 那就是歌步嘛 你把它分割開來 然後再補起來 好吧 好來來來來來 我們來看看 圓和扇形的面積 直接利用公式求解就可以了 但是不規則就不行了 你就得拼拼湊湊 把它湊出來 對吧 你就必須把它拼湊了 那怎麼拼湊呢 那我們拿題目來看看 加深一下大家的印象 好吧 來第一個 這個給大家兩分鐘可以吧 夠不夠 開始吧 同志們 拼拼湊湊 把它湊出來 圖中的三角形都是等腰直角三角形 等腰直角三角形很好 對吧 啊求硬部分的面積 一個一個來別遞啊 那我們把它寫一下 這是10這也是10哈 這是10這也是10 畢竟它是等腰直角三角形 對吧 啊算出來了嗎 你們算出來多少來快點 咱們一起來看看 寫冒號 ok 第一小根 第一小根這這陰影部分有兩塊 這兩塊的面積能求出來嗎 不能啊那咋辦呢 直接硬除硬求求不出來啊 所以我們得加一條線 加了一條線了大家看出來嗎 是 能看懂嗎 你看我加的這條線 我加了這條線了之後呢 然後幹嘛 哎 你這兩個陰影部分的話離得有點遠啊 我分別求都求不出來 我乾脆把它們倆放一起 怎麼放一起 啊把右邊這個小根補到這來 有沒有剛剛好 有 太幸福了 剛剛好 對吧 所以能拼一定要拼起來 能拼一定要拼起來 好 所以拼完之後它正好是一個什麼 這個大的三角形 ABC的一半哈 是不是 它的面積啊 是不是就是這個大三角形的一半了啊 大三角形是10乘10 除以2的 啊它的一半就在除以2 等於 25 對不對 沒有單位沒有單位我們就不寫 啊沒有單位我們就不寫 啊所以第一個的面積是25 25能看懂嗎 好好好非常棒啊 第二個大家再仔細看一眼來 再給大家稍微一點時間 你你做一下這個 輔助線嘛 你覺得要畫在哪裏 你要畫在哪裏 啊我們像這種形狀我們一般叫什麼 叫弓形啊 弓形是圓和扇形裏面常見的一個 那兩個弓形如果合一起會成爲一個什麼 就可能爲一個像這個的 對吧 這個我們可以在叫它鼓勵 鼓子 啊也有同學叫其他的 對不對有的叫鼓子有的叫其他的啊 那隻要是鼓子都幹嘛知道不 都要切開 把它切開 我把它切開切成兩個弓形 因爲用弓形來挪 用弓形來拼接 是好拼的好 大家看出來了嗎 他要拼到哪去 太棒了有朋友已經看出來了是吧 啊把把上面這一部分拼到這來 底下這一部分拼到這來 是不是 那我發現硬部分最後拼成了個什麼 拼成了個大的弓形 對吧拼成了一個大的弓形 S1等於S 大弓 大弓啊大弓無私啊大弓是吧 那大弓形就是用什麼 大扇形減三角形 這三角形又是ABC了好吧 我們老用ABC 那不行用DEF嘛 是吧無所謂啊 好那整個扇形是1⁴ 因爲你這圓心角是90度啊 1⁴πr² 減掉什麼呢 那這個等於要只要上寫ABC的面積就是 10×10除以2 對吧 那我們說π要幹嘛 π要留到最後啊 10的平方是100 100的1⁴是25 25個π 減掉50 到最後了沒有 着冷呀那大家算一下快 到了吧 25個π是78.5吧 那減掉50就28.5 說老師你 嗯 不科學這怎麼 知道是78.5 我們有幾個常見的大家要背得滾瓜爛熟哈 π的啊π的1倍是3.14是知道的 2倍是6.28 3倍是9.42 4倍呢 12.56 5倍是15.7 6倍是18.84 7倍是21.98 8倍是25.12 9倍是28.26 這是最基本的啊 然後這時候你到整10倍的你想想 你3倍是9.42知道30倍不就是94.2嗎 那如果你遇到15倍怎麼辦 你是不是可以用30倍除以2 因爲你用94.2來除以2是很好除的47.1 對不對 所以經常還會有這種什麼 25倍的 怎麼辦 5倍是15.7 50倍是不是157 所以其實就是157除以2能懂嗎 是不是好除 78.5 就這麼來的 對吧 那常見還有什麼比如說36倍的 36倍得多少來算一下 也很常套 6倍是18.84 再乘個6 對不對 啊 對的了 就把這個哥們再乘個6 113 1.04 113.04也常見的 也挺常見的啊等等等等 你們在考試裏面會經常看到這些哥們 那他爲什麼常見的你看 他派乘25是不是相當於派r方 r等於5的時候 他派成36是不是派r方 對吧 r等於6的時候 所以確實常見 確實常見啊 ok 所以哥股的話其實就是彆着急 你先觀察 啊你先觀察 好吧 那像骨子弓形 還有這個邊邊角角的這個 這個大家都要很熟 都要很熟 啊邊邊角角的被挖掉骨子挖掉弓形剩下的部分 剩下的部分啊 能理解吧 好再來一個哥股的來 啊這道就好好思考一下給大家三分鐘 你先三分鐘思考 啥也不幹 你就在圖上畫一畫 你想你怎麼去 怎麼去拼他怎麼去剪呢 對吧 有三個圓 他的半徑都是6 釐米 這三個圓兩兩相交於圓心 球硬部分面積也就是啥意思 就這三個位置正好都是他的圓心你看唄 這麼巧呢 正好都是圓心呢 賊幸福啊 那我們來看看能畫出什麼個玩意啊 更換一下 那有能求多少嗎 這裏就難一點了對吧 這裏就難一點 ok ok ok 那這個題目的話我們也如果要連輔助線你會先連哪個 是不是把圓心先連起來 連背同志們 這三個哥們不連起來不行啊 連完之後感覺不夠啊連完之後你把什麼來填啊填不了啊 是不是 不夠我們再找一些點 哪些點這這三個點也是不是也很關鍵 咋辦 繼續點 有志者 連進城啊你就繼續連 你看你能連出什麼 不得了的事情 能就能不能就哭吧 好吧 好我們把這些全連起來了 全連起來之後這硬部分就被咔嚓成 兩種 兩種圖形哪兩種呢 硬部分現在被咔嚓成兩種 有一種是什麼 一個正三角形少了一個弓形 是不是 這樣的有幾個 三個 都有三個 對不對 沒錯吧 好另外一種就是小弓形 小弓形的話現在有幾個 小弓形有幾個 在外面的 這兩個這兩個這兩個是六個 好所以第一部分 我們現在知道了 對吧硬硬部分是 是吧 三個那個六個那個 那這一步沒法寫啊 這一步這樣寫的話沒法做啊 所以這時候拼一下怎麼辦 哎有同學想到了 我把這三個三角 呃放進去啊 不是這六個弓形裏面先拿三個過來 ok ok ok ok 所以我們往下一步 往下走一步哈 往下走一步 那得到三個 正三角形 還有什麼 還有三個弓形 那這個要開始算了嗎 要不要算三個三角形是多少 三個弓形是多少要算嗎 好像也不好算哈 對不對 你你把從上面到底下已經走了一步了 能不能再走一步 想一想 那你這個正三角形 再加個小弓形會變成什麼呀 你去想一想 會變成啥 愣想出來嗎 好我也給大家畫個正三角形啊 你看這是正三角形 是不是 ok 那弓形是啥樣呢 有點有點這個意思啊 當然我畫的不標準 大家不用在意這些細節啊 不用在意這些細節 那你正好三個正三角形三個弓形 乾脆一一打一嘛是吧 一對一哈一對一好一對一 你看你們一對一來正好拼過來 拼過來之後每個變成什麼了 呃就看着眼熟好了 太好了 變成了三個什麼 扇形 就變成三個扇形 對這三個扇形 三個扇形每個 圓心角是幾度 60度60度 太棒了 好再變一步 三個60度的扇形拼成個什麼 拼成個什麼 趕緊再想繼續想 不知道的話我給大家畫一個 我給大家畫一個你就知道了啊 好我給我畫的明顯了嗎 明不明顯 出來了吧 對不對 對這是一個 這是兩個這是三個 三個60度的扇形剛好拼成一個 半 圓 所以這樣的題目很巧妙 是吧很巧妙能想象得到嗎 它最後這個硬部分面積就是s半圓 一二三 還挺繞的啊 是吧還挺繞的 那半圓就是 二分之一的π 二方 所以是18個π來 18個怎麼辦 用9π乘2來吧 9π是28.26 28的2倍是56 2.52 對不對 平方的一個 所以你會發現這個圓和扇形的重題目 你通過哥補法之後你發現最後再算的時候 有可能是非常非常簡潔的 好這樣聽不懂理解嗎 把它列入同桌必做精選題題裏面 這題確實比較難 對不對 ok 那常見的是什麼樣的我給大家再畫一個 好我給大家再畫一個 常見的裏面見的是這種的 我看是不是 對吧 然後呢這樣 好讓大家求一下這個 這叫彎角 這彎角的陰影部分的面積多少 假定這個半徑是10 對吧那陰影部分得多少來求一下 這個是不是簡單 正方形實稱10 減掉四分之一π 二方 好吧 100 減掉25個π 得多少 25個π是78.5 所以就是21.5 就出來了 所以我們 圓和扇形裏面有主要的三個 它是經常見到的 你看我們這個彎角 這個弓形是不是常見 弓形 還有兩個弓形合成的叫什麼 叫鼓的 也有叫葉子的 樹葉還有彎角 弓鼓彎 還有彎角這三個哥們的話 在我們球硬部分面積的 這個裏面經常出現 非常容易見到 所以大家一定要 一定要什麼 一定要滾刮爛手 好吧 好再來一道來 拿出草稿紙 三分鐘繼續思考 這種題目的話都挺有意思的 開始吧 算一下 好吧 趕緊算一下 算出來了嗎 說有七個圓你看 對有七個圓 它們切一點 圓的半徑分別是一分米兩分米三分米四分米五分米六分米七分米 球硬部分的面積 派取三派取三的話就是 爲了讓你好算一點 那大家草稿紙上不管三七多少 對好好算一下就行了 好好算一下好 算出來沒有 那我們看看硬部分有幾塊 一塊 兩塊 三塊 四塊是不是四塊 非常好 有四塊 那我們把四塊加起來 對吧 所以你就先這麼寫的s硬硬部分 四塊加起來 s1 s2 s3 s4 對不對 這個是s1 這是s2 這是s3 這是s4可以吧 好s1是多少 1號1號的半徑是一分米 那s1到1號正好就是一個圓 正好一個圓它的面積是吧好辦 派r方派乘1的平方 哎呀這個最簡單了 s2的時候我們換個顏色 2號它這個應用的面積怎麼求 老師這沒法搞啊 這不是個規則的它也不是圓環 反正你這時候觀察一下 它是不是在3號這個圓裏面 然後把什麼把2號給扣掉了對不對 所以s2就是 派乘3的平方 減掉派乘2的平方 能看懂嗎 那s3呢 非常棒 派乘5的平方減掉派乘4的平方 啊s4呢 派乘7的平方減掉派乘 對吧6的平方 哎呀 那我們說派一定要放到最後算的 你要不放到最後算你會後悔啊 第一個是派 第二個呢加9派 減4派 加25派 減16派 加49派 減36派 對不對 啊缺點多少 我們來我們來加一下 9個加1個是10個 10個加25個是35 35再加49 84 好減掉多少 4和16是20 減掉56派 對不對 減28派 28派減多少 來大家算一下快 那28好像就不能用我們剛剛說的那些了哈 我們想想7個派是21.98 它是4倍啊 對吧 4832 4936 14的4 加3等於7 24的8 那就是87 1.92 平方分明 派一定留到最後 然後在查過程上偷偷算一下 錯了的話再抱頭痛哭一會 能理解吧 ok 好這是求陰影部分的 那如果我求空白的面積 我怎麼求 我要求空白的面積 那大家算一下開始 好我們把這個地方擦掉啊 那我們求一下空白 來 還是白 怎麼算最快 劉瀟老師我知道了 這個空白分成三塊 對吧 第一塊是 s2派成2的平方點派成1的平方 再派成4的平方點派成3的平方 再派成6的平方點派成5的平方 對吧 這個數字倒是也可以 但其實也用不着 爲什麼 因爲我們已經求出陰影了 你看陰影跟空白和諧是什麼 和諧是大的嘛 所以你就派成 7的平方 減陰影是不是就可以了 49個派 減掉28個派 能看懂嗎 剩下多少 21個派 來算一下 算一下算一下 21個派得多少 又來呢 7個派是21.98 那它的三倍啊 對吧 3824 3927 65.94 好那它們倆合起來得多少 合起來就是49個派嘛 對吧 這個我們就不說了 能理解吧 那像這個題目的話 大家回去給它改編一下 它其實會有規律的 對吧 我們發現它其實是會有規律的哈 會有規律的 28個派 28個派的話1加到7 對吧 1加到7看看哪個 OK1加到7 那個 就剛好就是什麼 28呀 對吧 是很巧 是剛好還是說就這樣 那比如說我現在弄到第9個 9個大家猜一下 是不是就答案就是45個派了 對 你再畫一個8號的 再畫一個9號的 對不對 然後你改編的時候 你比如說你跟你同桌出題的時候 你甚至可以 給它出到99 99個 99個元 就硬部分 那正好是1加到99 那1加到99 這麼多個派 對吧 那就是5050減掉 100 4950 個派 那原因其實會用到平方差 大家能看出來嗎 3的平方減2的平方就等於3加2 就等於5嘛 所以就是1加2加3 對吧 5的平方減4的平方就5加4 這麼多個派 這是6加7這麼多個派 所以就1234567 就是正好是28個派 是這麼來的 它也用到平方差公式 哪個平方差 a方減b方 等於兩數和乘兩數差 這個很重要 平方差 平方差可以用來數算 你看 它可以用來數算 比如說口算48乘52 那你就掐指一算2496 爲什麼 它相當於是兩數和乘兩數差 一個是50加2 一個是50減2 對不對 所以50的平方減2的平方 50的平方是 2500 2的平方是4 所以就2496 就能夠算出來 當然它還有其他各種套法 各種套法 好吧 來我們先偷偷總結一下 第一個 圓的公式 周長是派d 也就是二派r 這個要滾光爛熟 是不是 面積呢 派r方 面積是派r方 然後還要考它的推理 它是怎麼推的 推導過程 用到了什麼 長方形 的公式 還用到了極限的思想 對不對 大家自己一定要推一下 那扇形呢 扇形我們的周長就是什麼 360 甚至n 二派r 再加2r 那如果這樣算的時候 我這個n就是 不是圓心角 是圓心角的直呢 對不對 因爲底下是360 上面就沒有度了 面積就是 360分之n 派r方 對不對 好那第三個就是什麼 不規則的 歌譜法 那不規則常見的不規則 我們也得算一下 第一個就是公形 公形這個哥們的話 說實話太常見了 公形 公形的話它的面積就是 扇形 漸 三角 經常用來補 給它補到其他地 第二個是穀子 或者是葉子 那就是兩個公形放一起 對吧 兩個公形 兩公形 還有彎角 彎角 這是常見的三個 不規則的圖形 那我們經常用歌譜 歌譜 對吧 然後記住在算的時候呢 計算 你就派的常見的倍數 一定要滾瓜爛熟 對不對 派的倍數 常見倍數 比如說我們 九倍之內 你都要很熟 是吧 一倍兩倍三倍四倍五倍六倍七倍八倍九倍的 還有派放最後 最後算 就過程中的派千萬不要算 放到最後去算 纔可以 這就是圓和扇形的基本的認識 對吧 那這個 基本的公式的話 你可以把其他的也梳理一下 因爲有的同學剛看到了我們的平方叉 我把剩下幾個公式也寫出來 對吧 就寫在這邊上 作爲一個瞭解 因爲有的東西不知道 或者說我們可能有的還沒有學過 我就把它寫在邊上 學過沒學過都放着 首先是 首先是長方形的 對不對 C是 長加寬的和乘二 S呢 是長乘寬 正方形呢 C是A乘4 S呢 A乘A 平行四邊形呢 B乘高 A乘H 三角呢 B乘高 除以二 對吧 T型呢 上底加下底 和乘高除以二 OK 那他們三的話其實 像T型和三角形都是用到平四邊形的 記不記得我們在推導的過程的時候 其實都是用到的 能理解吧 好 然後我們還有什麼 這是第一種拓展的 那第二種拓展大家有興趣可以去看一下 一個就是 自然數列1加2加3一直加到n 等於什麼 二分之n乘n加1 一個是我們的平方差 A方減B方 等於A加B的和 乘A減B的差 當然如果有興趣的你可以更狠一點去看這個公式 平方和 一直加到n的平方知道等於什麼嗎 六分之一的n乘n加1 乘2n加1 好吧 把這一頁給它截個圖 我們會陸續的不斷的去把它給 彙總到一起 對吧 我們在實際的 學習的過程中不斷的去用它 不斷的去用它 就可以了 好吧 OK 行 那我們今天這個圓和稱題就說到這裏 那待會去之後把這個好好算一下 然後π的常見的倍數 常見的倍數 你可以什麼 你可以今天寫一下 然後明天你拿張紙 你再試一下兩倍到九倍 我不要求其他的兩倍到九倍 你再寫一下 對吧 你通過兩次 你就可以加深印象 真的是可以加深的 好吧 OK 那我們今天就到這裏 拜拜 下次見了 拜拜