Exercice : construire et utiliser un arbre pondéré - Maths - Terminale

dans cette vidéo on va voir ensemble comment construire et utiliser un arbre pondéré dans le cadre bien sûr des probabilités conditionnelles donc dans des exercices de probabilité en général tu as des énoncés assez longs il faut bien prendre le temps de les lire et bien de comprendre ce qu'on vous donne donc là première chose on se place dans le cadre d'une élection imaginons présidentielle où on a trois candidats A B et C et on connaît certaines informations on nous dit que le candidat a il a obtenu la moitié des des voit le candidat B les 310è et le candidat c le reste et on nous dit aussi d'autres informations un peu plus précise que 30 % des électeurs de a 60 % des électeurs de B et 50 % des électeurs de c étaient des hommes et enfin dernière chose qu'on nous donne c'est que il y a 43 % desé lecteurs qui étaient des hommes et donc ça vu qu'on est dans un exercice de de probabité on va noter certains événements donc imaginons qu'on considère la situation où on prend un électeur au hasard parmi ce groupe on va noter A B C naturellement le candidat à voter pour le candidat A B ou C et donc F h les événements bon être une femme ou être un homme on va voir comment essayer de calculer probabilités avec cet énoncé et en fait une des solutions c'est de construire un AR pondéré pourquoi parce que ça permet de schématiser tout toutes nos informations et de Simp fier les calculs derrière donc souvent les premières questions qui vont venir dans un exercice comme ça la première chose ça sera déjà d'essayer de traduire les don les données de l'énoncé à partir des événements des notations qu'on vous a donné même si on demande pas de de faire ça je te conseille fortement de le faire parce que ça va t'aider à pouvoir dégager clairement ce qu'on t'a donné et pouvoir simplifier les calculs derrière donc première question on va traduire toutes les données de l'énoncé grâce à nos notations donc là on va suivre suivre l'ordre chronologique euh de l'énoncé pour pouvoir le faire donc la première chose qu'on nous dit c'est que le candidat a il obtient la moitié des voix donc ça en terme de probabilité comment on va le traduire on va le traduire tout simplement par le fait que la probabilité de a elle est égale du coup à 1/2 autrement dit 0,5 ensuite et bien on nous dit que le candidat B a obtenu les 3/10e des voies donc la probabilité de B égal autrement dit à 0,3 et le candidat c le reste on pourrait calculer cette probabilité mais la donnée est pas clairement explicitée donc on va le calculer plutôt plus tard maintenant on nous dit autre chose on nous dit aussi que 30 % des électeurs de a sont des hommes donc là il faut bien faire attention c'est parmi les électeurs de a il y en a 30 % qui sont des hommes donc là finalement en terme de probabilité c'est une probabilité conditionnelle qui se cache derrière ça pourquoi parce parce qu'on on s'est placé dans le cadre où l'électeur avait choisi le candidat a et donc c'est une probité conditionnelle c'est probité de quoi c'est la probabilité du coup d'être un homme sachant que le l'lecteur a choisi le candidat a donc sachant a et la condition on se rappelle pour les probabilités conditionnelles en notation on le met en indice ici et du coup nous on nous a dit que 30 % des électeurs de A étaaient des hommes donc autrement dit cette probabilité là égale à 0,3 aussi et de la même manière 60 % des vcteurs de B sont des hommes donc là c'est exactement le même raisonnement finalement c'est la probabilité d'être un homme sachant que l' lecteur a choisi le candidat B donc c'est cette probabilité conditionnelle là elle égale du coup à 0,6 et encore encore une fois de la même manière 50 % des vecteurs de C sont des hommes donc c'est parmi les électeurs de C donc autrement dit la probabilité d'être un homme sachant que que l'électeur a choisi le candidat C elle égale du coup à 0,5 et la dernière chose on nous dit aussi que parmi les électeurs il y a 43 % d'hommes donc là il y a pas de condition c'est tout simplement la probabilité de H ég à 43 % donc autrement dit 0,43 donc ça c'est toujours la première étape dans ce genre d'exercice c'est traduire les données de l'énoncé avec nos notations ça va nous permettre de simplifier les calculs derrière et donc pour voir tout pour pour pouvoir schématiser tout ça ce qu'on va faire on va faire un arbre pondéré pour avoir les idées bien plus claires et aussi surtout on le verra derrière pour calculer des probabilités conditionnelles ou des probabilités beaucoup plus facilement donc là on va faire un arbre qui va permettre de résumer cette situation bon là on a deux caractères le premier c'est regarder si le candidat a choisi si l'électeur pardon a choisi le candidat A B ou C et la deuxème chose c'est regarder si l'électeur est un homme ou une femme donc finalement on a deux manières de partir donc on va faire un petit schéma pour cder pour voir ce qu'on va faire soit on choisit de partir TR possibilités A ou C et donc pour chacune de ces possibilités on va devoir regarder si c'est un homme ou une femme on va faire ça à chaque fois soit sinon ce qu'on peut faire c'est dans l'autre sens c'est-à-dire regarder d'abord si c'est un homme ou une femme et après pour chacune de ces possibilités regarder si elle a choisi le candidat A B ou C donc autrement dit sur chacune de ces branches on va avoir trois branches une pour a une pour B une pour C donc là c'est là où il faut faire attention il faut regarder ce qu'on t'a donné essayer de voir quelle possibilité tu vas choisir et en fait tu as pas vraiment le choix parce que tu as pas toutes les informations ici donc là on va essayer de voir ce qu'on comment on pourrait faire pour remplir cet arbre ce que tu dois mettre sur les branches c'est les probabilités associées autrement dit par exemple sur la première branche ici c'est la probabilité de a ça tu l'as la probabilité de B pareil tu l'as la probabilité de C on va pouvoir la déduire facilement pareil ici finalement la probiité de H tu l'as donc la probiité d'être une F tu l'as aussi donc finalement la distinction elle se fait pas encore ici maintenant si on regarde un peu plus loin sur cette branche ici qu'est-ce que ça va être comme probabilité qu'est-ce qu'on va mettre attention c'est pas la probiité de H pourquoi ce c'est pas la probiité de H parce que tu t'es déjà placé dans le cadre où tu avais choisi a donc finalement cette probabilité qui est là c'est la probabilité de H sachant a qu'on a calculer enfin qu'on a qu'on a exprimé ici donc là on va pouvoir les donner à chaque fois alors que si on regarde e le deuxième arbre ici on va pas pouvoir donner les probabités pourquoi parce que sur cette branche là qu'est-ce qu'il va falloir mettre il va falloir mettre la probabité de a sachant h donc la probabité que l'électeur a choisi le candidat a sachant que c'est un homme et ça on nous l'a pas donné donc finalement on n pas le choix on est obligé de choisir le premier arbre donc du coup on va partir sur la structure qui ressemble au premier arbre donc on va partir des branches A B C et découler chacune avec H ou F et on va renseigner les probités sur chacune de ces branches donc du coup on va déjà faire une branche pour a une branche pour B et une branche pour C A B et C et pour chacune de ces branches du coup comme on a dit on va faire une branche pour H et une branche pour F donc h f h f et pareil pour du coup pour C et bien sûr là on n pas terminé parce que avec ça on pourrait pas faire grand-chose on va renseigner les probabilités sur sur chacune de ces branches ici on a dit que c'était la probabilité de a donc autrement dit avec ce qu'on a pu dire dans la question précédente c'est égale à 0,5 la probabilité de B elle est égale à 0,3 et donc on peut facilement déduire la probabilité de C bah c'est ce qui manque pour aller jusqu'à 1 parce que je te rappelle que la somme des probabilités doit être égale à 1 donc finalement la probité de C elle égale à 0,2 donc maintenant il nous reste à remplir les branches de la deè colonne donc ici le nombre qu'on a ici je te rappelle que qu'est-ce que c'est ici c'est la probabilité de H sachant a on se place dans le cadre les lecteur a choisi a donc c'est sachant a donc finalement c'est notre probé qui ici 03 et le principe il est le même sur chacune des branches la la somme des prob do être égale à donc finalement sur la probité de F sachant a bien ég à 0,7 ok donc faisons exactement la même chose pour remplir les autres branches donc là si tu veux tu peux faire pause normalement tu as dû comprendre ce qu'on a dit avec les la première branche ici donc tu peux faire la même idée donc maintenant et bien ici qu'est-ce que c'est c'est la probiité de H sachant B donc notre 0,6 donc vu que la somme des proiéités doit être égale à 1 la proiété de F sach en B et bien c'est 0,4 ensuite bien la probabilité de H sachant C c'est égal à 0,5 et donc la probabilité de F sachant C c'est aussi égal à 0,5 et donc là on a fini on a bien renseigné chacune des probabilités sur chacune des branches et donc à partir de maintenant ce qu'on va faire on va utiliser notre arbre qu'on a remis ici pour pouvoir calculer certaines probabilités et on va voir pourquoi l'arbre est très utile parce qu'il nous permet B premièrement déjà de schématiser toutes nos données et aussi de simplifier les calculs parce qu'il y a des certaines propriétés de calcul sur cet arbre donc imaginons première question qu'on nous demande de calculer la probabilité d'interroger une femme ayant voté pour le candidat C donc déjà il faut faire attention ici c'est pas une probabilité conditionnelle on va juste regarder un électeur qui est à la fois une femme et qui a à la fois choisi le candidat C donc ça une première chose à faire dans toutes les dans tous les exercices de pro c'est savoir le traduire en terme de notation ça c'est une première difficulté il faut bien savoir maîtriser toutes ces notations et savoir ce qu'elles veulent dire donc là nous on veut calculer la probabilité de quoi on a dit c'est à la fois d'être une femme et à la fois d'avoir choisi le candidat C et donc ça vu que c'est les deux à la fois il y a pas de condition c'est tout simplement la probabilité de l'intersection de ces deux événements donc autrement dit c'est la probabilité de F interc avec nos notations et donc ça maintenant comment on fait pour pouvoir calculer ça avec notre arbre et bien finalement il suffit de regarder où est-ce que dans notre arbre on a ces deux conditions là qui sont vérifiées autrement dit il faut choisir une double branche de notre arbre où le candidat est une femme et a choisi le candidat C et bien finalement on a qu'une seule possibilité c'est de regarder cette branche là puis cette branche là et normalement tu dois connaître les propriétés sur ton arbre il y a un principe multiplicatif donc autrement dit la probabilité de H de pardon de F interc c'est 02 x 05 pourquoi parce que la probabilité de F interc on peut l'écrire toujours avec notation c'est la probabilité de C fois cette probité là on a dit et cette probé en terme de notation c'est la probabilité de F sachant C et donc ça maintenant on peut remplacer avec les données de notre arbre vu que on fait le produit des de et bien c'est 02 x 05 et ça du coup c'est égal à 0,1 donc finalement la probabilité j'ai une femme ayant voté pour le candidat c est dégal à 0,1 donc maintenant on va essayer de voir ensemble comment on fait pour calculer une probabilité conditionnelle à partir de l'arbre donc on nous demande de traduire par une phrase d'abord ça ça va être important de savoir ce que ça veut dire et aussi de calculer la probabilité de P de C sachant h donc déjà il faut savoir traduire ça sous forme de phrase donc la probabilité de sa h et bien c'est la probité d'interroger un électeur ayant voté pour le candidat C et là vu qu'on a une condition c'est sachant que c'est un homme donc ça maintenant comment on fait pour calculer a priori on peut pas directement utiliser notre arbre pourquoi parce que il faut faire attention à la condition ce qu'on avait du coup nous ici c'était la probabilité de H sa Chan donc c'était dans l'autre sens finalement donc nous on veut ça pour calculer cette probité avec les donnéeslancées là tu es obligé de d'aller de revenir à la définition de de probabilité conditionnelle la probabilité de C sachant h normalement si tu connais ton cours ça c'est la probiité de l'intersection donc autrement dit la probiité de H interc divisé par la probiité de la condition ici la condition c'est d'être un nom donc divisé par la probabilité de H ça c'est un petit moyen mémotechnique retenir la la définition de probabilité conditionnelle c'est la probiilité de l'intersection divisé par la probité de notre condition par qu'il faut le pondérer par le fait qu'on se place dans ce cadre là et donc maintenant bah ça on sait le faire pourquoi parce que la probabilité de H interc et bien c'est de regarder du coup cette branche- là c'est ici puis puis ici et ça bah ça revient à faire ce qu'on a fait dans la question précédente ici puis ici on a dit qu'on avait un principe multiplicatif donc autrement dit la probabilité de H interc c'est cette probabilité là fois cette probabilité là donc 0,2 x 0,5 et ça on va le diviser par la probiité de H et la probiité de H été don doné dans l'énoncé elle éta égale à 0,43 donc finalement la probabilité de C sachant h et bien c'est 02 x 05 div par 0,43 et ça bah la calculette tu trouves que ça fait environ 0,23 donc là on est obligé de revenir à la définition de probabilité conditionnelle et après d'utiliser les les propriétés multiplicatives qu'on a sur notre Arre donc là si tu veux tu peux mettre la vidéo en pause pour pour calculer par toi-même les deux autres probabilités qu'on va calculer derrière autrement dit la probabilité de a sachant h et la probiité de B sachant h normalement si tu as compris ce qu'on a fait là c'est plus ou moins le même raisonnement et tu vas pouvoir calculer du coup ces deux probités là donc du coup maintenant on va calculer ces proiétés là pourquoi on va calculer parce qu'on nous demande cette fois on se place dans le cadre où le lecteur est un homme donc ça ça va être notre condition c'est pour ça qu'on a des probabilités conditionnelles ici et nous dans cette condition là on veut savoir quelle est la plus grande probabilité pour que les lecteurs a voté pour a pour B et pour C donc nous on a déjà calculé dans la question précédente la probabilité de C sachant h donc il nous reste plus qu' qu'à calculer la probabilité de a sachant h et la probiité de B sachant h et donc là comme on a dit tout à l'heure on est obligé de revenir à la définition de probiilité conditionnel donc on va déjà commencer par la probiabilité de a sachant h ça c'est la probabilité de A Inter a divisé par la probiité de h la probiité de h on l'a déjà c'était donné dans l'énoncé c'était égal à 0,43 et la proiité de l'intersection ça on se rappelle comment on fait la probiité de H Inter a on regarde notre arbre donc h Inter a c'est vérifier a et h donc c'est être sur cette double branche ici et avec notre principe multiplicatif du coup cette probabilité égale à 0,5 x 03 et donc du coup on divise tout ça par la probilité de H qui est égal à 0,43 et donc on trouve environ 0,35 on va faire exactement le même raisonnement pour calculer la proiité de B sachant h ça et bien c'est égal à la proiéé de l'intersection divisé par la proité de notre condition donc ici divisé par la proiété de H toujours pareil on regarde dans notre arbre où est-ce que h interb est vérifié et bien c'est ici on a notre principe multiplicatif comme tout à l'heure on fait du coup 0,3 x 0,6 divisé par la probiilité de H donc divisé par 0,43 et ça on trouve environ égal à 0,42 donc là avec ce qu'on a calculé la probiité de a sachant h la probiilité de B sachant h et la probilité de C sachant h qu'on a calculé dans la question précédente on peut en déduire que du coup lorsqu'on se place dans le cadre où l'électeur est un homme il est plus probable que cet électeur a choisi le candidat B voilà j'espère t'avoir aidé pour pouvoir calculer des probabilités à l'aide d'un arbre on se retrouve dans une prochaine vidéo