Exercice : résoudre une équation de degré 4 par changement de variable - Maths expertes - Term

donc dans cet exercice nous allons voir comment résoudre une équation de degré 4 dans C donc dans les nombres complexes en faisant un changement de variable donc pour ça on va essayer de résoudre l'équation z^ 4 + 6 z² + 25 = 0 donc les préroquis dont tu a besoin pour faire cet exercice c'est tout d'abord la définition du nombre i donc i car = -1 et que tout nombre complexe peut s'écrire sous sa forme algébrique donc sous la forme Z est ég à a + IIB avec A qui est sa partie réelle et qui est sa partie imaginaire et si on a écrit un nombre Z complexe sous sa forme algébrique donc sous la forme a + IIB on peut définir ce qu'on appelle son conjugué et qu'on note Z bar tel que Z bar est égal à A- IB il faut aussi connaître juste ce théorème là donc pour résoudre une équation de second degré dans C donc sous la forme a z² + BC + BZ + C = 0 on va calculer son discriminant donc ce qu'on appelle le discriminant c'est le delta qui est égale à b² - 4ac et en fonction de la valeur de de ce discriminant on va voir une ou plusieurs solutions donc si Delta = 0 on a dans ce cas-là une solution qu'on appelle double qui est égale à - b/ 2A si delta est positif on va avoir deux solutions réelles distinctes et le cas qui nous intéresse ça va être si delta est négatif dans ce cas-là on va avoir deux solutions complexes conjuguées donc b - I √ car de valeur absolue de Delta sur 2A et sont conjugué B + i r√ car de valeur absolue de Delta sur 2A je aussi remis les identités remarquables donc on en aura certainement besoin alors donc pour la première question on va considérer le polynôme z² + 6 Z + 25 et on veut déterminer ses racines donc pour déterminer les racines d'un polynôme ça veut dire en gros résoudre l'équation ce polynôme ég 0 donc là on va essayer de résoudre cette équation là donc pour ça on va calculer déjà comme on a vu dans le théorème tout à l'heure le discriminant le discriminant c'est b² 4 à et B ici il vaut 6 donc ça va nous faire 6 x 6 36 4 AC - 4 x a a il vaut 1 et C il vaut 25 donc le discriminant il vaut 36 4 x 25 donc - 100 36 Mo ins 100 et donc ça nous fait moins déjà c'est négatif 4 64 donc le discriminant est négatif ça veut dire qu'on a deux solutions complexes conjuguées mais là le discriminant on va directement l'écrire sous une forme qui nous arrange donc on a Delta qui est égal à 64 et donc ça c'est Mo 8 au car donc on va prendre la racine de la valeur absolu de Delta ça ça va directement nous faire la rac de 6ac 64 donc donc ici nos de on a Z1 qui vaut B i car Delta sur I valeur absolue de Delta sur 2A donc B on a dit que c'était 6 donc ça ça n fait 6 i la racine de la valeur absol de Delta c'est 8 divisé par 2 A et A c'est 1 donc ça fait 2 donc on a Z1 qui vaut - 6/ 2 donc - 3 et pour la partie imaginaire - 8/ 2 donc - 4i donc ça c'est la première solution pour la deuxème solution on a B qui vaut toujours 6 donc ça nous fait - 6 + i r√ caré de valeur absol de Delta 8 sur 2A donc sur 2 donc ça nous fait Z2 qui est égal à - 6/ 2 donc - 3 et 8 i/ 2 donc + 4i là on a donc nos deux solutions donc Z1 qui vaut - 3 + - 4i et Z2 qui vaut - 3 + 4i donc pour la deè question on va nous demander de déterminer les écritures algébriques des nombres a qui est égal à 1 + 2i au car et B qui est égal à 1- 2i au car donc pour ça on va utiliser les identités remarquables donc A + B au car ça ça fait a car + 2Ab + B car avec a qui vaut 1 et B qui vaut 2 donc ça nous fait 1 au Carr + 2 x 1 2i + 2i au car et donc ça ça nous fait 1 + 4i et 2i car ça fait 4 X1 puisque i au Carr ça fait 1 1 donc ça nous fait pour la partie réelle donc 1 - 4 donc 3 pour la partie imaginaire il nous reste 4i donc a vaut - 3 + 4i et B qui à 1 2i au car donc là on va utiliser l'identité remarquable qui dit que A B au car c'est ég à a car 2Ab + B car et donc ça ça ça vaut donc 1 au car donc 1 2 x 1 x 2i plus 2i au carré et donc B il vaut je une bar pour séparer donc B il vaut ça ça nous fait 4i 4i et 2i au carré comme on a vu tout à l'heure ça fait 4 donc - 4 + 1 donc B il vaut sous sa forme algébrique donc la partie réelle qui vaut - 3 et la partie imaginaire qui vaut - 4i donc on a - 3 + 4i et 3 4i alors maintenant on veut résoudre l'équation l'équation de degré 4 donc pour ça évidemment on va utiliser les deux questions précédentes donc on va faire tout d'abord un changement de variable donc on va appeler grand Z est égal à Z au Carr et ensuite on va modifier ici on va on va remplacer ici donc ça ça va nous faire grand Z au carré + 6 grand Z + 25 est égal à 0 donc là on se rend compte qu'on se retrouve avec l'équation qu'on a résolu dans la première question donc on avait vu qu'il y avait deux solutions donc la première c'était Z1 qui est égal à - 3 4i et la deuxème c'était Z2 qui est égale à 3 + 4i donc vu qu'on a fait un changement de variable ça ça veut dire que et qu'on a posé grand Z qui vaut petit Z au carré donc ça ça veut dire qu'on a petit Z1 au carré qui doit être égal à - 3 4i et ça ça veut dire qu'on a le petit Z2 au carré qui doit être égal à - 3 + 4i or à la question on avait vu que 3 4i c'était B et donc on pit l'écrire 1- 2 car donc ça c'est 1 2 au car donc Z1 car ég Z car c'est é à 1 2 car et de la même façon on avait vu aussi que - 3 + 4i ça pouvait s'écrire sous la forme 1 + 2i² donc ça c'est 1 + 2i au Carr et ça c'est Z2 au Carr donc là on a presque fini cette équation là va nous donner deux solutions donc on va avoir Z1 qui va être égal à 1- 2i et Z2 qui va être égal à 1- 2i donc ça ça fait - 1 + 2i ensuite ici on a aussi deux solutions donc on va avoir Z3 qui va être égal à 1 + 2i et Z4 qui va à 1 + 2i et donc ça ça fait 1 2i donc on a quatre solutions et on va pouvoir les écrire donc on a 1- 2i 1 + 2i 1 + 2i et 1 2i donc on a trouvé les qu solutions de cette équation de degré 4 dans C donc tout pour cet exercice j'espère que ça vous aura été utile et à bientôt pour une nouvelle vidéo