Concours Avenir 2024 - sujet 2023 - Compilation questions 1 à 112 - Géométrie dans l'espace

bonjour à tous aujourd'hui on se prépare pour le bac spécialité math avec une question tirée du sujet du concours avenir 2023 sur la géométrie dans l'espace un QCM il y a une réponse exacte parmi les quatre qu'on vous propose la première question est très simple on démarre doucement considère donc le plan P on vous donne une équation cartésienne de ce plan x + 2Y + 3z- 1 = 0 quel vecteur parmi les 4 est normal à P je vous rappelle que quand on dispose d'une équation cartés vient d'un plan et bien il est facile d'obtenir les coordonnées d'un vecteur normal de ce plan il suffit et bien de prendre les coefficients des variables X Y et Z dans cette équation donc ici je peux avoir facilement les coordonnées d' vecteur normal alors qu'on écrit en vertical en horizontale ici on prend pour première coordonnée a ensuite B et ensuite C donc dans notre exemple ça donne comme première coordonnée ici vous voyez que dans l'équation qu'on nous donne he le coefficient de X ici il y a rien d'écrit donc si vous avez 1 x bien sûr donc on va prendre un vecteur normal de coordonnées donc tout d'abord 1 ensuite le coefficient de y c'est donc 2 he puisquil a écrit + 2 donc c'est 2 et le coefficient ici le 3è donc on va prendre le coefficient de Z donc c'est ce + 3 on va écrire 3 donc un vecteur normal de ce plan peut être donc de coordonnées 1 2 3 alors ça tombe bien parce que dans les propositions qu'on nous fait et bien c'est le vecteur ici on reconnaît c'est N2 donc la bonne réponse c'est B alors attention ça pu être il y a d'autres vecteurs non il suffit de multiplier ce vecteur ici de coordonn de 3 par 2 par 3 par 4 ou par -1 vous avez comme ça plusieurs possibilités donc on aurait pu vous donner par exemple une autre proposition qui serait 2 4 6 un exemple parmi tant d'autres voilà comme il y a qu'une seule réponse exacte et bien on considère évidemment que une fois qu'on a trouvé la bonne on s'arrête et on passe à la question suivante voilà très bientôt bonjour à tous aujourd'hui on se prépare pour le bac spécialité math avec une question tiré du concours av venir sur la géométrie dans l'espace on considère la droite D d'équation x - 2/ -1 = X Y - 1/ 2 = Z + 3/ 1 alors ça c'est assez bizarre déjà parce que on a l'habitude en term spécial de travailler avec les équations donc paramétriques plutôt ce qu'on appelle des représentations paramétriques de droite ici hein c'est qu'on appelle un système d'équation cartésienne mais sous une forme un petit peu particulière d'ailleurs hein l'objectif c'est de déterminer un vecteur directeur de la droite D comment fait-on tout d'ord regardons un petit peu cette équation alors on va regarder déjà les deux premiers membres on a x - 2 sur -1 qui est égal à y - 1/ 2 si je fais un petit produit en croix rapide j'obtiens une équation cartésienne on est un dans un dans l'espace j'obtiens donc de fois x - 2 = -1 y - 1 donc si je mets tout à gauche en développant j'aurais 2x y ça fera + y - 4 - 1 ça fera - 3 et en fait ceci vous reconnaissez c une équation cartésienne de plan ici j'ai j'ai utilisé les deux premiers maintenant si j'utilise les deux autres y - 1 sur 2 = donc Z + 3/ 1 petit produit en croix y - 1 est ég à 2 x Z + 3 donc 2z + 6 si je mets tout à gauche j'obtiens y - 2 Z - 7 = 0 vous voyez qu'en fait cette définition ici équation droite est un système de deux équations cartésiennes de plans autrement dit ça veut dire que la droite D c'est l'intersection du plan dont voici une équation et du deuxième plan voici une équation d'accord alors comment on peut utiliser ça facilement pour trouver un vecteur directeur bien il faut trouver deux points de la droite donc je vais choisir des valeur paremple une valeur de x je prends x = 0 d'accord pour x = 0 qu'est-ce que ça me donne alors tout d'abord le deux premiers memb me donne donc à gauche - 2/ -1 qui va être égal à y - 1/ 2 je résous cette petite équation et ça va me dire que dans ce cas-là - 4 é= donc je fais un produit en croix y + 1 je trouve y é= donc 5 en même temps dans la deuxè partie ça va me donner Z si je prends x = 0 ça me fait donc à gauche 2 SUR1 qui va être aussi égal à Z + 3 Z + 3 je résous ceci ça fait à gauche 2 = Z + 3 donc 2 = Z + 3 Z = à 1 je viens de trouver un triplet X Y Z qui est donc un point de la droite ce point appeler le point et là pour donc 0 le y qu'on a trouvé c'est 5 et le Z correspondant 1 maintenant il me faut un deuxè point de cette droite pour le deè point on prendre une autre valeur de x là j'avais pris x = 0 je peux prendre par exemple c'est assz astucieux x = 2 pour x = 2 regardez à gauche ça fait 0 parce que X va 0 au milieu j'aurais donc Y- 1/ 2 et à droite Z + 3 donc grâce à ça je vais trouver y ça veut dire que ici 0 êre ég à Y- 1 j'ai m par 2 on trouve donc le fait que y est ég et ensuite 0 doit être é Z + 3 et donc Z est é 3 pour x= 2 donc trou un point de coordonné 2 1 3 maintenant j'ai de points de ma droite maintenant je calcu les du vecteur AB qui sera un vecteur directeur de la droite D sont deux points distincs les coordonnées coordonnées de B moins celle de a donc 2 - 0 2 1 - 5 - 4 - 3 - -1 ça fait - 3 + 1 ça fait - 2 je regarde dans les quatre propositions ce vecteur ne figure pas c'est normal parce qu'un vecteur directeur quand vous en avez un vous pouvez en obtenir autant vous voulez en multipliant par un coefficient ça veut dire qu'ici j'aurais pu regarder la moitié de AB voyez tous les toutes les coordéses sont paires donc la moitié de AB ces coordonnées c'est 1 - 2 - 1 alors on a pas encore ça mais on en a un qui est pas loin c'est son opposé regardez si je vais - 1/2 de AB je multiplier 3 coordonnées par -1 ça me fait -1 2 et 1 et qu'est-ce qu'on remarque et bien que c'est en fait le vecteur U3 - 1 2 1 ça veut dire que le vecteur - 1/2 AB bien c'est le vecteur U3 donc c'est U3 on sait que il y a une réponse exacte hein dans toutes les questions du enir et donc c'est forcément la réponse C la bonne voilà question pas facile faut le dire parce que je pense que pas mal d'élèves sont surpris de ce genre de façon de présenter les équations droite donc c'est par un système d'équation carartenne qui en plus est présenté de drôle de façon donc question je pense plutôt difficile par sa forme he mais voyez simple par les calculs qu'on y fait à très bientôt bonjour à tous et à ceux qui sont en spécialité mat terminale on se prépare pour le bac avec une question intéressante sur la géométrie espace tiré du concours à venir sujet du 2023 sur le plan médiateur donc on vous donne deux points A et B déterminer l'équation du plan médiateur du segment AB et vous avez quatre propositions une seule est exacte alors qu'est-ce que c'est que le plan médiateur d'un segment imaginons un segment AB plan médiateur c'est un plan tout d'abord première chose qui passe par le milieu du segment AB c'est une première chose très importante et ensuite ce plan il est orthogonal à la droite AB VO en quelque sorte le plan de symétrie du segment AB donc ici pour montrer qu'un plan est médiateur un segment il faut montrer que ce plan passe par le milieu et ensuite que et bien ce plan est orthogonal donc à la droite AB ça veut dire qu'ici on va aller chercher un vecteur directeur de AB et on va montrer que ce vecteur directeur de AB c'est un vecteur normal du plan donc il y a deux étape le milieu et ensuite vérifier l'orthogonalité entre les deux objets sur gogébra ça donne ceci vous voyez je représenter le plan sous forme d'un grand rectangle voilà et donc vous avez votre segment et donc vous avez un plan comme ça donc ça s'appelle le plan médiateur tout ce qui est média en mat c'est il y a une notion de milieu heedant donc c'est l'ensemble des points he si vous prenez un point quelconque dans ce plan et bien ce point il va être ici à égale distance de A et de B donc le plan médiateur c'est aussi l'ensemble des points qui sont équidistants au point et au point B à chaque fois que vous avez tracé un triangle vous obtiendrez un triangle iSOCEL d'accord voilà quel que soit ici votre point je vais bouger le point je déplace sur le plan voyez et quand on regarde bien et bien voyez on a en fait un triangle iSOCEL on va donc aller chercher tout d'abord les coordonnées du milieu de la B je vais l'appeler i donc c'est assez simple regardez 1 et 5 le milieu c'est 3 3 et 1 le milieu c'est 2 0 - 2 le milieu c'est -1 pour ça vous ajoutez vous divisez par 2 donc on a le milieu première étape on peut déjà vérifier he parmi les quatre propositions lesquelles déjà contiennent ce point et donc on remplace rapidement voyez pour ici on va faire pour le premier on fait 2 x x donc on fait 2 x 3 6 - y - 2 - Z ça fait + 1 - 5 vous voyez que ça effectivement hein ça fait donc 7 - 7 ça fait bien 0 donc ça n'élimine pas le premier donc on fait pareil avec les trois autres on remplace par les coordonnées de I et il se trouve qu'il y en a déjà un qui disparaît c'est le B hein quand on calcule pour le B et bien on obtient 2 x 3 6 - 2 -1 + 1 + 5 ça ne fait pas 0 donc le point il n'est pas sur le plan dont on vous donne l'équation en B donc on élimine B j'ai vérifié pour les deux autres ça marche donc on a déjà élimé 1/ 3 maintenant on va utiliser l'orthogonalité de votre plan médiateur par rapport au segment AB je calcule don les coordonnées du vecteur AB donc coordonnées de B moins celle 2 à 5 - 1 4 1 - 3 - 2 - 2 - 0 - 2 on regarde ici vous savez normalement que quand un plan pour vecteur directeur pour vecteur normal pardon AB vous pouvez avoir une équation sous la forme 4x - 2Y - 2z + D = 0 d'accord alors le problème ici c'est que devant x on a aucun qui a des 4 donc on va prendre un autre vecteur normal si le vecteur AB c'est 4 - 2 - 2 on peut prendre un vecteur colinéaire AB je vais prendre par exemple 1/2 de AB le vecteur 1/2 de AB he il a pour coordonnée 2 - 1 - 1 et là tout de suite regardez et bien on se rend compte que déjà première équation on a bien 2 - 1 - 1 donc la première équation c'est une équation de plan qui passe par le milieux et qui est bien orthogonale à droite à puisque son vecteur normal c'est 1 demi de AB donc forcément la bonne réponse pour les autres on regarde quand même toujours parce que là on est là pour apprendre si vous regardez les coordonnées du du plan qu'on propose pour le C vous avez des 1 1 2 ce vecteur de coordonnées 1 1 2 il n'est pas du tout collinéaire à AB donc AB n'est pas orthogonal l'équation correspondant au plan correspondant à l'équation C et c'est pareil pour l'équation d les coordonné c'est 3 2 - 1 3 2 - 1 ça n'est pas du tout cohinéire AB donc AB n'est pas orthogonal à ce point on peut l'éliminer donc c'était la réponse a qu'il fallait trouver parfois les éèves préfèrent même trouver l'équation du plan médiateur en utilisant le cours AB est normal à ce plan donc on écrit 4x 2 y - 2 Z + D = 0 ceux qui sont un peu rusés et bien préfère diviser tout de suite le vecteur AB par 2 d'accord pas forcément obligé mais ça diminue quand même les calculs pour trouver le point d on injecte les coordonnées du point I de façon à trouver la valeur de d voez donc ça fait ici 12 - 4 + 2 + d = 0 ça fait 14 - 4 je trouve d = - 10 donc l'équation qu'on trouve comme ceci rapidement on a un - D qui vaut un D qui vaut - 10 donc on a ceci 10 = 0 on peut diviser par 2 ça fait 2x - y - Z - 5 = 0 et vous voyez qu'on retrouve un équation donnée dans la petit a voilà l'exercice cette question est terminée donc rappelez-vous bien un plan Atur regardez sur geogébra je vais vous montrer ici il m'indiquit l'équation 2x - y - 5 Z = 5 donc c'est bien ce à quoi ça correspond bonne journée à tous bonjour à tous aujourd'hui on se prépare pour le bac spécialité math avec une question don c'est un QCM il a une réponse exacte c'est tiré du sujet du concours à venir 2023 un très très bon entraînement d'ailleurs je vous le conseille vraiment ce concours à venir des questions intéressantes il y a tous les tous les sujets il y en a vraiment tous les ans donc ça une bonne source en tout cas pour s'entraîner ici on donne les coordonnées de trois points A B C dans un repère donc orortonormé c'est donné dans le texte aussi et il faut donner la nature des triangles ABC la première remarque que je vais faire c'est une remarque de cours pour utiliser le produit scalaire et le calcul de longueur avec des coordonnées on a besoin d'être dans un repère orthonormé hein c'est pour ça vraiment très important de s'être placé justement dans un tel repère donc maintenant comment vat-on al le mieux c'est quand même d'aller chercher déjà les longueurs ça va très très vite quand on est en terminal hein donc on va d'abord calculer les coordonnées des vecteurs donc qui forment ce triangle donc AB AC et BC et on regardera un petit peu on peut faire après du prodcalaire ou des longueurs je vais vous montrer ça les coordonn des vecteurs AB on peut les écrire en verticale en horizontale donc ici on prend coordonnée de B moin coordonné de A - 6 - -1 ça fait 5 ensuite 1 - 2 ça fait 1 + 2 ça fait 3 on fait très attention 1 - 3 2 ça c'est les coordonnées du vecteur AB maintenant AC donc coordonné de C Mo coordonné de A - 5 - -1 ça fait - 5 + 1 ça fait donc - 4 - 3 - - 2 ça fait - 3 + 2 - 1 et 2 - 3 - 1 et maintenant on fait les coordonnées de BC coordonné de C coordonné de b - 5 - 6 - 5 + 6 ça fait 1 - 3 - 1 - 4 2 - 1 1 calcul de longueur c'est rapide à faire donc pour calculer la longueur AB on prend la racine carrée de la somme des coordonnées du vecteur AB au car donc - 5 au² 25 on aura une racine carrée bien sûr qu'on aura donc 25 + 3² 9 + - 2² il y a pas de moins donc ici vous mettez 4 ce qui fait donc ici 25 34 √ 30 ensite pour AC je vais doucement √ 4 - 4 au Carr qui fait 4 au Carr qui fait 16 plus carré de- 1 qui fait 1 plus ce carré qui fait 1 ça fait racine donc on a ici √1 maintenant longueur BC on a donc √ 1 plus le carré 4 + 16 + 1 ce qui me fait donc racine de 18 donc première remarque AC é= BD donc on a un triangle qui est isocè en C donc a priori la question est terminé puisqu'il y a qu'une seule bonne réponse et qu'on vous propose isocè lcé alors on peut quand même aller vérifier est-ce qu'il est cuatéral bien sûr que non voyez bien que les trois longueurs ne sont pas les mêmes est-ce qu'il est rectangle alors soit vous faites du Pythagore rectangle ça voudrait dire que le carré de BC vaut le carré de AB plus le carré de AC ça c'est donc on voit bien que c'est faux donc il n pas rectangle alors il y a une autre façon de faire rectangle on p aller vérifier un PR scalaire ça nous permet comme ça de rappeler le cours il faut aller vérifier l'angle AB AC donc on fait le prier scalaire AB AC on le calcule donc c'est les coordonnées les X X les X donc ici -5 x -4 qui me donne 20 + 3 x -1 donc - 3 + - 2 x -1 + 2 vous voyez que c'est différent de 0 donc l'angle bac hein n'est pas un angle de 90° he géométriquement donc ça n'est pas du tout un triangle rectangle a si on veut rectangle en C ben c'est pareil on regarde Pythagore Pythagore en C ça veut dire que ab² donc 38 sera égal à 18 + 18 18 et 18 fait 36 donc il n'est pas rectangle en C sinon on aurait pu aussi faire un produit scalaire pour euh l'angle en donc en C il faudrait faire le produit scalaire donc de AC scalaire BC et ça ça ne doit pas faire 0 donc - 4 x 1 ça fait - 4 + -1 X 4 ça fait 4 + - 1 x 1 ça fait -1 vous voyez bien que c'est différent de 0 donc il y a pas non plus de d'angle droit c'est donc exercice terminé ça permettait de faire un petit rappel donc sur le calcul de longueur et le calcul de produit scalaire dans un repère orthonormé à bientôt bonjour à tous aujourd'hui on se prépare pour le bac spécialité mat avec un QCM tiré du concours avenir 2023 il est question ici de projeter orthogonal donc il va falloir être rusé pour ne pas perdre trop de temps pour ça on va faire une figure il faut bien comprendre le problème vous avez ici donc de points A et B un 3è point qui est certainement en dehors de C sin il y aura pas de questionyz et on va projeter C orthogonalement sur la t on est dans l'espace ça donne ceci je vais appeler le projeter on va l'appeler h d'accord l'idée donc h et bien c'est le seul point qui est donc sur la DAT AB et tel que ch est orthogonale à AB d'accord donc on va plutôt que d'aller chercher les coordonn h utiliser les quatre propositions et essayer de vérifier une chose déjà très importante c'est que le vecteur ch hein doit être orthogonal vecteur AB c'est que le produit scalaire Chab doit être obligatoirement égal à 0 VO et si ça ne suffit pas il faudra aussi vérifier que le point H est bien sur droiteable c'estàdire que ha ou par ah est cinéaire à AB voilà donc on doit avoir à la fois ch qu' AB é= 0 et on doit avoir ah et AB colinéaire donc on va tout de suite partir sur le calcul du Prodis scalaire et voir si ça nous permet d'éliminer quelques propositions donc ça va commencer par le calcul des coordonnées du vecteur AB donc coordonné de AB c'est coordonnées de B moin coordonné de a donc 3 - 1 2 3 - 2 1 5 - 3 2 maintenant et bien je vais faire les propositions sont les unes après les autres vous êtes pas toujours obligé de faire ABCD hein parfois moi je commence par le dernier là je vais faire dans l'ordre mais rien ne vous empêche donc je vais tester d'abord les coordonées du a donc je vais calculer les coordonées de Ch d'accord donc en faisant coordonné de H moins coordonné de C donc ici - 1 - -1 ça fait 0 1 - 2 - 1 1 - - 4 ça fait 5 et vous faites comme ça le produit scalaire AB C H on fait donc 2 x 0 plus une x - 1 + 2 x 5 10 ça ne fait pas 0 donc ça veut dire que vous pouvez déjà éliminer la proposition a puisque dans ce cas-là on aurait AB scalaire ch hein donc je répète le calcul 2 x 0 0 + une x -1 - 1 + 2 x 5 10 c'est bien différent de 0 donc j'élimine la première proposition qu'on me fait deuxème proposition donc regarde ici al donc on a dit que c'était ch donc 2 - -1 ça me donne 3 5/2 - 2 ça me donne 1/2 4 - - 4 ça fait 8 et là on voit bien qu'en faisant le produscalaire on a ici 2 x 36 - 12 en a 16 donc ça ne fait pas 0 encore une fois on élimine la 2uxè la 3è donc ch 0 - - 1 1 3/2 - 2 - 1/2 2 - - 4 ça fait 6 encore une fois regardez 2 - 1/2 + 12 on élimine la proposition c'est là normalement on pourrait s'arrêter là et considérer que vu que les trois premières sont faux c'est forcément la 4e on va quand même aller regarder donc je vais calculer ch donne donc - 3 - -1 - 2 0 - 2 - 2 - 1 - - 4 - 1 + 3 2 + 4 ça fait donc 3 et vous voyez ici c'est donc ch scalaire AB qui m'intéresse 2 x - 2 - 4 1 x - 2 - 2 2 x 3 6 effectivement et cette fois-ci ça fait bien 0 et si on voulait montrer que h est vraiment le projeté il faudrait montrer que H et AB sont cinéire donc regardez coordonné de H donc h - 3 - 1 dans - 4 0 - 2 - 2 - 1 - 3 - 4 ensuite je vais faire les coordonnées de AB on les a déjà 2 1 2 et pour remarquer ici et bien il suffit de multiplier les cor de AB par - 2 pour tomber sur les coordonné de H donc effectivement AB h sont colinéaires ch est bien orthogonale à B donc h et bien le projeteur orthogonal de C sur la droite à on a terminé cet exercice vous voyez c'est pas si long que ça he mais il faut tout de suite prendre initiative dans ce cas-là vraiment vérifier le produit scalaire ça va assez vite à bientôt bonjour à tous Aujourd'hui exercice donc tiré du concours avenir 2023 on se prépare à de la géométrie dans l'espace avec ici un cube et on considère tris autres points M le milieu de CD P le milieu de GH et n le centre de la face ABCD quels sont parmi les les réponses proposé les points qui sont coplanair à vous de jouer le but c'est d'aller vite donc première étape on place rapidement les points donc le point M il est au milieu du segment CD donc je vais placer ici P le milieu de GH là et n le milieu de la face ABCD donc ici vous avez la face qui est à droite donc ici il est par là donc le point N alors on va regarder ici hein tout d'abord il y a A C et P alors ABC ils sont tous sur le plan qui est le plan donc c'est la face du côté droit ici he vous voyez cette face là qui est à droite et donc on remarque c'est que le point P lui il est sur une face parallèle la face EFG c'est veà dire que ABC et P ne peuvent pas être coplanaire puisque P n'appartient pas à la face justement ABC donc on lesmine déjà la proposition B sur George ça donne ceci voici notre cube ici le plan donc ABC voyez que le point P est ici hein donc le point P n'est pas dans le plan ABC ensuite on nous parle de mcpf donc m CP ça fait le plan du dessus d'accord c'est la face supérieure et F lui est dans le plan du sol donc évidemment F n'est pas coplanaire avec les points M C et P donc la réponse a elle est elle aussi fausse donc il nous reste reste encore deux possibilités voyz sur je ça donne donc ceci hein le plan du dessus et le plan du dessous il y a F ici il est pas sur le plan du dessus proposition C m n e et h donc m n e et h alors ça c'est très intéressant parce que la droite he et la droite mn elles sont orthogonales au sol d'accord elles sont donc parallèles donc on a deux droites parallèles ça veut dire que les quatre points sont coplanaires donc c'est la réponse c'est qui est la bonne ici Sury droiteogon donc plan du sol je trace le plan hour plantient bien les de droit puisque sont son toujours une se r c'est forcément regarde quand même ici la dernière proposition donc m p E et F alors ici he on a deux droites qui ne sont pas pareiles elles sont orthogonales d'cord l'une ici est sur le sur le le plan supérieur d'accord et ici on a une qui est sur le plan donc inférieur et aussi sur le plan hein donc de côté EFG hein donc ce sont deux droites orthogonales et elles ne sont pas coplanaire parce que la droite F et la droite MP elle ne se coupe pas l'une est sur le sol l'autre est sur le SOM mais donc ça veut dire qu'effectivement la proposition donc d elle aussi est fausse regardez sur je on a l'impression qu'elle se coup bien sûr mais quand on tourne voyez l'une est sur la face supérieure l'autre sur la face inférieure elles sont orthogonales d'cord puisquelles sont sur des arrêtes de cube non parallèle donc c'était bien effectivement la réponse c'est qui était la bonne voilà très bientôt pour la suite de ce concours à venir bonjour à tous on se prépare pour le concours à venir 2024 avec une question la question 7 ti du sujet 2023 on est sur la géométrie dans l'espace ça va aller très vite on a un cube ici donc AB C G m est le milieu de CD P milieu de G et n c'est le milieu de la face AB CD on vous donne un plan une droite dans quel cas sont-ils séquents donc est parti donc on va regarder proposition après proposition tout d'abord a et CP qu'est-ce qu'on peut en dire vous remarquez que AB c'est le plan ici du sol CP c'est une droite qui est sur la face supérieure donc la droite CP n'est pas du tout sur le plan du sol donc le plan droite ne sont pas séqu la droite est parallèle au plan en étant même complètement à l'extérieur de ce plan donc elles ne sont pas les deux objets ne sont pas séquents donc c'est réglé pour CP et la face donc AB ensuite proposition ABC al ABC c'est pratique aussi parce que c'est la face du côté ici et DH DH c'est une arête qui est d'ailleurs orthogonale à AD et orthogonale à DC donc elle est orthogonale à de donc vecteur directeur de la face donc ABC ça veut dire que ici ce vecteur il est normal au plan ABC donc ils sont ben le plan ABC et cette droite DH donc c'est quand on a terminé c'était la proposition B c'était très rapide il y a une seule réponse exacte he dans ce concours à chaque fois donc on a trouvé la bonne on peut s'arrêter bon là on est là pour s'entraîner donc on regarde MNH donc on a ici on va représenter mn le segment donc mn ça donne ceci hein donc ça coupe en fait au milieu ici du segment AB donc le plan c'est ce plan-l ce plan donc ici MH vous voyez he et si on regarde la droite donc BC BC elle est ici hein elle est en fait elle ne passe pas elle ne coupe pas le plan elle est parallèle au plan hein d'accord elle est parallèle à mn sans jamais couper le plan mn donc ils sont pas c'est quand la droite est parallèle au plan ensuite il me reste DAP et mg pour DAP alors on a ici donc DP da donc on voit bien le plan il est comme ceci d'accord ensuite la droite donc mg donc mg elle est ici c'est une droite qui est parallèle donc au plan ADP et qui ne le coupe pas donc ce n'est pas non plus la réponse de toute façon on avait déjà trouvé très vite que la réponse B était la bonne donc c'est un concours il faut aller vite on traîne pas et donc on passe à la question suivante à bientôt bonjour à tous aujourd'hui on se prépare pour le concours à venir 2024 avec une question tirée du sujet 2023 on est sur la géométrie dans l'espace on a un cube AB C D F G et on vous parle ici des vecteurs AB et FG qui dirige un plan mais lequel parmi les quatre qu'on vous propose première chose on repr entre les deux vecteurs donc on peut représenter a comme ceci voilà ensuite FG donc FG c'est un vecteur hein ici qui est vertical donc FG voyez bien que c'est égal à ad donc le vecteur FG on va le représenter hein en fait le représenter comme ceci AD et on voit bien avec ça que les vecteurs AB et FG dirige un plan qui est parelle aux face de côté hein ici ABC ou le ou donc l'autre FG donc qu'est-ce qu'on propose alors BCD ben c'est parfait BCD c'est bien la face du côté hein c'est bien ABC donc la réponse a c'est tout de suite la bonne AB et FG dirige bien la face BCD on regarde les autres ABF alors ABF c'est c'est le sol donc c'est pas du tout dirigé par FG FG c'est un vecteur qui sort du sol donc ici on peut éliminer B pour A B G donc et bien on a bien AB mais ABG bien c'est un plan qui est qui coupe obliquement le cube donc ça n'est pas la bonne réponse du tout pour dfgb on voit bien que c'est la PH du devant hein donc elle est pas du tout dirigée par AB mais par donc FG par exemple et AE donc ça n'est pas non plus de toute façon je répète dans ce concours dès que vous avez la bonne réponse vous arrêtez vous passez à la question suivante puisqu'il y a exactement une réponse exacte à chaque fois VO n'oubliez pas ça c'est important voilà donc pour cette question 8 à bientôt bonjour à tous on s'intéresse au concours à venir avec ici une question tir du sujet 2023 c'est la question 9 géométrie dans l'espace considère de cubes de même taille disposés côte à côte donc je fais une petite figure al il faut placer les points ça prend un petit peu de temps mais si vous remarquez dans les noms des cubes il y a le point donc le point bjà et vous avez le point F et G en commun il y a déjà trois points communs il y en a forcément 4è donc c'est C donc on a la face commune c'est la face BCG donc ici on va mettre A B C D donc ça sera E F G H voyez ça c'est le plan donc B C f g c'est parfait et maintenant on doit faire donc B I J c et ensuite on commence par F l K et G maintenant on considère donc le point x défini par cette égalité vectoriel où est-ce qu'il se situe donc on va partir de a et on va représenter ici on va faire des translations tout tout simplement je me place donc en a je fais une translation vecteur 2 CJ alors CJ vous voyez il est ici c'est donc AB donc je fais deux fois vecteur AB on se retrouve ici donc j'ai fait 2 CJ ensuite DH alors DH c'est donc un vecteur he qui va donc de DVH ici c'est équivit à il donc je me retrouve en L donc là j'ai fait une translation vecteur DH et ensuite FG donc FG c'est le vecteur LK donc je me retrouve ici en cas donc la bonne réponse c'est la réponse C voilà la difficulté c'était juste de faire la bonne figure avec la bonne face commune à ces deux cubes voilà je vous laisse à très bientôt bonjour à tous on se prépare pour le bac spécialité math avec les questions tirées du concours à venir donc 2023 donc on a un cube ABCD F G côté non nul et on considère de points I défini vectoriellement par deux égalités quel vecteur est dans le plan dirigé par E C et j propositions une seule est exacte on va commencer par quoi bien par tout de suite placer les points I et J donc e= 1/ EF c'est qu'ici on va se placer sur le segment à 1/ de ici e donc on coup en 3 on vaouver par ici voil ça on va dire que le point est ici ensuite g j c'est 2/ de GC donc je me place sur GC à 2/ G donc je c 3 donc j se trouve ici donc la question quel vecteur est dans le plan dirigé par je les représente donc travers comme ceci voil c'est ce que je viens de VE représente c'est pas évident veur est dans ce plan c'est une question qui est pas facile on va représenter un vecteur partant de e donc ici qu'est-ce qui se passe je vais partir de je vais donc faire une petite translation de vecteur i donc le point j va se décaler ici comme i se décale en e donc j'obtiens ceci donc j'obtiens ici un vecteur qui part de pour aller sur un point qui est sur la face supérieure ici avec ici 1/ers du vecteur E F et donc on peut imaginer un plan par exemple qui passerait par E qui est dirigé par le vecteur ici rose vecteur vert donc vous auriez ici JC J c qui serait dans ce plan la droite JC en fait comme là j'ai mis un/ers et qu'on a un tier ici en fait elle passe par h HC en fait serait à l'intérieur de ce plan d'accord donc la parallle passant par eu parallèle à HC serait aussi dans le plan donc en fait on aurait aussi donc ici toute la droite BC qui serait dans le plan donc ça veut dire qu'on pourrait imaginer un plan passant par E par B par C par h et vous voyez que dans toutes les propositions et bien il y a le FG qui marche très bien FG c'est un vecteur donc ici vertical et comme il est égal à BC en fait c'està dire que le plan ici tous les plans qui sont dirigés par un vecteur rose et le vecteur vert ici et bien contiendront la direction FG voilà donc c'est la réponse C et on a déjà terminé c'est pas évident il faut penser à faire ce petit décalage et puis se baser sur un point un point un plan passant par e voyez et pensez bien à ce vecteur ici que j'ai fait rose qui passe ici sur un point en haut qui est assez particulier parce qu'il est sur la diagonale ici HC VO ça c'est intéressant pour ceux qui veulent visualiser en 3D ça donne ceci voici mon cube i et j donc le vecteur représentant de c'est le voici représentant de J ça donne ça alors c'est pas évident à imaginer parce que voyez quand on tourne les deux vecteurs on voit pas trop ce qui se passe donc on va faire une petite translation on va considérer un plan qui passe par E et donc ici je vais faire une petite translation du vecteur J qui va me donner un nouveau point ici et je trace comme ça un vecteur le vecteur ici est le même que CELI que j'avais représenté en ver voilà et donc mon plan il peut être matérialisé par mon point E et le point W ici hein qui est le translaté de J ici le vecteur IE et donc pour l'instant on a ceci donc le plan on l'imagine un petit peu mieux vous voyez et donc ce plan voyez on va vous montrer par où il passe si on trace la diagonale he le point W comme c'est les 1/3 1/3 on arrive ici donc en fait la diagonale ici et bien elle appartient à mon plan hein que j'ai construit en partant de et en mettant deux vecteurs directeurs donc ce plan le voici voilà c'est en fait le plan un sorte de plan médiateur il coupe le cube en deux voilà et donc ici un vecteur directeur voyez ça pourra être un vecteur vertical donc le vecteur FG convient très bien c'est ce qu'on nous proposait voyez donc c'est la bonne réponse c'est pas évident à visualiser en temps limité he il fallait penser comme ça parce que dans le texte on n pas de point on a un plan dirigé par deux vecteurs mais on vous dit pas par quel point il passe donc vous pouvez considérer qu'il passe par le point et justement construire un plan qui est dirigé par EC et j hein qui partirait de donc on représente nos deux vecteurs directeurs issus de E et ça vous donne un point en haut ici qui est intéressant parce qu'il nous permet de tracer comme ça cette diagonale voilà et comme ça on comprend bien comment est le plan justement qui passe par eux et dirigé par ces deux vecteurs voilà on a terminé ce petit exercice pas facile à très bientôt bonjour à tous Aujourd'hui question tir du concours à venir 2023 on se prépare pour le bac spécialité mat avec une question plutôt sympa ici on considère un parilépipède rectangle ABC dfgh avec des côtés ici ad = AE et ég à X X AB donc c'est pas forcément un cube c'est un cube par exle si x est égal à 1 pour quelle valeur de x les droites BH et AG sont-elles orthogonales première chose à faire c'est de représenter rapidement un paril pipè donc voici un donc ici a donc j'ai fait un côté AB on va dire que AB par exemple vaut 1 on va construire en fait un repère orthonormal donc d'origine a premier vecteur AB ensuite il me faut un vecteur donc orthogonal pour faire en fait le sol ici donc on aura a donc on a ad AE donc ici on va mettre AB ici donc ça sera d et ici e donc là a b c d e f g h alors ici AE donc on voit que AE c'est X X AB donc AE fait X et ad fait x donc mon repère si je veux un repère orthonormal il faut un vecteur ici hein qui est la norme donc 1 donc si je mets ad c'est de norme x donc je dois mettre donc 1/ x d'accord X est strictement positif donc non nul et donc 1/ X à e ce repère il est ortho normal et on va juste calcul les coordonnées pour avoir BH et AG orthogonal et faire donc un produit scalaire alors AG donc coordonnner 1 x x d'accord 1 x x maintenant BH donc ici on va de BH donc on descend ça fera -1 ensuite après il faut faire donc du X et X - 1 x x on fait le produit scalaire donc AG scalaire BH c'est donc -1 1 x -1 + X X X + X2 + X2 ça fait + 2 x2 et ça ça doit être égal à 0 que orthogonalité ça veut dire que x² doit être égal à 1/2 X étant positif il a qu'une possibilité c'est la r√ caré 1/2 et √ car 1/2 c de la trigo vous savez que ça fait √2/ 2 donc c'est la réponse B qu'il fallait choisir donc je répète vous faites un repère les coordonnées donc on a ici 1 et on a les coordonnées qui sont D1 DX et DX donc pour le point G on part de a et pour y aller voyez on se déplace ici sur le premier vecteur donc d'une unité ensuite sur le deuxème vecteur ad on fait place de X et ensuite de X donc c'est bien 1 X X pour les deux ici donc bah on va au contraire descendre donc on a du -1 sur le première coordonnée et ensuite on a donc X par ici X par donc -1 XX on fait le produit scalaire donc voyez petite équation du secondaire très simple à résoudre x éant positif il y a qu'une seule solution donc √2 sur 2 à très bientôt