Dreispiegelungssatz: Beweis

so heute beweisen wir mal den dreispiegelungssatz wie immer euch versteht man nicht im Video sondern nur aus dem Off ich wiederhole das was ihr sagt okay so der dreispiegelungssatz besagt das folgende die Verkettung von drei achsenspiegelungen ist genau dann wieder eine Achsenspiegelung wenn die drei Achsen im Büschel liegen das heißt entweder parallel oder kopunktal sind also die Verkettung von dreiachsenspiegelung ist genau dann wieder eine Achsenspiegelung wenn die dreiachsen bisch liegen das heißt entweder parallel oder kupunktal sind das ist eine Aussage die ein genau dann wenn hat ne genau dann wenn wie beweist man sowas oftmals eine Äquivalenz von zwei Aussagen wie beweist man die Bringer mit einem direkten Beweis okay wir werden direkten Beweis machen so und jetzt haben wir so einen genau dann wenn das wir beweisen wollen New York danus ja genau also man zeigt die eine Richtung und die andere Richtung ne genau dann wenn genau dann wenn ist ja eine solche Aussage okay wenn die dreiachsen Büsche liegen dann ist die Verkettung eine Achsenspiegelung und wenn die Verkettung eine Achsenspiegelung ist dann liegen sie im Büschel das heißt einmal in die eine Richtung einmal in die andere Richtung wir beweisen einmal diese Richtung und einmal diese Richtung okay so und wir fangen an mit dieser Richtung wenn die dreichsen im Büsche liegen das heißt entweder parallel oder kopunktal sind dann ist deren Verkettung wieder eine Achsenspiegelung wir beginnen mit dieser Richtung weil wir das schon gezeigt haben in der letzten Sitzung das wiederholen wir jetzt also hier noch mal okay also wir beginnen bei der Voraussetzung die drei Achsen liegen im Büschel und zeigen dass sie dann wieder insgesamt eine Achsenspiegelung ergeben gut die dreichsen liegen im Büschel welche Möglichkeiten gibt's da New York entweder parallel oder kunktal das heißt wir müssen jetzt eine Fallunterscheidung machen ja also die drei Achsen liegen im Büschel Fall ein die drei Achsen sind parallel Zeichen mal hier so hin die Abstände sind ja beliebig ich habe jetzt mal konkrete Abstände hingemalt aber eigentlich sind die Abstände egal zwischen den Achsen soll ja für beliebige Achsen gelten und den geben wir mal Namen ABC und diese Verkettung ist die Verkettung von A also Achsenspiegelung a verkettet mit der Achsenspiegelung B und dann verkettelt mit der Achsenspiegelung C ich habe das hier mal geklammert wir brauchen normalerweise keine Klammern weil von links nach rechts lesen aber wir werden zunächst mal an a Spiegel und dann an B das heißt zuerst mal diese Verkettung hier ausführen und dann anschließend an csiegel manche schreiben jetzt hier unterscheiden die Bezeichnung der Geraden und die Spiegelung an der Geraden man könnte jetzt hier so Striche drunter machen um zu sagen das ist die gerade a und das hier ist die Achsenspiegelung an der Achse A okay wir schenken uns das weil wir es nicht so genau nehmen okay so was können wir jetzt machen um zu zeigen dass das letzten Endes insgesamt dass die Abbildung insgesamt eine Achsenspiegelung ist haben wir letzte Woche gemacht ist jetzt sozusagen n noch mal wir wiederholen es noch mal ne was können wir machen mhm wir verchieben halt die Parallelen A und B gemeinsam so dass die ach B auf C das können wir machen weil gezeigt haben dass die Verschiebung kein ausung sehr gut die Spiegelung an A und an B nacheinander an zwei parallelen Geraden ist eine Verschiebung in welche Richtung orthogonal zu den achenspiegelung also wir verschieben in diese Richtung hier ne das eine Verschiebung in diese Richtung und um welchen Betrag wird verschoben ja genau den doppelten Abstand zwischen den geraden A und B und wir haben festgestellt das jetzt also eine Verschiebung in die Richtung orthogonal auf die geraden in doppeltem Abstand der beiden Geraden es ist aber egal wo die Geraden liegen die können hier liegen oder da liegen oder da liegen oder da da liegen ist immer die gleiche Verschiebung und da das immer die gleiche Verschiebung ist ist es egal wo sie liegen das heißt wir können die beiden Achsen verschieben und du hast schon richtig gesagt wir verschieben die beiden Achsen jetzt so dass B Strich auf C liegt und ich zeichne die Situation mal daneben also wir haben jetzt hier die gerade C so und wir haben die beiden Geraden A und B so verschoben auf a Strich B so ich zeichne das hier mal so knapp daneben ne das ist gleich b ist= c und das ist die gerade a Strich so und da es egal ist wo die beiden Geraden liegen wenn Sie eine Verschiebung bilden ist diese Abbildung gleich diese Abbildung hier wir spiegeln erst an aich dann an B und dann an C okay so ich sehe immer noch nicht dass das eine Achsenspiegelung ist was können wir jetzt ausnutzen Springer ja B Strich das gleiche wie C das heißt wir wenden hier mal das Assoziativgesetz an und fassen die Spiegelung an Bich und an C als zusammengehörig auf und das wird nacheinander ausgeführt zwei Spiegelungen an derselben Achse sind die Identität sozusagen ne also ich Spiegel an einer Achse und dann Spiegel ich an derselben Achse noch mal dann wird die erste Achsenspiegelung rückgängig gemacht das heißt es passiert gar nichts das heißt B STR verknüpft mit C die Spiegelung die doppelspiegelung hier fällt weg und es bleibt nur noch a STR übrig das heißt die gerade die Links in diesem diesem konkreten Beispiel links von C so weit wegliegt wie a von B wegliegt okay ja jetzt haben wir gezeigt die Spiegelung an drei parallelen Achsen hintereinander ist weil ich die ersten beiden Achsen so verschieben kann dass sie auf den dass die zweite Achse auf der dritten liegt und die sich aufhebt ist insgesamt nur eine einzige Achsenspiegelung okay gibt's dazu Fragen jetzt machen wir das ganze natürlich noch mal für den zweiten Fall die beiden Achsen die drei Achsen sind kunktal so a b c und ich Spiegel wieder erst an A und dann an B und dann an C kpunktal heißt die schneiden sich alle in einem Schnittpunkt S mal hinschreiben hier s okay was machen wir jetzt mhm soweit dass auf C liegt wir wir begreifen A und B als zusammengehörig und wir wissen wenn zwei Geraden sich schneiden in einem Winkel Alpha und wir spiegeln erst ein A D dann B worum handelt es sich dann worum handelt sich mhm eine Drehung um doppelt genau eine Drehung um den Punkt S mit dem Betrag zweimal Alpha ne genau das haben wir gezeigt mit Hilfe von GeoGebra und dabei ist egal wie die Achsen A und B liegen hauptsache sie schneiden sich in S und hauptsache der Schnittwinkel ist Alpha okay das heißt wir können a und b um s so herumdrehen mit konstantem Schnitt schwinkel Alpha so dass B Strich wieder auf C landet so mus ich mal gucken ach so ich wollte ih rot malen a Strich und hier liegt jetzt B Strich drauf w= C na ja okay dann haben wir wieder dieselbe Situation natürlich jetzt haben wir hier a STR verkettet mit B STR verkettet mit C und B Strich liegt auch C das heißt die heben sich beide gegenseitig auf die Achsenspiegelung daran das heißt wenn wir die jetzt als nacheinander Ausführung betrachten dann B und C dann hebt sich das auf und es bleibt wieder a übrig wichtig wichtiger praktischer Hinweis ihr dürft die nacheinander Ausführung von zwei achsenspiegelungen an derselben Achse nur wegfallen lassen wenn es direkt hintereinander ist wenn in einer Achse spiegelt und dann gleich wieder an derselben Achse dann hebt das gegenseitig auf wenn dazwischen noch andere Abbildung kommt dürf das nicht einfach wegfallen lassen und das muss schon in der Reihenfolge passieren müsst immer auf die Reihenfolge achten die Reihenfolge ist wichtig in der die achenspiegelung durchgeführt werden darf die Reihenfolge nicht beliebig vertauschen außer in Spezialfällen mit denen wir uns heute wahrscheinlich auch noch beschäftigen okay jetzt haben wir die eine Richtung bewiesen nämlich wenn die dreichsen im Büch liegen also entweder parallel sind oder kopunktal dann ist es im Endeffekt nur eine Achsen eine einzige Achsenspiegelung in diesen beiden Beispiel jeweils an aich jetzt brauchen wir noch die Hinrichtung wie man so schön sagt also die Richtung in also den Hinweg das schöner formuliert glaube ich ne den Hinweg okay so wir gehen jetzt diese Richtung und jetzt ist die etzung die Verkettung von drei achsenspiegelungen ist eine einzige Achsenspiegelung und jetzt müssen wir zeigen dass die drei achsenspiegelungen dann entweder an parallelen oder kopunktalen Achsen stattfindet also es gehen wir sozusagen von dem Ergebnis aus was wir hier hatten wir haben irgendwelche drei Achsen und wenn ich die verkette ergeben die eine einzige Achsenspiegelung und dann zeigen wir dann müssen diese drei Achsen entweder kopunktal oder parallel gewesen sein so das heißt unsere Voraussetzung ist wir haben drei Achsen an denen wir spiegeln und die ergeben eine Achsenspiegelung an einer Achse D drei Achsenspiegelung hintereinander ist das gleiche wie eine einzige Achsenspiegelung das ist uns Voraussetzung wir wissen aber jetzt noch nichts über A B und C irgendwelche geraden irgendwelche drei ergeben eine Achsenspiegelung und jetzt müssen wir zeigen dass die dann entweder parallel oder kopunktal sein müssen und jetzt wende ich mal einen Trick an auf den man vermutlich jetzt so nicht kommt also ich würde euch jetzt nicht quälen fragen was können wir jetzt hier machen also man kann natürlich jetzt anfangen h nachzudenken und so weiter aber manchmal kennt man so ein paar Tricks und wenn man die Tricks kennt dann kann man es auch in ehnlichen Situationen anwenden und der Trick hier ist da diese beiden Abbildungen gleich sind kann ich auch nach diesen beiden Abbildungen wieder dieselbe Abbildung dran hängen also ich kann an dieser an diese Abbildung hier wenn ich das durchgeführt habe Spiegel ich noch mal an C und das ist das gleiche wie wenn ich erst an dpiegel und dann noch mal an C ja weil A B und C verkettet gleich D ist ist dieser term gleich diesem term so wer sieht jetzt warum ich das gemacht habe was hilft mir das scharf hinschauen hab nicht an irgendwas ges spegelt hier ich habe nicht da A oder B hingeschrieben absichtlich sondern C warum wer sieht's niemand kann ich das hier irgendwie umformen oder kann ich da irgendwas mit machen ja genau ich hab mit C verkettet weil jetzt hier ich erst an der gerade C Spiegel und dann noch mal an der gerade C und dann C Spiegeln und dann C spiegeln hebt sich gegenseitig auf wenn es direktinander passiert das heißt hier links steht jetzt a verkettet ble D ver C so okay jetzt habe ich auf der linken Seite nur noch zwei Achsen zwei Geraden wie können zwei Geraden zueinander liegen entweder oder schneiden genau A und B können entweder parallel liegen oder sich schneiden Fallunterscheidung Fall 1 a parallel zu B wenn a parallel zu B ist was ist dann die Spiegelung an A und an B was ist dann dieser Ausdruck hier wenn die beiden parallel sind was ist dann a verkettet an B mhm eine Verschiebung welche Verschiebung wie wie liegt die Verschiebung und welchen Betrag hat die doppelten Abstand zwischen geraden A und B und senkrecht zu A und B wenn dieser Ausdruck hier eine Verschiebung ist dann ist ja das hier die gleiche Verschiebung weil dann gleich dazwischen steht das heißt wenn das eine Verschiebung ist senkrecht zur Richtung von A und B dann ist das auch eine Verschiebung senkrecht zu A und B und wenn D und C verkettet eine Verschiebung sind senkrecht zu A und B dann müssen die beiden parallel zu A und B liegen ja das sind die gleichen Verschiebungen also müssen die Achsen hier links und die Achsen hier rechts alle parallel zueinander sein sonst wäre das ja eine andere Verschiebung in andere Richtung das heißt daraus folgt a parallel B parallel C parallel D na das ist jetzt nicht so schön glaube ich hingeschrieben ihr wisst was ich meine alle sind parallel zueinander vielleicht schreiben wir es ein bisschen ausführlicher hin also a parallel zu B das heißt a verkettet mit B ist gleich eine Verschiebung in eine bestimmte Richtung die Richtung ist senkrecht auf die geraden A und B und das ist ja die gleiche Verschiebung wenn ich D und C verkette weil die beiden Seiten hier gleich sind sind beide gleich der Verschiebung V und das heißt daraus folgt dass D und C parallel sind weil sie eine Verschiebung sind und daraus folgt auch dass D und C zu A und B parallelind ich schreib trotzdem noch mal so hin a parallel B parallel C parallel D alle geraden sind parallel so eigentlich brauchte ich nur zu zeigen dass C parallel zu A und B wir wollten zeigen die ersten drei geraden sind parallel aber Fakt ist natürlich auch dass die vierte gerade noch parallel ist die resultierende Achse okay Fall 2 A und B sind kunktal das heißt die schneiden sich was ist das dann für eine Abbildung wenn A und B sich schneiden eine gesamtabbildung ich Spiegel an A und dann B und die beiden schneiden sich was ist das für eine Abbildung eine Drehung um den Schnittpunkt mit doppelten Winkel das heißt aber wenn A verkettet mit b = d verkettet mit C ist dann ist d verkettet mit C die gleiche Drehung um denselben Schnittpunkt das heißt D und C müssen sich im selben Punkt schneiden B schneiden sich [Musik] imselben Punkt wie C und D weil es sich um dieselbe Drehung handelt ne ich mach das hier mal als Text also sind A B C und D kopunktal wir wollten eigentlich nur zeigen dass A und C kpunktal sind aber jetzt haben wir noch gezeigt dass die auch noch kunktal ist klar die Achse geht durch denelben Punkt okay und da es keine anderen Fälle gibt zwei geraden die sind entweder parallel oder kopunktal haben wir be alle Fälle gezeigt dass diese dreichsen hier im Büsch liegen müssen also sind wir fertig gibt's Fragen dazu ja welchen Teil dazwischen das hier ne ich habe drei irgendwelche Achsen und die verkettet ergeben eine Achse D und jetzt wollen wir zeigen die drei sind entweder parallel oder kpunktal jetzt mache ich einen Trick diese beiden Abbildungen sind identisch also kann ich auch noch mal eine andere Abbildung hinten dran hängen ich verkette hier mit C so dass C verkettet mit C hier wegfällt dann habe ich hier a verkettet mit B ist dasselbe wie d verkettet mit C so a verkettet mit B das ist die gleiche Abbildung wie d verkettet mit C wenn A verkettet mit B wenn A und B parallel sind dann ist eine Verschiebung dann ist das die gleiche Verschiebung also müssen D und C auch parallel sein und zwar parallel zu A und B weil ja die gleiche Verschiebung ist oder nicht h langlfen oder wenn A und B kopunktal sind dann ist es eine Drehung dann ist D und C die gleiche Drehung und wenn D und C die gleiche Drehung ist dann müssen sich D und C imselben Schnittpunkt schneiden wie A und B also sind auch hier wieder alle gerade gehen durch denelben Punkt so also im ersten Fall sind alle vier Geraden parallel im zweiten Fall gehen alle vier durch denelben Punkt fertig