BAC TUNISIE 2024 - section mathématiques- session contrôle - Corrigé Ex4 partie B analyse

bonjour à tous Je vous propose aujourd'hui la partie B donc de l'exercice 4 d'analyse du bac session donc contrôle c'est la section mathématique hein du sujet donc tunisien 2024 très beau sujet la partie A on a mis pas mal de temps à la faire intéressante et la partie B on est sur des suites d'intégral donc ici on considère les fonctions hein fonction ici FN défini sur 0 + infini par FN de X = intégrale de 0 à X de t^iss N F de t² DT avec F qui est donc la fonction d'expression exponentielle 1- r√ x qu'on a étudié en première partie et donc ici il y a quatre questions des récurrences et bien sûr des limites donc on est parti question 1a donc on vous demande l'expression de F1 de X donc c'est l'intégral de 0 à X de t^iss 1 donc t F t² DT donc expression de F c'est exponentielle à moin RAC x donc ça fait t exponentiel de 1 moin √ de T car DT d'accord mais t X est positif donc t appartient à l'intervalle donc 0x donc T est positif donc la √ t² est égale à T attention si T est négatif la rac t² ça serait - t donc on fait attention on justifie donc ça veut dire que F1 de X x c'est donc l'intégral de 0 à X de T exponentiel 1- t DT on a ici une forme classique un polynôme un exponentiel ici on va donc faire une intégration par partie dans laquelle on va faire descendre le degré du polynôme donc ici on va dériver T et on va intégrer exponentiel 1- t donc une primitive c'est Mo exponentiel 1- t ça c'est assez simple donc ça veut dire qu'on va poser donc u t = t donc u prim t sera ég 1 V t c'est donc Mo exponentiel 1- t tandis que V Prim t sera exponenti 1- t on a aucun problème d'intégration par partie parce que U V u Prim et V prime sont continue d'accord donc j'applique par parti entre crochet j' donc u x V donc t exponenti 1- t pr entre 0 et X intégral de 0 à X 2 donc nous ici vous voyez on a u v prime on aura donc u prime V donc moin exponentiel à Mo t comme il y a un moins ici je vais le sortir par linéarité il me reste ceci donc j'implique en X donc x exponentiel 1 - X en 0 le T fera 0 plus alors il me faut une primitive on en a déjà une voilà donc ça fait x exponentiel 1 - X plus donc la valeur en X donc moin exponentiel 1 - x moins la valeur en 0 donc ça fera plus exponentiel 1- 0 donc ça fait e donc c'est très bien parce qu'il me faut un e e ensuite on factorise par moins et par exponentiel 1- x serait donc x + 1 exponentiel 1 - x c'est exactement ce qu'on voulait donc c'est QFD voilà donc on a terminé cette première question question B donc on est ici hein on VI me faire la question a donc déterminer la limite en plus l'infini alors là on a un exponentiel ici un X c'est donc la croissance comparé alors on va la préparer hein ça veut dire qu'ici on prend donc euh on prend x donc soit x positif voilà F1 x je vais transformer l'expression donc x + 1 on peut même développer mais avant je vais faire une petite manipe simple on va ici transformer exponentiel 1 - x exponentiel 1 pour exponentiel x d'accord je vais doucement ça fait donc x + 1 e e - x donc on peut même euh dire que ça fait 1/ ex donc en développant j'obtiens alors X X e donc je mets le d'abord e on aura X sur ex moins je développe ensuite e multiplié par 1/ 2 vous voyez que là il y a pas de problème parce que ici cette facteur là c'est une croissance comparée croissance comparée donc c'est exponentiel qui l'emporte ça ça tend vers 0 donc on rappelle la limite de X sur de X ça fait 0 quand x tend vers plus infini croissance comparé bon évidemment l'exponentiel 1/ x ça ça tend vers 0 donc par somme he il y a deux termes qui tendent vers Z0 enfin somme on multiplie par e d'abord et ensuite on somme il reste E donc la limite quand x tend vers plus l'infini de F1 de X c'est donc égal à e question suivante B2 donc on prend n supérieur ou égale à 1 montrer que pour tout x positif il y a une relation voyez entre Fn + 1 x FN x donc là ça sans l'intégration par partie on va partir de Fn + 1 de X donc je prends n su ég 1 x positif l'intégral donc ici j'aurais tn + 1 f t² donc on a déjà dit que ça faisait exponentiel de 1 - t DT donc là on va faire une intégration par partie on vaériver ici tn + 1 ça fera n + 1 tn et comme tout à l'heure primitive Mo voilà donc pour bien rédiger u de t on va prendre tn + 1 ce qui me Dona u prime de T c'est donc n + 1 tn V de T exponenti 1- t V Prim t exponentiel 1- t on a bien UV u prime et v'e qui sont continu donc aucun problème pour intégrer par partie donc ici entre crrocheter on va trouver donc UV donc moin t^issance n + 1 exponentiel 1 - t prix entre 0 et X moins donc l'intégral de 0x donc comme tout à l'heure ça sera u prime V j'ai un moins donc ici ça va transformer plus j'ai un n + 1 qu'on mettra en dehors de l'intégrale juste après DN exponentiel t DT donc ça me donne alors ici je remplace par X donc x^ n + 1 exponentiel 1- X en 0 ici ça fait 0 parce que n est supérieur ou égal à 0 donc n + 1 est sup ég 1 donc t donc pardon 0 puissance n + 1 c'est donc effectivement égal à 0 ensuite on a donc l'intégral alors on va sortir le N + on va aller doucement n + 1 intégral de 0 à x t^iss N exponentiel 1- x DT et vous voyez qu'ici on retrouve en fait FN de X donc j'obtiens Mo ins xn + x^ n + 1 exponenti à X ça c'est parfait + n + 1 FN x c'est exactement qu'on me demandait donc on a trouvé on peut faire on peut passer à suivante donc on a bien la conclusion général on fait une petite conclusion donc pour toute x super ou égal à 0 et bien Fn + 1 x c'est donc bien ce qu'on nous demandait donc il y a pas de souci une question de plus faites bien attention quand vous écrivez au N et au X pas de confusion question 3 montrer que pour tout n suéri égale à 1 la fonction FN est croissante sur 0 plus l'infini alors on va réécrire pour tout x supérieur ou égal à 0 FN donc 2 x c'est donc l'intégral de 0 à X de t^iss N exponenti 1- t DT alors comment va-t-on procéder on va rapper le théorème donc fondamental de l'analyse la fonction qui a alors je pas prendre x fon qui a T associe t^iss n exponentiel 1- t elle est continue d'cord sur donc l'in sur l'invale 0 plus l'infini donc c'est que la fonction FN est dérivable et pour tout x supérieur ou égal à 0 FN prime de X c'est donc bien la valeur ici en X de l'intégrand donc c'est x puiss n exponenti 1- x d'accord il se trouve que comme X est positif pour tout x positif x puiss n est positif exponentiel x c'est un exponentiel c'est positif donc ça veut dire que FN Prim X est positif donc la fonction FN a une dérivée positive donc FN est croissante sur 0 plus l'infini alors si on avait voulu la strict croissante on aurait pris pour X strictement positif x puiss n est strictement positif donc ça veut dire que pour X strictement positif la dérivée est positive et la fonction FN est continue donc elle aurait été strictement croissante mais là on se contente de ça parce qu'on vous demande uniquement la croissance maintenant on passe à 3B on est sur une récurrence montrée par récurrence que pour toute n supé ég à 1 FN X c'est inf ou égal à E x N factoriel pour x supéri ou égal à 0 donc qu'est-ce qu'on va faire on va prendre donc soit x Suri égal à 0 et on va donc initialiser initialisation donc je la propriété qu'on montré elle est bien claire qu'est-ce qu'on a donc pour n é= 1 F1 x on a dit que c'était donc e- x + + 1 exponenti 1 X X est positif donc x + 1 est positif expon 1- X est positif donc ça veut dire que X + 1 expon 1- X est positif donc x + 1 expon à X négatif si on ajoute e je forme ici F1 x donc inf é e et si on prend E x 1 factoriel c'est égal à e donc effectivement F1 X est inf égal à E x 1 factorel donc ça c'est exactement la propriété donc pour n é= 1 donc c'est bien initialisé hérédité donc soit N appartenant à N étoile puisquon initialise à 1 tel que FN x inf ég à E x N factorel X est supérieur égal à 0 on veut montrer quoi donc on va quand même notre but c'est de montrer que dans ce cas-là Fn + 1 x est inf égal à e n + 1 factoriel alors on vient de montrer une récurrence ici une propriété pardon entre Fn + 1 et FN d'accord donc on va reconstruire ça on sait que X est positif d'accord donc x^ n + 1 exponenti x c'est évidemment négatif d'accord ça veut dire que ici ça ça peut être intéressant donc regarde on va partir de FN x c'est inf é e FO n factor on va multiper par n + 1 n + 1 c'est positif on a ceci donc n + 1 E x N factel si je mets n + 1 m par N factoriel ça donne n + 1 factoriel donc déjà j'ai fait apparaître E x N + 1 factoriel déjà on arrive on n pas loin de notre but on rajoute ceci donc ça veut dire que j'ajoute ceci bien j'obtiens xn ++ n + FN à je reconstr FN c'est la question+or hérédité vérifier on fait une petite conclusion la propriété est vraie pour n é= 1 elle est héréditaire donc cette propriété elle est vraie pour tout n appartenant à N étoile la question C donc montrer maintenant que la fonction possède une limite finie ln quand x tend vers plus infini on vient de montrer que pour tout n supéri égal 1 et pour tout x positif FN X est inféri égal E x N factoriel donc là on va fixer n donc soit ntoi on sait que quel que soit x positif FNX est inf ég à E x N factoriel alors d'abord on va montrer que FN possède une limite d'accord FN est croissante donc sur 0 plus l'infini et on sait d'après ça que FN est majoré majoré par E x N factoriel donc croissante majorée donc ça veut dire que FN admet une limite fini donc c'est justeme de convergence monotone croissante majur suite converg éidment Lim donc en plus l'F pr limite fin donc quand x plus ici n est fixé c'est important limiteord c'est ln donc la limite quand x tend vers plus l'infini de FN de X ég à l n maintenant on va montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1 ln est justement égal à E x N factoriel comment peut-on procéder alors on peut premièrement on peut faire une récurrence par exemple va donc Montron Montron que donc Montron par récurrence sur N donc sué ég 1 que bien la limite de FN en plus l'infini est égale à e FO n factoriel donc déjà on ini initialisation donc ici pour n = 1 on a vu que ici la limite de F1 la question 1B la limite c'était e et c'est bien égal E x 1 factoriel donc la propriété est vraie pour n = 1 maintenant hérédité on va prendre soit N apparten à étoile t que la limite de FN en plus inf est ég e FO n factoriel il nous faut la limite de Fn + 1 donc jeis utiliser la relation 2 on sait que pour tout x positif FN + 1 2 x c'est égal à xn + 1 expon 1 - x + n + 1 FN X et on va passer à la limite alors il faut la limite de XN + 1 exponentiel 1 - x donc ça on a déjà vu un peu tout à l'heure comment on va faire donc on a ceci exponentiel à - x donc ça fait e sur exponentiel x on a une croissance comparée n + 1 est supérie ég à 1 donc on est sur une croissance comparé c'eston quiemporte ça tend vers 0 plus ici c'est multiplication par une constante donc on a ça on va faire tendre ici x vers plus l'infini donc à gauche on aura donc la limite ln + 1 à droite ceci tend donc vers 0 d'accord et de l'autre côté donc vers 0 alors comment peut-on procéder parce que là on a ici une n + 1 donc c'est x pardon c'est X qui tend+ l + 1 est constant donc là on a terminé pardon à gauche ln + 1 ici ça tend vers 0 + n + 1 x ln donc effectivement ln + 1 va être égal à n + 1 fois la limite fois le nombre ln qui est ici en fait en fact oriel donc n factoriel comme tout à l'heure on multiplie n + 1 par N factoriel ça fait e n + 1 factoriel donc éédité vérifier on fait notre petite conclusion comme d'habitude on dit les mêmes choses c'est vrai pour n = 1 la propriété elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout n appartenant à N étoile donc on a bien démontrer ce qu'il fallait on peut aussi procéder autrement hein en passant à limite d'abord ici on sait que pour tout x positif donc Fn + 1 x c'est xn + 1 exponentiel 1 - x + FN de X donc ça veut dire qu'on faétend x vers plus l'infini j'obtiens donc à gauche on sait que ça converge hein c'est la question d'avant donc ça ça fait ln + 1 là on a dit que ça faisait 0 j'ai oublié pardon ici de multiplier par n + 1 donc ici il me reste + n + 1 ln donc j'ai une relation de récurrence donc pour tout n appartenant à N étoile ln + 1 est égal à n + 1 x ln d'accord et ça avec une petite récurrence on peut montrer très vite que ça veut dire que ln c'est donc n facteel FO pardon n on va faire n donc n + 1 n + 1 n + 1 donc ln c'est n factoriel FO L1 d'accord et comme L1 c'est e ça fait n factor e donc ça ici pour cette partie là vous faites une petite récurrence simple pour n supé ég à 1 voilà cet exercice est enfin terminé très B exercice très long on est toujours sur des sujets vraiment d'un très beau niveau en Tunisie je vous souhaite une bonne fin de journée à tous et à bi я to