Démonstration par récurrence - Terminale Spé maths

alors dans cette vidéo on va apprendre à faire une démonstration un raisonnement par rcurrence et pour ça j'ai pris un exercice du bac bac 2014 Antig guyan dans lequel en fait on vous don une suite voilà bonjour Voilà une suite u0= 2 + 1 ce TR et vous devez montrer il le Précis démontr par récurrence pas suspense dans l'exerci faire une récurrence direct et il fallait démrer ce truc je dis bien ce truc parce qu'en fait une récurrence faut montrer justement certains trucs ça dépend ça dépend de l'exercice c'est pour ça en fait à quoi ça sert ça peut être pour montrer vous avez tous dû faire celle là 1 Carr + 2 au Carr + 3 au Carr + N Carr ég une certaine formule voilà donc ça ça peut être ça c'est une propriété montrer cette égalité là mais le grand classique dans les exercices teb c'est de montrer une inégalité soit voilà pour pour à terme montrer la convergence d'une suite et appliquer le fameux théorème tout de suite croissante et majorée convverge ou décroissante minorée conv donc on l'utilise beaucoup pour démontrer des inégalités et c'est le cas ici donc même si là l'inégalité elle a du N c'est un autre cas mais on est dans le même esprit il faut montrer que un supéri égal à voilà 15/4 x 0,5 pu n le plus important dans la récurrence c'est de respecter en fait le squelette de la démonstration en trois temps toujours en trois temps initialisation montrer que montrer que mon truc est vrai au premier rang au rang initial l'hérédité c'est là en vrai où il y a le calcul y a la démonstration et la conclusion d'accord et la conclusion limite on peut l'écrire tout de suite on c'est faire c'est d'après le principe de récurrence on a bien montré que et on on recopie les non c'est d'accord donc ça c'est finalement presque une non étape celle-là généralement en Terminal S c'est pas très compliqué c'est là où il faut se battre un pe donc on y va on y va tranquillement donc ici c'était pour tout n non nul que ce truc là était vrai donc initialisation donc c'est pour N qui égal à 1 on part de N = 1 et là on va avoir U1 d'un côté on va voir ce truc là de l'autre on va voir si c'est bien supérieur ou égal donc quand n = 1 U1 voilà fallait le calculer il était pas donné au bac c'est 17/5e 17/ 5 d'accord 17/ 5 ou ça fait 3,4 ok versus de l'autre côté ben je calcule ce truc là quand n = 1 donc ça fait 15/4 x 0,5^ 1 quand n = 1 donc 0,5 c'est 1/2 15/4 x 1/2 ça fait 15/8 et là bon CIT mie donner comme ça ton pile on donne la valeur et c un peu plus facile ça fait 1,875 et là on est bon on est bon 3,4 c'est bien plus grand que ça donc on a bien peti phrase on a bien que U1 d'accord supérieur ou égal à ce truc à 1,875 ok donc mon truc ma propriété est vrai au rang 1 d'accord donc c'est bien vrai au rang 1 clac c'est bon on va passer à l'hérédité l'hérédité c'est l'étape la plus compliqué mais surtout il y a un truc en fait indispensable à bien écrire en fait pour que le correcteur soit conquis enfin pour pas faire la faute que la plupart des élèves font en terminal et qui rend dingue les correcteurs donc attention en fait l'hérédité je vais fixer un N j'en prends un au pif d'accord et je vais dire supposer je vais essayer de montrer que si c'est vrai à ce rang là alors obligé c'est vrai au rang d'après c'est ça qu'on va essayer de faire mais donc qu'est-ce que j'ai dit j'en prends un au pif je le fixe d'accord et c'est ça c'est que même si je vais faire des calculs avec des n ce que j'écris dans l'hérédité n'est pas vrai pour tous les n c'est vrai pour un certain n c'est ça en fait qui est important et surtout fait c'est ça la faute pas faire c'est surtout comme ça qu' faut le voir donc voilà pourquoi est-ce qu'on écrit ça soit N on prend soit N supérieur ou égal à 1 pixé ça quelque part c'est un plasme en fait parce que si je dis soit c'est que j'en prends un au pif mais c'est bien limite de répéter pixé j'en prends pixé c'est celui-là voilà je sais pas qui sa je garde n mais c'est pas pour tous c'est pour un certain et là moi il y a un truc que j'aime beaucoup écrire c'est c'est souvent les profes disent on va supposer PN vrai ils l'ont défini PN moi jeai pas défini ils disent on suppose PN vrai et on va PN + 1 vrai c'est sympa mais c'est pas top parce que on voit pas exactement l'élève ne voit pas ce qu'il doit démontrer c'est pour ça que moi j'écris toujours ça et je vous recommande chaudement de le faire aussi supposons supposons donc c'est quoi mon hypothèse de récurrence qu'est-ce qu'on suppose vrai on va supposer ça supposons un supée ég à 15/4 x 0,5 pu n supposons que ça c'est vrai et qu'est-ce qu'on doit montrer montrons montrons que ce truc là est vrai au rang suivant montrons que ça c'est vrai au rang suivant comme ça je l' sous les ux là où je dois arriver va que un + 1 un + 1 supérie ou égal à 15/4 X 0,5 pu n + 1 voilà je monte mon truc au rang d'après et ça pourquoi c'est du bonheur parce que j'ai sous les yeux là où je dois arriver donc maintenant je vais me battre j'père que j'ai assez d'espace je vais me battre pour arriver à ça donc j'ai pas ça ici j'ai pas gagné voilà ce qui va se passer je sais où je dois arriver ok là il y a plusieurs façons de faire une façon classique c'est en fait aller de proche en proche donc là j'ai supposé un ça il faut que j'arrive à un + 1 en fait c'est ce qui se passe je pars de un je pars directement de mon hypothèse de récurrence et je vais construire de proche en proche un + 1 et mon but c'est d'arriver à un + 1 et pr à droite on est bien un truc qui ressemble à ça voilà ce qui va passer donc je parle de un donc on sait que un on a supposé que un était supérieur ou ég à 15/ x 0,5 pu n voilà ce que j'ai supposé et je vais tout faire pour arriver à un + 1 donc là je SP comme ça comme ça faut que j'arrive un + 1 un + 1 il est ici et la question comment est-ce que je passe de un à un + 1 comment est-ce que je construis un + 1 je suis là bah d'abord je vais lui faire x 15/ là j'auris ça et ensuite je vais lui faire plus ce truc là et donc je Seris bien passer de un à un + 1 donc on y va d'abord qu'est-ce que je fais je fais x 15/5 je vous mets dans la marche ce que je fais x 1/5 1/5 c'est un nombre qui est positif donc tout va bien donc j'ai bien 1/5 de un 1/5 de un supéri 1/5 FO tout ce truc là d'accord je vais y aller tranquillement alleer 1/5 x 15/ x 0,5 n on va faire un petit calcul 1/5 x 15/4 bah je peux simplifier il va me rester 3/4 d'accord donc ça veut dire quez jeécris là 15 un égal à 34 x 0,5 pu n ok moi je répète je vais arriver à un + 1 donc il faut que j'ajoute ça de chaque côté donc maintenant je faire plus ce truc là de part et l'autre donc on ça nous donne 1/5 un + 3 x 05 pu n donc c'est ça que je vais ajouter de chaque côté d'accord 3 x 0,5 pu n OK et à gauche j'avais ça donc jeécris 34 x 0,5 puissance n ok ça c'est un plus donc je répète cette quantité je l' ajouter de chaque côté j'ai le droit de faire plus un même nombre de chaque côté OK et là le bonheur c'est qu'à gauche maintenant j'ai un + 1 VO j'ai fait mon travail à gauche j'ai réussi à retrouver un ok c'est pas fini faut qu'à droite j'ai je retrouve voilà ce que je veux montrer faut que j'ai un truc c'est là où les calculs commencent ok qu'est-ce que je peux faire un des grands réflexes en mat c'est factoriser et ouais les deux ils ont du 05 pu n mais en facteur donc ça fait du 05 pu n facteur 2 3/4 + 3 ok on peut faire ce petit calcul B 3 c'est 3/ 1 ça fait 12/4 12/4 + 3 15/4 donc ça fait qu'en fait un + 1 je peux regarde je metre de l'autre côté 15/4 x 0,5 pu n ok j'arrive à ça je suis arrivé ici ah c'est pas ce que je veux moi je veux n + 1 donc j'ai réussi en partant du N et en construisant un + 1 à arriver à ce truc je sais grâce à l'hypothèse de récurrence et l'énoncé que un + 1 est plus grand que ça mais moi je veux ça ok 15 car on est bon mais j'ai 05 pu n faut que j'arrive à montrer que c'est par avec n + 1 pourquoi c'est vrai vous le voyez c'est ça le temps d'arrêt en fait vous voyez pourquoi c'est vrai ou pas parce qu' la différence entre ça et ça c'est que il a 1 x 0,5 en plus qu'est-ce qui se passe quand je multiplie par 05 ma quantité quand elle est positive qu'est-ce qui lui arrive et ben elle baisse elle est plus petite quand on multiplie par un 0 viru un nombre entre 0 et 1 une quantité positive ben baisse donc en fait ce truc je peux affirmer je peux affirmer que c'est plus grand que 15/4 x 0,5 pu n + 1 bah oui parce que lui il a 1 x 0,5 en plus donc il est plus petit donc celu il est bien plus grand que ça et l'exlication car car 0,5 1 j'ai mal écrire comme ça c'est parce que 0,5 il est entre 0 et 1 voilà il est entre 0 et 1 donc on reprend moi j'ai réussi à montrer que un + 1 était plus grand que ça d'accord or comme 0,5 c'est un 0 virgu ce truc bah il est plus grand que ça si je multiplie par 0,5 il est plus petit donc à forceorie un + 1 c'est plus grand que ça ça ce qu'on appelle un peu la transitivité en fait c'est cette notion qui se cache regardez si A est plus grand que B et que B est plus grand que c alors qu'est-ce qu'on peut dire bah que A est plus grand que c d'accord ça ce qu'on appelle la transitivité et c'est exactement ce qui se passe et d'ailleurs c'est un grand classique dans la récurrence des inégalités j'arrive pas à à tomber pile sur ce qu'on me demande mais en fait c'est un truc mieux bah ouais c'est mieux c'est mieux que ce qu'on me demande montrer plus grand que 0,5 pu n donc c'est Mme plus grand que ce qu'on me demande donc je peux l'affirmer et voilà donc ça en fait VO j'ai bien montré que un + 1 était plus grandre donc j'ai bien fait mon travail et c'était là la partie un peu embêtante je vous l'avais dit et donc conclusion je vais pas écrire mais une belle phrase d'après le principe de récurrence et là on va écrire d'après le principe de récurrence on a bien montrer que pour tout n appartenant à N étoile ce truc voilà donc est vrai voilà donc encore une fois on reprend TR temps indispensable les TR temps ici la faute à ne pas faire que beaucoup d'élèves font et qui rend dingue les correcteurs à la fois correcteurs de terminal mais aussi du bac pensez-y donc celui-ci et mon conseil à moi en plus c'est que c'est simple d'écrire on suppose PN vrai on montre PN plus un vrai c'est sympa mais c'est mieux d'écrire exactement à la fois notre hypothèse de récurrence ça c'est notre arme on dispose de quoi de ça et à la fin moi je vais arriver où je vais arriver ici je l'ai sous les yeux c'est quand même mieux donc moi je prend C 30 secondes et ça ça m'illumine un peu plus mon calcul