Corrigé bac Amérique du nord 2024 spé maths ♦ Convexité ♦ Rappel cours + Comment REDIGER sur copie

bonjour et bienvenue sur j'aicompris.com alors dans cette vidéo on va corriger cet exercice qui est tombé au bac 2024 et qui porte sur la convexité et le logarithme et l'intérêt de cet exercice c'est qu'à la fois il est pas compliqué et à la fois il aborde plein de notions on commence par la convexité d'un point de vue graphique et ensuite on va refaire la convexité mais cette fois-ci par le calcul donc c'est assez complet on aborde également la notion de limite la dérivée la dérivée seconde et cetera et donc c'est un exercice qui n'est pas compliqué mais qui est assez complet et donc c'est un très bon exercice pour s'entraîner pour le bac donc maintenant comme d'habitude appuyez sur pause essayez de faire tout seul cet exercice et on se retrouve juste après pour la correction donc allons-y première question on nous demande F prime 1 alors je vous ai rappelé la méthode ici pour avoir F prime 1 on commence par se placer à 1 sur l'axe des abscisses ensuite on trouve le point de la courbe correspondant et la tangente en ce point et f'1 et bien c'est le coefficient directeur de cette tangente donc ici pour avoir f'1 on commence par se placé A1 sur l'axe des abscisses donc ici on trouve le point de la courbe correspondant c'est le point A et la tangente en a c'est la droite rouge et maintenant il nous faut le coefficient directeur de cette droite rouge et bien on prend un point de cette droite rouge par exemple le point A et on avance de 1 horizontalement et maintenant on regarde de combien on doit se déplacer verticalement pour retomber sur la droite rouge et de combien on doit se déplacer verticalement et bien de 1 2 3 et donc ça veut dire que le coefficient directeur de la tangente c'est3 et comme le coefficient directeur il correspond à la dérivée et donc ça veut dire que la dérivée en 1 la dérivée en 1 et bien c'est 3 autrement dit f'e1 = 3 ensuite on nous demande l'équation réduite de T c'est-à-dire de cette droite rouge alors l'équ réduite c'est une équation de la forme y = MX + P m c'est le coefficient directeur et on vient de voir que le coefficient directeur de la droite rouge c'est 3 donc m vaut 3 et P c'est ce qu'on appelle l'ordonnée à l'origine c'est l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées ici en - 4 donc P vaut - 4 et donc l'équation réduite de T et bien c'est y = 3x 3x+ + - 4 autrement dit - 4 et donc j'écris sur ma copie on lit sur le graphique puisque ici ce sont des lectures graphiques donc que f'e 1 = 3 et que l'équation réduite de T ici on met deux points et ensuite on met l'équation réduite y = 3x - 4 passons à la deuxème question on nous demande les intervalles sur lesquels la fonction semble convexe ou concave alors je vous ai rappelé la règle ici une fonction est convexe sur un intervalle lorsque sa courbe est au-dessus de ces tangente et elle est concave lorsque la courbe est au-dessous de ces tangentes et bien regardez dans cette zone si je trace à main levée une tangente il semble que la courbe et bien elle soit sous la tangente et si la courbe est sous la tangente et bien ça veut dire que dans cette zone la fonction elle est concave alors que dans cette zone si je trace à main levée une tangente voilà approximativement et bien cette fois-ci il semble que la courbe elle soit au-dessus de la tangente et donc ça veut dire que dans cette zone et bien la fonction elle est convexe et quand est-ce que ça va changer et bien regardez si ici je trace une tangente et bien là encore la courbe elle semble sous la tangente alors que après 1 et bien si je trace une tangente et bien la courbe elle semble au-dessus de la tangente donc quand est-ce que ça va changer et bien ça va changer au niveau de 1 et donc il semble qu're 0 et 1 entre 0 et 1 bien la courbe elle est en dessous de ces tangente si elle est en dessous ça veut dire qu'entre 0 et 1 et bien ça veut dire qu'elle est concave et après 1 et bien il semble que la courbe elle soit au-dessus au-dessus de ces tangente et donc ça veut dire que après 1 et bien il semble que la fonction elle est convexe et donc sur ma copie j'écris il semble puisqu'on a rien démontré ce sont que des lectures graphiques donc sur ce premier intervalle 01 01 j'ai exclu 0 puisque la fonction elle est pas définie en 0 donc sur ce premier intervalle 01 il semble que la courbe soit en dessous en dessous de ces tangent et donc ça veut dire que sur cet intervalle la fonction elle semble concave alors qu'après 1 et bien c'est le contraire il semble que la C soit au-dessus de ces tangente et donc ça veut dire que après 1 c'est-à-dire sur l'intervalle 1 plus l'infini et bien la fonction elle semble sur cet interval convexe puisque la courbe je répète semble au-dessus de ces tangentes sur 1 plus l'infini et enfin dernière chose on nous demande que semble représenter le point A pour la courbe bah regardez ce qui se passe en a si on suit la courbe je suis la courbe doucement et bien regardez la courbe qu'est-ce qui se passe en a et bien en a elle traverse sa tangente elle passe de en dessous de la tangente à au-dessus de la tangente la courbe en a la courbe en a elle traverse sa tangente et je vouslaai rappeler ici quand une courbe traverse sa tangente ça veut dire qu'on a affaire à un point d'inflexion donc en a et bien il semble qu'on est àaire à un point d'infflexion puisque je le répète en a la courbe traverse sa tangente voilà c'est ce que j'ai rajouté ici ce qui termine la deuxème question et évidemment là encore le point d'inflexion on l'a pas démontré c'est une lecture graphique passons à la partie B maintenant on va étudier cette fonction f à l'aide du calcul et première question on nous demande la limite de F en plus l'infini et en 0 mais avant de commencer regardez ici on a du ln de X Carr et ça ça devrait vous faire penser à la formule qui est dans votre cours que ln de A à la puissance N et bien c'est égal à n ln a l'intérêt de cette formule c'est qu'on va se débarrasser de l'exposant et que ça va permettre d'écrire cette fonction plus simplement et cette formule elle est valable lorsque A est positif et que N c'est un entier mais x ici il est positif puisqu'on est sur 0 plus l'infini donc X est bien positif et 2 c'est bien un entier donc on peut bien appliquer cette formule et donc ça nous donne que ln X au carré et bien ça fait donc 2 ln de X et ln x existe bien puisque X il est dans l'intervalle 0 plus l'infini donc X est bien positif donc il y a pas de problème ln x existe bien et l'intérêt c'est et qu'au lieu d'avoir ln x² ln x² on va pouvoir mettre 2 ln X à la place de ceci on va pouvoir mettre 2 ln x ce qui est beaucoup plus simple et donc FX comment elle peut s'écrire et bien X X 2 autrement dit 2x il me reste ln X 1/ X et l'intérêt c'est qu'au lieu d'écrire F comme ceci avec un log de x² on va pouvoir l'écrire comme cela de manière beaucoup plus simple juste avec un ln X et vous allez voir que ça va être beaucoup plus pratique dans toute la suite du problème et ça avant de répondre aux questions je vais commencer par l'écrire parce que du coup pour traiter les questions qui vont arriver au lieu d'utiliser cette forme pour F et bien je vais utiliser cette forme qui est beaucoup plus simple et ça va me faire gagner du temps et donc j'écris sur ma copie qu'on peut écrire F plus simplement et j'ai remis ici le calcul qu'on vient de faire et donc dans la la suite du problème au lieu d'utiliser pour F cette formme là et bien on va pouvoir utiliser cette forme là maintenant on va pouvoir attaquer la limite de F en plus l'infini donc x tend vers plus l'infini donc 2x de fois plus l'infini ça tend encore vers plus l'infini et ici x tend vers plus l'infini donc le logarithme en plus l'infini il tend aussi vers plus l'infini donc ce bloc là tend vers plus l'infini ce bloc là tend vers plus l'infini entre les deux il y a un fois l'infini fois l'infini ça tend vers plus l'infini donc ça veut dire que ce premier bloc et bien il tend vers plus l'infini et maintenant 1/ X X toujours tend vers plus l'infini et donc 1 divisé par un nombre infiniment grand 1 divisé par un nombre infiniment grand ça tend vers 0 donc ce bloc là 1/ X il va tendre vers 0 et donc au final ça fait plus l'infini 0 et plus l'infini 0 vous comprenez bien que ça va tendre vers plus l'infini donc ça veut dire que la limite de cette fonction en plus l'infini c'est plus l'infini et maintenant il y a plus qu'à rédiger ce qu'on vient d'expliquer au brouillon et donc j'ai écrit que la limite de 2x en plus l'infini c'est plus l'infini ensuite j'ai écrit que la limite de ln X en plus l'infini c'est plus l'infini et comme entre ces deux blocs c'est un produit je mets par produit et bien la limite de l'ensemble et bien c'est plus l'infini ensuite j'ai mis la limite de 1/ X en plus l'infini c'est 0 et ensuite comme entre ce bloc là et celui-ci c'est une différence et bien par différence on en déduit que la limite de l'ensemble c'est-à-dire la limite de FX en plus l'infini c'est plus l'infini maintenant on nous demande la limite de F en 0 ça veut dire que X maintenant il tend vers 0 qu'est-ce qui va se passer pour le logarithme alors la courbe du logarithme vous la connaissez et quand x va se rapprocher de 0 la courbe elle plonge vers le bas autrement dit ça veut dire que le logarithme en 0 et bien il tend vers moins l'infini et du coup on se retrouve avec une forme du Type 0 x moins l'infini et 0 x l'infini c'est ce qu'on appelle une forme indéterminé que j'écris en abrigé fi forme indéterminé ça veut dire qu'on peut pas directement conclure et ça tombe bien justement dans votre cours vous avez cette forme indéterminée vous devez savoir que X ln x quand x tend vers 0 c'est le X qui l'emporte c'est le 0 qui l'emporte et donc la limite c'est 0 donc ici la limite de tout ceci d'après votre cours et bien même si c'est une forme indéterminée vous avez la limite dans votre cours la limite de tout ceci c'est 0 et 0 x 2 et bien donc ce premier bloc 0 x 2 et bien ça tend vers 0 donc ce premier bloc il tend vers 0 maintenant 1/ X X toujours pareil tend vers 0 mais attention X il est intervalle 0 + l'infini donc il est positif x donc il tend vers 0 en étant positif on écrit 0 + et 1 divisé par un nombre qui tend vers 0 et qui est positif si vous faites 1/ 0,001 vous allez obtenir un très grand nombre 1 divisé par un nomLe qui tend vers 0 en étant positif et bien tout ceci ça tend vers plus l'infini donc ce bloc-l il tend vers plus l'infini donc ce premier bloc tend vers 0 ce deuxième bloc tend vers plus l'infini et donc quand on va faire la différence 0- plus l'infini et bien ça va tendre vers moins l'infini donc la limite en 0 de F et bien c'est moins l'infini et maintenant il y a plus qu'à rédiger ce qu'on vient d'expliquer au brouillon donc voilà c'est ce que je vous ai rédigé ici et faites attention quand vous faites la limite de 1/ X il faut préciser donc que x tend vers 0 mais en restant positif c'est pour ça qu'on a plus l'infini donc faites attention à ne pas oublier que X est positif ou ici de mettre 0 plus c'est comme vous préférez dernière chose quand vous avez trouvé des limites pensez à vérifier votre résultat en traçant la courbe de la fonction avec votre calculatrice donc ici moi je l'ai tracé avec geéogébra et qu'est-ce qu'on retrouve et bien quen Z0 la limite de cette fonction et bien il semble que ce soit moins l'infini exactement ce qu'on a trouvé par le calcul et en plus l'infini il semble que la limite de cette fonction ce soit plus l'infini exactement ce qu'on a trouvé juste avant passons à la question suivante on nous demande de déterminer F prime x donc il faut calculer la dérivée de cette fonction mais on a expliqué que cette fonction elle s'écrit aussi comme ceci et cette forme là elle est beaucoup plus simple à dériver que celle-ci parce que au lieu d'avoir du ln x² et bien là on a tout simplement du ln x donc pour dériver au lieu d'utiliser cette forme on va utiliser cette deuxième forme qui est beaucoup plus pratique donc allons-y et déjà on remarque que ici c'est de la forme U x V et vous savez que quand on a u x V la dérivée c'est u Prim V + U V prime donc on commence par écrire je suis au brouillon pour le moment que U de X ça correspond donc à 2x et donc la dérivée u prime u prime je vais avoir besoin de U prime u Prim x la dérivée de 2x c'est 2 ensuite j'écris que VX ça correspond donc à ln X et vous savez donc j'ai besoin de V prime la dérivée la dérivée de ln x c'est 1/ x donc ce bloc là qui est de la forme U x V pour avoir sa dérivée il suffit d'appliquer cette formule et donc la dérivée de ce bloc là ça donne u prime V donc u Prim V donc ça fait 2 ln x plus U V Prim U V prime donc + 2 x ça c'est u que multiplie V prime que multiplie 1/ x donc là ici on a dérivé ce bloc là mais il reste moins la dérivée de 1/ X et vous devez savoir que 1/ X lorsqu'on le dérive et bien ça donne - 1/ x Carr et donc ça donne moins la dérivée de 1/ X donc moin ceci donc ça fait moins faites attention moins 1 sur X Carr et donc voilà ici on a dérivé la fonction donc ici on a bien F prime de X et maintenant il y a plus qu'à arranger alors X X 1/ X ça se simplifie et donc ici il reste que 2 et là moins moins ça fait plus et donc au final F Prim x qu'est-ce qui reste et bien il nous reste 2 ln x 2 ln x ici il reste que le + 2 et là il nous reste + 1/ x² et voilà on a terminé de dériver voilà la dérivée de la fonction donc voilà je vous ai remis au PROE ce qu'on vient d'expliquer au brouillon et c'est important avant de faire ce calcul c'est important d'écrire sur votre copie que ce calcul il est valable pour tout X du domaine de définition donc c'est important de l'écrire avant de faire le calcul passons à la question B on nous demande de montrer que la D dérivée seconde est égale à ceci et bien qu'est-ce qu'on va faire on va déjà calculer la dérivée seconde et ensuite on montrera que cette dérivée seconde elle peut s'écrire comme ceci alors pour avoir la dérivée seconde il faut dérivver deux fois mais là on a déjà dérivé une fois donc il faut prendre ce qu'on a obtenu ici et le redériver une deuxième fois donc on y va F2 x donc il faut dériver ceci et bien regardez premier bloc ici c'est de la forme une constante k FO une fonction et vous savez que quand on dérive une constante fois une fonction attention il faut que ce soit un multiplier entre les deux et bien dans ce cas-là on ne touche pas la constante donc on remet le 2 et on multiplie par la dérivée de la fonction et la dérivée de ln X et bien c'est 1/ x donc la dérivée du premier bloc c'est 2 x 1/ x ensuite plus la dérivée de 2 et la dérivée d'une constante c'est 0 donc ça fait + 0 et il reste plus la dérivée de 1/ X au Carr et pour dériver rapidement 1/ x² je vous conseille de faire la chose suivante déjà 1 sur X au Carr et bien on va l'écrire x puiss - 2 pourquoi parce que vous devez savoir que quand on a 1 sur X à la puissance N et bien on peut l'écrire x puiss N et quel est l'intérêt d'écrire 1/ x² sous la forme x puiss 2 c'est qu'on va pouvoir appliquer la fameuse formule que x^iss N quand on dérive quand on dérive et bien ça donne n la puissance qui vient devant X à la puissance 1 grand de moins c'estàdire n - 1 et bien cette fameuse formule on peut aussi l'appliquer quand le N il est négatif et donc ici quand on va dériver et bien ça va nous donner le N devant donc le - 2 devant x exposant n - 1 donc - 2 - 1 - 2 - 1 ça fait - 3 et voilà la dérivée de 1/ x² la voilà c'est - 2 x^ - 3 et ensuite on laisse pass ça comme ça x^iss - 3 on applique cette formule dans l'autre sens x^ - 3 ceci c'est 1/ x puiss 3 le tout multiplié par - 2 et donc au final ça fait combien bah ça fait - 2 x 1 donc - 2 sur X puissance 3 voilà la dérivée de 1/ X Carr alors là j'ai j'ai détaillé donc ça peut paraître un peu long mais si vous êtes habitué à cette méthode vous verrez ça va très vite par exemple pour dériver 1 sur X carré et donc la dérivé de 1/ X car ça donne donc - 2 donc ici ça fait - 2/ X3 donc voilà ici on a la dérivée seconde et maintenant il y a plus qu'à la ranger pour réussir à l'écrire sous cette forme donc on y va 2 x 1/ x bah ça fait 2/ x le 0 il est inutile et il reste - 2/ X3 et maintenant regardez le résultat on le veut sur X3 alors ici on a déjà du X3 donc c'est bon mais maintenant ici il nous faut du X3 et comme on a du X et bien on va multiplier tout simplement par X carré parce que X X x² ça fera bien du X3 mais si on multiplie en bas par X au Carr et bien pour compenser il faut multiplier en haut par X carré et du coup ça nous donne les deux fractions maintenant sont sur X3 donc je peux les regrouper donc j'ai X3 au dénominateur et au numérateur ben qu'est-ce qu'on a on a 2x² 2x² - 2 maintenant il faut que le numérateur ressemble à ceci et regardez ici on a 2 en facteur et là ça tombe bien on a de ici et de là et donc on va pouvoir mettre notre 2 en facteur donc on met 2 facteur de x² - 1 on vérifie qu' on s'est pas tromper si on développe ça fait bien 2x² 2 on s'est pas tromper le tout sur x³ et maintenant regardeer ce qu'on a et regardeer ce qu'on veut ici c'est factoriser et ça tombe bien x² - 1 ça devrait vous faire penser à l'identité remarquable a² b² il suffit de rajouter un carré sur le 1 ça ne change rien puisque 1 au carré c'est la même chose que 1 et vous savez que a²- b² ça se factorise en A + B facteur de A - B et bien x²r - 1 donc je mets déjà le 2 et x² - 1 au Carr et bien ça se factorise en a c'est x + 1 facteur de a c'est x 1 exactement ce qu'on voulait et le tout est toujours sur X au³ et donc voilà on a réussi à écrire notre dérivée seconde exactement sous la forme qu'on voulait et maintenant il y a plus qu'à rédiger ce qu'on vient d'expliquer au brouillon donc voilà je vous ai remis au propre ce qu'on vient d'expliquer et je vous ai mis en rouge les points important en particulier pour dériver rapidement 1/ x Carr et bien pensez à l'écrire x expos - 2 parce qu'ensuite pour dériver il y a plus qu'à appliquer la formule de x^iss N et ça vous donne directement ici la dérivée et dernière chose toujours pareil avant de faire votre calcul n'oubliez pas d'écrire que ce calcul il est valable pour tout X de l'intervalle 0x exclu plus l'infini c'est important de l'écrire avant de faire votre calcul passons à la question suivante on nous demande d'étudier la convexité de F et je vous l'ai rappeler ici pour avoir la convexité de F et bien il suffit de trouver le signe de la dérivée seconde et justement la dérivée seconde on vient de la calculer ici et en plus on l'a sous forme factorisée donc pour avoir son signe à cette dérivée seconde et bien on peut faire directement son tableau de signe donc allons-y faisons le tableau de signe donc ici je mets x ma variable et on n'oublie pas que X varie dans l'interval 0 exclu plus l'infini donc ici je mets 0 et là plus l'infini et comme 0 0 et exclu ici je mets une double barre pour indiquer que 0 est une valeur interdite ensuite ici je mets chacun des facteurs donc déjà je mets 2 ensuite je mets x + 1 ensuite je mets x - 1 et enfin je mets x³ maintenant on va regarder quand est-ce que chacun de ces bloc s'annule alors 2 quand est-ce que ça s'annule bah 2 ça ne s'annule jamais ensuite x + 1 quand est-ce que ça s'annule et bien quand x vaut -1 mais le problème c'est que -1 c'est pas entre 0 et plus l'infini donc sur l'intervalle 0 plus l'infini et bien x + 1 ne s'annule jamais ensuite quand est-ce que X - 1 s'annule bah x - 1 s'annule en 1 1 - 1 ça fait bien 0 et cette fois-ci 1 c'est bien dans l'intervalle 0+ l'infini donc je mets 1 et j'indique que X - 1 s'annule s'annule en 1 maintenant x³ quand est-ce qu'il est égal à 0 et bien quand x vaut 0 mais le problème c'est que 0 n'est pas dans l'intervalle parce qu'on commence après 0 puisque 0 est une valeur interdite donc x³ sur cet intervalle ne s'annule jamais donc finalement il y a qu'un seul bloc qui s'annule dans cet intervalle c'est x - 1 qui s'annule en 1 maintenant il y a plus qu'à remplir les signes alors 2 bah 2 c'est toujours positif maintenant x + 1 n'oubliez pas que X il est dans l'intervalle 0+ l'infini autrement dit X il est positif et si x est positif bah x + 1 aussi donc x + 1 sur cet intervalle est partout positif maintenant x - 1 c'est une fonction affine et le nombre qui multiplie x c'est sous-entendu 1 c'est 1x - 1 et comme 1 est positif et bien ça veut dire que cette fonction àine elle est croissante et donc ça courbe c'est une droite qui monte et comme on a vu que X - 1 il s'annule en 1 ça s'annule en 1 ça veut dire que comme la droite elle monte avant 1 c'est négatif et après 1 c'est positif donc avant 1 c'est négatif et après 1 c'est positif maintenant x³ est là toujours pareil on n'oublie pas que X est dans l'intervalle 0+ l'infini autrement dit X il est positif et donc si x est positif quand on l'élève au cube et bien ça reste positif et donc x³ est toujours positif sur cet intervalle et donc c'est plus partout donc pour chacun de ces blocs on a trouvé son signe donc maintenant on va pouvoir trouver le signe de l'ensemble c'est-à-dire le signe de F2 de X donc je rajoute une ligne F second de X et pour avoir le signe de l'ensemble et bien comme ici ce sont soit des multiplications soit des divisions il y a juste à appliquer la règle des signes et donc ça nous donne plus FO plus ça fait plus FO moin ça fait moins FO plus ça reste moin et sur cette colonne et bien comme tout est positif et bien ça donne plus et maintenant pour X qui vaut 1 et bien c'est ce bloc là c'est X- 1 qui vaut 0 et si ce bloc là vaut 0 bah tout le numérateur comme on multiplie vaudra 0 et diviser par n'importe quoi ça fera 0 donc pour x = 1 et bien à nouveau on aura 0 ici donc voilà on a trouvé le signe de la dérivée seconde le signe de la dérivée seconde donc maintenant il y a plus qu'à conclure lorsque la dérivée seconde est négative la dérivée seconde est négative sur l'inval ça veut dire que sur cet intervalle et bien la fonction f elle est concave donc ça veut dire que ici je rajoute une ligne sur cet intervalle entre 0 et 1 comme la dérivée seconde la dérivée seconde est négative bien c'est dire que la fonction sur cet intervalle 01 et bien la fonction elle est concave et sur cet intervalle comme la dérivée seconde est positive bien lorsque la dérivée seconde est positive ça veut dire que la fonction f elle est convexe donc sur cet intervalle la fonction f elle est convexe donc voilà j'ai tout remis au propre ici et j'ai rajouté vous savez que quand la dérivée seconde s'annule en changeant de signe c'est bien le cas ici puisqu'elle passe de négatif à positif et bien quand la dérivée seconde s'annule en CH de signe et bien ça veut dire qu'on a un point d'inflexion en 1 c'est ce que j'ai écrit ici et tout ce qu'on vient de démontrer à cette question c'est ce qu'on avait observé sur le graphique à la première question du problème que la fonction était d'abord concave puis convexe et qu'en a il y avait un point d'inflexion donc à la première question on l'avait pas démontré et bien voilà ces choses faites maintenant on a démontré tout ce qu'on avait observé au début du problème passons à la question suivante on nous demande les variations de f prime c'est ce que j'ai écrit ici et pour avoir les variations de f prime ce qui serait bien c'est d'avoir la dérivée la dérivée de F prime et c'est quoi la dérivée de F prime et bien c'est F seconde et ça tombe bien F second on vient de trouver son signe elle est d'abord négative elle s'annule en 1 elle s'annule en 1 et après elle est positive donc ici on est sur l'intervalle 0 exclu plus l'infini et du coup si la dérivée est négative ça veut dire que la fonction elle est décroissante et si la dérivée est positive ça veut dire que la fonction elle est croissante et voilà comment on a les variations de f prime grâce à FSE maintenant ce qui serait bien c'est d'avoir la valeur qui est ici pour cela il y a juste à remplacer X par 1 dans F prime et la dérivée on l'avait déjà calculé je vous l'ai remise ici donc on calcule F prime 1 donc on y va F prime de 1 donc il y a juste à remplacer X par 1 et donc ça donne 2 ln 1 je remplace X par 1 + 2 + 1 sur X au² je remplace X par 1 donc ça fait 1 au²r et donc ça nous donne ln 1 ça fait 0 donc ça fait 2 x 0 bah ça fait 0 donc tout ce bloc là tout ce bloc là il vaut 0 et 1 au carré bah 1 au Carr ça fait 1 et donc 1/ 1 bah ça fait 1 ce bloc là il vaut 1 et donc ça fait au final il reste 0 + 2 + 1 ça fait donc 3 et donc ça veut dire que F prime 1 vaut 3 F prime de 1 vaut 3 donc la valeur qui est ici c'est 3 donc voilà on a les variation de f prime maintenant on nous demande le signe de f'e B regardez F prime son minimum c'est 3 et donc si le minimum c'est 3 ça veut dire que F prime et bien elle est toujours positive donc je rajoute que F' et bien bien elle est tout le temps tout le temps sur cet intervalle 0 exclu plus l'infini F prime son signe c'est tout le temps positif et enfin on nous dit en déduire le sens de variation de f et bien comme on vient de trouver que la dérivée F prime est positive si f prime est positive et bien ça veut dire que F et bien elle est tout le temps croissante sur l'intervalle 0 exclu plus l'infini ce qui termine cette question et toujours pareil pensez à comparer ce que vous trouvez par le calcul et le graphique on vient de démontrer que la fonction et bien elle est croissante tout le temps sur cet intervalle et bien c'est ce qu'on observe sur le graphique il semble en effet que la fonction elle soit tout le temps croissante sur cet intervalle donc ce qu'on a démontré et bien semble cohérent avec le graphique et donc voilà je vous ai tout remis au propre ici ce qui termine cette question passons à la question suivante on nous demande de montrer que l'équation FX = 0 admet une unique solution qu'on appelle alpha sur l'intervalle 0 plus l'infini alors déjà ça correspond à quoi FX = 0 bah quand est-ce que la courbe et bien coupe l'axe des abscisses et bien en effet il semble sur le graphique que la courbe elle coupe qu'une fois l'axe des abscisses ici et on peut même dire qu'à priori c'est entre 1 et 2 donc maintenant il va falloir expliquer que la courbe coupe l'axe des abscisses et en plus qu'elle coupe l'axe des abscisses une seule fois alors pourquoi B déjà la fonction elle est strictement croissante ça on l'avait démontré et donc ça veut dire que si la fonction est strictement croissante et bien elle prend les valeurs qu'une seule fois et donc si elle prend la valeur 0 et bien c'est uniquement une seule fois alors pourquoi la fonction va prendre la valeur é et bien parce qu'elle va passer de négative à positive et pourquoi elle est négative parce que sa limite en zéro on l'avait vu c'est moins l'infini et que sa limite en plus l'infini c'est plus l'infini donc la fonction elle va passer de négative à positive mais elle pourrait faire un saut mais c'est pas possible que la fonction fasse un saut parce que cette fonction elle est continue et si elle est continue et bien elle ne fait pas de saut elle prend toutes les valeurs intermédiaires et vous l'avez compris le fait de dire que la fonction est continue et que du coup elle va prendre toutes les valeurs intermédiairees de moins l'infini à plus l'infini et bien on est en train d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et plus précisément comme en plus on utilise le fait que la fonction est strictement croissante et donc du coup elle va prendre ses valeurs Inter me dire qu'une seule fois on est en train d'utiliser ce qu'on appelle le corollaire du TVI qu'on appelle encore le théorème de la bijection et donc comment on rédige on commence par dire que la fonction elle est strictement croissante sur cet intervalle et n'oubliez pas strictement sinon vous allez perdre des points c'est très important que ce soit strictement croissante ensuite on explique que la fonction elle est continue ce qui veut dire qu'elle va pas faire de saut et pourquoi elle est continue parce qu'elle est dérivable sur cet intervalle ensuite on rappelle les limites en é0 et en plusinfini ce qui permet d'expliquer qu'elle va passer de négative à positive et donc tout ceci ça veut dire que la fonction elle va prendre toutes les valeurs intermédiaires de moins l'infini de moins l'infini à plus l'infini et comme 0 bah c'est dans l'intervalle moins l'infini plus l'infini bah ça veut dire que la fonction elle va prendre la valeur 0 une fois et une seule quelque part sur cet intervalle et on le voit graphiquement ça va être entre 1 et 2 et ensuite il y a plus qu'à ajouter donc d'après le corollaire du TVI ou encore d'après le théorème de la bijection et bien cette équation FX = 0 et bien elle admet une unique solution sur cet intervalle ce qui termine cette question passons à la question suivante on vient de démontrer que cette équation FX = 0 elle admet une unique solution qu'on appelle alpha sur l'intervalle 0 plus l'infini autrement dit on vient de démontrer que la courbe elle coupe exactement une fois l'axe des ABS 6 en alpha et donc alpha est ici et maintenant on nous demande la valeur arrondie au centiè de Alpha pour cela vous prenez votre calculatrice ici vous rentrez l'expression de la fonction f ensuite il y a plus qu'à la tracer donc F6 et nous ce qu'on veut c'est savoir quand est-ce que la courbe coupe l'axe des abscisses c'est ce qu'on appelle les racines donc je vais dans G solve F5 et ici je veux les racines là où ça coupe l'axe des abscisses et donc ici j'appuie sur F1 et regardez ici on a une valeur approchée de Alpha et nous ce qu'on veut c'est la valeur arrondie au cè donc on coupe deux chiffres après la virgule et pour savoir si ici on met 2 ou 3 on regarde le chiffre d'après et comme c'est 7 et que c'est plus grand que 5 et bien il faut arrondir par au-dessus et donc ça fait 1,33 donc ça veut dire que Alpha la valeur arrondie au centiè et bien c'est 1,33 maintenant dernière chose on nous demande de mon que Alpha vérifie cette égalité et bien il faut partir de ce qu'on sait sur Alpha et il y a qu'une seule chose qu'on sache sur Alpha c'est que Alpha et bien il est solution il est solution de cette équation autrement dit quand on remplace X par Alpha là-dedans ça donne bien é0 donc on parle de la définition de Alpha c'est que F de Alpha comme alpha est solution de cette équation ça veut dire que F de Alpha é= 0 donc on part de là il va falloir arriver ici et bien qu'est-ce qu'on va faire on va calculer F de Alpha et comme ici on a FX ben il y a juste à remplacer X par Alpha donc on y va F de Alpha ça donne donc alpha alpha ln de Alpha au carré 1 sur Alpha et F de Alpha on sait que ça fait 0 et regardez ce qu'on a ici on a du logarithme et regardez ce qu'on veut ici il y a plus de logarithme il y a de l'exponentiel donc ici il va falloir se débarrasser du logarithme donc comment on va faire déjà on va isoler le logarithme et ensuite on prendra l'exponentiel pour s'en débarrasser donc déjà on va isoler le logarithme donc ce bloc là on va le regrouper de l'autre côté et donc ça nous donne alpha ln alpha au carré ce bloc là je le regroupe de l'autre côté donc ça fait égal 1 sur Alpha et maintenant pour isoler le logarithme je vais is me débarrasser de ce alpha comme il y a un multiplier pour m'en débarrasser et bien je vais diviser des deux côtés par Alpha et du coup ça donne ln de Alpha Carr je divise par Alpha donc ici ça fait 1 sur Alpha au carré et donc maintenant pour me débarrasser du logarithme je vais prendre l'exponentiel des deux côtés donc à gauche ça me fait exponentiel de ln de Alpha au carré é=al exponentiel de tout ceci et je vais l'écrire comme ce qu'on me demande donc je vais écrire exponentiel comme ceci de ceci 1 sur Alpha au carré et maintenant vous savez que exponentielle de logarithme et bien comme ce sont des fonctions réciproques ça s'élimine et donc ici et bien il va me rester alpha carré et donc je vais avoir alpha carré égal ceci exactement ce qu'on voulait et maintenant il y a plus qu'à le rédiger donc voilà je vous ai tout remis au propre ici et j'ai commencé par écrire F de Alpha = 0 ça c'est la définition même de Alpha c'est ce qui est dit dans l'énoncé al alpha c'est l'unique solution de cette équation donc par définition F de Alpha = 0 c'est pour ça que ici j'ai mis par définition ensuite j'ai remis le calcul qu'on a fait et pour passer de cette ligne à la dernière pour se débarrasser du logarithme on a pris l'exponentiel des deux côtés on dit qu'on a composé par l'exponentiel c'est pour ça que je vous ai écrit ceci donc voilà cet exercice est terminé j'espère que cette vidéo vous a été utile et comme d'habitude si vous apprécié n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos