Corrigé bac Amérique du nord 2024 spé maths ♦ intégrale suite ♦ avec rappel de cours + Conseils ♕

bonjour et bienvenue sur j'aicompris.com alors dans cette vidéo on va corriger cet exercice qui est tombé au bac 2024 et qui porte sur les suites et les intégrales et vous allez voir que cet exercice et bien il peut déstabiliser mais qu'en fait vous allez voir que lors de la correction et bien il est pas si difficile que cela et pour s'en rendre compte justement faut s'entraîner à faire ce type d'exercice d'où l'intérêt de cette vidéo donc maintenant comme d'habitude appuyez sur pause essayez de faire tout seul cet exercice et on se retrouve juste après pour la correction donc allons-y première question on nous demande de calculer I0 donc ça veut dire que dans in et bien N il va falloir le remplacer par 0 donc on y va I0 c'est donc l'intégrale de 0 à PI et je remplace donc n par 0 donc ça fait exponentiel 0 fois n'importe quoi bah tout ceci ça va valoir 0 avec un moins devant bah - 0 ça reste 0 donc ça fait exponentiel 0 que multiplie sin x DX et exponentielle 0 vous savez que ça fait 1 et donc au final bah ça fait l'intégrale de 0 à pi donc une fois sinus x bah une fois sinus x ça fait tout simplement sinus x DX et maintenant pour calculer cet intégrale il nous faudrait une primitive de sinus X et justement vous savez que cosinus x quand on le dérive ça fait Mo ins sinus x donc dans l'autre sens et bien ça nous donne une primitive de Mo- sinus X qui est COS X mais nous on veut pas une primitive de Mo- sinus x on veut une primitive de sinus X et bien c'est très simple ici on prend l'opposé et donc là on a l'opposé et donc ça veut dire que sinus x une primitive c'est in COS X et donc cette intégrale elle est égale entre crochets une primitive de sinus x donc - COS x COS x entre 0 et pi maintenant petitte Pete astuce très pratique pour se débarrasser des moins quand on a - F entre A et B et bien ceci c'est égal à F mais du coup si on s'est débarrassé du moins il faut permuter les bornes et donc entre B et A c'est exactement ce qu'on va appliquer maintenant donc ici au lieu de prendre - COS x on va prendre COS X mais comme on s'est débarrassé du moins il faut permuter les bornes et donc ça fait entre PI et 0 donc retenez bien cette petite astuce de calcul parce qu'elle est très pratique pour se débarrasser des moins et éviter les erreurs de calcul donc maintenant il y a plus qu'à remplacer donc ça fait COS 0 moins et je remplace X par pi in COS PI et maintenant si vous avez oublié combien valent COS 0 et COS pi vous faites un petit cercle trigo à main levée ici on est à 0 et là on est à PI et le cosinus c'est l'abscisse du point donc COS 0 c'est l'abscisse de ce point là on est à 1 donc COS 0 ça vaut 1 et l'abscisse de ce point là c'est -1 et donc ça veut dire que COS pi ça vaut -1 et donc ça nous fait 1 Mo moin ça fait plus donc + 1 et 1 + 1 ça fait 2 et donc ça veut dire que I0 vaut 2 et donc voilà on a terminé la première question passons à la deuxème question on nous demande de justifier que cette intégrale in elle est positive et quand on vous demande est-ce qu'une intégrale est positive et bien pour le savoir il suffit de vérifier que la borne du bas est plus petite que la borne du haut et que la fonction qui est à l'intérieur de l'intégrale est bien positive entre A et B alors ici la borne du bas 0 elle est bien plus petite que la borne du haut pi donc la première condition elle est bien vérifié maintenant reste à vérifier que la fonction qui est à l'intérieur de l'intégrale est bien positive entre 0 et pi alors ici on a une exponentielle réelle et une exponentielle réelle c'est toujours positif sur R et donc en particulier entre 0 et pi et donc en fait il y a juste à vérifier que sinus X est positif entre 0 et pi alors pour cela on fait un petit cercle trigonométrique à main levée donc on est entre 0 et pi donc on part de 0 et on va tourner jusqu'à atteindre PI et donc si on on prend un nombre x entre 0 et pi le sinus il se lit sur l'axe des ordonnées donc ici on a sinus X et donc si on va entre 0 et pi on parcourt cette zone du cercle trigo et comme le sinus il est en ordonnée et bien le sinus il se balade dans cette zone il reste au-dessus de l'axe des abscisses et donc ça veut dire que le sinus il est bien positif entre 0 et pi donc cette partie- là est aussi positive donc tout ce qui est à l'intérieur de l'intégrale est toujours POS et donc les deux conditions sont vérifiées et maintenant il y a plus qu'à le rédiger donc voilà je vous ai remis ici au prope ce qu'on vient d'expliquer et ce qui est important de comprendre c'est que ce qu'on vient d'expliquer est valable pour tout entier naturel n et donc avant de dire ceci et bien j'écris soit n un entier naturel donc tout ceci est vrai et donc ça veut dire que pour tout entier naturel n et bien in est positive ce qui termine cette question et ce qui est important d'avoir en tête c'est que quand on vous demande de justifier que quelque chose est vrai pour tout entier naturel n et bien on rédige toujours de la même façon on commence par écrire soit n un entier naturel et ensuite on va justifier que c'est toujours vrai passons à la question B on nous demande de montrer que pour tout entier naturel n in + 1 - in est négatif et bien déjà calculons in + 1 Mo in alors pour le moment je suis au brouillon ensuite on rédigera mieux donc in + 1 je remplace tout simplement n par n + 1 donc ça fait l'intégral de 0 à pi d'exponentiel je remplace N par n + 1 donc ça me fait moin n + 1 x sinus x DX donc ça c'est in + 1 in donc in donc moins tout ceci j'ai juste à recopier l'intégrale de 0 à pi exponentiel NX sinus x DX donc donc il faut montrer que tout ceci est négatif et bien on va regrouper ces deux intégrales dans une seule et du coup il faudra démontrer qu'une intégrale est négative et c'est toujours pareil on vérifie que la borne du bas est plus petite que la borne du haut et on vérifie que la fonction qui est à l'intérieur de l'intégrale est négative entre A et B donc on va regrouper ces deux intégrales alors je rappelle que l'intégral de A à B de F moins intégral de A à B de G et bien ça fait l'intégrale de A à B de F- g donc ici c'est exactement ce qu'on va appliquer pour le moment je suis au brouillon donc cette intégrale moins celle-là et bien ça fait l'intégrale de la première fonction j'enlève le DX moins la deè fonction et j'ai mon DX qui est ici donc ici on a in + 1 - et comme il faut montrer que c'est négatif maintenant il va falloir montrer que cette intégrale elle est négative alors on commence par vérifier que la borne du bas la borne du bas est plus petite que la borne du haut bah oui Z0 c'est bien plus petit que PI et maintenant il va falloir vérifier que la fonction qui est à l'intérieur de l'intégrale et bien cette fonction là il va falloir vérifier qu'elle est négative sur l'intervalle 0 PI et pour montrer que cette fonction est négative pour montrer qu'une fonction est négative et bien la technique habituelle c'est de penser à factoriser la fonction il faut penser à factoriser F c'estàdire factoriser la fonction qu'on a ici pour trouver son signe et là regardez ici et là à chaque fois on a du sinus X et donc on va pouvoir le mettre en facteur et donc ça nous donne l'intégrale de 0 à pi je mets donc sinus X en facteur et entre crochet je mets ce qui me reste ben il me reste ceci cette exponentiel exponentiel moin n + 1 x moin 7ette exponentielle moins exponentiel n - NX et on n'oublie pas de rajouter le DX à la fin maintenant la question c'est est-ce qu'on peut encore factoriser bah regardez ici on a exponentiel de NX et là on a du N du X avec un moins devant et donc on se doute que ici aussi on va réussir à faire apparaître de l'exponentielle - NX donc regardez je vais le faire ici à part je reprends ceci exponentielle de moin n + 1 X et maintenant je vais développer je vais développer et donc ça me donne NX avec un moins devant donc ça me fait in NX et X X 1 bah ça fait X avec un moins devant ça me fait X et maintenant cette exponentielle comme ça marche comme les puissances et bien je vais la casser en de et donc ça me fait exponentielle de NX que multiplie ça marche comme les puissances exponentielle X et regardez ce qu'on a réussi à faire apparaître de l'exponentiel NX exactement comme ici donc ici et là on a de l'exponentiel NX et donc on va pouvoir le mettre en facteur donc tout ceci tout ceci je le remplace par ceci donc j'y vais comme je suis au brouillon je peux EFFACER donc tout ceci qui était là je le remplace par ceci donc ça fait exponentiel Mo ins NX que multiplie exponentiel X et du coup maintenant exponentiel Z x je l'ai ici et là et donc je vais pouvoir le mettre en facteur et donc ça me donne toujours pareil l'intégrale de 0 à pi de sinus X du coup j'ai mon exponentiel Mo NX que je mets en facteur et donc dans mon crochet qu'est-ce qui reste ici me reste exponentiel X et comme là j'ai pris mon exponentiel Mo NX et bien ici il me reste 1 et donc ça fait 1 et on n'oublie pas derrière de remettre le DX et là on a presque terminé on a vu à la question précédente que sinus x entre 0 et pi c'est positif ensuite une exponentiel réel c'est toujours positif reste à trouver le signe de ceci et bien par exemple pour le trouver on peut résoudre l'inéquation quand est-ce que ceci est positif et donc je résous exponentiel x - 1 on va se poser la question quand est-ce que c'est positif et bien pour cela il y a juste à isoler l'exponentiel et donc ça nous donne exponentiel x je regroupe le 1 de l'autre côté et plus grand que 1 et 1 c'est exponentiel 0 he c'est exponentiel 0 et quand est-ce qu'une exponentielle est plus grande qu'une autre et bien quand l'exposant ici X est plus grand que l'exposant ici 0 et maintenant il y a plus qu'à se débarrasser du moins en multipliant par -1 donc je multiplie partout par -1 si je multiplie par B X X -1 ça me fait x c'était l'objectif on s'est débarrassé du moins si je multiplie par -1 ça inverse l'ordre et à droite 0 x -1 ça fait 0 et donc ça veut dire que X est négatif et donc ça veut dire que cette quantité qu'on a ici elle est positive quand X est négatif et nous justement X il est pas négatif X il est entre 0 et pi x il est positif et donc ça veut dire qu'on a pas ceci mais le contraire et donc ça ça veut dire que ceci n'est pas positif ceci est négatif et donc comme ce bloc là est positif celui-ci positif et celui-ci négatif et bien l'ensemble va être négatif et donc ça veut dire que la fonction qui est à l'intérieur de l'intégrale est négative et comme la borne du bas est plus petite que la borne du haut et bien ça veut dire que l'intégrale est donc négative et donc ça veut dire que in + 1 - in est bien négatif et maintenant il y a plus qu'à le rédiger donc voilà je vous ai tout remis au propre ici est toujours pareil pour montrer que quelque chose est vrai pour tout entier naturel n on commence par rédiger soit n un entier naturel ensuite on calcule in + 1 - in exactement comme on l'a fait au brouillon et on n'oublie pas de factoriser et maintenant reste à trouver le signe de la fonction qui est à l'intérieur de l'intégrale pour cela il faut étudier le signe de la parenthèse et donc on résout quand est-ce que la parenthèse est positive et on tombe quand X est négatif mais nous le problème c'est que X il est pas négatif X il est entre 0 et pi donc x c'est le contraire ici il est positif et donc on a le contraire là ça veut dire que la parenthèse elle est négative et donc ensuite il y a plus qu'à conclure l'exponentielle est positive le sinus on l'a vu est positif et on vient d'expliquer que la parenthèse est négative et donc grâce à la règle des signes et bien la fonction qui est à l'intérieur de l'intégrale est négative et comme la borne du bas est plus petite que la bande du haut bien ça veut dire que l'intégrale est négative et donc ça veut dire que in + 1- in est négatif et ce qu'il faut bien comprendre c'est qu'on a démontré que in + 1 - in est négatif pour un entier naturel n quelconque autrement dit pour tout entier naturel n et donc on a bien répondu à la question passons à la question C on vous demande d'en déduire que la suite in converge et quand on vous demande de démontrer qu'une suite converge vous devez penser à ce fameux théorème qui est dans votre cours qui dit que si on a une suite croissante et majurée alors la suite converge ou si on a une suite décroissante et mineurée et bien la suite converge également et je rappelle ça veut dire quoi qu'une suite est mineurée ça veut dire que la suite elle est toujours plus grande qu'une constante et regardez ici on a montré que la suite elle est toujours plus grande que Z0 donc ça veut dire que la suite elle est mineorée par zéro et du coup comme la suite est mineurée il faut regarder si la suite est pas décroissante et justement regardez à la question juste avant on a montré ceci ça veut dire quoi si on regroupe in de l'autre côté ça veut dire que in + 1 et bien est inférieur ou égal je regroupe in de l'autre côté est inférieur ou égal à in ça veut dire que le terme d'après est plus petit que le terme d'avant autrement dit que la suite est décroissante et donc comme la suite est mineorée par 0 écalé décroissante on est bien dans cette situation et bien on peut en conclure que la suite converge donc voilà je vous ai mis en bleu comment rédiger et donc maintenant on sait que cette suite in elle est convergente et je vous rappelle ça veut dire quoi qu'elle est convergente ça veut dire qu'elle a une limite finie donc on sait que cette suite in elle a une limite finie mais le problème c'est qu'on connais pas cette limite et bien vous l'avez compris ça va être l'objet des questions suivantes passons à la question 3 et je vous rappelle ce qu'on a déjà démontré aux questions précédentes on a démontré que cette suite in elle est toujours positive qu'elle est décroissante et qu'elle converge et maintenant on veut sa limite maintenant avant d'attaquer les questions j'aimerais prendre un peu de recul par rapport à l'exercice parce que la méthode pour trouver la limite de cette suite et bien elle est très souvent la même donc c'est important de bien en avoir conscience quand on a une suite qui est définie à l'aide d'une intég pour trouver la limite comme on a montré que in elle est positive et bien l'idée c'est qu'au lieu de calculer in au lieu de calculer cette intégrale on va montrer que in elle est plus petite que quelque chose et ce qu'on espère c'est que ce quelque chose et bien quand on va faire tendre n vers plus l'infini et bien la limite ici ce sera 0 parce que du coup in elle va être coincée entre deux trucs qui tendent vers 0 et donc on pourra en déduire que y tend vers 0 c'est exactement ce qu'on va faire ici et c'est une méthode qu'on applique très souvent donc attaquons la question 3A on nous demande de montrer que in c'est-à-dire cette intégrale est plus petite que celle-ci et qu'est-ce qu'on remarque regardez c'est la même chose sauf que ici on n pas de sinus on s'est débarrassé du sinus et comment montrer que ceci est plus petit que cela et bien on se doute que ça vient du fait que le sinus sinus X et bien c'est plus petit que 1 maintenant pour faire apparaître in à gauche et bien déjà je vais multiplier par exponentiel NX des deux côtés donc on y va je multiplie par exponentiel NX des deux côtés donc ça fait exponentiel NX sinus x inférieur ou égal à 1 x exponentiel NX donc ça fait exponentiel tout simplement NX et là faites bien attention quand on multiplie dans une inégalité pour que ça reste dans le même il faut que ce par quoi on multiplie soit positif c'est le cas ici exponentiel Mo NX c'est bien positif et donc ça reste dans le même ordre et maintenant qu'on a fait apparaître ici ce qu'il y a à l'intérieur de l'intégrale on a envie de prendre l'intégrale des deux côtés de 0 à P l'intégrale des deux côtés je rajoute le DX et est-ce qu'on a le droit et bien oui quand vous avez F qui est plus petit que G et bien si on prend l'intégrale de F et l'intégrale de G ça reste dans le le même ordre sous réserve que les bornes ici A et B et bien on a bien a plus petit que B c'est le cas ici 0 c'est bien plus petit que PI et donc ici bah regardez on a fait apparaître in et donc on a exactement ce qu'on veut in et bien plus petite que ceci c'est exactement ce qu'on a ici et maintenant il y a plus qu'à le rédiger donc voilà je vous ai remis au prop ce qu'on vient d'expliquer et toujours pareil n'oubliez pas de rajouter devant soit n un entier naturel puisqu'on veut démontrer ceci pour tout entier naturel n donc ici c'est important de le rajouter passons à la question B on vient de montrer que in elle est plus petite que cette intégrale et bien maintenant on nous demande à cette question B de justement calculer cette intégrale et de montrer qu'elle est égale à ceci donc allons-y calculons cette intégrale que j'ai remise ici et regardez à l'intérieur de l'intégrale ici c'est de la forme exponentielle a X avec a qui correspond à N et justement vous connaissez une primitive de exponentiel AX c'est 1 sur a exponentiel à X donc ici on connaît une primitive donc ça va être facile de calculer cette intégrale donc une primitive de exponentiel a x c'est 1/ a mais a ici correspond à - N donc ça fait 1 sur N exponentiel de la même chose exponentiel de - NX est toujours entre les bornes entre 0 et pi donc voilà on a calculé l'intégrale maintenant il y a plus qu'à remplacer X par PI et 0 mais déjà pour pas avoir trop de moins on va se débarrasser du moins et ce moins qui soit en dessous ou devant c'est pareil donc je le mets devant et donc je l'efface ici et je vous rappelle que comme au début de la vidéo quand on a entre crochet F entre A et B et bien on peut se débarrasser du moins et mettre entre crochet F tout simplement mais si on se débarrasse du moins et bien il faut permuter les bornes et donc ça fait entre B et A c'est exactement ce qu'on va appliquer maintenant donc je me débarrasse du moins donc je mets 1/ n exponentielle NX et comme je me suis débarrassé du moins il faut permuter les bornes et donc ça fait entre PI et 0 donc maintenant j'ai plus qu'à remplacer X par 0 donc ça me donne 1/ N exponentiel donc ici je mets 0 0 x n'importe quoi ça fait 0 avec un moins devant ça reste 0 1/ N et je remplace maintenant X par pi donc ça fait exponentiel n PI et maintenant il y a plus qu'à arranger exponentiel 0 ça fait 1 donc 1/ n x 1 bah ça fait 1/ n ceci c'est inutile et donc maintenant on peut mettre tout sur N puisque c'est ce qu'on veut donc je mets tout sur N et donc ça fait 1 moins ceci donc 1 Mo exponentiel Mo n PI et regardez ce qu'on a obtenu là c'est exactement ce qu'on voulait dernière petite subtilité jusqu'à présent tout ce qu'on a démontré c'était pour tout entier naturel n et à partir de cette question ben regardez c'est pour n supérieur ou égal à 1 donc ça commence pas à é0 maintenant ça commence à partir du rang 1 alors d'où ça vient regardez quand vous vous prenez une primitive ici on a 1 sur a donc on divise par a et donc a doit être différent de 0 bah c'est exactement ce qu'on a ici n on l'a au dénominateur et donc il doit être différent de 0 et donc c'est un entier naturel donc un entier positif qui est différent de 0 donc ça commence à partir du rang 1 et donc cette démonstration elle est valable pour n supérieur ou égale à 1 ça ne marche pas pour 0 puisqu'on a n au dénominateur et donc donc devant ce calcul il faut penser à rajouter soit un entier n supérieur ou égal à 1 en fait on reprend l'énoncé et donc on a terminer cette question B passons à la question C on nous demande d'en déduire ça veut dire qu'il faut utiliser les questions précédentes la limite de la suite in alors in on a démontré qu'elle est plus petite que cette intégrale mais cette intégrale on vient de la calculer elle vaut ceci et donc ça veut dire que in est plus petite que que ceci c'est-à-dire 1- exponentiel n pi/ n et de l'autre côté on a démontrer à la question de a que in elle est positive autrement dit que in est supérieur ou égale à 0 et donc maintenant ce qu'on espère c'est que ceci cette quantité quand on va faire tendre n vers plus l'infini et bien tout ceci va tendre vers 0 parce que du coup in sera coincé entre deux suites qui tendent vers 0 et donc ça voudra dire d'après le théorème des gendarmes que in tend également vers 0 donc maintenant la difficulté c'est de démontrer que tout ceci et bien quand n tend vers plus l'infini tout ceci tend vers 0 et bien si n tend vers plus l'infini n pi tend encore vers plus l'infini et comme il y a un moins devant et bien Mo- n PI et bien tend vers moins l'infini et l'exponentielle en moins l'infini souvenez-vous de la courbe exponentielle l'exponentielle en moins l'infini tend vers 0 donc exponentiel de quelque chose qui tend vers moins l'infini et bien tout ceci va tendre vers 0 et donc 1 - 0 et bien le numérateur 1 - 0 ça va tendre vers 1 et le dénominateur n tend vers plus l'infini donc on a le numérateur qui tend vers 1 et qui est divisé par un nombre qui tend vers plus l'infini et 1 divisé par un nombre qui tend vers plus l'infini et bien tout ceci ça tend vers 0 et donc tout ce ceci tend vers 0 et donc ça veut dire que in elle va être coincée entre 0 et une suite qui tend vers 0 et donc d'après le théorème des gendarmes et bien in tend vers 0 et donc on a trouvé sa limite c'est 0 et maintenant il y a plus qu'à rédiger ce qu'on vient d'expliquer au brouillon donc voilà je vous ai tout remis au propre je commence par écrire que d'après la question de a et la question 3B et bien on a cette double inégalité que j'ai appelé étoile ensuite on cherche la limite de la partie droite j'ai rédigé ici on trouve 0 et donc d'après cette inégalité et le théorème des gendarmes et bien on en déduit que la limite de un et bien c'est 0 dernière chose avant de continuer j'aimerais qu'on prenne un peu de recul sur l'exercice parce que la méthode qu'on vient d'utiliser pour trouver la limite de in elle est très classique l'idée c'est que pour trouver la limite de in plutôt que de calculer cette intégrale qui est compliquée on a montré que I n elle est plus petite qu'une intégrale qui elle est facile à calculer et ensuite il y avait plus qu'à appliquer le théorème des gendarmes donc retenez bien cette méthode parce qu'elle est très classique passons à la question 4a on nous dit en intégrant par partie i n donc cette intégrale de deux façons différentes on doit montrer cette première égalité et cette deuxième égalité alors je vous ai rappelé ici la formule d'intégrale tion par partie alors comment elle marche et bien quand on a une intégrale avec un produit c'est le cas ici on a une intégrale avec un produit et bien il y a une des deux fonctions qu'on va appeler u prime et l'autre V et donc la question c'est est-ce que celle-ci on va l'appeler u prime et l'autre V où est-ce qu'il va falloir faire le contraire c'est la question qu'on se pose quand on fait une intégration par partie mais ici comme on nous dit d'intégrer par partie de deux façons différentes et bien il y a pas de question à se poser il va fallo faire les de cas donc allons-y on commence par poser que u Prim x c'est cette fonction donc u Prim x c'est cette fonction exponentielle NX et que VX c'est cette fonction VX c'est sinus x donc ici on a u Prim et V u Prim et V et moi dans ma formule il faut U et V Prim donc il faut u donc u X u c'est donc une primitive de cette fonction-là et on l'a vu dans les questions précédentes si on a exponentielle à X pour avoir une primitive j'écris au brouillon pour avoir une primitive c'est 1/ a exponentiel AX et donc on l'avait vu une primitive de exponentiel NX et bien on applique cette formule ça fait 1 sur N puisque ici a et bien ça correspond à - N donc ça fait 1/ n exponentiel NX ce ce qu'on écrit plus simplement ici le moins on le met devant et donc ça fait - 1/ N exponenti NX et enfin il me faut V prime donc la dérivée de V V prime et la dérivée de sinus X et bien c'est cosinus x donc maintenant qu'on a u v u Prim et v'e on va pouvoir appliquer notre formule d'intégration par partie donc in cette intégrale elle est égale à entre crochet u x V u x V donc ça fait 1/ n exponentielle de NX ça c'est u x V x sinus x donc entre crochet entre 0 et pi voilà moins l'intégrale de 0 à pi de U V prime U V prime donc ça fait je remplace doucement 1/ n exponentielle de NX que multiplie V prime c'est-à-dire FO COS X et on n'oublie pas de rajouter derrière le DX maintenant pour calculer le crochet il y a plus qu'à remplacer X par PI et X par 0 mais sinus pi sinus pi rappelez-vous sur le cercle trigo pi correspond à ce point-là le sinus c'est l'ordonnée c'est 0 sinus pi c'est 0 donc on va remplacer X par PI et bien ceci ça va faire 0 donc tout ceci va valoir é0 et ensuite il va falloir remplacer X par 0 mais 0 ça correspond à ce point-là et l'ordonnée de ce point-l qui correspond au sinus c'est encore 0 et donc quand on va remplacer X par 0 ça va faire apparaître du sinus 0 et sinus 0 ça fait encore 0 donc dans le crochet quand on va remplacer X par pi ça va nous donner 0 et 0 FO n'importe quoi ça fait 0 et pareil quand on va remplacer X par 0 ce bloc là va faire 0 multiplié par n'importe quoi ça va faire 0 et donc à chaque fois je quand on va remplacer X par pi puis X par 0 et bien ça va faire 0 et donc le crochet il est égal à 0 et donc on peut l'éliminer maintenant regardez ici le 1/ N c'est indépendant de X c'est ce qu'on appelle une constante je l'appelle K comme constante et ce 1/ n il multiplie le reste et là vous devez savoir que quand on a une intégrale de la forme k que multiplie une fonction où K est une constante exacte ce qu'on a ici et bien on peut sortir la constante de l'intégrale et donc ça fait k FO l'intégrale de F et bien c'est exactement ce qu'on va appliquer ici on a bien une constante qui multiplie le reste et donc le 1/ N on peut le sortir de l'intégrale donc pour le moment je suis au brouillon j'ai face voilà donc ici je rajoute mon moins 1 sur N que j'ai sorti de l'intégral et je remets mon intégrale de 0 à PI et maintenant regardz ici moins x moins ça fait plus donc du coup on se retrouve avec du 1/ N exactement comme ici et ce qu'on aimerait avoir derrière c'est JN regardez ici on a exactement regardez ici et là c'est exactement pareil ici on a JN et donc on a bien démontré que in c'est égal à 1/ n 1/ n JN donc déjà on a notre deuxè égalité donc voilà je vous ai tout remis au propre ici et première subtilité vous voyez que ici on a n au dénominateur et donc n doit être différent de 0 et donc exactement comme tout à l'heure comme n c'est un entier naturel donc positif qui est différent de é0 bien ça veut dire que ça commence à partir du rang 1 donc c'est pour ça que ici et dans l'énoncé c'est pour n supérieur ou égal à 1 parce que ici on a n au dénominateur et donc il doit être différent de zé 2è subtilité pour être tout à fait rigoureux la formule d'intégration par partie elle est valable pour des fonctions U V u Prim et V prime qui sont continues entre les bornes et justement ces quatre fonctions elles sont bien continues sur R et donc en particulier sur 0 pi c'est ce que j'ai écrit ici pour être tout à fait rigoureux donc voilà on a terminé de démontrer la deè égalité maintenant pour avoir la deè égalité et bien on va permuter u prime et V et donc on va poser que V ça correspond à ceci et donc ceci ça correspond à U prime donc on y va je commence par écrire que VX et bien c'est exponentielle NX et que u prime X et bien c'est sinus x maintenant comme tout à l'heure il me faut u de X c'est-à-dire une primitive de sinus X et on l'a déjà fait à la première question une primitive de sinus x c'est Mo COS x maintenant il nous faut la dérivée de V V prime de X et donc il faut dérivver ceci et ça c'est de la forme exponentielle a qui correspond à N donc c'est de la forme exponentielle a X et je vous l' rappeler ici quand on a exponentiel à X et qu'on dérive et bien le a le nombre qui multiplie x vient devant exponentiel de la même chose donc ici quand on dérive le a le nombre qui multiplie x vient devant donc ça me fait - Z exponentielle de la même chose exponentielle moin NX donc maintenant on peut appliquer notre formule d'intégration par partie et donc ça donne que in est égal entre crochet UV UV donc ça fait moin COS x que multiplie exponentiel NX entre 0 et pi moins moins l'intégrale de 0 à pi de U V Prim U V prime donc moin x moins ça fait plus donc ici il me reste le N il me reste COS X et il me reste exponentiel NX et on n'oublie pas derrière le DX et maintenant regardez ici n toujours pareil c'est un nombre qui est indépendant de X c'est ce qu'on appelle une constante et elle multiplie le reste et donc comme n est une constante qui multiplie le reste et bien on peut sortir le N de l'intégral donc j'fface pour le moment je suis au brouillon et donc je mets le N devant l'intégral je l'ai sorti de l'intégrale et regardez ce qui reste ici c'est exactement de cette forme là COS x que multiplie exponentiel n x COS x que multiplie exponentiel NX c'est la même chose simplement c'est pas dans le même ordre mais comme c'est une multiplication ça ne change rien et donc tout ceci ici tout ceci ici c'est donc JN donc ici je peux tout effacer pour le moment je suis au brouillon donc ici j'ai JN et bien ça tombe bien le njn c'est ce boutl maintenant il faut calculer le crochet et exactement comme tout à l'heure je rappelle que quand on a un moins on a un crochet du type - F entre A et B pour se débarrasser du moins et bien on peut écrire F et on inverse les bornes entre B et a donc ici c'est exactement ce qu'on va appliquer on se débarrasse du moins donc on recopie ce qu'il y a à l'intérieur COS X exponentielle de - NX mais on doit si on s'est débarrassé du moins permuter les bornes donc c'est entre PI et 0 et il reste - N GN et maintenant il y a plus qu'à remplacer X par 0 partout et donc ça nous donne COS 0 exponentiel ici je vais avoir 0 0 fois n'importe quoi bah ça va faire 0 donc ça fait exponentiel 0 moins je remplace maintenant X par pi partout donc ça me fait COS PI et là je vais avoir exponentiel donc n pi n PI et derrière il me reste le - N JN maintenant il y a plus qu'à arranger alors exponentiel 0 ça fait 1 COS 0 COS 0 ça fait 1 donc ici on a 1 x 1 bah 1 x 1 ça fait 1 et là et bien COS pi ça fait -1 donc ça fait Mo- Xin ça fait donc plus il me reste une fois exponentiel n pi bah une fois exponentiel n pi ça fait tout simplement exponentiel n PI et il me reste derrière le N JN et regardez ce qu'on a obtenu et bien on a obtenu exactement ce qu'on voulait on a notre deuxè égalité donc voilà je vous ai tout remis au propre ici ce qui termine cette question passons à la question 4B on nous dit en déduire ça veut dire qu'il faut utiliser les questions Pr précédente que in est égal à ceci autrement dit on nous demande l'expression de in et bien justement on vient de démontrer que in c'est égal à ceci et donc là on a presque l'expression de in le primèe c'est qu'ici on a du JN et donc ici il faut se débarrasser du JN et justement on a une deuxième égalité où on va pouvoir isoler JN cette deuxième égalité je l'écris ici c'est que in c'est égal à 1/ n JN donc moi je veux isoler JN ici pour ensuite le remplacer là-dedans et donc ici si on fait le produit en croix et bien ça va nous donner que JN je fais le produit en croix ça fait n i n I et donc maintenant dans cette égalité je vais remplacer JN JN par N I et du coup j'auraai plus de Jn ici j'aurai que du in donc on y va je reprends cette égalité donc ça fait in est égal à 1 + exponentiel NP N et à la place de Jn à la place de Jn et bien je mets n donc FO N in et maintenant il y a plus qu'à arranger donc ça fait in é= 1 + exponentiel n pi ici ça fait donc n² in et maintenant il y a plus qu'à regrouper les in ensemble donc je regroupe tout à gauche donc ça me fait in ce I et ce bloc là quand je le regroupe à gauche ça va me faire plus n² I et le reste je le laisse à droite é= 1 + exponentiel n PI et maintenant il y a plus qu'à mettre in en facteur et donc ça fait in facteur de 1 + n² est égal a 1 + exponentiel Mo n pi pour le moment je suis au brouillon et maintenant il y a plus qu'à terminer j'ai plus qu'à isoler in et donc ça me fait que in c'est égal à ceci donc 1 + exponentiel Mo n pi divis par 1 + N car 1 + N car ou n² + 1 c'est exactement pareil et voilà on a trouvé l'expression de in on a exactement ceci donc voilà je vous ai tout remis au propre ici la seule chose que j'ai rajouté c'est que cette démonstration elle est valable pour tout entier n supérieur ou égal à 1 puisque ces égalités elles sont valables à partir du rang 1 et donc voilà on a terminé cet exercice donc voilà cette vidéo est terminé j'espère que vous avez bien compris et que cette vidéo vous a été utile parce que cet exercice qu'on vient de faire il est extrêmement classique et donc il faut absolument le maîtriser et j'espère que cette vidéo vous a aidé à tout tout bien comprendre et à progresser et comme d'habitude si vous avez apprécié cette vidéo n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos