famille libre lié ♦ Un classique ♦ Pour quelles valeurs de t, la famille est-elle libre ? MPSI prépa

bonjour et bienvenue sur jcompris.com alors l'objectif de cette vidéo c'est de s'entraîner à montrer qu'une famille est libre ou pas et l'intérêt de cet exercice regardez les coordonnées des vecteurs elles dépendent d'un paramètre t et du coup on vous demande pour quelle valeur de T et bien cette famille de vecteurs est libre ou pas donc maintenant comme d'habitude appuyez sur pause essayez de faire tout seul cet exercice et on se retrouve juste après pour la correction donc allons et la méthode générale pour savoir si une famille de vecteurs est libre et bien on cherche les combinaisons linéaires de ces vecteur qui donne le vecteur nul et si pour avoir le vecteur nul et bien ça implique que tous les lambda I sont nuls et bien alors ça veut dire que cette famille et bien elle est libre une autre façon de dire la même chose c'est que la famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul c'est celle où tous les Lamb I sont nuls donc allons-y appliquons cette méthode pour savoir si ces trois vecteurs forment une famille libre ou pas alors pour le moment je suis au brouillon ensuite on rédigera donc nous on cherche les combinaisons linéaires de ces trois vecteurs qui donnent le vecteur nul donc on cherche lambda1 U1 + lambda 2 U2 + lambda 3 lambda 3 U3 donc les combinaisons linéaires de ces trois vecteurs qui donnent le vecteur nul donc le le vecteur nul de R3 que je note 0 mais c'est le vecteur nul de R3 maintenant je remplace chaque vecteur par ces coordonnées donc ça fait lambda 1 et les coordonnées de U1 c'est 1 T et 0 + lambda 2 coordonnées de U2 c'est 0 1 et 1 + lambda 3 et les coordonnées de U3 c'est t - 1 et 0 et là je répète c'est le vecteur nul de R3 et le vecteur nul de R3 ses coordonnées c'est 0 0 et 0 et au passage pour rédiger ici au lieu de mettre 0 comme c'est le vecteur nul de R3 et bien on peut mettre 0 de R3 c'est ce que j'ai écrit ici 0 de e e étant l'espace vectoriel dans lequel vous êtes maintenant cette égalité on va l'écrire sous la forme d'un système donc pour la première coordonnée ça fait une fois lambda 1 autrement dit lambda1 + 0 x Lamb 2 donc besoin de l'écrire + T x Lamb 3 = 0 ensuite pour la 2e coordonnée ça fait t lamb1 plus une fois Lamb 2 donc plus lambda 2 + lambda 3 donc Lamb 3 = 0 et pour la 3è coordonnée ça fait 0 Lamb 1 donc pas besoin de l'écrire+ une x lambda 2 donc + lambda 2 + 0 lamb3 donc pas besoin de l'écrire é= 0 alors déjà ça nous donne Lamb 2 = 0 donc ici comme lambda 2 vaut 0 et bien je peux l'enlever maintenant qu'est-ce que je vais faire je vais m'arranger pour me débarrasser des lambda1 pour trouver la valeur de lambda3 alors comment faire pour se débarrasser des lambda1 bah regardez ici on va multiplier par T et venir ajouter la première ligne à à la deuxième pour ne plus avoir de lambda 1 donc on va prendre la deuxième ligne L2 et on va rajouter t FO la première ligne donc t FO L1 donc la première ligne je n'y touche pas je la remets telle qu'elle et maintenant pour ma deuxième ligne et bien je prends donc la deuxième ligne et je vais venir lui additionner t fois la première ligne donc dans ma tête je multiplie la première ligne par T donc ça fait t Lamb 1 ici si je multiplie par T t x t ça fait t car et 0 x T b ça ne change pas et maintenant j'additionne ces deux lignes donc ça fait t Lamb 1 t lamb1 ça fait 0 c'était l'objectif on s'est débarrassé des lamb1 et ici ça nous donne quoi ça fait t car Lamb 3 Mo Lamb 3 et donc si on additionne 0 + 0 ça reste 0 et on remet notre dernière ligne lambda 2 é= 0 maintenant voyez que ici on peut factorisé par lambda3 et donc ça fait lambda 3 facteur de t² - 1 donc je l'écris pour le moment je suis au brouillon et donc j'écris lambda 3 facteur de t² - 1 = 0 et c'est maintenant qu'il y a une discussion on a un produit on a un produit qui est égal à 0 et donc si t² si t² - 1 si ce bloc là est différent de 0 et bien pour que ça fasse 0 faut forcément que lambda 3 = 0 donc si t² - 1 est différent de 0 et bien ça implique que lambda 3 ég 0 et si lambda3 vaut 0 si lambda3 vaut 0 bah ici on aura 0 et donc ça disparaît et donc ça implique également que lambda1 = 0 donc on a aussi lamb1 = 0 et donc ça veut dire que si t² - 1 est différent de 0 lambda 3 vaut 0 lamb1 vaut 0 et lambda 2 on savait déjà qu'il valait 0 autrement dit tous les lambda i valent 0 donc si t² - 1 est différent de 0 tous les lambda I sont nuls on est dans cette situation et donc ça veut dire que si t² - 1 est différent de 0 ça veut dire que cette famille de trois vecteurs est libre maintenant vous l'avez compris reste à traiter lorsque t² - 1 est égal à 0 alors si t² - 1 est égal à 0 ça veut dire que ce bloc là vaut 0 et 0 fois n'importe quoi ça fait 0 et donc cette ligne et bien elle ne sert plus à rien et ça veut dire quoi que t² - 1 faut 0 bah ça veut dire que t il vaut 1 ou -1 donc maintenant il y a plus qu'à traiter ces deux cas séparément alors traitons le cas T = 1 donc ici je remplace T par 1 donc ça fait 1 Lamb 3 autrement dit ça fait lambda 3 et nous on perd pas de vue qu'on se pose la question est-ce que le système il va impliquer que tous les lambda I sont nuls ben si on veut que lambda 1 + lambda 3 soit égal à 0 ils sont pas forcément nuls les lambda 1 et lambda 3 il suffit qu'il soit opposé par exemple pour lambda 3 on peut prendre 1 et du coup pour lambda1 on peut prendre -1 et donc ça veut dire que pour T = 1 ce système et bien on peut prendre comme solution -1 pour lambda 1 pour lambda 2 on n pas le choix c'est 0 et pour lambda 3 c'est 1 autrement dit on a trouve ou une solution de ce système - 1 0 et 1 où tous les lambda i tous les lambda i ne sont pas nuls puisque celui-ci et celui-ci n'est pas nul et comme tous les lambda i ne sont pas nuls et bien on est dans cette situation ça veut dire que la famille elle est pas libre elle est liée lorsque T = 1 et bien cette famille de vecteur est pas libre elle est liée maintenant traitons le cas t = -1 donc je remplace T par -1 donc ici ça me fait Lamb 3 et donc pour que ceci fasse 0 bah pour lambda 3 je peux toujours prendre 1 mais du coup pour lambda 1 ben il faut que je prenne 1 1 - 1 ça fait bien 0 et donc du coup on a trouvé une solution où lambda 1 c'est 1 lambda 2 c'est toujours 0 et lambda 3 c'est 1 et donc vous l'avez compris pour t = -1 on a trouvé une solution mais il y en a d'autres où tous les lambda i ne sont pas tous nuls ils sont pas tous nuls on n'est pas dans cette situation et donc ça veut dire que pour t é= -1 et bien la famille n'est pas libre elle est liée et maintenant il y a plus qu'à rédiger ce qu'on a expliqué au brouillon donc voilà je vous ai tout remis au propre ici et je me permets d'insister à ce niveau-là quand on traite le cas T = 1 et qu'on écrit une solution et ceci et que c'est différent de 00 ça veut dire que la solution qu'on donne ce n'est pas la solution nulle ça veut dire que tous les lambda i tous les lambda i ne sont pas tous nuls et donc ça veut dire que la famille comme tous les lambda i ne sont pas tous nuls ça veut dire que la la famille elle est liée donc on a terminé mais je me permets d'insister pour être sûr que tout le monde est bien compris ça veut dire quoi quand on donne une solution bah ça veut dire que dans cette égalité quand on va remplacer lambda1 par -1 lambda 2 par 0 et lambda3 par 1 et bien on va trouver le vecteur nul faisons-le je remplace lambda 1 par -1 donc ça me fait U1 plus lambda 2 par 0 donc pas besoin de l'écrire + Lamb 3 par 1 1 donc ça fait + U3 et bien on doit tomber sur le vecteur nul donc sur 0 alors déjà vérifions que c'est vrai c'est lorsque t vaut 1 mais si t vaut 1 je remplace T par 1 ici donc ça me fait -1 ici je remplace T par 1 ça me fait 1 et regardez les coordonnées 1 - 1 0 1 - 1 0 ces deux vecteurs U1 et U3 regardez leurs coordonnées ce sont les mêmes autrement dit U1 = U3 c'est exactement ce qu'on a a écrit ici si on regroupe U1 de l'autre côté et bien on retrouve que U3 U3 = U1 et qu'est-ce que ça veut dire et bien ça veut dire que U1 peut s'exprimer en fonction de U3 et donc que la famille est liée parce qu'il y a un des vecteurs qui peut s'exprimer en fonction d'un autre et donc ce qu'il faut comprendre c'est que ici vous donnez une solution avec des lambda I qui sont pas tous nul et comme les lambda i ne sont pas tous nuls ça veut dire qu'il y a un vecteur qu'on va pouvoir isoler en fonction des aut autrement dit il y a un vecteur qui va pouvoir s'exprimer en fonction des autres et ça ça veut exactement dire qu'il y en a un qui est combinaison linéaire des autres autrement dit que la famille est liée et dernière chose à comprendre c'est que si le T qui est ici vérifie t² - 1 différent de 0 si on veut une combinaison linéaire égale au vecteur nul et bien il faut forcément que tous les lambda i soient égaux à 0 et si tous les lambda I sont égaux à 0 et bien ici on pourra pas isoler un vecteur en fonction des autres et du coup ça veut dire qu'il y a pas un vecteur qui pourra s'exprimer en fonction des autres et donc ça veut dire que la famille elle est libre donc voilà cette vidéo est terminée j'espère que vous avez bien compris et comme d'habitude si vous l'avez apprécié n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos