Suite convergente ♦ Théorème de convergence monotone ♦ Un+1=f(Un) ♦ Limite récurrence spé math

Bonjour et bienvenue sur j'ai compris.com Alors dans cette vidéo, on va traiter un exercice qui est très classique. Il s'agit de démontrer qu'une suite est convergente. Et vous allez voir, cet exercice, il est très complet. Et la méthode qu'on va utiliser, c'est elle qui est très classique. Cette méthode, vous la retrouverez dans de nombreux exercices. Cette méthode, elle mélange donc les suites, les fonctions, les tableaux de variation sur les fonctions, le raisonnement par récurrence, et enfin, il faudra savoir justifier que la suite est convergente. Donc vous voyez, c'est un exercice qui est très complet. Mais surtout, la méthode qu'on va utiliser, cette méthode, elle est très classique parce qu'on la retrouve très souvent. Donc maintenant, comme d'habitude, appuyez sur pause, essayez de faire tout seul cet exercice, et on se retrouve juste après pour la correction. Donc allons-y, première question. On nous demande de montrer que cette suite, elle peut aussi s'écrire un plus un égale f de un, et on nous demande combien vaut f. Ce qu'il faut comprendre, c'est que un joue le rôle de x. Donc à la place de un, je mets x. Et donc partout où j'ai du un, je mets x. Et voilà la fonction qu'on cherche. Là voilà, c'est f de x, c'est f de x égale x moins x au carré. Donc c'était très simple. Il fallait à chaque fois qu'on avait un, à chaque fois qu'on avait un, eh bien il fallait mettre x, et on trouve la fonction que l'on cherche. Et on peut vérifier qu'on ne s'est pas trompé. Si je calcule f de un, je calcule f de un, eh bien ça nous donne, ça veut dire que je remplace x par un, donc ça me fait un moins un au carré. Et regardez ce qu'on obtient, un moins un au carré. Là voilà, on obtient exactement ceci, c'est-à-dire un plus un. Ici on a un plus un. Et donc on a bien trouvé f, tel que un plus un est égal à f de un. Et donc c'était très simple pour trouver f, eh bien il fallait tout simplement remplacer un par x. Et voilà comment on trouvait f. Et donc sur ma copie, j'écris on choisit pour f, donc cette fonction, c'est ce que j'ai écrit ici, et cette fonction, elle est définie sur R, donc je n'oublie pas de la rajouter ici. Passons à la question B. On nous demande le tableau de variation de f. On a deux possibilités. Première idée, utiliser la dérivation. Et deuxième idée, comme ici f c'est un polynôme du second degré, eh bien on peut utiliser le second degré. Et donc on sait que comme f, c'est un polynôme du second degré, eh bien sa courbe c'est une parabole. Et comme le coefficient en x², il est négatif, cette parabole, elle est tournée vers le bas. Et donc déjà, comme la parabole est tournée vers le bas, eh bien le tableau de variation, d'abord la fonction va être croissante, et ensuite elle va être décroissante. Déjà on sait que le tableau de variation aura cette tête-là. Et pour quelles valeurs ça va changer, pour quelles valeurs ça va passer de croissants à décroissants, eh bien il faut trouver l'abscisse du sommet, qu'on appelle souvent alpha, et la formule c'est moins b sur 2a. Eh bien calculons moins b sur 2a, a c'est le coefficient en x², donc a c'est moins 1. Et donc ça nous donne, au déterminateur, deux fois moins 1 et b, c'est le coefficient en x, c'est 1. Donc ici ça fait moins 1. Et donc si on simplifie, eh bien ça fait, les moins 1 se simplifient, il reste 1 demi. Donc l'abscisse du sommet, c'est 1 demi. Donc ici la valeur pour laquelle ça change, eh bien c'est 1 demi. Donc ici, on a le tableau de variation sur r, puisqu'ici c'est moins l'infini, et là plus l'infini. Mais nous, on ne nous demande pas le tableau de variation sur r, on nous demande le tableau de variation sur 0, 1 demi. Donc maintenant, on regarde ce qui se passe uniquement entre 0 et 1 demi. 0, c'est quelque part par là, donc entre 0 et 1 demi, eh bien la fonction, elle est croissante. Et maintenant, il n'y a plus qu'à le rédiger. Maintenant, on va retrouver le tableau de variation, mais cette fois-ci, en utilisant la dérivation. Donc on commence par dériver la fonction. Donc la dérivée de x, c'est 1, moins la dérivée de x carré, c'est 2x. Donc ici, on a la dérivée, voilà. Et donc ici, j'aurai f. Et la dérivée, regardez, c'est une fonction affine. Donc sa courbe, c'est une droite. Et donc, comme le coefficient devant x, c'est moins 2, qu'il est négatif, eh bien sa droite, elle descend, elle est de cette forme-là. Et comme elle descend, elle commence par être positive, et ensuite, elle est négative. Donc le signe de la dérivée, c'est d'abord plus, ça s'annule quelque part, et après, c'est moins. Et donc si la dérivée est d'abord positive, là où c'est positif, la fonction est croissante. Et si la dérivée est négative, eh bien ça veut dire que la fonction est décroissante. Et déjà, on retrouve le même tableau de variation. Et donc maintenant, il n'y a plus qu'à trouver la valeur qui est ici, c'est-à-dire la valeur de x pour laquelle la dérivée vaut 0. Et donc, il n'y a plus qu'à l'écrire. On cherche quand est-ce que 1 moins 2x, la dérivée vaut 0. 1 moins 2x égale 0. Maintenant, il n'y a plus qu'à résoudre. Ça fait moins 2x égale moins 1. Donc ça fait x égale moins 1 sur moins 2, c'est-à-dire un demi. On retrouve ici la même valeur que là. C'est à nouveau, évidemment, un demi. Donc voilà, je vous ai remis au propre les deux méthodes. À chaque fois, j'ai commencé par donner le tableau de variation sur R et ensuite, j'ai donné le tableau de variation sur 0, un demi, comme c'était demandé. Et dernière chose, avant de dériver, c'est important d'expliquer qu'on a le droit de dériver. C'est pour ça que j'ai écrit f est une fonction polynome et donc elle est dérivable sur R, ce qui permet de justifier qu'on a le droit de dériver avant de dériver. Donc voilà, on a terminé cette question et maintenant, on va passer à la question suivante. Donc maintenant, on nous demande de démontrer par récurrence cette inégalité. Et maintenant, faites bien attention à ce qu'on va faire parce que la méthode qu'on va utiliser pour démontrer ceci par récurrence, eh bien, c'est extrêmement classique. Vous allez le retrouver dans de très nombreux exercices. Tout repose sur deux choses. Premièrement, le fait qu'on ait une suite du type un plus un égale f du n et deuxièmement, que f est croissante. Et quand on a ces deux conditions, ce qui est très fréquent en exercice, eh bien, pour démontrer ce type d'inégalité par récurrence, ça va très vite. Alors, le début du raisonnement par récurrence, l'initialisation, rien de changé. C'est à la deuxième étape, l'hérédité, que tout va se jouer. Donc, allons-y. Première étape, il faut donner un nom à la propriété qu'on veut démontrer. On veut démontrer cette propriété et donc, on va l'appeler Pn. Donc maintenant, on peut passer à l'initialisation. Il s'agit de vérifier que cette propriété qu'on veut démontrer, elle est vraie pour la plus petite valeur de n possible. Et comme n, c'est un entier naturel, c'est-à-dire un entier positif, ça commence au rang 0. Donc, on va remplacer n par 0 là-dedans et vérifier que cette propriété, elle est vraie. Et donc, ça nous donne P0, je remplace n par 0, donc ça fait 0, inférieur ou égal à, je remplace n par 0, donc ça fait U1, inférieur ou égal à, je remplace n par 0, donc ici, ça fait U0, inférieur ou égal à 1,5. Et donc maintenant, il s'agit de vérifier que cette inégalité est vraie. Alors, U0, on connaît sa valeur, c'est ici, c'est 0,4. Mais le problème, c'est que U1, U1, on ne connaît pas sa valeur. Donc déjà, il va falloir calculer U1 pour voir si ceci est vrai. Donc on y va. Et pour calculer U1, eh bien, on utilise la définition de la suite. Donc, j'utilise ceci. Et donc, dans cette égalité, pour avoir U1, eh bien, je vais remplacer n par 0. Donc, partout où il y a n, je mets 0. Voilà. Et donc, ça me donne que U1, c'est U0 moins U0 au carré. Et maintenant, il n'y a plus qu'à remplacer U0 par sa valeur, donc ça fait 0,4 moins 0,4 au carré. Et si vous faites le calcul, ça fait 0,24. Donc, ça veut dire que U1, U1 vaut 0,24. Et donc, cette inégalité, elle est vraie. 0, c'est bien inférieur ou égal à 0,24 qui lui-même est inférieur ou égal à 0,4 qui lui-même est inférieur ou égal à 1,5. Et donc, comme ceci est vrai, eh bien, ça veut dire que P0 est vrai. Et donc, ça termine l'initialisation. Et maintenant, il n'y a plus qu'à mettre au propre ce qu'on vient d'expliquer au brouillon. Et donc, voilà, je vous ai tout remis au propre ici. Et donc, maintenant, on peut passer à la deuxième étape, l'hérédité. Passons à l'hérédité et tout repose sur le fait que F est croissante et il ne faut pas oublier sur l'intervalle 0, 1,5. Alors, ça veut dire quoi ? Qu'une fonction est croissante sur un intervalle, eh bien, ça veut dire qu'elle conserve l'ordre. Concrètement, ça veut dire quoi ? Ça veut dire que si on prend deux nombres A et B dans l'intervalle, avec A plus petit que B, eh bien, si on prend F des deux côtés, eh bien, ça conserve l'ordre, ça reste dans le même ordre. Mais faites attention, il faut deux choses. Il faut que F soit croissante et que A et B soient dans l'intervalle concerné. Alors, nous, à l'hérédité, on veut démontrer que si cette propriété est vraie au rang n, alors, elle est encore vraie au rang d'après, autrement dit que Pn plus 1 est vraie. Alors, Pn, elle est écrite ici et ce que je vous conseille, c'est d'écrire Pn plus 1 au brouillon. On va l'écrire ici. Ici, on va écrire Pn plus 1 et pour avoir Pn plus 1, eh bien, on prend Pn et partout où on a n, eh bien, on met n plus 1. Donc, partout où j'ai n, je mets n plus 1, partout où j'ai n, je mets n plus 1 et donc, ça me donne que Pn plus 1, c'est quoi ? C'est 0 inférieur ou égal. Ici, regardez, j'ai n plus 1, j'ai remplacé n par n plus 1 donc ça fait n plus 1 plus 1, ça fait n plus 2 donc ça fait un plus 2 inférieur ou égal à un plus 1 inférieur ou égal à un demi. Donc, nous, on part de Pn et on veut Pn plus 1. On part de Pn de ceci et on veut Pn plus 1. On veut cela et donc, la question, c'est comment faire pour passer de là à là ? Et là, quand on a, comme ici, une suite du type Un plus 1 égale f de Un avec f croissante sur un intervalle, eh bien, on procède toujours de la même façon. On commence par vérifier que dans l'inégalité, eh bien, tout est dans l'intervalle concerné, c'est-à-dire, tout est entre 0 et 1 demi. C'est le cas ici, tout est entre 0 et 1 demi. Ensuite, une fois qu'on a vérifié cela, eh bien, on utilise le fait que f est croissante sur cet intervalle et donc, on prend f partout. On prend f et donc, cela nous donne f de 0 et comme f est croissante, cela conserve l'ordre. Les inférieurs ou égales restent inférieurs ou égales. Donc ici, cela me donne f de Un plus 1 inférieur ou égal, cela reste dans le même ordre, f de Un inférieur ou égal à f de 1 demi. Et là, il faut réaliser qu'en fait, on a presque terminé. Il n'y a plus qu'à arranger. Alors, f de 0, on va tout simplement le calculer. Alors, on avait vu à la première question que f, c'est x moins x carré, x moins x carré. Donc, f de 0, je remplace x par 0, donc cela me fait 0 moins 0 carré, cela fait 0. f de 0, c'est 0. Maintenant, f de Un plus 1, regardez ici, f de Un, cela donne celui d'après Un plus 1. Donc, f de Un plus 1, c'est Un plus 2. Inférieur ou égal, j'efface, voilà. Et f de Un, c'est Un plus 1. Maintenant, f de 1 demi, là, cela me donne, je le fais au brouillon à part, cela fait 1 demi moins 1 demi au carré. Alors, 1 demi au carré, ceci, cela fait 1 quart, donc j'efface pendant que je suis au brouillon, cela fait 1 demi au carré. Et, 1 demi moins 1 quart, eh bien, cela fait 1 quart. Donc, f de 1 demi, cela fait 1 quart. Et, regardez, ce qu'on a obtenu ici, c'est pratiquement ce qu'on voulait. La seule différence, c'est qu'ici, on a 1 quart, alors qu'on voulait 1 demi. Ça, ce n'est pas un problème parce qu'un quart, c'est inférieur ou égal à 1 demi. Et regardez ce qu'on a obtenu, on a bien 0 inférieur ou égal à Un plus 2, inférieur ou égal à Un plus 1, inférieur ou égal à 1 demi. Donc, on a Pn plus 1. Et donc, on a réussi à passer de Pn à Pn plus 1 et c'est très rapide, il suffit de prendre f partout. Et donc, j'insiste, ce qu'il faut retenir, c'est que quand vous avez une suite du type Un plus 1 égale f de Un, avec f croissant sur un intervalle, cette situation, on la rencontre très souvent en exercice, eh bien, pour démontrer une inégalité, il suffit de prendre f partout. Et comme f est croissante sur l'intervalle concerné, ça conserve l'ordre et ensuite, il n'y a plus qu'à arranger pour tomber sur Pn plus 1. Donc voilà, maintenant, il n'y a plus qu'à mettre au propre ce qu'on vient d'expliquer au brouillon. Donc voilà, je vous ai tout remis au propre ici et ce qui est important de préciser sur votre copie, c'est que pour passer de cette ligne à celle-là, vous avez utilisé non seulement le fait que f est croissante, mais elle est croissante sur cet intervalle 0, 1 demi, parce que ici, tout est bien compris entre 0 et 1 demi. Parce que si, par hasard, Un avait été après 1 demi, eh bien du coup, souvenez-vous, après 1 demi, la fonction, elle est plus croissante, elle est décroissante et donc si Un avait été après 1 demi, eh bien, on n'aurait plus pu utiliser cet argument. Et là, il faut comprendre qu'on a terminé. A l'initialisation, on a montré que P0 est vrai et à l'hérédité, on a montré que la propriété était héréditaire. Autrement dit, qu'elle se transmet d'un rang au suivant. Et donc, quand P0 est vrai, d'après l'hérédité, elle va se transmettre au rang d'après. Et donc, P1 va être vrai. Et puis, toujours grâce à l'hérédité, la propriété va se transmettre au rang d'après. Et donc, P2 va être vrai et ainsi de suite. Et donc, cette propriété, elle va être vraie tout le temps. Et donc, maintenant, il n'y a plus qu'à faire une phrase de conclusion que j'ai faite ici. Je commence par écrire que P0 est vrai et que Pn est héréditaire. Donc, par récurrence et le raisonnement qu'on est en train d'utiliser, eh bien, pour tout entier, n supérieur ou égal à 0, notre propriété Pn, elle est vraie. Et donc, voilà, on a terminé de démontrer cette inégalité par récurrence. Passons à la dernière question. On nous dit en déduire que la suite est convergente. Eh bien, quand on vous pose ce type de question après avoir montré une inégalité, eh bien, il faut absolument penser au théorème de convergence monotone que je vous ai rappelé ici. Quand on a une suite croissante majorée ou décroissante minorée, eh bien, dans ces deux situations, on peut directement conclure que la suite est convergente. Eh bien, regardez l'inégalité qu'on vient de montrer. Ici, ce bout-là, Un plus 1, plus petit que Un, ça prouve que la suite, elle est décroissante parce qu'ici, ceci, c'est vrai pour tout entier naturel n. Si le terme d'après est plus petit que le terme d'avant, ça veut dire que la suite Un, elle est décroissante. Donc, si la suite est décroissante, on va regarder si elle n'est pas minorée. Minorée, ça veut dire quoi ? Ça veut dire que les termes de la suite, ils sont tous supérieurs ou égaux à une valeur fixe. Eh bien, regardez ici, ce bout-là et ce bout-là, Un est toujours supérieur ou égal à 0 puisque, je répète, cette inégalité, on l'a démontré pour tout entier naturel n. Et donc, Un est toujours supérieur ou égal à 0 et donc, ça veut dire que Un, elle est minorée. Elle est minorée par 0. Et donc, Un, la suite, elle est décroissante et minorée et donc, elle est convergente et maintenant, il n'y a plus qu'à le rédiger. Donc, voilà, je vous ai tout remis au propre ici, ce qui termine cet exercice. Donc, j'espère que vous avez bien compris et comme d'habitude, si vous avez apprécié cette vidéo, n'hésitez pas à la liker et à vous abonner à la chaîne pour ne pas rater les nouvelles vidéos.