Cours complet avec exemples - Tout sur le développement- seconde première

bonjour à tous alors aujourd'hui je vous propose un panorama du développement comment développer qu'est-ce qu'il faut savoir faire quand on arrive en secondes et quand on a aussi fait toute une année de Seconde alors il y a C rubrique donc on va les faire une par une et à chaque fois vous donnerai un petit exemple et je vous donnerai quelques quelques exercices à faire si vous voulez vous entraîner donc ici les puissances de X d'abord qu'est-ce que c'est qu'une puissance de X les exposants comment on les gère ensuite qu'est-ce qu'on appelle réduire ordonnées tout ça ça fait partie de ce qu'on appelle l'algèbre ensuite la fameuse distributivité simple et double on fera des petits exemples comment on gère un moins quand on a un moins devant une parenthèse ça c'est des choses importantes parce qu'il y a souvent des erreurs et ensuite ce qu'on rajoute en seconde c'est des triples facteurs c'est qu'on a trois facteurs et donc il va falloir faire la distributivité mais deux fois de suite et ensuite des identités remarquables les fameuses identités remarquables donc on est parti tout de suite avec bah les puissances comment est-ce qu'on gère ça alors j'ai écrit les puissan de X c'est les puissan de ça peutre de y W de T ça dépend de la variable nous ici ce sera toujours x doncz donc cette fameuse variable x quand vous avez x tout seul on dit que X à la puissance 1 d'accord on pourrait d'ailleurs écrire X avec un petit ici on le fait jamais mais ça serait valable ensuite AR les Carr quand vous faites x x quand vous faites X X X X X vous savez on a trouvé une manière plus rapide d'écrire tout ça parce que ça serait un petit peu long on not on met ce qu'on appelle les exposants c'estd X X X on va écrire X avec un 2 qu'on a choisi de mettre en haut à droite cette position s'appelle l'exposant et ici on dit qu'on a X à la puissance 2 quand on a X qui se multiplie 3 fois on dira qu'on a X à la puissance 3 autrement dit l'exposant ici vaut 3 on dit aussi x Cu d'accord ici on dit X à la puissance 2 plus rapidement X au car ici X à puiss 3 plus rapidement x³ après on dit x 4 x 5 donc si vous AZ X X X X X X X bien on dira x 4 d'accord petit cas très particulier quand on a les constante c'est ici X0 X0 par définition ici nous ça vaudra 1 d'accord on s'en sert parfois pour expliquer les propriétés pour les généraliser mais on l'écrit vraiment très très très rarement la puissance c'est un objet qui un rapport avec le produit d'accord donc ça va n donner les formules sur le produit si on xiss 2 m X 3 on doit expliquer x 2 c'est X X X 3 X X X X donc si vous comptez on a 5 facteurs qui sont tous é c'est nombre x et donc ici on écr x 5 donc une propriété c'est que quand on a x puiss n X par x^iss M et bien les exposants s'ajoutent ça fait x^ n + m quel que soit n et m entier d'accord donc si vous avez x multiplié par X au²r et bien x je vous ai dit c'était x^iss 1 donc c'est comme si on avait x^ 1 x x^ 2 donc ça fera x^ 3 il faut que ça devienne un automatisme ça d'accord X X X3 bien ça fera X4 et C dès qu'on multiplie par X une puissance de X l'exposant gagne 1 c'est tout donc on pourrait même mettre une propriété X X x^iss m est égal à x^iss M + 1 d'accord avec M entier on va donc manipuler beaucoup de puissan X et souvent devant on a ce qu'on appelle un coefficient par exemple 3x 2z 3 x x² le nombre 3 s'appelle le coefficient coefficient multiplicatif d'accord donc par exemple - 7X - 7 c'est le coefficient x c'est la puissance x^iss 1 vous pouvez avoir aussi des r√ carré √2 par exemple x x³ le coefficient ça sera √2 PIR des fractions 7//3 X 7/ X 2 7/3 c'est un coefficient voilà donc ça ça donne des termes qui sont sous la forme a x* par x^iss N ça en math ça s'appelle un monome avec un accent circonflexe a c'est le coefficient x puiss n c'est la puissance de x N s'appelle l'exposant n c'est un entier positif d'accord entier naturel et a c'est un ce qu'on appelle un réel donc un nombre dans l'interval moins l'infini plus l'infini ouvert quand on ajoute entre eux des monomes et qu'on en met un nombre fini et bien on obtient ce qu'on appelle un polynome c'est plusieurs monomes un polynome exemple 3x 2 + 4x - 1 ça c'est un polynôme on a ajouté le monome 3x2 le monome + 4x et le monome 1 d'accord il y a plusieurs monôes ensuite on va pouvoir parfois réduire et ordonné qu'est-ce que c'est que réduire et ordonné on a vu que multiplication entre puissance x ça se gère très bien les exposants s'ajoutent quand on ajoute entre des monomes par exemple 3x + 7x2 et bien on ne pourra pas regrouper ensemble on ne peut pas dire que ça fait 10 FO x³ non pas du tout dès que vous avez comme ça des puissances différences différentes de X et bien vous ne pourrez pas les recrouper on ne peut pas réduire on pourra réduire à une condition c'est que les quand les exposants sont les mêmes par exemple 3x + 7X dans ce cas-là et vous avez 3 fois l'objet x 7 fois l'objet x donc on va pouvoir dire 3 + 7 c'est-à-dire 10x et là on dit qu'on a réduit ça ça s'appelle la réduction on réduit le nombre de termes d'accord donc ça marche avec par exemple 4x² + 7x² on fera donc 4 et 7 11 11 x² on peut le faire parce qu'on a ici la même puissance de X et donc quand on a comme ça polynômes exemple 3x2 - 7X + 4x2 + X3 + 2x on peut réduire on peut regrouper ensemble un certain nombre de termes par exemple 3x2 vous pouvez le mettre avec 4x2 on a 3 et 4 ça fera 7x2 ensuite les X on en a - 7 et + 2 donc il faut savoir additionner des relatifs - 7 + 2 ça fait - 5 ça fait - 5x et on a ici un terme en X 3 qui est tout seul pour ne pas oublier des termes quand on a comme ça une longue série à chaque fois qu'on les regroupe vous les mettez un petit point au-dessus comme ça on est sûr de pas en oublier voyez j'avais ajouté 3 et 4 7 7 + 2 voilà et voyez bien que j'ai un point partout je n'ai oublié personne voilà là on appelle ça de la réduction après pour la présentation finale en général on va ordonner selon les puissances donc décroissante c'est-à-dire qu'on va mettre d'abord le terme avec l'exposant le plus haut ici notre exposant le plus haut c'est X3 donc je vais mettre d'abord X3 ensuite je vais mettre les X2 donc + 7x2 - 5x quand on fait ça on dit qu'on ordonne le polynôme selon les puissances donc décroissantes puisquon a la puissance 3 puissance 2 puissance 1 voilà j'ai mis en Pier jointe là la feuille d'exercice que je fais avec mes élèves ici l'exercice numéro 1 donc pour apprendre à réduire et ordonner donc c'est assez simple donc pour ceux qui savent faire vous pouvez passer pour les autres c'est le moment de commencer à s'entraîner alors on a appris à donc maintenant à réduire c'està-dire à gérer les additions de différentes puissances ou les soustractions maintenant les produits ici donc j'ai mis des monomes entrex et je les multiplie donc vous avez des coefficients qui peuvent être positifs négatifs entier on pourra aussi avoir des fraction je vous l'ai dit des racines carrées alors ça se gère toujours ça en tris temps quand on multiplie entre des monomes comme je vous ai dit et bien on gère d'abord le signe ici chacun des coefficients est positif donc le signe à la sortie ça sera un plus on n'est pas obligé de l'écrire ici mais si on veut on peut mettre devant ici un petit plus ensuite on gère le coefficient les coefficients quand on les multiplie vont se multiplier donc le 3 va être multiplié par 7 3 x 7 21 et ensuite les puissances de X on a appris à les gérer on a vu que X2 x X4 les exposants s'ajoutés ça fait x 6 donc à chaque fois le signe le coefficient la puissance pu 6 ici vous voyez moins par moins ça fera plus on a géré le signe ensuite 5 x 7 35 vous pouvez d'ailleurs gérer les deux en même temps - 5 x - 7 ça fait 35 et ensuite vous gérez la puissance X2 x X3 ça fera attention 2 + 3 5 x^ 5 ensuite - 3 x 2 donc on sait que ça fera - 3 x 2 6 X4 X X on a vu ça fait X 5 et ensuite le dernier 8 x 5 40 là ça sera un nombre positif X X X2 ça fait X3 donc vous voyez ça c'est des choses à savoir faire et donc pour s'entraîner exercice numéro 2 pour ceux qui n'avaient pas saisi il vous avez ici un petit lien normalement quand vous cliquez dessus sur le PDF ça ouvre la vidéo avec le corriger maintenant passons à la simple distributivité alors ici quatre exemples tout d'abord quand est-ce qu'on parle de simple distributivité et bien c'est quand on a un produit d'accord et que l'un des facteurs ici à chaque fois on a deux facteurs l'un des facteurs ne contient qu'un terme d'accord donc vous voyez ici on a un seul terme c'est 3 là dans le deuxième facteur on a 1 2 3 termes ici on a qu'un seul terme là les deux termes sont à gauche on parlera de distributivité à gauche ici le deuxème terme le deuxème facteur pardon n'a qu'un terme le premier facteur a deux termes pareil on parlera de distributivité à droite comment fait-on ça bien le mot distributivité distribution a été bien choisi on va distribuer le 3 à tout le monde en multiplication bien sûr donc ça on va mettre début pour illustrer ça aux élèves au tableau met des petites flèches comme ça et on dit donc 3 x X2 3x2 donc il faut bien avoir compris comment on gère donc les produits entre eux 3 x 2x + 3 x 2 6x 3 x - 4 - 12 vous voyez donc j'ai distribué à gauche pareil ici 4x x X3 donc 4 x 4 alors on met pas toujours les flashes mais au début on explique en les mettant et si vous êes un petit peu perdu dans un exercice ben mettez-les donc ensuite 4x X X donc + 4x 2 X X X ça fait X2 et ensuite 4x x -1 donc - 4x pour la distribution à droite c'est pas pareil alors si ça ne vous plaît pas vous pouvez écrire dans l'autre sens en mettant 7 le 7 devant on peut tout à fait changer l'ordre des facteurs la multiplication est commutatif donc si ça vous plaît pas vous pouvez écrire 7 x 3x2 + X vous voyez est distribuer à gauche sinon ben vous faites pareil hein vous mettez vos petites flèches hein donc on va avoir 7 qui est donc ici distribué à 3x2 ça fera 21x2 + 7 X X 7X ensuite pareil ici X X X4 donc ça fait X5 - 3x2 + 2x donc voilà ce qu'on appelle la simple distributivité et comme l'objectif c'est quand même de s'entraîner tout seul et bien voici l'exercice donc numéro 3 pour s'entraîner à distribuer simplement la double distributivité alors quand est-ce qu'on parle de double distributivité quand on a un produit avec deux facteurs et que chacun des deux facteur contient plusieurs termes donc ici et bien on va faire de la double distributivité hein donc ici par exemple on va commencer à prendre notre 4x et on va donc distribuer 4x ici aux deux termes du deuxiè facteur et ensuite on va passer au terme suivant + 3 qu'on va distribuer ici d'accord et vous voyez on parle de double distributivité parce qu'on distribue à la fois par la gauche et par la droite en même temps donc ici on va avoir nos règles de produit celle qu'on a vu donc 4x x 7X alors là voyez ça devient difficile parce qu'il faut appliquer tout ce qu'on a vu avant donc il faut bien maîtriser les produits entre monomes donc 4 x 7 28 X X X X2 donc faut pas oublier une fois que vous avez mis 28 la bonne puissance de X he c'est souvent le problème on est concentré sur le coefficient on oublie la bonne puissance ensuite 4x x + 2 donc le signe + 4 x 2 8 et la puissance donc on fait ça en trois étapes signe coefficient puissance à chaque fois et ça va devenir automatique ensuite on passe à + 3 + 3 x 7 donc + 21 on n'oublie pas le X + 3 x 2 + 6 on obtient combien de termes alors ça c'est assez simple comme règle on a deux termes x 2 termes 2 x 2 4 on obtient 4 termes et après on va réduire mais avant réduction on obtient ici 1 2 3 4 termes donc il faut pas en oublier ensuite on réduit en ordonnant donc puissance la plus grande c'est X2 ensuite les termes en X on a donc 8 et 21 x donc 21 8 29x + 6 donc voyez on utilise quand même pas mal de choses d'abord les produits entre donc puissance de X avec des coefficients ensuite la réduction et en même temps on ordonne donc tout ça ça veut dire qu'il faut petit à petit se construire des bonnes bases si vous avez des bonnes base après on peut rajouter des choses et ça ça vient naturellement alors ici deuxième exemple la distributivité avec ici donc 3 termes multiplié par de termes donc vous aurez 3 x 2 6 termes il va pas falloir en oublier donc on va doucement on met pas toujour les flèches sur sa copie bien sûr parce qu'après ça surcharge mais on fait attention donc on commence par X X2 par X2 pardon X2 x 2x donc ça fait 2 X3 ensuite X2 x 1 ça fait + x 2 donc voyez moi je commence toujours par développer donc le premier terme ici de mon premier facteur et je le distribue et ensuite je passe au deuxè donc 4x x 2x ça fait donc 8x 2 d'accord 4 x 8 x x x ensuite 4x x 1 + 4x - 1 x 2x donc - 2x - 1 x 1 - 1 si vous développez comme ça en ayant dans les parenthèses des choses qui sont ordonnées quand vous développez voz ça reste ordonné les puissan 3 les puiss 2 les^iss x et cetera et ensuite on réduit 2x3 les X2 8 et 1 9 4 - 2 + donc 2x - 1 et j'ai bien voyez avant réduction 1 2 3 4 5 6 termes et après réduction bah il peut y avoir moins de 6 termes moins de 6 termes voà il peut tout peut disparaître c'est très rare mais beaucoup de choses peuvent s'annuler entre ell alors quand je vous ai dit que tout peut s'annuler c'est pas vrai hein il reste toujours au moins un terme alors pourquoi ben d'abord une règle qu'on va pas forcément justifier ici mais la puissance que vous avez à la fin le degré du polynôme ici voy j'ai un degré 3 à la fin et bien la règle est simple j'ai ici un polynomeme de degré 2 je le multiplie par un polynôme de degré 1 et bien la règle veut qu'à la fin on a un polynôme qui est la somme des degrés donc 2 + 1 3 tout à l'heure j'avais un degré 1 x un degré 1 et j'obtais un degré 2 voyz ça c'est intéressant à remarquer ici j'ai un degré 3 je le multiplie par un degré 2 j'obtiendrai un degré 5 c'est petits trait comme ça qu'il faut bien comprendre pour bien évoluer dans ce monde difficile du développement et de l'algèbre alors avant de faire le dernier exemple juste une petite remarque moi j'ai choisi à chaque fois de de distribuer en commençant par la gauche d'accord et bien on peut double distribuer en commençant par la droite ici je peux choisir bien de prendre mon 4x mais au lieu de le distribuer à cette X et à 2 comme j'ai fait bien je vais d'abord faire distribuer 4x mais après vous pouvez distribuer le + 3 autrement dit c'est comme si j'avais distribué le 7X alors donc là plutôt que de mettre les flèches dans ce sensl en général bon on va dire voà j'ai distribué mon 7X et ensuite je distribue mon + 2 al moi j'aime moins j'ai moins l'habitude de faire comme ça mais ça marche très bien aussi vous faites 7X x 4x donc 28x 2 ça commence pareil par contre après vous aurez donc 7X x 3 ce qui fait 21x ensuite on s'attaque au + 2 + 2 x 4 + 8x + 6 et bien sûr on retrouve la même chose pareil ici vous pouvez dire voilà je développe d'abord tout mon 2x donc je fais X2 x 2x donc 2x 3 4x x 2x + 8x 2 - 1 x 2x - 2x et ensuite on s'occupe du + 1 donc + 1 ça fait + X2 + 4x - 1 à la fin bien sûr ça donne la même chose alors l'erreur souvent quand les élèves distribu c'est de faire un petit mix entre les deux de se perdre en plein milieu du développement donc il faut vraiment être très rigoureux moi je développe toujours par la gauche hein j'ai cette habitude là après c'est à vous mais une fois que vous avez une habitude il faut essayer de la conserver ça permet comme ça d'avoir vraiment des des des sécurités dans le développement et vérifier quand même à chaque fois quand vous avez un développement un peu long vous avez pas fait d'erreur dans le dernier par exemple je vais donc choisir de distribuer par la gauche autrement dit je vais d'abord distribuer tout mon 2x3 comme ça je le garde en tête je fais donc 2x3 alors attention parce queon a dit il y aura 4 x 3 12 termes donc il faut de la place 2x3 x X2 donc ça fait 2x 5 ensuite 2x3 x 3x ça fait + 6x4 2x3 x - 2 - 4x3 et je me suis occupé du 2x3 ensuite je m'occupe de - 4x2 - 4x2 x X2 ça fait - 4x4 - 4x2 x 3x - 3 x 4 12x3 on fait très attention à puissance - 4x2 2 ça fait donc + 8x2 j'ai déjà ouis 6 termes il Me' manque encore 6écris peut-être un peu gros j'aurais pas forcément la place voyez ensuite + x donc + X x ça fait + X3 + 3x2 - 2x quand on multiplie par X voyez ça augmente juste l'exposant à chaque fois il me reste + 2 donc + 2x2 je vais serrer un peu + 6x - 4 et vous n'avez plus qu'à réduire donc la puissance la plus grande c'est X5 il y en a qu'un seul donc met un petit point audessus ensuite les X4 on va le faire au fur à mesure quand c'est des nombres entier ça se gère assez bien quand on a des fractions c'est beaucoup plus long vous allez voir mais ici donc x 4 donc j'en ai 6 4 ça fait 2 j'en ai que de voilà on arrête X3 4 - 16 attention il y en a ici - 16 + 1 ça fait donc - 15 maintenant les X2 8 et 3 11 11 et 2 13 + 13 X2 ensuite les X 2x + 6x ça fait donc + 4x et ensuite - 4 vous vérifiez bien que vous avez un petit point partout et après normalement si c'est si c'est important mais vous revérifiez vous refaites tout sinon à priori vous avez fait attention vous n'avez pas fait d'erreur petite astuce si vous avez des exercices à faire chez vous que vous voulez vérifier un développement et bien vous pouvez utiliser GeoGebra c'est un logiciel qu'on installe qui est vraiment formidable évidemment gratuit qui sert à beaucoup de choses et ça sert notamment à développer donc je vais rentrer mon mon polynôme donc donc en bas dans la zone de saisie alors 2x pardon c'est donc 2x3 4 alors je mets X pour les puissances mettez le chapeau l'accent circonflexe voilà + x + 2 voilà vous multipliez par donc x² + 3x - 2 alors la figure qui apparaît on s'en fiche pour l'instant vous validez vous obtenez ici alors votre voyez en haut à gauche notre FX exactement ce que j'ai et maintenant je vais demander à Géogébra de développer donc je mets ici développer voilà et développer l'expression que j'ai appelé f2x qui s'est appelé FX tout seul je valide et normalement apparaît le développement voyz 2x5 + 2x4 - 4 15 X3 + 13x2 + 4x - 4 je ne me suis pas trompé vous voyez donc quand vous avez comme ça des exercices à faire chez vous ben vous pouvez toujours vérifier avec votre calculatrice évidemment vous pouvez servir de ça pour tricher mais ça n'a pas d'intérêt l'objectif vraiment c'est que vous fassiez les exercices hein hein ça ne sert à rien recopier un résultat si vous l'avez pas si vous l'avez pas trouvé par vous-même he vraiment il faut avoir comme ça une conscience et maths ça ne s'improvise pas c'est en s'entraînant régulièrement qu'on devient bon c'est l'entraînement qui fera de vous des bons élèves on ça ne vient pas tout seul c'est vraiment une habitude à prendre et surtout il faut maîtriser les bases et le développement c'est vraiment la base numéro 1 de l'algèbre hein il faut maîtriser dominer le développement et donc pour s'entraîner pour faire ce genre de chose je vous propose exercices 4 5 6 donc c'est à vous de voir si vous voulez vraiment vous entraîner point suivant les choses vraiment qui sont importantes aussi c'est savoir développer un moins qu'est-ce que j'appelle développer un moins et bien PIR par exemple 3x moin par X + 2 x x + 1 je vais prendre très simple et bien quand on a ici on a un moins devant un produit et bien il faut faire très attention ce moins concerne tous les termes du prod donc ici vous allez garder le moins distribuer donc pour calculer pour développer votre produit et après on fera une troisème étape une deuxème plutôt pour développer ce moin donc ce moin on va le développer mais après donc d'abord on fait x + 2 x x + 1 tranquillement donc ça vous savez faire ça fait x 2 x x 1 + x + donc maintenant + 2x + 2 et après vous développez ce autrement dit vous le distribuez qu'est-ce que c'est qu'un moins et bien c'est un -1 on n pas écrit le 1 c'est tout donc en fait vous aurez -1 que vous allez devoir distribuer donc à X2 + alors ici on peut réduire 2x et X ça fait 3x + 2 alors ce moins c'est comme si vous aviez je vais l'écrire comme ça 1 FO d'accord donc vous allez distribuer 1 - 1 à tous les termes et donc vous allez respecter les règles quand on fait un 1 -1 mais ça va faire quoi vous avez X2 ça fera X 2 - 1 X2 et ensuite - 1 x 3 ça fera - 3x - 1 x 2 ça fera - 2 donc quand on multiplie des termes par MO1 bien en fait tous les termes vont changer de signe on dit ça donc vous avvez plus plus plus là mant vous avez moins moin moin d'accord donc c'est ça à éviter c'est vouloir le faire directement c'estd vouloir développer à la fois le produit et le moins en général il y a des erreur on oublie un moins quelque part donc faites ça toujours en deux étapes on va faire un deuxième exemple le voici donc vous avez comme ça un premier produit 3 x x + 4 donc on développe simplement 3x + 3 x 4 12 ensuite on a un moins devant un produit donc je vous l'ai dit on sécurise on met ce moins on ouvre des grandes parenthèses ou des crochets ça revient au même et on fait notre double distributivité tranquillement 2x x 3x 6x 2 + 2x x 4 8x - 1 x 3x - 3x - 1 x 4 - 4 et vous voyez ici que notre moins et bien il va vous avez quatre termes alors vous pouvez si vous voulez déjà regrouper entre 8x et 3x ça vous fait plus que trois termes et donc vous allez devoir distribuer ce moins qui est un -1 au trois termes donc quand vous allez enlever les parenthèses et bien vous allez devoir changer les signes que vous avez devant vous donc ici + 6x2 c'est un plus qui on écrit pas devient - 6x2 + 5x devient - 5x + 4 devient enin - 4 devient + 4 vous voyez donc on fait très attention c'est vraiment une des causes majeures d'erreurs dans les développements he souvent les élèves démarrre bien mettre le premier moins le deuxième puis parfois hein la mémoire avec le stress et bien hop le 4 ici on oublie de changer le dernier SIG donc on fait vraiment très attention pour travailler ce genre de sauge vous pouvez si vous voulez faire l'exercice numéro 8 maintenant ce que vous avez ou ce que vous allez apprendre en seconde c'est des triples facteurs alors je m'explique tout de suite on va prendre vraiment l'exemple plus x + 1 x x + 2 x x + 3 vous avez devant vous 3 facteur donc ce que j'appelle un triple facteur avec dans chacun des facteurs et bien un polynô ici c'est un polynô du premier degr et donc pour développer bien pas on apprend rien de plus on va faire de la double distributivité et bien on sait nous multiplier deux facteurs entre on va faire pareil vous allez choisir soit les deux premier soit les deux derniers et multiplier donc ici par exemple ce qu'on peut faire je vais choisir je vais isoler en fait x + 2 x + 3 je vais garder x + 1 devant et je vais double distribuer le X + 2 x x + 3 je sais le faire il y a pas de souci ça fait X X X donc X2 + 3x + 2x + 6 vous réduisez au maximum pour diminuer le nombre de termes et ensuite bien vous refaites une nouvelle double distrib et donc c'est pas plus difficile c'est juste plus long donc il faut faire plus attention donc ici on s'occupe d'avir on distribue donc X X X2 donc X3 ensuite X X 5x 5x2 + 6x ensuite le + 1 + X2 + 5x + 6 là chacun ses techniques mais vous voyez ici maintenant je réduis X3 + 5 et 1 6x2 6x et 5x 11x + 6 donc vous voyez développer un produit de 3 facteurs ça n'est pas plus dur qu'un produit de 2 par contre c'est plus long parce qu'on a deux fois la double distributivité à faire de suite le choix que vous avez c'est par quel produit vous commencez j'ai commencer ici par X + 2 x x + 3 j'aurais pu ici commencer par X + 1 x x + 2 on peut choisir on peut même si on a envie de s'embêter faire x + 1 x x + 3 puisque l'ordre compte pas et quel que soit le choix que vous allez faire à la fin vous aurez le même polynôme si vous voulez je peux vous montrer ça fera un deuxième exemple ici donc X2 + 2x + x + 2 x x + 3 je dis alors je réduis X2 donc + 3x + 2 x x + 3 on développe donc X2 ça fait X3 + 3x2 + 3x2 + 9x + 2x + 6 je vais vite à vous de vérifier donc X3 les X2 j'en ai 3 et 3 6 les X9 et 2 11 + 6 voyez je trouve la même chose donc pas d'inquiétude vous choisissez vous-même quel est le premier produit que vous allez réaliser pour vous entraîner par exemple dans le numéro 7 il y en avait par exemple le 4 le 3 le 4 le 6 le 7 tout ça sont des exemples pour apprendre vous allez apprendre aussi à développer un cube dans le même esprit par exemple x + 1 au³ comment développe-on + 1³ et bien on sépare au départ x + 1³ on va écrire x + 1 x x + 1 x x + 1 et donc VO c'est juste un triple facteur comme les autres sauf que c'est trois fois le même facteur donc rien de nouveau si vous avez appris à faire du triple facteur donc je vais vous montrer quand même x + 1 donc on développe x + 1 x x + 1 d'accord donc ici ça fera X2 + x + x + 1 voilà je réduis X2 + 2 x + 1 au passage pour ceux qui ont déjà vu vous avez ici x + 1 au Carr qui s'appelle une identité remarquable donc si vous connaissez les formules et bien vous avez ici le développement d' x + 1 car directement et après vous avez encore de la double distributivité donc X3 + 2x2 + X+ ensuite X2 + 2x + 1 voyz je développe d'abord le X puis le + 1 ensuite j'obtiens donc X3 + 21 3x2 2 1 et 2 3x + 1 donc voilà comment on développe un cube et donc pour les courageux tout au long du mois d'août vous pouvez faire 10 11 12 c'est développement un peu tout ça donc si vous y arrivez vous serez prêt largement pour la rentrere on finit avec ce qu'on appelle les identités remarquables programme de secondes donc je va vous les écrire c'est comment développer quand on a dans la parenthèse donc deux termes et qu'on a un carré c'estàd développement du carré d'une somme et bien on a une formule qui est A2 + 2 x a x B donc 2 AB + b² d'accord ça se démontre très simplement en distribuant c'està dire que A + B car ben vous éccrivez a + b x A + B et vous distribuez donc ça fait a X a A2 a x B AB + B X a + b x B alors ça nécessite une nouvelle compétence c'est la gestion littérale c'est vous faites un développement qu'avec des lettres alors a x B et B x c'est pareil parce que le produit on peut inverser l'ordre donc ici vous avez AB + AB et pour ça qu'on a deux fois AB on a deux fois le même produit qui apparaît ce qu'on appelle ici le double produit donc ça c'est la première identité remarquable je vais vous donner un exemple 2x + 3 au carré alors on sait développer en écrivant 2x + 3 x 2x + 3 mais pour gagner du temps on utilise ces identités remarquables ici a va valoir 2x B va valoir 3 et on va appliquer la formule donc on a 2x au Carr + le double produit donc 2 x 2x x 3 + 3 au car et avec de l'habitude et bien on écrit directement le résultat 2x car on sait que le 2 est au carré le X est au carré ça fera 4x 2 ça ça fait partie du chapitre sur les puissances ensuite le double produit 2 x 2 4 x 3 12 on a donc 12x et 3 car donc ce qu'il faut en seconde c'est s'entraîner à être capable de développer ça directement et les erreur que je vois le plus souvent c'est par exemple d'écrire 2x 2 c'est de ne pas comprendre que le 2 ici quand on l'écrit comme ça ne va concerner que X il faut vraiment soit mettre des parenthèses soit directement mettre tout au carré donc 4x2 très important et ensuite beaucoup au début oublie le double produit c'estàdire que développe comme si on mettait 2x au car et 3 au Carr d'accord donc on fait attention quand on a parle x + 2 au carré on a effectivement x² on a effectivement 4 mais on a un troème terme il faut y penser sinon c'est totalement faux et ce trème terme c'est le double produit donc on va faire de fois 2 x x donc ça fera 4x ça il faut vraiment s'entraîner maintenant il existe une deuxième identitécable qui est presque la même mais c'est quand on a une différence au carré donc c'est la même formule avec un moins sur le double produit autrement dit petit exemple si on a x - 1 au Carr ça va donner X2 + 1 on a toujours nos de carrés mais le double produit ça sera - 2x ici donc on fait très attention voyez X- 1 car c'est ceci x + 1 car c'est X2 + 2x + 1 donc ça ça s il faut vraiment s'entraîner ici je fais une présentation mais ça nécessite vraiment de l'entraînement tout ça et la dernière identé remarquable qui est vraiment dans une autre catégorie mais qui est un mix des de les éèves mélangent souvent c'est + B x 1- B ou alors 1 - B x + B c'est la même celle puisqu'on peut changer l'ordre et bien dans les deux cas ça ça vaut a² b² et donc on a souvent des élèves qui mélangent les trois donc il faut faire attention exemple x + 1 x x - 1 autrement dit x - 1 x x + 1 vous avez une somme et une différence des deux mêmes choses et bien là vous prenez la première au carré x2 moins la deème au carré 1 au carré ça fait donc x² - 1 très important tout ça il faut s'entraîner à ne pas mélanger voilà j'ai fait comme ça un panorama de tout ce que vous allez rencontrer donc en seconde tout ce que vous avez rencontré en seconde ou avvez dû rencontrer en seconde donc en terme donc de travail bien il va falloir s'entraîner si vous voulez vraiment dominer tout ça donc au départ on va reprendre rapidement les premiers exercices don réduire ordonné multipliant entre eux bah des puissances de de X avec les coefficients ensuite développer à gauche à droite ensuite exercice 4 on passe à de la double distributivité classique très classique ensuite exercice 5 un petit peu plus dur quand on a un coefficient voyez qui traîne donc vous verrez comment ça se gère développé pareil là on s'entraîne he toujours exercice 7 on attaque des choses un petit peu plus délicates donc là on est plus sur du niveau secondde hein des triples facteurs vous voyez ça n'est que de la double distributivité mais qu'on répète exercice 8 c'est des mix après on a comme ça un peu de tout pour apprendre à gérer plusieurs termes plusieurs doubles distributivités avec des moins devant les parenthèses ensuite l'exercice 9 un petit peu de fraction pour montrer comment ça marche avec ici des carré d moins devant les parenthèses exercice 9 donc montrer des égalités que des égalités sont vraies donc ça c'est exerci très très intéressant évidemment 10 11 12 11 s'entraîne à faire vraiment automatiser tout ça avec comme ça vraiment une bonne maîtrise des développements ensuite programme de Seconde les identités remarquables donc là vraiment il faut en faire ça c'est quelque chose qui se travaille c'est de la répétition des exercices avec pas mal de petites astuces 14 distributivité avec les identités remarquables encore dans l'exercice 15 là il y en a beaucoup parce qu'il faut beaucoup s'entraîner et après ben exercice 16 17 18 19 ça c'est pour le plaisir c'est plein d'exercices un petit peu divers et variés certains sont très durs certains sont faciles on va dire que tout devient quand même d'un bon niveau d'accord et après certains ne sont pas encore corrigés donc si vous voulez le corriger vous me le dites je ferai ça au f à mesure voilà donc je crois qu'il y a assez de travail pour pour le sacré temps vraiment si vous faites la plupart des exercices en tout cas les premiers jusqu'au 10 12 vous n'aurez pas perdu votre temps et vous maîtriserez vraiment le développement c'est très très important donc j'espère que ça vous aura apporter en tout cas un petit peu de sérénité pour la rentrée je souhaite une bonne fin de journée à tous mais avant de terminer la vidéo petite astuce par exemple quand on doit développer 3x + 1 x 2x + 3 comment développer très vite ce genre de chos c'est on a du premier degré fois du premier degré comment moi je fais personnellement alors il y a des des choses qu'on peut pas éviter c'est 3x x 2x j'écris 6x2 d'accord ensuite et bien il y a qure termes vous savez un terme en X2 il y aura deux termes en x et moi ça je le sais qu'il y a deux termes en x et les termes en X il viennent d'où ils viennent de 3x x 3 et de 1 x 2x donc directement je vais calculer le résultat donc dé term en X j'en aurai 3 x 3 9 9 + 2 x 1 donc 9 et 2 ça fait 11 donc j'ai directement 11x et ensuite le dernier terme 3 x 1 c'est le terme constant voyez en une étape et ça va très vite par exemple x + 3 x x + 7 et bien je sais qu'il a x 2 ensuite DX j' en aurait 3 + 7 j'en aurais 10 + 21 voyez c'est comme ça qu'on fait après quand on domine un petit peu les choses ça gagne pas énormément de temps mais quand même ça permet d'avoir une bonne vision des choses alors s'il y a trop de moins ça peut être gênant mais s'il y a qu'un seul moins par exle ça se fait très bien donc vous aurez 6x2 ensuite - 3x + 2x ça fait x - 1 vous voyez que ça va très très vite donc fa un dernier pour le plaisir euh on va faire par 5x - 4 2x + 1 donc 5 x 2 10x 2 ensuite les termes en X j'en ai 5 - 8 ça fait - 3x - 4 vous voyez on peut développer une seule fois ça nécessite un petit peu de recul voilà peut-être vous pouvez essayer de travailler ça c'est pas mal comme petite chose en tout cas pour ceux qui vont en première pour gagner un petit peu de temps et pour voir les choses d'un petit peu plus haut VO il existe des techniques comme ça pour les puissances supérieures mais là on va s'arrêter là je vous souhaite une bonne fin de journée à tous il y a pas mal de travail à faire si vous voulez donc à très bientôt