Seconde- Etude de parité- fonction paire , impaire - 4 exemples de rédaction

bonjour à tous Aujourd'hui étude de parité donc un chapitre à destination des élèves de seconde on va rappeler comme ça les définitions à chaque fois ici je vous donne quatre fonctions h k F et G leur expression le domaine sur lesquel on les considère et à chaque fois il va falloir déterminer son paère impèire ou ni l'un ni l'autre alors indice parmi les cartes il en a une qui est paèire une qui est impèire et les deux autres ne sont ni pair ni impair hein l'idée c'est d'apprendre à justifier hein dans un cas ou l'autre hein si il y a de la parité ou sil n'y en a pas la démonstration n'est pas tout à fait la même donc on fera référence bien sûr aux définitions et au propriétés à chaque fois ça permet d'apprendre le cours donc on est parti qu'est-ce que vous pensez de la fonction h tout d'abord h est défini sur 0 + infini et ça c'est embêtant pour la parité parce que la première chose par une fonction paire ou une fonction Impire c'est d'avoir un domaine qui est symétrique par rapport à ZrO symétrique par rapport à zéro ça dire que si un élément est dans votre ensemble son opposé doit y être or ici par exemple vousavez que des positifs donc vous n'avez pas les négatifs ça veut dire que vous allez pouvoir calculer par exemple H 2 mais vous n'aurez pas de calculer h de- 2 ça interdit voyez tous les calculs d'opposé hein et donc conclusion le domaine n'étant pas symétrique par rapport à zéro votre fonction ne peut pas être paire elle ne peut pas être non plus impaire sur ce domaine et donc ici quand on représente l'intervalle enfin l'ensemble Z0 ini ça donne ceci 0 on met dans ce sens c'est l'ensemble ici voyz bien que si on regarde ceci cet intervalensem n'est pas symétrique par rapport à 0 donc la question la parité ne se pose pas donc comment rédig ça de façons de faire vous pouvez dire défini sur 0 plusinfini qui n'est pas symétrique par rapport à 0 et dans ce cas-là on va dire donc h n'est pas paire et n'est pas impaire sur cet ensemble justement 0 plus l'infini d'accord donc on a déjà trouvé une des qu qui n'est ni paire ni impaire ça c'est une première façon de faire on peut aussi dire que comme donc deuxième version comme H2 par exemple 1 est égal à 0 et que -1 n'a pas d'image et bien vous n'allez pas pouvoir vérifier la propriété importante des fonction pair ou des fonctions impairires c'est qu'il faut être capable de calculer F de- x quel que soit X mais là vous ne pouvez pas calculer F de-1 donc ça veut dire votre fonction ne peut pas être pire Impire d'accord et que Mo la PR image et bien h n'est alors soit vous mettez n'est pas paire et n'est pas Impire ou soit vous mettez h n'est ni paire ni impaire toujours on précise le domaine ça c'est important donc sur 0 plus l'infini voilà donc on a déjà une chose de faite deuxème fonction qu'on va étudier alors parmi les trois qui nous reste regardez il une qui est assez particulière c'est la la la F3x + 2 c'est une fonction affine alors les fonctions affine ça des courbes qui sont des droites alors si vous avz une droite qui est comme ceci alors là vousz l'ordonnée à l'origine c'est 2 avz une fonction dont la courbe est une courbe croissante donc voyz une courbe comme ça une droite elle n'est ni symétrique par rapport à l'axe verticale parce que que le symétrique sera ici donc ça n'est pas elle n'est pas symétrique par rapport vertical et elle n'est pas non plus symétrique par rapport à l'origine donc ça n'est pas la courbe d'une fonction paire ou Impire sur R donc ça c'est une première façon de justifier c'est pas la plus simple donc on pourrait écrire F et à fine avec F de0 é= à 2 vous pouvez vérifier tout de suite donc sa courbe est une droite oblique passant par a de coordonnées 02 donc dans un repère orthogonal bien sûr elle est non symétrique par rapport à l'axe verticale ou par rapport à l'origine plus simplement on calcule on prend des exemples on va calculer paremple l'image de 1 F1 vaut 3 + 2 donc 5 et F de -1 on calcule - 3 + 2 attention 3 + 2 ça fait 2 - 3 ça fait1 qu'est-ce qu'on remarque F1 est différent de donc déjà la fonction donc F n'est pas paire puisque une fonction paire pour tout x on devrait avoir FX F donc F n'est pas il manque un mot F n'est pas paire sur R prère chose et deè chose de donc 1 est différent F1 est différent de F de-1 d'accord et si on remarque la propriété la définition donc d'une fonction impaire c'est que pour tout x on doit avoir F de- x = FX ça n'est pas vrai pour x = 1 voyez donc ça veut dire que la fonction comme ça n'est pas vrai pour 1 ça n'est pas vrai pour tout x donc F n'est pas non plus Impire sur R donc vous voyez que ça c'est un raisonnement par contre exemple on a trouvé une valeur de x qui ne vérifie par une propriété qui doit être vraie pour tout x donc ça veut dire votre propriété est fausse une propriété pour qu'elle soit fausse il suffit qu'elle soit fausse à un endroit sur une infinité d'endroits s'il y a un endroit comme ici en un ça n'est pas vrai votre propriété est fausse voyez c'est beaucoup plus simple à démontrer qu'une fonction unee propriété est fausse parce qu'il suffit de montrer une seule chose qui n'est pas vraie voilà donc pensez-y souvent pour montrer que quelque chose est faux ça va très vite on cherche un contreexemple donc ici on a donc n trouvver nos deux fonctions qui ne sont ni pair ni impair sur leur domaine donc là le premier c'était un problème de symétrie de domaine là c'est juste que et bien l'image de 1 n'est pas du tout reliée à l'image de mo-1 par une symétrie donc ni paire ni impaire sur R il reste donc maintenant deux fonctions l'une est paire l'une est impaire alors les fonctions paires portent ce nom parce que les fonctions pair les plus connues sont les fonctions notamment la fonction qui a x associ x cette fonction c'est fonctions pair alors est pair sur R d'accord et donc vous aurez aussi x don X4 x donne X6 toutes les fonctions ici polynomiales avec des puissances paires sont des fonctions paires le nom vient de là et vous avez donc pour les fonctions impaires les plus connues x don x³ x don x 5 toutes les puissances impaires comme ça les fonctions linéaires sont impaires alors après la plus célèbre on parle pas forcément mais il y a x donne 1 sur X alors son domaine est un petit peu différent c'est r étoil j'en profite hein la cour vous la connaissez c'est une hyperbole elle est comme ceci pas très jolie celle-ci allez comme ceci grossièrement ici on est plus près donc là x³be grossièrement donc vous avez une sorte de courbe comme ceci x 5 c'est la même et plus accentué et la X ce sont donc des fonctions linéaires donc les courbes donnent des droites qui passent par l'origine voyz ça peut être comme ceci ça peut être comme ceci comme ceci voilà et à chaque fois il y a une symétrie par rapport à l'origine tout comme not notre hyperbole ou notre cubique pour les fonctions pair et pareil il faut connaître et savoir tracer très rapidement x carré la fameuse parabole X5 c'est une x X4 X6 sont des paraboles beaucoup plus enfin c'est pas des paraboles sont des courbes qui sont un peu de la même forme qu'un parabole beaucoup plus accentué des quadriques et cetera donc ici quand on regarde les expressions on a ici dans cas on a de X car on a un -1 qui pose pas de problème parce que les fonctions constantes ici si je prends une constante c'est une fonction paire parce que la courbe d'une fonction constante c'est une horizontale donc il y a vraiment il y a bien une symétrie axiale par rapport à l'axe vertical donc on va tenter de montrer que K est une fonction paire et ça se rédige toujours de la même façon on va dire soit x appartenant au domaine donc ici x appartenant à r étoile cette étoile je rappelle pour ceux qui ont oublié que c'est r auquel on a enlevé 0 parce que dans 1/ X2 il y a une valeur interdite on ne peut pas dire divisé par 0 donc maintenant une fois qu'on a choisi X dans notre ensemble on va calculer k de - x on peut puisqueétoil est symétrique on remplace donc partout o il y a X par X donc ça me fait ceci 1/ - x² mais attention x² comme c'est une puissance paire le moins va disparaître ça donne 1/ X2 et vous voyez qu'on retrouve exactement KX donc qu'est-ce qu'on vient de montrer e bien que quel que soit x donc pour tout x appartenant à r étoile on a montré que K 2- X est égal à KX et ça c'est exactement la définition de la parité sur R étoile donc K est paire sur R étoile d'accord je peux vous donner sa c rapidement fonction 1/ X2 - 1 alors ici il se passe quelque chose par rapport moin un donc voilà et votre courbe elle va être comme ceci je vous dis à peu près vous pouvez vérifier avec votre calculatrice voilà vous avez une fonction qui ép donc une courbe symétrique par rapport à axe vertical voyez ça fait une sorte comme ça de cheminée voilà qui monte infiniment une belle courbe symétrique d'accord donc dès vous avez montré que c'est pair ben la propriété qui en découle c'est que dans un repère orthogonal et bien la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ça veut dire que la dernière fonction g elle est impaire mais on va quand même le démontrer et la démonstration est similaire regardez bien on va donc prendre X dans le domaine donc dans R et on va essayer de trouver g de- X et regardez si on revient pas par hasard sur GX ou sur GX donc je remplace partout voyez c'est x³ - 2x donc à la place de X je mets x donc ici - x³ le moins est conservé il va sortir du cube ça fait x³ mais attention si on devait mettre des parenthèses maintenant elles sont comme ceci le moins est sorti là on a moins donc ici euh moins donc ça fait + 2x si je calcule GX regardez -x ça fait quoi ça fait X3 donc au départ ça fait X3 - 2x si j'enlève les parenthèses ça fait - X2 + 2x donc ici vous voyez on pourrait factoriser par - 1 ça donnerait donc ici x³ - 2x j'ai retrouvé et donc je retrouve GX et regardez la définition d'une fonction imp il faut que on est toujours F de- X qui est égal à - FX exactement ce qu'on vient de trouver on écrit ensuite donc pour tout X de r g de- x = - GX et donc là on utilise la définition donc G est Impire sur R attention danger pour montrer que K est pair il ne suffit pas de vérifier pour x = 1 par exemple que K-1 sera égal à K1 un exemple ne suffit pas pour montrer que pour tout réel il faut vraiment faire résonance général donc c'est plus dur de montrer que quelque chose paire que quelque chose n'est pas paire pour montrer que ça n'est pas paire on a vu on regarde un endroit si ça ne marche pas c'est bon pour montrer que c'est paire il faut rester sur de X général vous ne remplacez pas X par une valeur parce que certains vont faire tout simplement donc K1 = il calcule ça fait 1/ 1 - 1 ça fait 0 K2 - 1 est é= à 1/ 1 1 donc ça fait 0 effectivement K1 é= K2 - 1 mais ça ne suffit pas à faire de cas une fonction paire vous avez plein de fonctions qui ne sont pas du tout pair mais qui par exemple ont la même valeur en 1 qu' Mo ins1 ça ça peut arriver d'accord pour ça c'est très simple ici K 2 = 0 ça veut dire votre cour passe par le point de coordonnée 1 0 K 2 - 1 = 0 elle passe par celui-là mais toutes les courbes qui passent par ces de pas ne sont pas forcément symétriques voir une courbe qui est vraiment tout à fait tout sauf symétrique ou par ceci ça n ni la cour d'une fonction pa ni un et pourtant j'ai bien k 21 qu' 2 - 1 = 0 donc attention un exemple ne suffit pas pour montrer la généralité de cette propriété il faut rester sur du X et du X sans fixer de valeur voilà j'espère que vous allez bien écouté ce que je viens de dire à très bientôt