Titre : Application du théorème de Thalès 1 : optique

[Musique] pour cette première application du théorème de Thalès on va aborder le domaine de l'optique et pour cela je vais te raconter la petite histoire de ce photographe de la fin du 19e siècle alors il voudrait prendre en photo la bougie qui se trouve ici mais il a un problème parce qu'il a oublié chez lui la CAP qui lui permet normalement de réaliser la mise au point pendant la photo alors heureusement le photographe connaît le principe de fonction de son appareil photo et il connaît le théorème de Talès et grâce à tout cela il va parvenir à résoudre son problème alors avant de voir comment ici est pris on va voir comment fonctionne une lentille c'est peut-être déjà quelque chose que tu as vu dans tes cours mais ce n'est pas grave un petit rappel ça te fait jamais de mal ok alors la lentille dont je te parle c'est la lentille qui se trouve ici à l'entrée de l'appareil photo et qu'on a représenté ici en couple alors on voudrait prendre en photo la bougie qui se trouve ici elle émet tout un tas de rayons lumineux dans toutes les directions que deviennent ces rayons lumineux lorsqu'ils traversent la lentille alors il y en a un qui passe par le centre de la lentille et lui comme tu peux le voir il n'est pas dévié d'accord il poursuit sa trajectoire sans changer de direction lorsqu'il traverse la lentille alors il y a un autre rayon lumineux qui lui quitte la bougie de manière horizontale ici d'accord et quand il a arrive sur la lentille et bien lui il va être dévié d'une certaine façon de façon à passer ici par un point particulier qui s'appelle le foyer et ce foyer se trouve à une distance de la lentille qui s'appelle la distance focale c'est ce qu'on note f F pour focale ok alors on voit ici que les deux rayons lumineux se croisent en ce point et en fait on peut montrer que tous les rayons lumineux qui qui partent de la bougie et qui traversent la lentille vont ici se croiser au même point c'est le même principe que lorsqu'on concentre les rayons lumineux du soleil avec une loupe ok alors du point de vue de la lumière tout se passe comme si la bougie se trouvait ici hein c'est ce qu'on appelle ici l'image de la bougie et et on pourrait venir ici avec une plaque photographique c'est ce qu'on utilisait à l'époque on pourrait venir ici placer une plaque photographique de manière à imprimer en quelque sorte l'image de manière physique ok alors si on vient placer la plaque exactement à l'endroit où les rayons se croisent et bien on obtient une image qui est nette maintenant si on avait placé la plaque photographique un petit peu plus loin et bien tu vois que ici les rayons ne se croisent pas ils éclairent toute une portion de la plaque et ça ça fait qu'on va obtenir une image qui est floue ok alors si on veut régler ce problème et bien on pourrait décider de changer la distance entre la bougie et la lentill on pourra ici décider de rapprocher la bougie et ce rayon lumineux changerait donc d'inclinaison il est un petit peu plus incliné et ça ça va permettre au rayon de se croiser exactement à l'endroit où se trouve la plaque et d'obtenir une image qui est nette ok donc le fait de régler ces différents paramètres de manière à obtenir une image c'est ce qu'on appelle la mise au point alors la distance entre l'endroit où on va mettre PLA donc l'endroit où on voudrait que l'image se forme et la lenle bien ce qu'on appelle la distance image et normalement l'appareil photo permet de régler cette distance image en changeant ici la distance problème l'appareil photo du photographe est cassé et cette distance di on ne peut plus la bouger pour son appareil photo elle est fixée à 7 cm il n'y a pas moyen de changer la distance entre la plaque photographique et la lentille et donc pour pouvoir réaliser la mise au point pour être sûr d'obtenir une image nette lorsqu'il prend une photo de la bougie et bien le photographe n'a pas d'autre choix que de jouer sur la distance qui se trouve donc la distance entre la lentille et la bougie c'est ce qu'on appelle la distance objet do pour distance objet d'accord donc il va devoir trouver quelle est la valeur de do à choisir pour obtenir une image nette sachant que di est fixé à 7 cm et la distance focale et bien c'est un paramètre de son appareil photo c'est aussi une valeur qu'il connaît alors autre problème on l'avait vu au début de la vidéo le photographe a aussi oublié sa cape qui lui permet de se mettre dans le noir et de visualiser correctement l'image donc il ne peut pas vérifier quand l'image est nette il n a donc pas d'autre choix que de se baser sur sa compréhension du fonctionnement de l'appareil photo ce qui lui permet de réaliser ce schéma et de se baser sur sa connaissance des mathématiques alors première chose il met en évidence deux triangles he que tu vois ici avec les traits verts et on voit que les deux triangles sont formés à partir de deux droites séquantes d'accord et puis ils ont une paire de côtés parallèles ces côtés sont verticaux ils sont sur l'axe de la bougie et sur l'axe de l'image de la bougie respectivement alors ça c'est ce qu'on appelle la configuration papillon du théorème de thalè c'est ce qu'on voit ici en fait c'est exactement la même chose que la configuration classique du théorème de taless la seule chose qui change et bien c'est que les deux côtés parallèles se trouvent de part et d'autre du point d'intersection mais en fait ça revient exactement au même et le théorème de talè est tout à fait applicable dans cette configuration on va voir pourquoi alors on va d'abord donner un petit nom ici à cette longueur à la hauteur de la bougie ho pour hauteur de l'objet et ici de manière similaire hi pour la hauteur de l'image alors pourquoi est-ce que cette conv configuration est tout à fait similaire et tout à fait équivalente à la configuration tes et bien on peut tout à fait imaginer qu'on vient tourner de 180° le triangle qui se trouve ici d'accord et on voit apparaître la configuration de T alors comment est-ce qu'on sait que les deux côtés sont parallèles bien parce que les deux côtés étaient parallèles au départ on l'a tourné 280° d'accord je faire dans l' sens on a tourné 280° il est donc toujours parallèle à l'autre il est toujours vertical ici ce côté qui a tourné 20° j'ai bien les deux côtés parallèles je retrouve la configuration de classique et je vais donc pouvoir utiliser le théorème de je vais juste ici renom redonner cette longueurci qui est en fait cette longueur c'est donc di la distance image le théorème de dit que le rapport des côtés homolog est le même donc si je fais le rapport entre h et hi ben je sais que ce sera la même chose que le rapport entre do et di hein donc cette longueur-ci du grand triangle et cette longueur-ci du petit triangle c'est ce que j'écris ici euh grâce au théorème de Tales ok alors en fait euh notre photographe va voir une autre configuration de papillon et il voit une autre configuration papillon ici alors cette longueurci est bien toujours la hauteur euh de j'ai hein c'est la même que celle qui se trouve ici la distance de la longueur de ce segment pardon et bien c'est la distance focale et la longueur de ce segment et bien c'est la longueur di moins la longueur F c'est donc di- F ce que j'écris ici de la même façon j'utilise le théorème de Tales le rapport des côtés homologu est le même h o sur Hi est égal à F sur di- F hein ces deux côtés-ci sont homologues et je fais le plus grand côté divisé par le plus petit côté de la même façon ici je fait le plus grand côté divisé par le plus petit côté et donc je complète ici mon égalité ho sur Hi est égal à F sur di i- F ceci je n'en ai plus besoin je vais le faire disparaître et je vais multiplier est des deux côtés de l'égalité par di j'ai donc di qui disparaît ici au dénominateur et j'ai un di qui vient multiplier la distance focale ici au numérateur ok alors quand le photographe arrive à ceci bien il sait qu'il a gagné pourquoi parce que connaissant di et F il sait qu'il va pouvoir déterminer la valeur de do sans regarder l'image sur son appareil photo juste avec des mathématiques ok alors on va maintenant ben réaliser l'application numérique de tout ça on sait que di vaut 7 cm c'est ce qu'on avait dit ici la distance focale bah voilà on va dire qu'elle vaut 5 cm c'est une valeur qui est habituelle pour un appareil photo et donc on va remplacer ici les grandeurs par les valeurs ok donc on a 7 cm x 5 cm sur 7 cm- 5 cm le tout sera bien évidemment en centimè puisque j'ai ici une distance et que toutes mes valeurs sont exprimées en centimè le résultat final sera donc en cmè alors 7 x 5 35 cm 35 pardon 7 - 5 2 35/ 2 17,5 donc do vaut 17,5 cm voilà le photographe sa maintenant que pour avoir une image nette sachant que sa distance image est fixée à 7 cm et sachant que sa distance focale vaut vaut 5 cm pour obtenir cette image nette et bien la distance objet doit valoir 17,5 cm il est tout content il a réussi à faire sa photo ok donc résumons rapidement ce qu'on a fait on a utilisé le théorème de Talès à deux reprises sa forme papillon d'abord avec la paire de triangle qui est mise en évidence ici et puis avec cette paire de triangleci on a pu exprimer le théorème de talet et grâce à ça on a trouvé une relation entre les grandeurs d di I et F ce qui nous a permis de résoudre notre problème he ce qui nous a permis de comprendre finalement euh bien le lien qui existe entre les différentes valeurs les différentes grandeurs qui interviennent dans la formation d'une image par une LTI voilà ça c'était pour la première application j'espère que tu as aimé cette petite histoire on va se retrouver pour la deuxème application qui elle sera dans le domaine de la mécanique je te dis à bientôt [Musique]