L’aire du cercle

Bonjour, alors je te propose dans cette séquence d'aborder un problème qui a occupé les plus grands esprits scientifiques pendant de nombreux siècles. Il s'agit du fameux problème du calcul de l'air du cercle. Comment connaître la surface du cercle à partir de la connaissance de ses dimensions, comme son diamètre par exemple. C'est d'ailleurs la question que se pose tout hobbit lorsqu'il doit repeindre sa maison. Quelle est la surface à repeindre ici sur cette porte connaissant le diamètre d'un rapport ? Et bien le premier à avoir pu répondre à cette question est en fait Archimède. Archimède de Syracuse qui est aussi le premier scientifique à avoir pu calculer le nombre Pi qui exprime le rapport entre le périmètre du cercle et son diamètre. Il a montré que ce nombre Pi vaut à peu près 3,14. Et bien c'est sur base de cette connaissance que Archimède a également pu calculer la surface du cercle. Alors pour ça et bien il a procédé de la même manière que pour calculer le nombre Pi, c'est à dire qu'il a approché le cercle ici par des polygones. Un polygone tel que ce bel hexagone que j'ai ici. Effectivement en termes de surface si je calcule la surface de cet hexagone je dois m'attendre à avoir un résultat qui n'est pas si éloigné que ça que la fin de la surface du cercle qui se trouve maintenant derrière. Donc si je calcule la surface de cet hexagone j'aurai une bonne approximation de la surface du cercle et c'est donc par ça que je te propose de commencer. Et la surface de l'hexagone je peux facilement l'obtenir en me rappelant que un hexagone est constitué de six triangles équilatéraux dont le côté ici s'appelle R. R pourquoi ? Tu l'as sans doute deviné, c'est tout simplement parce que le côté d'un triangle ici est aussi égal au rayon du cercle qui m'intéresse puisque c'est bien à l'air du cercle que je m'intéresse ici. Donc voilà puisque je fais apparaître naturellement le rayon du cercle plutôt que son diamètre et bien je vais changer le diamètre en termes du rayon. Et le diamètre c'est forcément deux fois le rayon et je vais donc remplacer D ici par deux R. Je vais mettre le 2 devant le pi ici pour obtenir la fameuse formule qui me dit que le périmètre ou la circonférence du cercle c'est 2pi fois R. Une petite formule que je te conseille vivement de retenir, elle est très importante. Voilà, je me suis débarrassé du diamètre, je peux maintenant aborder la surface de l'hexagone. La surface de l'hexagone, je vais l'étudier sur base de ces triangles ici que je vais réorganiser autrement. Je vais prendre les trois triangles du haut pour venir les disposer là et maintenant je vais prendre les trois triangles du bas pour venir les mettre à côté pour obtenir ici un parallélogramme dont je peux facilement évaluer la surface. En coupant ici un demi-triangle et en venant mettre ce demi-triangle ici, j'obtiens bien sûr un rectangle. La surface de ce rectangle sera la surface de cette hexagone et c'est bien à ça que je m'intéresse. La surface de ce rectangle, ce sera donné par la largeur. La largeur qui vaut 3 fois r bien sûr, le tout multiplié par sa hauteur. La hauteur étant la hauteur d'un des triangles ici qui constitue cette hexagone. Voilà, je peux donc dire que la surface de l'hexagone c'est 3r fois h largeur fois hauteur et ceci est bien sûr aussi la surface du parallélogramme. Ça me permet de te rappeler que la surface du parallélogramme est donnée par la base de ce parallélogramme fois sa hauteur 3r fois h. Alors voilà, le 3r qui est ici et bien je vais y voir la moitié du périmètre de l'hexagone. Rappelle-toi, les 3r ici, je retrouve 3 triangles. C'est par exemple la largeur des 3 triangles du haut que je reprends ici. 1 fois r, 2 fois r, 3 fois r. Je peux donc dire que ce 3r, de manière évidente, c'est la moitié du périmètre et c'est donc ce que je vais écrire ici. Alors voilà, je vais tout simplement remplacer 3r par ce p sur 2. Ça peut te paraître bizarre mais tu vas comprendre par la suite pourquoi je fais ça. Le h qui est ici, je pourrais m'y intéresser en mettant en évidence le fait que la longueur du côté ici n'est rien d'autre que r. Il s'agit bien de triangles équilatéraux. J'ai donc bien ici r. Voilà, je pourrais utiliser Pythagore. Ici j'ai bien r demi puisque j'ai une demi-base ici. Voilà, donc je pourrais très bien calculer h en utilisant la théorème de Pythagore mais ça ne m'intéresse pas ici. Ce n'est pas nécessaire. Je vais juste te faire remarquer que h est significativement plus petit que r. r ici est la longueur de ce segment qui est incliné ici par rapport à la verticale. Il est évident que r est plus grand que h ou que h est plus petit que u. Voilà, ceci est donc une formule qui me donne la surface de l'hexagone. Je ne vais pas l'analyser plus loin parce que tu vas voir l'idée d'Archimède a été d'approcher le cercle de façon plus précise en passant d'un hexagone à un dodecagone. Si je double le nombre de côtés, j'obtiens 12 côtés. C'est ce qu'on appelle un dodecagone qui approche mieux le cercle. Je ne représente pas le cercle qui se trouve, que j'aurais pu mettre derrière comme celui-ci ici mais tu peux imaginer qu'il approche mieux le cercle. La surface s de ce dodecagone sera donc plus proche de celle du cercle que la surface de cet hexagone. Voilà, alors pour calculer la surface de ce dodecagone, je vais procéder d'une façon analogue. Je vais réorganiser les triangles ici en prenant d'abord ceux du bas et en les juxtaposant comme je te le propose ici. Tu vois que je les mets tous l'un à côté de l'autre. Les six triangles du bas viennent ici donc alignés comme ceci. Les trous qui apparaissent ici, je vais les boucher avec les six triangles du haut comme je te le propose ici. Voilà le deuxième mais je fais la même chose avec les quatre qui restent pour obtenir bien sûr un parallélogramme tout à fait analogue à celui-ci. Voilà, je peux donc calculer la surface de ce parallélogramme qui sera aussi bien sûr la surface de ce dodecagone. Il aura une certaine largeur, une certaine base, ce sera la base ici que je retrouve là, qui sera constituée de la somme ici des bases des six triangles que j'avais sélectionnés ici au dessus. Ces six triangles ici ont une base qui va donc, multipliée par 6, va me donner ici la largeur de ce parallélogramme et bien sûr je vais retrouver pour la largeur de ce parallélogramme le périmètre divisé par deux exactement comme je l'avais ici. Voilà donc les six bases ici me donnent bien p demi. Ce p demi va être multiplié par h qui est toujours plus petit que r comme tu peux le voir et donc je peux dire que la surface de ce dodecagone est donnée par la moitié de son périmètre multiplié par la hauteur des triangles qui le composent. Les triangles ne sont plus équilatéraux comme ici, ils sont simplement isocèles. J'ai un triangle isocèle dont la base est ici. Six fois la base me donne bien le p demi que je retrouve. Voilà et tu comprends peut-être la démarche. Archimède ne s'est pas arrêté là. Il a comme ça multiplié les côtés du polygone régulier qu'il a utilisé pour approcher le cercle et il a utilisé par exemple des polygones à grand nombre de côtés comme celui-ci. Il y en a 60 à peu près. J'ai 60 côtés pour ce polygone qui approche maintenant très très fort le cercle dont on voit encore ici la circonférence. Pour évaluer la surface de ce polygone régulier à grand nombre de côtés, on peut faire exactement comme ici. Je peux juxtaposer tous les triangles du bas et tous les triangles du haut vont venir pour boucher les trous et je vais obtenir bien sûr un parallélogramme tout à fait comparable à celui-là. Et je peux bien sûr ici retrouver le périmètre moitié. Tous les triangles du haut ont été mis ici. Ils sont maintenant juxtaposés donc ceci me fait bien le périmètre du polygone divisé par deux. Pour la hauteur ici, ça me permet d'exprimer toujours la surface de ce polygone à grand nombre de côtés ici comme étant donné par la moitié de son périmètre multiplié par la hauteur des triangles qui le composent. C'est une manière de voir les choses. Alors je vais mettre ici en évidence le rayon R du cercle que ce polygone approche. Voilà ce rayon. Maintenant on voit qu'il est extrêmement proche de H. Il est quasiment vertical. L'inclinaison est toute petite parce que la largeur, la base ici des triangles qui composent ce polygone régulier est toute petite et donc R est très proche de H. Et c'est ce que j'ai écrit ici. Et ceci me donne envie d'approcher la surface de ce polygone en disant que H vaut à peu près R. Alors je dirais que S vaut à peu près P demi fois R. Et c'est ce que j'écris maintenant. En ce qui concerne le périmètre demi ici, ce périmètre demi, je vais l'avoir en semant les bases de tous ces triangles autant de fois que j'en trouve dans un demi-périmètre. Tu es d'accord ? Je vais toutes ces bases de triangles comme ceci pour avoir le périmètre demi. Mais si je regarde le cercle qui se trouve derrière qu'on ne peut plus voir et si tellement les côtés sont petits, je vois qu'en réalité c'est un arc de cercle que j'ai. Mais il y a très peu de différence puisque le côté tout petit ici, on ne voit quasiment pas la courbure de ces arcs de cercle. Et donc je peux remplacer la somme de tous ces segments droits par la somme de tous ces arcs de cercle qui ont quasiment la même longueur. Et si je somme tous ces arcs de cercle, je vais obtenir bien sûr la longueur du demi-cercle que j'ai ici. Et un demi-cercle a pour longueur, c'est ça, demi-périmètre de cercle, c'est-à-dire que j'aurai deux pi R divisé par deux, j'aurai pi fois R. Je peux dire que le demi-périmètre de ce polygone régulier à grand nombre de côtés est à peu près égal à une demi-circonférence de cercle. Ce n'est pas bien difficile à admettre, tu es bien d'accord. Et donc je vais remplacer pi demi ici par pi fois R, tout en sachant que le résultat n'est pas parfait, j'aurai bien pi fois R fois R. Et R fois R, et bien sûr c'est R carré. Ça me donne comme surface pour mon polygone à peu près pi R carré, et ça je sais que c'est aussi à peu près la surface du cercle qui se trouve derrière. Et tu as compris que l'idée d'Archimède, eh bien c'était de suivre une démarche qui va consister à multiplier le nombre de côtés du polygone à l'infini. Et on va finir par obtenir une image telle que celle-ci. Les triangles sont maintenant tellement fins qu'on ne les voit plus, on ne voit plus qu'un dégradé qui est dû au fait que tous les sommets des triangles se retrouvent ici pour former effectivement une espèce de dégradé comme ça. Voilà, en réalité pour les représenter je serais obligé de leur donner une certaine largeur, mais l'idée d'Archimède c'était de tendre vers un nombre infini de côtés de manière à approcher le cercle de la manière la plus parfaite qu'on puisse imaginer. Donc voilà, plutôt que de représenter ça comme ça avec une certaine largeur, maintenant ces triangles ont une base qui va tendre vers zéro, comme ceci. Ce qui ne m'empêche absolument pas de continuer à dire que si je superpose, que si je calcule ici la somme de toutes ces petites bases, je vais obtenir le P de Micetis. Voilà, les triangles sont simplement devenus infiniment minces. Et si je fais ça, la hauteur de ce triangle infiniment mince, t'es d'accord que je ne pourrais plus faire la différence avec le rayon du cercle. Je pourrais dire que H est maintenant égal à R. Je ne peux plus faire la différence entre le rayon et la hauteur H des triangles qui composent ce polygone à nombre quasiment infini de côtés. Voilà, j'espère que tu comprends bien cette démarche. Donc on va bien pouvoir remplacer H par R maintenant et je pourrais dire que le résultat est vraiment égal, pas commissible. Là je disais que c'était à peu près égal. Voilà, en ce qui concerne le P de Mic, le périmètre de Mic ici, je fais de nouveau apparaître le triangle comme s'il avait une certaine largeur que je peux voir. En réalité, il n'en a pas. Tant qu'il a une largeur comme ceci, je peux le représenter comme je l'ai fait tout à l'heure pour dire que l'arc de cercle a une longueur qui est très proche du segment, du segment droit ici, qui représente une base de ce triangle. Voilà, et quand je vais sommer toutes ces bases pour faire le demi-périmètre ici, ça ne revient même que de sommer, bien sûr, les petits arcs de cercle puisque maintenant ça devient infiniment mince ici. On ne peut plus faire la différence entre l'arc de cercle et la base des triangles qui compose ce polynôme à un nombre infiniment grand de côtés. Voilà, j'espère que tu as compris. Maintenant on peut réellement dire que le périmètre divisé par deux, eh bien c'est la moitié de la circonférence du cercle. Le polygone a un tellement grand nombre de côtés, un nombre aussi grand qu'on le veut en fait, qu'il imite parfaitement la courbure du cercle. Et je peux donc maintenant dire ceci, et maintenant je peux dire que la surface c'est πr², que c'est absolument égal alors qu'ici, je n'étais pas encore sûr de mon goût, je disais que c'était à peu près égal. Voilà, j'espère que tu as compris ça. C'est une démarche qui n'est pas évidente. En proposant ça, en fait Archimède a jeté les bases de ce qu'on appelle le calcul infinitésimal. Le calcul infinitésimal est en fait une technique de calcul qui a permis de développer un nombre de connaissances absolument inouï. C'est un grand grand chapitre de mathématiques que tu auras l'occasion d'apprendre plus tard. Voilà, j'en dirai pas plus, mais il était important de savoir qu'avec cette démarche, de traiter un nombre arbitrairement grand ici de triangles qui sont à la fois infiniment petits, il a traité donc des nombres extrêmement grands en même temps que des éléments extrêmement petits. Si j'ai des bases ici qui ont la largeur tant vers 0, le nombre de triangles que je dois considérer tend vers l'infini. Tu vois qu'on travaille avec des infiniment petits, des infiniment grands. Je répète, c'est pour ça qu'on appelle ça ici le calcul infinitésimal. Voilà, ceci était juste une remarque. On est arrivé à la fin de cette séquence. La conclusion, c'est que Archimède, avec cette approche, a pu établir que la surface du cercle c'est πr². Une formule qu'il faut absolument que tu retiennes, tout comme bien sûr la formule du périmètre du cercle, de la circonférence du cercle qui, elle, vaut 2πr. Surtout, ne confondre pas les deux. Tu remarqueras que le périmètre est proportionnel à la longueur, à une longueur, c'est-à-dire qu'il s'agit bien de mètres. En termes de dimensions ici, tu retrouves bien des mètres fois des mètres. Des longueurs au carré, ça va bien donner des surfaces. C'est une manière de bien différencier les deux formules. Le 2 se trouve ici dans l'exposant de R alors que le 2 ici se trouve en facteur de M. Le périmètre, la surface, fait bien la différence. Voilà, et avec cette formule, on a résolu notre problème pour le Hobbit. Le Hobbit, c'est petit, le rayon de la porte ici fait à peine 30 cm. Si tu mets 0,3 m², tu vas obtenir 9 centièmes. 9 centièmes fois π, eh bien, ça donne 28 centièmes. C'est à peu près un tiers de m², c'est pas grand-chose. Voilà, notre problème est résolu. C'est ici que se termine cette séquence. Je te remercie pour ton attention et te dis à très bientôt.