La méthode de décomposition infinitésimale

Bonjour, alors on a vu dans la séquence précédente consacrée à l'introduction au calcul infinitésimal, qu'Archimède avait réussi à trouver la formule de la circonférence du cercle sur base d'une idée d'Antiphon. Antiphon qui avait proposé que la circonférence du cercle pouvait être approchée par le périmètre d'un polygone régulier à n côtés. Et si ce nombre de côtés n tend vers l'infini, c'est-à-dire que la longueur des côtés tend vers 0, et bien cette approximation devient une égalité stricte. C'est-à-dire qu'on peut dire que la circonférence du cercle est égale au périmètre de ce polygone. Et c'est comme ça qu'on est tombé sur le cœur, je dirais le concept qui est au cœur du calcul infinitésimal, qui est donc de dire qu'une grandeur est obtenue à partir d'un nombre arbitrairement grand de grandeur arbitrairement petite. Le L ici, on l'a appelé une grandeur infinitésimale. C'est une grandeur aussi petite qu'on le veut qu'on retrouve donc un nombre arbitrairement grand de fois pour obtenir ici cette grandeur. Donc voilà, ça c'est ce qui est au cœur de la proposition d'Antiphon, et qui a donc été appliquée par Archimède pour le calcul de la circonférence du cercle, et en l'occurrence également pour calculer pour la première fois ce nombre π. Alors voilà, pour te familiariser un peu avec cette idée de décomposition infinitésimale, parce qu'il s'agit bien ici d'une décomposition infinitésimale, alors pour comprendre ce terme de décomposition infinitésimale, il faut bien voir que l'idée d'Antiphon consiste à décomposer le cercle en petits segments de droite de taille arbitrairement petite, auquel cas on peut bien assimiler le polygone effectivement à un cercle. Mais ce n'est que dans cette idée que la longueur des côtés du polygone est arbitrairement petite qu'on peut dire que le polygone devient égal au cercle, devient l'équivalent du cercle, et que son périmètre est donc égal à la circonférence du cercle. Ce n'est que dans cette limite-là. Donc on peut voir ça comme une décomposition infinitésimale du cercle. Alors voilà, pour te familiariser avec cette idée de décomposition infinitésimale, et pour te familiariser avec la façon dont on gère ici ces grandeurs arbitrairement petites en nombre arbitrairement grand, il faut reconnaître que c'est assez abstrait, pour te familiariser avec ça, je te propose d'analyser la méthode que Archimède a exploité pour obtenir la formule de la surface du cercle. Pour obtenir la surface du cercle, Archimède a tout simplement décomposé le cercle en surface infinitésimale en assimilant tout simplement la surface de ce cercle à celle d'un polygone régulier. Alors un polygone régulier a très grand nombre de côtés. Ici je représente ce nombre par 12, parce que si je mettais N beaucoup plus grand, on ne verrait plus rien. Ici on voit encore bien l'idée de la décomposition. La surface du cercle est vue comme étant la surface de ce polygone qui lui-même est décomposée de façon infinitésimale, lorsque N va tendre vers l'infini, en triangle. Tu vois qu'un polygone régulier peut effectivement toujours être vu comme une collection de triangles identiques qui ont chacun une certaine surface, ils ont tous la même surface ST. T pour triangle, bien entendu. Et la surface de ce polygone pourrait être vue comme N fois la surface des triangles. N étant bien sûr le nombre de triangles comme le nombre de côtés, c'est une évidence. Et l'idée ici, bien sûr, est de considérer que la surface de ce polygone régulier est une approximation de la surface du cercle. Et l'idée, bien sûr, est de prolonger ça en disant que cette approximation devient une égalité stricte lorsque N tend vers l'infini, c'est-à-dire qu'en conséquence ST tend vers 0. À ce moment-là, je pourrais dire que S est égale à SP. C'est ce que j'écris ici. Ça, c'est le principe de la décomposition infinitésimale. Tu comprends bien qu'on a décomposé le cercle en petits triangles ici dont la base tend vers 0 quand N tend vers l'infini. La base de ce triangle ici tend vers 0. Et donc j'ai bien une surface ST qui devient infinitésimale. C'est la décomposition infinitésimale de la surface du cercle. Voilà, on est donc bien ici en train d'illustrer cette décomposition infinitésimale. Et c'est bien ce principe-là que Archimède a appliqué pour arriver à son résultat qui consistait à dire que la surface du cercle était la surface de ce polygone obtenu lorsque N tend vers l'infini. N n'est pas égale à l'infini, fais bien attention à ça, c'est une nuance importante. Si N était égale à l'infini, j'aurais l'infini fois 0 ici, ce qui n'a aucun sens. Donc lorsque N tend vers l'infini, cette approximation devient une égalité et il se fait qu'Archimède a montré que dans ce cas-là, la surface du polygone c'est πr². Je ne vais pas revenir sur la démonstration d'Archimède, tu peux aller voir ça dans la séquence qui est consacrée à la formule de l'air du cercle obtenue par Archimède. Ce que je voudrais faire ici, c'est analyser cette approximation. Il commence par dire que cette approximation peut devenir une égalité à coup sûr ici, alors que N n'est pas tout à fait infini. Je ne peux pas dire que N est infini, sinon j'ai l'infini fois 0. Je répète, ça n'a pas de sens. On ne peut pas donner de valeur à l'infini fois 0. On peut faire tendre N vers l'infini, auquel cas St tend vers 0. Et c'est ce produit ici, on n'est pas tout à fait à l'infini, on n'est pas tout à fait à 0, donc il semblerait qu'on ne puisse pas dire qu'il y a une égalité stricte, on est toujours dans le cadre d'une approximation puisqu'on n'atteint pas l'infini, on n'atteint pas l'idéal. Mais tu vas voir qu'on peut malgré tout dire qu'on a une égalité ici, lorsque N tend vers l'infini et St tend vers 0. C'est là-dessus que j'aimerais bien terminer. Pour ça, on va analyser ici la surface d'un triangle. Je prends un triangle comme ceci, je l'agrandis pour qu'on voit bien les choses. J'ai bien ici un côté R que je connais, c'est le rayon du cercle qui m'intéresse, et j'ai ici la longueur, la base de ce triangle. Tu l'as vu dans la séquence précédente, Archimède est capable de calculer cette longueur pour tout polygone en multipliant chaque fois par 2, en partant de l'hexagone, 12 côtés, 24 côtés, 48 côtés, etc. Donc ça, il connaissait R, il peut donc calculer facilement la surface de ce triangle. Et il avait donc accès effectivement à la surface du polygone, puisqu'il suffit de dire que le polygone contient N triangles. Voilà, ça c'est l'idée. Mais je répète, j'aimerais bien venir sur cette approximation. On est d'accord que ceci n'est qu'une approximation de la surface du cercle. Ça veut dire qu'on fait une erreur. Et l'erreur est évidente. On voit bien que si je voulais calculer la surface du cercle, je devrais tenir compte de l'erreur, je vais vous montrer avec une loupe ici, de l'erreur qui est comprise ici entre l'arc du cercle lui-même et le segment de droite que constitue la base de ce triangle. Cette erreur, je peux l'indiquer d'ici. En réalité, si je voulais l'erreur du cercle exactement, c'est cette surface-là, une surface qui ressemble à un quartier de tarte, c'est pour ça que je vais l'appeler SQ, Q pour quartier de tarte. Et bien sûr, l'erreur du cercle est donnée par N fois la surface de ce quartier de tarte, puisque j'ai bien N, un quartier de tarte dans ce cercle. Voilà. Cette surface SQ ici, elle est forcément égale à la surface du triangle plus la petite surface comprise entre l'arc du cercle et la base de ce triangle. C'est la surface que je vais appeler ε ici. ε pourquoi ? Parce que c'est une lettre grecque qui est souvent utilisée pour désigner une petite grandeur. C'est aussi une lettre qui est souvent utilisée pour désigner une erreur. Effectivement, cet ε symbolise l'erreur que je fais en calculant la surface du cercle à partir de la surface de ce polygone, c'est-à-dire à partir de la surface du triangle, plutôt que la surface du quartier de tarte. C'est bien l'erreur que je fais. Je peux dire que la surface du quartier de tarte, c'est la surface du triangle plus cette petite surface ε. Je vais l'écrire ici. Je vais dire que SQ, c'est ST plus ε. N fois ST, je vais distribuer le N ici sur le ST et sur le ε. J'aurai NST plus Nε. Je reconnais bien sûr ici l'air du polygone. N fois l'air des triangles qui composent le polygone. J'ai donc bien ici SP. Je peux dire que S est égal à SP plus, ici, Nε. Et Nε traduit mathématiquement l'erreur que je fais en faisant cette approximation. Tant que N ne tend pas vers l'infini, ceci est une approximation. Je peux dire que la surface du polygone est une approximation de la surface du cercle. En disant ça, je fais une erreur. Nε ici traduit l'erreur que je fais. C'est l'amplitude de l'erreur que je fais en faisant cette approximation. On va analyser cette erreur. Elle a une tête surprenante, cette erreur. Tu es d'accord que je peux dire que l'erreur vaut N fois ε. ε, c'est une grandeur qui est petite, certainement, mais il ne faut pas oublier que le résultat ici n'est valable que pour N tendant vers l'infini. Et quand N vaut l'infini, je sais que ε va diminuer, ça c'est sûr. Je sais bien que si N augmente, la longueur des côtés ici diminue et j'aurais bien du mal à voir la différence entre l'arc de cercle et le segment de droite. Donc c'est vrai que je peux sans trop de problème dire que ε tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini. Mais ça, ça ne me sort pas d'affaire parce que si je tiens ça en compte, je vois bien que j'ai l'infini fois une grandeur qui est petite. Oui, d'accord, mais qui est là, qui est petite, mais qui est là. Et l'infini fois quelque chose, eh bien c'est l'infini. Je suis donc devant un problème d'interprétation à nouveau ici. Est-ce que je peux garantir que cette erreur sera petite ? La question doit visiblement être posée pour valider ce résultat. Est-ce que quand N tend vers l'infini, je peux bien dire que S est égal à SP alors que la différence entre les deux, c'est Nε qui semble être un nombre qui tend vers l'infini ? Il est clair qu'il faut valider ça pour valider ici l'approche d'Archimède. Alors voilà, on va le faire, tu vas voir. Pour résoudre ce problème, je vais tout simplement te proposer une démarche ici qui est assez classique, qui est typique de ce qu'on fait en calcul infinitésimal. C'est comparer la petite surface ε à la surface du carré de côté N ici. Alors ce carré de côté N, tu es d'accord que c'est L² et on voit bien que ε est plus petit que L². Il ne faut pas faire de grandes démonstrations mathématiques pour ça. On voit bien que dans tous les cas, ε est plus petit que L². Et donc Nε est plus petit que NL², forcément. Et si on regarde ce qu'il y a dans L, c'est toujours la même chose. Ce sera donné par le périmètre divisé par N. Ce que j'écris donc ici, c'est P sur N. Et donc ici, j'ai bien P² sur N². Et je vois donc bien que le N ici va se simplifier partiellement avec le carré qu'il y a. J'ai donc bien P² sur N. Et bien sûr, quand N tend vers l'infini, ceci va tendre vers 0. Je vois donc que l'erreur que je commets ici, elle a beau être écrite comme N × ε avec N tendant vers l'infini, et bien je vois qu'elle tendra vers 0 lorsque N tend vers l'infini. Et je suis donc bien sorti d'affaire. Je vois bien que tout est bien cohérent. Lorsque N tend vers l'infini, ce qui est proposé ici, je vois bien que l'erreur que je fais est toujours plus petite qu'un nombre qui tend vers 0. Cette erreur est donc bien elle aussi un nombre qui tend vers 0. Et voilà, même si je ne peux pas dire que j'ai une égalité stricte ici, en fait, je ne peux pas dire que S est égale à SP, puisque j'ai toujours ceci qui sera là. Ce sera un nombre, ici, mais que je vais considérer comme arbitrairement petit. Il est aussi petit que je le veux. Alors en réalité, ce que j'ai démontré ici, c'est que SP tend vers S, au même titre que N tend vers l'infini et que epsilon tend vers 0, je peux dire que SP tend vers S. Mais puisqu'on tend vers 0 ici, avec le nombre N et epsilon, on va considérer qu'on peut oublier cette erreur. Et cette flèche ici, SP tend vers S, on va la remplacer par l'égalité qui est proposée ici. On va dire que S est égale à SP, parce que l'erreur qu'on fait tend vers 0 lorsque N tend vers l'infini. Voilà, c'est assez subtil tout ça, mais c'est très classique du calcul infinitésimal. Et on voit donc comme ça que l'approche proposée par Archimède tient bien la route. Ce résultat-là, l'erreur du cercle, elle a été obtenue par le principe de décomposition infinitésimale. On voit bien qu'Antiphon et Archimède ont véritablement eu un coup de génie lorsqu'ils ont proposé cette méthode, et Archimède pour l'avoir bien sûr appliquée. Voilà, on voit donc bien que ça tient la route. On fait des erreurs en appliquant cette idée de calcul infinitésimal, mais l'erreur, on va tout simplement dire qu'elle est nulle. Elle est nulle alors qu'elle ne l'est pas vraiment. Je répète, le N tend vers l'infini, l'erreur tend donc vers zéro mais n'est pas strictement nulle. Mais puisque ce nombre est arbitrairement petit, on va systématiquement le négliger et dire que S est égal à SP, comme ça a été proposé par Archimède. Voilà, ça c'est vraiment les principes de base du calcul infinitésimal. Et maintenant pour te familiariser avec ça, avec cette idée proposée par Antiphon et Archimède, cette idée de décomposition infinitésimale, je te propose de calculer l'air du triangle en jouant ici un petit jeu qui va consister à dire qu'on ne connaît pas la formule de l'air du triangle. Tu vois que le triangle ici est isocèle et rectangle. Donc voilà, son air est évident, on sait bien que ça sera base fond hauteur sur 2, ça sera l²½. Mais on va supposer qu'on ne connaît pas cette formule et qu'on peut calculer S ici, mais uniquement en utilisant une formule de base qu'on connaît, c'est celle de la surface du rectangle. Sur base de la connaissance de la surface du rectangle, je te propose de calculer la surface de ce triangle. C'est très artificiel comme petit jeu, mais tu vas voir que ça va te permettre de te familiariser avec cette idée de décomposition infinitésimale pour le calcul d'une grandeur, ici en l'occurrence, de nouveau, le calcul d'une surface. Voilà ce que je te propose. Alors si je ne connais pas la surface du triangle, mais que je connais la surface du rectangle, eh bien je vais décomposer forcément ce triangle en rectangle. Je vais prendre N rectangles, ils auront une largeur égale à tous, c'est-à-dire que leur largeur ici sera donnée par N sur N. C'est évident. Et puisqu'ici, j'aurai donc bien N petites marges d'escalier, puisque ce sont des rectangles qui vont me permettre de calculer cette surface, j'ai bien ici des marges d'escalier en nombre N. La longueur N ici va donc bien être divisée par N pour avoir la hauteur d'une marge d'escalier, c'est-à-dire que j'ai bien N comme hauteur ici, tout comme j'ai N comme largeur là. Ça veut dire ici, je vais faire ici maintenant appel à la formule de la surface du triangle pour trouver la notion d'erreur. Tu te rappelles le petit ε qu'on avait dans l'exemple de la surface du cercle qu'on vient de traiter. Ici, j'ai une petite erreur qui est faite systématiquement, que je vais appeler ε, comme tout à l'heure. Ce sera bien la surface de ce petit triangle, rectangle, isocèle, ce sera bien 1,5 de N². Voilà. Et ça, c'est bien l'erreur que je vais faire de manière systématique, parce que maintenant, l'idée, c'est de calculer la surface de ce triangle en disant qu'elle est très proche de la surface de ce polygone régulier que je viens de faire apparaître ici. C'est bien un polygone, je l'appelle toujours sp, c'est bien une forme géométrique formée par des segments de droite, c'est donc bien un polygone, une des plus réguliers, mais c'est bien la surface d'un polygone que je vais calculer. Et la surface du polygone, elle inclut forcément les marges d'escalier, puisque ce sont des rectangles que je vais considérer derrière. Et donc, tu vois que je fais systématiquement l'erreur ε ici, qui sera répétée N fois. Voilà. Pour la surface du polygone, je vais tout simplement considérer la somme des surfaces de ces rectangles. J'ai représenté ici la surface du rectangle, tu l'as compris. C'est le cinquième rectangle, il a donc bien une hauteur ici qui est 5 × L. Sa largeur est L, donc j'ai bien une surface de hauteur x L. 5L x L, c'est 5L², forcément. Le rectangle d'à côté, il a une hauteur 4L, sa surface est donc 4L². Le rectangle d'à côté a une hauteur 3L, sa surface est donc 3L², tu l'as compris. Je vais sommer les surfaces de N rectangles, depuis L² ici, la surface de ce petit carré en réalité, jusqu'à la surface de ce grand rectangle ici, qui aura une surface de N x L². Et donc voilà, je suis là avec toutes mes surfaces, je les somme. Je vais mettre L² en évidence, ce qui va me donner, bien sûr, 1, plus 2, plus 3, plus 4, jusqu'à N, c'est cette somme-là. Et cette somme-là, on peut la faire facilement en s'organisant. Je vais ici écrire cette somme jusqu'à N ½, en supposant que N est paire. Rappelle-toi que l'idée, c'est de passer à N qui tend vers l'infini, je peux bien sûr considérer un nombre paire qui tend vers l'infini. Et j'arrive donc ici à un nombre entier, N ½. Et je vais continuer ma somme en écrivant maintenant à l'envers ici, N ½ plus 1, jusqu'à, il me reste encore N nombres à écrire, jusqu'à N bien sûr, N – 1, N – 2, ils sont apparus juste avant ici. Et maintenant, je vais les sommer 2 à 2, et tu constates que quand je vais les sommer 2 à 2, je trouverai tout simplement N plus 1. N – 1 plus 2, c'est N plus 1. N – 2 plus 3, c'est N plus 1. N ½ plus N ½ plus 1, c'est N plus 1. Tu vois que j'obtiens N plus 1 partout, et j'obtiens ça N demi-fois. Et donc j'ai bien N demi-fois N plus 1, je peux donc l'écrire. Voilà, et je vais donc remplacer cette somme des nombres de 1 jusqu'à N par N demi-fois N plus 1. Faut essayer de retenir ça, si tu ne connaissais pas ce petit truc, c'est toujours utile de le connaître. Voilà, j'ai donc la formule ici de la surface du polygone qui approche la surface du triangle. On va voir ce qu'il en est. Je vais distribuer le N, ça me donne N² plus N, le tout avec le facteur 1 demi devant, voilà qui est écrit. Je vais distribuer le N², voilà, tu as revenu, j'ai bien L²N² et L²N ici, voilà qui est écrit. Le LN, L fois N, la largeur, fois le nombre de rectangles que j'ai, c'est forcément grand L au carré. Très bien, et ici je vais laisser ça comme ça pour le moment. Qu'est-ce que je vois ? Je vois un résultat évident, je reviens maintenant à la réalité, je connais l'air du triangle, je sais bien que l'air de ce polygone sera donné par l'air du triangle 1 demi de grand L au carré plus la somme des petits triangles ici, la somme des petits triangles, de l'air des petits triangles qui était donné par 1 demi de petit L². La petite erreur que je fais, elle est répétée N fois. La petite erreur ε que je fais, elle est répétée N fois. Et voilà, maintenant on va analyser cette erreur, bien sûr, petit L, c'est grand L sur N, le petit L² qui est ici, eh bien, il va tout simplement être grand L sur petit N. Je vais l'écrire comme ceci, grand L sur petit N². Et voilà, et là on tombe sur une situation où on voit que l'erreur qu'on fait en disant que la surface du triangle c'est à peu près la surface du polygone, cette erreur est envers 0 parce que les N vont se simplifier partiellement. Le N va rester ici, et quand N tend vers l'infini, on voit que cette erreur, 1 demi de L² sur N, eh bien, elle va tendre vers 0. N tend vers l'infini, l'erreur tend vers 0. Et voilà, donc je le répète, si N tend vers l'infini, le nombre qu'on a ici qui représente l'erreur qu'on fait en disant que S est à peu près égal à sp, cette erreur existe toujours, mais elle tend vers 0. Et si elle tend vers 0, eh bien, on va dire qu'elle n'existe pas, tout simplement. Et le à peu près égal ici devient un égal. Bien sûr, pour ça, il faut considérer que N tend vers l'infini et que l'erreur tend vers 0. On retrouve bien ici la décomposition infinitessimale. La surface du triangle est obtenue par la somme de grandeur arbitrairement petite en nombre arbitrairement grand. C'est le principe du calcul infinitessimal, mais qui fonctionne très bien. C'est donc le principe de la décomposition infinitessimale. On a calculé l'erreur de ce triangle à partir de la décomposition du triangle en rectangle de largeur infinitessimale, c'est-à-dire aussi de surface infinitessimale. Ce sont toutes les surfaces qu'on voit apparaître ici avec N tend vers 0. Voilà, j'espère que tu as bien compris le principe. Cette décomposition infinitessimale est une méthode extrêmement précieuse pour calculer des choses, notamment dans le domaine de la géométrie. Je vais pouvoir calculer avec toi la surface de la sphère, par exemple, grâce à cette technique qu'on vient de voir, le volume de la sphère également. On va pouvoir calculer la surface et le volume d'un cône. On peut calculer aussi le centre de gravité d'un cône. Tout ça, on le fera dans des séquences sur Clipédia. On va pouvoir calculer la masse d'un objet dont la masse volumique varie en fonction de la position dans l'objet. Tu verras qu'on est capable de faire ça grâce à la décomposition infinitessimale. On peut également calculer le champ électrique d'un objet qui n'est pas évident, qui est une tige, ici, uniformément chargée avec une charge électrique grande. On va pouvoir appliquer comme ça le principe de décomposition infinitessimale à une multitude de problèmes qui, en pratique, sont très utiles à résoudre. Voilà. Et tout ça te demandera, c'est là que les choses vont se corser, la maîtrise de la notion de dérivé et d'intégral. Donc voilà, la prochaine séquence va te permettre de montrer ça, que le principe de la décomposition infinitessimale nécessite le calcul d'intégral et donc la maîtrise de la notion de dérivé. Voilà. Je te remercie pour ton attention. C'est ici que cette séquence termine. Je te donne rendez-vous pour voir ces séquences sur tous ces exemples d'application de la méthode de décomposition infinitessimale. Merci pour ton attention.